专题02 直线和方程（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

**基本信息** 汇集江苏多地高二期中真题，聚焦直线与方程三大核心考点，通过选择、填空、解答题分层考查倾斜角与斜率、直线方程、交点与距离公式的应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（含多选）|30+题|倾斜角与斜率计算、直线平行垂直关系、充要条件判断|如多选结合直线过定点与参数讨论，考查逻辑推理| |填空|10+题|截距求解、对称点坐标、距离公式应用|如动点与定直线距离最值，体现数学抽象| |解答|15+题|直线方程求法、平行垂直参数计算、三角形面积问题|如含参数直线平行垂直分类讨论，适配期中综合能力考查|

专题02 直线和方程 3大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）经过两点和的直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）过点和点的倾斜角为（       ） A. 45° B. 60° C. 135° D. 150° 4．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知直线，，若，则m的值为（     ） A.  B. 6 C.  D.  5．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分必要条件 6．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）经过点和点的直线的倾斜角是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）经过，两点的直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知直线，，若，则（       ） A.  B. 2 C.  D.  9．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）设，则“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）经过两点的直线斜率为（       ） A. 1 B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A.  B. 2 C.  D. 4 12．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）若三点共线，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  13．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）若直线与直线平行，则实数的值为（       ） A. 或 B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）直线过点，，则的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知直线与平行，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 17．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）与直线相交的直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）若经过两点的直线倾斜角135°，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 2 D. 不存在 20．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知直线与直线，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 21．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）（多选）设，已知两条直线和，则（     ） A. 直线过定点 B. 当时，或 C. 当时， D. 当时，的交点坐标为 22．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（       ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 16 23．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）（多选）已知直线与直线，则下列说法中正确的是（       ） A. 直线恒过第二象限 B. 坐标原点到直线的最大距离为 C. 若，则 D. 若，则或 24．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 25．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）已知直线和， （1）若与平行，求m的值； （2）若与垂直，求m的值． 27．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）若直线与垂直，则　　　　　　　　　　. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D. 或 3．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 4．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）（多选）直线（为实数）的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知直线：在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则实数的值是（     ） A. 6 B.  C. 或1 D. 6或1 6．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）下列说法中正确的是（       ） A. 圆的圆心为，半径为5 B. 若两条直线互相平行，那么它们的倾斜角相等 C. 方程能表示平面内的任何直线 D. 若直线不经过第二象限，则的取值范围是 7．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）过两点的直线在轴上的截距为　　　　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为　　　　　　． 9．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知点，直线. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）若点在直线上，且，求点的坐标. 10．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知直线，点． （1）证明：对任意实数，直线都经过一个定点； （2）设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 11．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知的顶点. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 12．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知直线，. （1）若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的值； （2）若，求与之间的距离. 13．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． （1）求直线的方程； （2）若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 14．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）（1）已知直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的方程. （2）已知直线过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程. 15．