学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷（苏教版，范围：选择性必修第一册第1章～第3章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 口 3[AJ[B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第3章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 2．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（热点）直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（热点）已知直线与平行，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 6．（热点）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则的值为0 B．若点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，，则 10．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 11．（热点）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 13．已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 14．（新情景）伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线． 在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点中心对称； ②恒成立； ③曲线C上任一点到原点的距离不超过； ④当时，取得最大值或最小值． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 中，已知，，点为边的中点． (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16．（15分） 已知圆：； (1)若直线与圆相切，且在轴和轴上的截距相等，求直线的方程. (2)过点的直线与圆交于，两点，线段中点为，求点轨迹方程. 17．（15分） 设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 18．（17分） 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． (1)当点B的坐标为时，求直线的方程； (2)记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； (3)求四边形的面积的取值范围． 19．（17分） 已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. (1)求点的坐标和渐近线方程； (2)以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； (3)对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第3章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线的倾斜角为，则其斜率， 且直线过点，所以其点斜式方程为. 2．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的标准形式为， 圆的半径的平方大于0，故，解得， 故实数的取值范围是． 3．（热点）直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆：，则圆心，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 由题意得，，解得. 4．若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得. 5．（热点）已知直线与平行，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因直线与平行， 则，且 解得. 6．（热点）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积. 7．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，. 因为，所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以. 即，解得. 8．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，不妨设双曲线的方程为， 而双曲线的弦和都过双曲线的中心，且， 由双曲线的对称性，得直线和关于轴对称，不妨令点在第一象限， 又直线和的夹角为，则直线的倾斜角为或， 而符合要求的直线和有且只有一对，则只有倾斜角为的直线与双曲线有两交点， 因此双曲线的渐近线的倾斜角满足：， 则，， 所以该双曲线的离心率的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则的值为0 B．若点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，，则 【答案】AB 【解析】选项A，因为三点共线，所以， 因为，， 所以，A正确； 选项B,因为， 所以， 因为直线绕旋转，且与线段相交， 所以从往上转，斜率，从往下转，斜率， 所以斜率范围：，B正确； 选项C，过，在轴截距相等，分两种情况： 当截距不为0时，设过的直线方程为， 将点代入，得到，解得， 则过的直线方程为， 当截距都为0时，直线必过原点，则过的直线方程为，也满足截距相等， 而选项只给出，漏掉，C错误； 选项D， 当，，， 此时，D错误. 10．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】A 选项，直线：，令，得，即无论取何值，直线恒过定点， A 正确； B 选项，圆，即，故圆心，半径， 圆，即，故圆心，半径， 圆心距，，圆心距等于半径和，两圆外切，外切恰有 3 条公切线，B 正确； C 选项，两圆：① ，② , 两式相减，得公共弦所在的直线方程为，C 错误； D 选项，圆，圆心，半径，是切线，由勾股定理，要最小，只需最小， 是原点到直线的距离，， D 正确. 11．（热点）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【解析】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 【答案】 或 【解析】当直线的斜率不存在时，其方程为，此时点到的距离为，点到的距离为，二者不相等，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，整理为一般式得， 由点到直线的距离相等，得 ， 由于，两边同乘得，所以，整理得，即，解得或, 可得直线的方程为即，或即 13．已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】由题可知圆心，半径， 过点作于点，连接， 在中，，所以， 又，所以， 又在直线上，所以， 所以， 所以， 解得，所以的取值范围是. 14．（新情景）伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线． 在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点中心对称； ②恒成立； ③曲线C上任一点到原点的距离不超过； ④当时，取得最大值或最小值． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 在曲线上任取一点，关于原点的对称点为， 代入曲线的方程，可知在曲线上，所以曲线C关于原点中心对称，故①正确； 因为点是轨迹C上一点，所以， 因为，所以，即， 所以，故②正确； 因为，所以， 所以，所以曲线C上任一点到原点的距离不超过，故③正确； 因为，所以， 又，所以，即， 所以，当时等号成立，故④错误， 故答案为：①②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 中，已知，，点为边的中点． (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【解析】（1）因为，点为边的中点，所以有可得， 又因为，所以， 因为是边上的高， 所以有，即，解得， 所以高所在直线的方程为，即．（6分） （2）由（1）知， ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为； ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为． 综上，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．（13分） 16．（15分） 已知圆：； (1)若直线与圆相切，且在轴和轴上的截距相等，求直线的方程. (2)过点的直线与圆交于，两点，线段中点为，求点轨迹方程. 【解析】（1）圆：，化为标准方程可得 得圆心  ， 由直线在轴和轴上的截距相等可假设： ①当相等的截距为0时，设直线：即，由得， 所以直线的方程为：， ②当相等的截距不为0时，设直线，由得或， 所以直线的方程为：或， 综上，直线的方程为：或或；（8分） （2）由是中点，得，又A，P，B，M共线，得， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点， 因为，，所以圆心为，半径为， 则点轨迹方程为．（15分） 17．