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知，动直线：过定点，动直线：过定点.若与交于点（异于点），则面积最大值是　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（       ） A. 0 B.  C. 0或 D. 或 4．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）（多选）已知，直线上有一动点，下列说法正确的是（       ） A. 直线的斜率为 B. 直线的截距式为 C. 关于直线的对称点为 D. 的最大值为 5．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）两条平行线：，：之间的距离等于（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（     ） A.  B.  C.  D. 6 8．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）（多选）下列说法中，正确的有（       ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线之间的距离为2 C. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D. 将直线绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为 10．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. 经过点，的直线方程均可用表示 C. 若对空间中任意一点有\vec {OP}=\frac{2}{3}\vec {OA}-\frac{1}{6}\vec {OB}+\frac{1}{2}\vec {OC}，则，，，四点共面 D. 当点到直线的距离最大时，的值为1 11．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）点关于直线的对称点为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）（多选）已知直线，则下列选项正确的是（       ） A. 直线恒过点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 坐标原点到直线的距离的最大值为 D. 直线与正半轴和负半轴围成的三角形面积的最小值为12 13．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（       ） A.  B. 3 C.  D.  14．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）（多选）已知点在曲线上，点在直线上，则（     ） A. 曲线关于原点对称 B. 点不在第三象限 C. 曲线关于直线对称 D.  15．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，则　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）点关于直线：的对称点的坐标为　　　　　　． 17．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）两条平行直线＝与＝的距离是　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）两条平行直线与之间的距离是　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）两条直线与间的距离为　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程． 21．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为　　　　　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为　　　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 24．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）函数的最大值为　　　　　　　　　　. 25．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 26．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为　　　　　　　　　　. 27．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知点，直线. （1）求过点，且与直线垂直的直线的方程； （2）光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 28．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. （1）求的值； （2）求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； （3）求与平行且到，距离相等的直线的方程. 29．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知的顶点，重心． （1）求线段BC的中点坐标； （2）记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标． 30．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（1）过点作直线的垂线，垂足为. ①求点的坐标； ②求以为直径的圆被轴截得的劣弧的长度； （2）已知点和直线（不同时为零），证明：点到直线的距离. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和方程 3大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）经过两点和的直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用两点确定直线斜率，再利用正切值求倾斜角即可. 【详解】 经过两点和的直线斜率为， 所以该直线的倾斜角为， 故答案为：C 2．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】 因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）过点和点的倾斜角为（       ） A. 45° B. 60° C. 135° D. 150° 【答案】C 【分析】 先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角. 【详解】 由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知直线，，若，则m的值为（     ） A.  B. 6 C.  D.  【答案】B 【分析】 由可知，列式求解即可. 【详解】 因为，所以，即，解得. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分必要条件 【答案】D 【分析】 根据两直线平行的性质，结合充分性、必要性进行判断即可. 【详解】 直线与直线平行， 所以且，解得， 所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件， 故选：D 6．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）经过点和点的直线的倾斜角是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题可得，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可． 【详解】 由题知直线斜率存在，且， 设直线倾斜角为， 则，． 故选：C． 7．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）经过，两点的直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据过两点的直线斜率公式以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】 设直线的倾斜角为，则， 因，故. 故选：A 8．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知直线，，若，则（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 由可得，从而可求解. 【详解】 由题意知，即得，解得，故A正确. 故选：A. 9．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）设，则“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果. 【详解】 因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或． 所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件， 故选：A 10．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）经过两点的直线斜率为（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据斜率公式计算即可. 【详解】 由题意得，经过两点的直线斜率为. 故选：D 11．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A.  B. 2 C.  D. 4 【答案】C 【分析】 利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】 由题意有：， 故选：C. 12．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）若三点共线，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 由三点共线，可知存在唯一实数，使得，根据向量的共线定理，建立方程组即可解得. 【详解】 因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即 ，解得 ， 所以的值为. 故选：A 13．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）若直线与直线平行，则实数的值为（       ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由两直线平行可得，再检验排除重合情况即可得. 【详解】 由题意可得，即，解得或， 当时，两直线方程分别为：，， 此时两直线重合，不符，故舍去； 当时，两直线方程分别为：，，符合； 综上可得：. 故选：C. 14．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）直线过点，，则的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得到倾斜角. 【详解】 因为直线过点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角，则，又，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 15．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角． 【详解】 可化为：， ∴直线的斜率为，设直线的倾斜角，则， ∵，∴． 故选：A． 16．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知直线与平行，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【分析】 利用两直线平行的充要条件列式求解即可. 【详解】 由直线与平行， 得，所以. 故选：D. 17．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角； 【详解】 解：直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以 故选：A 18．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）与直线相交的直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 逐项计算所给直线的斜率，与原直线的斜率比较即可得. 【详解】 直线斜率为； 对A：可化为，故两直线重合，故A错误； 对B：斜率为，故两直线平行，故B错误； 对C：斜率为，故两直线平行，故C错误； 对D：可化为，斜率为， 则两直线相交，故D正确. 故选：D. 19．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）若经过两点的直线倾斜角135°，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 2 D. 不存在 【答案】A 【分析】 由两点的斜率公式与直线倾斜角与斜率的关系式即可列出方程，解出答案. 【详解】 由题意知， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 20．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知直线与直线，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】 当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】 当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 21．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）（多选）设，已知两条直线和，则（     ） A. 直线过定点 B. 当时，或 C. 当时， D. 当时，的交点坐标为 【答案】ACD 【分析】 根据两条直线平行，两条直线垂直和求两条直线的交点等逐项分析即可. 【详解】 直线进行变形， 令 ，解得 ，直线过定点，正确. 当时，，解得或， 当时，直线和，两条直线重合，不符合题意， 当时，直线，，即和，两条直线平行，因此仅当时，，错误 . 当时，直线和，此时， 当时，，正确. 当时，直线和，联立方程组 ，解得 ， 当时，的交点坐标为，正确. 故选：ACD. 22．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（       ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 16 【答案】B 【详解】由已知两直线平行得出满足的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意，，即， ∴，当且仅当，即（满足是正整数）时等号成立． ∴的最小值是9． 故选：B． 【点睛】本题考查两直线平行的条件，考查用基本不等式求最值．在用基本不等式求最值时，注意其条件：一正二定三相等，其中定值有时需要凑配，“1”的代换是常用方法． 23．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）（多选）已知直线与直线，则下列说法中正确的是（       ） A. 直线恒过第二象限 B. 坐标原点到直线的最大距离为 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】AB 【分析】 利用分离参数法判断A；利用点到直线距离和两点距离知识判断B；利用两直线垂直充要条件判断C；利用两直线平行的充要条件判断D. 【详解】 对于A，将直线变形为. 令 ，解得 ， 即直线恒过定点，该点在第二象限，所以直线恒过第二象限，A选项正确； 对于B，因为直线恒过定点， 坐标原点到直线的最大距离就是原点到定点的距离， 根据两点间距离公式，则，B选项正确； 对于C，若，对于直线和， 根据两直线垂直的条件，可得，解得，C选项错误； 对于D，若，则， 由，可得，解得或， 当时，直线，，满足题意； 当时，直线，，不满足题意，舍去， 所以，则，故D错误. 故选：AB 24．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】 设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\left(6,-8\right)\cdot \left(x+1,-9\right)=6x+78=0，解得； 若为直角，则\vec {BA}\cdot \vec {BC}=\left(-6,8\right)\cdot \left(x-5,-1\right)=-6x+22=0，解得； 若为直角，则\vec {CA}\cdot \vec {CB}=\left(-1-x,9\right)\cdot \left(5-x,1\right)=x^{2}-4x+4=\left(x-2\right)^{2}=0，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 25．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出直线所过定点，再分别计算出该点与、连线的斜率后作图即可得. 【详解】 令 ，解得 ，则直线过定点， 有，，如图所示： 则的倾斜角范围为. 故选：D. 26．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）已知直线和， （1）若与平行，求m的值； （2）若与垂直，求m的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． (1) 小问详解： 若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. (2) 小问详解： 当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 27．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）若直线与垂直，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线垂直关系即得. 【详解】 由题意可得，解得. 故答案为：. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将直线化为斜截式，结合其不经过的象限列不等式求参数范围. 【详解】 由题设不经过第四象限， 则 . 故选：B 2．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】 因为直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等， 当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为， 代入得，此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有 ，解得，此时直线的方程为； 综上所述：所求直线的方程为或. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 根据题意可得交点，再由方向向量可得直线斜率，接着求出直线方程即可． 【详解】 联立方程 ，直线过点， 又为直线的一个方向向量，则直线斜率为1， 直线，当，，即在轴上的截距为． 故选：A 4．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）（多选）直线（为实数）的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 根据直线的图象特征，根据的不同取值，判断选项. 【详解】 直线（为实数）过点，故排除D， 当时，为A选项的图象，当时，为B选项的图象，当为C选项的图象. 故选：ABC 5．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知直线：在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则实数的值是（     ） A. 6 B.  C. 或1 D. 6或1 【答案】C 【分析】 根据直线的一般式方程，求出直线在轴与轴上的截距，注意计算时不随意约分，造成漏解. 【详解】 由题可知若，则直线在轴上的截距不存在，不符合题意，因此. 令，得直线在轴上的截距为；令，得直线在轴上的截距为, ,解得或. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）下列说法中正确的是（       ） A. 圆的圆心为，半径为5 B. 若两条直线互相平行，那么它们的倾斜角相等 C. 方程能表示平面内的任何直线 D. 若直线不经过第二象限，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】 通过方程配方可得圆的圆心和半径判断A项；利用直线的倾斜角定义可判断B项；通过直线是否平行于坐标轴分类讨论可判断C项；通过直线的斜截式方程的理解应用可判断D项. 【详解】 对于A，由圆配方得，故圆心为，半径为 ，故A错误； 对于B，若两条直线互相平行，则它们与轴的所成角相等，故倾斜角相等，即B正确； 对于C，当直线可化为，为直线的两点式方程，表示不平行于坐标轴的直线； 当，直线可化为，表示平行于y轴的直线； 当，直线可化为，表示平行于x轴的直线； 所以方程能表示平面内的任何直线，故C正确； 对于D，若直线不经过第二象限，则 ，解得，故D正确. 故选：BCD 7．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）过两点的直线在轴上的截距为　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求直线斜率，再根据点斜式得到直线方程求出截距即可． 【详解】 ， 则直线的方程为，即， 当时，， 则直线在轴上的截距为． 故答案为：． 8．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分截距为0和不为0两种情况，设出方程，代入求解即可. 【详解】 当截距为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 9．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知点，直线. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）若点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. (1) 小问详解： 设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. (2) 小问详解： 因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 10．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知直线，点． （1）证明：对任意实数，直线都经过一个定点； （2）设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1） 因为直线， 所以， 因为， 所以 ，解得 ， 所以对任意实数，直线都经过一个定点.     （2）      【分析】 （1）将化为，建立方程组即可求解； （2）分别表示出，两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可解得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为直线经过的定点，由（1）可知的坐标为， 又因为为线段的中点，则，即， 则，则直线的方程为：，即为. 11．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知的顶点. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出中点坐标后结合点坐标计算即可得； （2）求出直线的斜率后由高的性质可得直线斜率，结合点坐标计算即可得； (1) 小问详解： 由，有， 故中点的坐标为，又， 则，即； (2) 小问详解： 由，则， 由为边上的高，故，则， 故，即. 12．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知直线，. （1）若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的值； （2）若，求与之间的距离. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分别讨论与时在轴上的截距情况，根据已知截距的等量关系可构造方程求得结果； （2）利用两直线平行可构造方程求得的值，结合平行直线间距离公式可求得结果. (1) 小问详解： 由题意知在轴上的截距为； 当时，，其在轴上无截距，不合题意； 当时，，则在轴上的截距为， ，解得； 综上所述：. (2) 小问详解： ，，解得：， ，即， 与之间的距离. 13．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． （1）求直线的方程； （2）若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 【答案】（1）     （2） 因为 ，所以 ，即. 设，则 ，所以 ，即. 因为，所以点在轴上.      【分析】 （1）由，求得直线的斜率，利用点斜式求出方程； （2）联立直线与直线的方程求出点，利用中点坐标公式求解. (1) 小问详解： 因为，即，所以直线的斜率为. 设直线的斜率为，因为， 所以，所以. 所以直线的方程，即. (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）（1）已知直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的方程. （2）已知直线过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 (1)根据给定条件求出，进而求出即可求得直线l的方程. (2)根据给定条件可得直线l的斜率存在且不为0，设出其方程，再结合三角形面积计算作答. (1) 小问详解： 直线的倾斜角，则， 于是得直线的斜率，而直线过点，则，整理得， 所以直线的方程是：. (2) 小问详解： 依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为：， 则直线交x轴于，交y轴于， 于是得面积， 即或，方程，即，无 解， 解，即，得或， 当时，直线方程是：，当时，直线方程是：， 所以直线的方程是：或. 15．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知，动直线：过定点，动直线：过定点.若与交于点（异于点），则面积最大值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，分别求得定点和，由两直线垂直的判定方法，求得，得到点在以为直径的圆上，求得，结合基本不等式，即可求得的面积的最大值，得到答案. 【详解】 由直线，令，可得，所以直线恒过定点， 由直线，得，所以直线恒过定点， 因为和的直线方程，满足，所以， 又因为和交于点，所以点在以为直径的圆上（除去点和）， 由，可得， 则直角的面积， 当且仅当时，等号成立，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 16．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程． 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用直线是否经过原点分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. (1) 小问详解： 由直线可得斜率为 根据垂直关系，可设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，整理得； (2) 小问详解： 联立 ，解得 ，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意 ，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 作图，找到M关于x轴对称点是，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N与x轴交于P点，此时，取最小值，且，此时根据直线方程求出P点即可 【详解】 如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，而直线M’N的方程为，化简得，，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为 答案选：C 【点睛】 本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题 2．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】 由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 3．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（       ） A. 0 B.  C. 0或 D. 或 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】 由题意可得，即， 解得或 故选：D. 4．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）（多选）已知，直线上有一动点，下列说法正确的是（       ） A. 直线的斜率为 B. 直线的截距式为 C. 关于直线的对称点为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【分析】 利用两点斜率公式可判定A，利用截距式方程可判定B，利用中点坐标公式结合两直线垂直可求对称点判定C，利用二次函数的性质可判定D. 【详解】 易知，故A正确； 由可知直线的截距式为，故B错误； 设原点关于直线的对称点为，则在直线上， 且原点与其对称点连线与直线垂直，即 ，解之得 ，故C正确； 易知，则，时取等号，故D正确. 故选：ACD 5．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）两条平行线：，：之间的距离等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】 直线：，即，而与直线：平行， 所以所求距离. 故选：A 6．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设对称点的坐标为，由题意可得 ，求解即可. 【详解】 设对称点的坐标为， 由题意可得 ，解得 ， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C 7．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（     ） A.  B.  C.  D. 6 【答案】C 【分析】 利用中点坐标公式求AB中点，再用两点间距离公式即可求解. 【详解】 设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为D & & (3,3)， 则边上的中线长即为CD长度， 根据两点间距离公式可知：， 故边上的中线长为& \sqrt{26}. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】 ， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 9．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）（多选）下列说法中，正确的有（       ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线之间的距离为2 C. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D. 将直线绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为 【答案】AD 【分析】 对于A，转化成截距式即可判定；对于B，用两平行线之间距离公式即可判定；对于C，举反例即可判定；对于D，通过倾斜角的正切值为斜率，从而求旋转后的倾斜角，进而求斜率即可判定. 【详解】 对于A：直线写成截距式为& y=\frac{1}{2}x-2，易知在轴上的截距为，故A正确； 对于B：直线与直线之间的距离为，故B错误； 对于C：当直线过点，且在轴，轴上的截距都为0时的直线方程为，故C错误； 对于D：直线的倾斜角为& 60^{\text{°}}，若绕原点逆时针旋转& 60^{\text{°}}， 则旋转后的直线倾斜角为120°，此时斜率为， 故所得到的直线为，故D正确； 故选：AD. 10．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. 经过点，的直线方程均可用表示 C. 若对空间中任意一点有\vec {OP}=\frac{2}{3}\vec {OA}-\frac{1}{6}\vec {OB}+\frac{1}{2}\vec {OC}，则，，，四点共面 D. 当点到直线的距离最大时，的值为1 【答案】ABC 【分析】 根据方向向量和斜率的关系判断选项A；分别讨论斜率存在时，垂直于轴和垂直于轴的情况是否可以用表示，判断选项B；对给定向量关系进行化简变形，得出4\vec {PA}+3\vec {PC}=\vec {PB}，从而得出4点共面，判断选项C；分析直线所过定点，再根据几何关系求出的值，判断选项D. 【详解】 对于A，因是直线的一个方向向量，故该直线的斜率为，故A正确； 对于B，当时，经过点，的直线方程为， 即； 若，，则直线方程为，此时，， 因为，所以，故可以用表示； 若，，则直线方程为，此时，， 因为，所以，故可以用表示，故B正确； 对于C，因为\vec {OP}=\frac{2}{3}\vec {OA}-\frac{1}{6}\vec {OB}+\frac{1}{2}\vec {OC}，所以6\vec {OP}=4\vec {OA}-\vec {OB}+3\vec {OC}， 所以4\left(\vec {OA}-\vec {OP}\right)-\left(\vec {OB}-\vec {OP}\right)+3\left(\vec {OC}-\vec {OP}\right)=\vec {0}，即4\vec {PA}+3\vec {PC}=\vec {PB}， 所以四点共面，故C正确； 对于D，将直线方程变形为，由 得 ， 直线过定点，斜率为. 当直线与垂直时，点到直线的距离最大. 因为故，故D错误. 故选：ABC. 11．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）点关于直线的对称点为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设出点关于直线的对称点，求出的中点，然后利用的中点在直线上且直线与垂直，列出方程组求解即可. 【详解】 设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以 ，化简得 ，则 ， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B 12．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）（多选）已知直线，则下列选项正确的是（       ） A. 直线恒过点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 坐标原点到直线的距离的最大值为 D. 直线与正半轴和负半轴围成的三角形面积的最小值为12 【答案】ACD 【分析】 对A：令的系数为计算即可得；对B：结合垂直性质计算即可得；对C：当定点为垂足时，距离取最大值，计算即可得；对D：求出两截距后计算即可得. 【详解】 对A：可化为， 令 ，解得 ，故直线恒过点，故A正确； 对B：由直线斜率为，则有，解得，故B错误； 对C：由直线恒过点，则当为垂足时， 原点到直线的距离的取最大值，此时距离为， 故坐标原点到直线的距离的最大值为，故C正确； 对D：令，则，令，则， 由题意可得，，故, 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 13．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（       ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】 联立 ，可得 ，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 14．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）（多选）已知点在曲线上，点在直线上，则（     ） A. 曲线关于原点对称 B. 点不在第三象限 C. 曲线关于直线对称 D.  【答案】BCD 【分析】 根据曲线方程判断、是否都在曲线上判断A，若在第三象限，则，代入曲线判断B，利用点关于直线对称求出对称点，判断两点是否能同时在曲线上判断C，首先判断直线、与曲线的位置关系，再应用平行线的距离判断D. 【详解】 若为曲线上任意一点，即， 对于点，代入曲线方程左侧有，A错， 若在第三象限，则，故， 所以，显然不满足方程，B对， 若任意点在曲线上，则， 设关于的对称点为， 所以在直线上，则，且， 所以 ，可得 ，将代入曲线方程左侧， 所以满足曲线方程，C对， 对于直线，其图象上的点代入曲线方程的左侧，则， 所以直线上的点均不在曲线上，且位于曲线左下方， 对于直线，其图象上的点代入曲线方程的左侧，则， 所以直线上的点均不在曲线上，且位于曲线左下方， 综上，直线、直线在曲线的同一侧，如下示意图， 而与的距离，而点在曲线上，点在直线上， 所以，D对. 故选：BCD 15．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据两条平行直线的距离公式计算. 【详解】 由题意得，，得. 故答案为： 16．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）点关于直线：的对称点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 设点的坐标为，由题意得到 求解即可. 【详解】 设点的坐标为， 由题意可得： ，解得： ， 即对称点的坐标为， 故答案为： 17．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）两条平行直线＝与＝的距离是　　　　　　　　. 【答案】 【详解】将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】 可将直线＝化为， 所以两条平行直线间的距离为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查平行线间距离公式，属于基础题. 18．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）两条平行直线与之间的距离是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 借助两平行线距离公式计算即可得. 【详解】 由题意得可化为， 则两平行线间距离. 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）两条直线与间的距离为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】 . 故答案为： 20．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程． 【答案】和 【分析】 依题意，由方程组 可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程. 【详解】 解：联立方程组 ，解得 . 所以平行四边形的顶点. 设，由题意知点是线段的中点， 所以 ， 解得 ，所以. 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和 21．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由两点的距离公式，即可解出答案. 【详解】 设，则， ， 故答案为：. 22．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有4个，则，然后解不等式即可. 【详解】 圆心到直线的距离，又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有个， 所以，即，解得. 故答案为： 23．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据垂直关系求出的直线方程，然后与平分线所在的直线联立即可求解； （2）根据对称关系求出点关于平分线所在直线的对称点，然后根据点的对称点和点坐标即可求解. (1) 小问详解： 设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立 ，解得 ， 即点的坐标为. (2) 小问详解： 设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即 ，解得 ，所以， ，所以直线的方程为，即. 24．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）函数的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】 表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 25．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1）根据高线的性质，结合互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. (1) 小问详解： ∵，， ∴AB的斜率， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为， (2) 小问详解： 直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积. 26．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】 因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 27．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知点，直线. （1）求过点，且与直线垂直的直线的方程； （2）光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）：     （2）      【分析】 （1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. (1) 小问详解： 因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. (2) 小问详解： 设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 28．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. （1）求的值； （2）求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； （3）求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. (1) 小问详解： 因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； (2) 小问详解： 由直线与的方程联立方程组 ，解得 . 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. (3) 小问详解： 直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 29．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知的顶点，重心． （1）求线段BC的中点坐标； （2）记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 第一问根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为，可得对应的共线向量解决求的中点；根据求，设点的坐标，根据的中点可以用表示，根据点在上且点在上，求出点的坐标，根据与垂直求出的方程，然后联立与. (1) 小问详解： 设中点， 因为为的重心，且， 所以\vec {AG}=2\vec {GM}，即 所以 ，所以中点 (2) 小问详解： 因为的方程为，且为的垂心 所以即，所以 所以直线的方程为：，即 所以设点，又因为的中点，设则 即 又因为点在直线上，即，所以 所以，所以，则边上的高线为 而点也在直线：上，所以点的坐标即为与的交点 即. 30．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（1）过点作直线的垂线，垂足为. ①求点的坐标； ②求以为直径的圆被轴截得的劣弧的长度； （2）已知点和直线（不同时为零），证明：点到直线的距离. 【答案】（1）①；②； （2）法一：设，过点作直线的垂线，垂足为， 则过点和直线垂直的直线方程为. 联立 ，解得 ， 所以点的坐标为. 所以 当时， . 当时， . 所以点到直线的距离. 法二：过点作，垂足为. 当时， 过点分别作轴､轴的垂线， 分别与相交于. 由， 得， 所以， 因为是斜边上的高， 所以， 即点到直线的距离. 当时， . 当时， . 综上，点到直线的距离. 【分析】 （1）① 求得直线的方程，联立方程求解即可；② 求得圆的方程，由勾股定理可得，计算即可求解； （2）方法一：求得过点和直线垂直的直线方程，联立方程组求得交点坐标，由平面中两点间的距离公式即可得证；方法二：过点分别作轴､轴的垂线，分别与相交于，由等面积法计算即可得证. 【详解】 （1）① 因为直线的斜率， 所以其垂线的斜率， 所以直线的方程为. 联立 ，解得. ② 因为， 所以以为直径的圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 设圆与轴交于两点，则， 所以， 所以，所以所求弧长为. （2）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．C 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A 9．A 10．D 11．C 12．A 13．C 14．D 15．A 16．D 17．A 18．D 19．A 20．A 21．ACD 22．B 23．AB 24．C 25．D 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． (1) 小问详解： 若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. (2) 小问详解： 当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 27．【答案】 【分析】 根据直线垂直关系即得. 【详解】 由题意可得，解得. 故答案为：. 考点02 直线的方程 1．B 2．D 3．A 4．ABC 5．C 6．BCD 7．【答案】 【分析】 先求直线斜率，再根据点斜式得到直线方程求出截距即可． 【详解】 ， 则直线的方程为，即， 当时，， 则直线在轴上的截距为． 故答案为：． 8．【答案】或 【分析】 分截距为0和不为0两种情况，设出方程，代入求解即可. 【详解】 当截距为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. (1) 小问详解： 设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. (2) 小问详解： 因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 10．【答案】（1） 因为直线， 所以， 因为， 所以 ，解得 ， 所以对任意实数，直线都经过一个定点.     （2）      【分析】 （1）将化为，建立方程组即可求解； （2）分别表示出，两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可解得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为直线经过的定点，由（1）可知的坐标为， 又因为为线段的中点，则，即， 则，则直线的方程为：，即为. 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出中点坐标后结合点坐标计算即可得； （2）求出直线的斜率后由高的性质可得直线斜率，结合点坐标计算即可得； (1) 小问详解： 由，有， 故中点的坐标为，又， 则，即； (2) 小问详解： 由，则， 由为边上的高，故，则， 故，即. 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分别讨论与时在轴上的截距情况，根据已知截距的等量关系可构造方程求得结果； （2）利用两直线平行可构造方程求得的值，结合平行直线间距离公式可求得结果. (1) 小问详解： 由题意知在轴上的截距为； 当时，，其在轴上无截距，不合题意； 当时，，则在轴上的截距为， ，解得； 综上所述：. (2) 小问详解： ，，解得：， ，即， 与之间的距离. 13．【答案】（1）     （2） 因为 ，所以 ，即. 设，则 ，所以 ，即. 因为，所以点在轴上.      【分析】 （1）由，求得直线的斜率，利用点斜式求出方程； （2）联立直线与直线的方程求出点，利用中点坐标公式求解. (1) 小问详解： 因为，即，所以直线的斜率为. 设直线的斜率为，