（15分） 设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【解析】（1）由题意知，，，，所以，， 设，则， 又，有，解得，所以；（6分） （2）显然不满足题意，设直线的方程为，设，， 联立，，解得，① ，，则， 又为锐角，则，即，， 所以， 解得，② 由①②，解得或， 所以实数的取值范围为．（15分） 18．（17分） 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． (1)当点B的坐标为时，求直线的方程； (2)记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； (3)求四边形的面积的取值范围． 【解析】（1）为，，的斜率为，又， 的斜率为，又，∴直线的方程，即；（4分） （2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆：， 可得，设，， 则，又，∴直线为， 令，可得 ， 直线恒过轴上定点；（9分） （3）设圆心到直线的距离平方为，则，即，设圆心到直线的距离平方为， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得 ，， 又，， 四边形的面积，又， 令 因为在上是增函数，，，所以， 即， 四边形的面积的取值范围为．（17分） 19．（17分） 已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. (1)求点的坐标和渐近线方程； (2)以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； (3)对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 【解析】（1）将双曲线化成标准形式为：， 所以， 所以， 所以； 渐近线方程为：；（4分） （2）因此，渐近线方程为：， 设以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切的圆的半径为， 点到直线的距离为， 则， 所以此圆的方程为， 又因为此圆与直线切于点， 所以，又因为， 解得， 所以， 因为直线倾斜角为 ，且， 当时，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为， 即， 所以， 即，无解； 当时，直线的方程为； 综上，直线的方程为；（9分） （3）存在两个不同的点，使得与均以为顶点的等腰三角形，理由如下： 假设存在满足题意的点，则有， 所以的中点重合，且的中垂线重合， 当时，设直线的方程为，， 由，可得， 设，则， ， 所以中点为； 由，得，即； 由，得，即； 所以中点为，由此可得的中点重合，（15分） 所以两直线的中垂线方程为：， 即，由，得， 则， 所以原方程始终有两个不同实数根，即直线与双曲线始终有两个不同交点， 所以此时存在两个不同的点，满足题意；当时，直线的方程为， 此时当为双曲线的左、右顶点时，满足题意；综上，存在两个满足题意的点.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D D A A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABD ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或 13． 14．①②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为，点为边的中点，所以有可得， 又因为，所以， 因为是边上的高， 所以有，即，解得， 所以高所在直线的方程为，即．（6分） （2）由（1）知， ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为； ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为． 综上，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）圆：，化为标准方程可得 得圆心  ， 由直线在轴和轴上的截距相等可假设： ①当相等的截距为0时，设直线：即，由得， 所以直线的方程为：， ②当相等的截距不为0时，设直线，由得或， 所以直线的方程为：或， 综上，直线的方程为：或或；（8分） （2）由是中点，得，又A，P，B，M共线，得， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点， 因为，，所以圆心为，半径为， 则点轨迹方程为．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意知，，，，所以，， 设，则， 又，有，解得，所以；（6分） （2）显然不满足题意，设直线的方程为，设，， 联立，，解得，① ，，则， 又为锐角，则，即，， 所以， 解得，② 由①②，解得或， 所以实数的取值范围为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）为，，的斜率为，又， 的斜率为，又，∴直线的方程，即；（4分） （2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆：， 可得，设，， 则，又，∴直线为， 令，可得 ， 直线恒过轴上定点；（9分） （3）设圆心到直线的距离平方为，则，即，设圆心到直线的距离平方为， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得 ，， 又，， 四边形的面积，又， 令 因为在上是增函数，，，所以， 即， 四边形的面积的取值范围为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）将双曲线化成标准形式为：， 所以， 所以， 所以； 渐近线方程为：；（4分） （2）因此，渐近线方程为：， 设以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切的圆的半径为， 点到直线的距离为， 则， 所以此圆的方程为， 又因为此圆与直线切于点， 所以，又因为， 解得， 所以， 因为直线倾斜角为 ，且， 当时，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为， 即， 所以， 即，无解； 当时，直线的方程为； 综上，直线的方程为；（9分） （3）存在两个不同的点，使得与均以为顶点的等腰三角形，理由如下： 假设存在满足题意的点，则有， 所以的中点重合，且的中垂线重合， 当时，设直线的方程为，， 由，可得， 设，则， ， 所以中点为； 由，得，即； 由，得，即； 所以中点为，由此可得的中点重合，（15分） 所以两直线的中垂线方程为：， 即，由，得， 则， 所以原方程始终有两个不同实数根，即直线与双曲线始终有两个不同交点， 所以此时存在两个不同的点，满足题意；当时，直线的方程为， 此时当为双曲线的左、右顶点时，满足题意；综上，存在两个满足题意的点.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第3章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 2．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（热点）直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（热点）已知直线与平行，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 6．（热点）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则的值为0 B．若点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，，则 10．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 11．（热点）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 13．已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 14．（新情景）伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线． 在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点中心对称； ②恒成立； ③曲线C上任一点到原点的距离不超过； ④当时，取得最大值或最小值． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 中，已知，，点为边的中点． (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16．（15分） 已知圆：； (1)若直线与圆相切，且在轴和轴上的截距相等，求直线的方程. (2)过点的直线与圆交于，两点，线段中点为，求点轨迹方程. 17．（15分） 设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 18．（17分） 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． (1)当点B的坐标为时，求直线的方程； (2)记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； (3)求四边形的面积的取值范围． 19．（17分） 已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. (1)求点的坐标和渐近线方程； (2)以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； (3)对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $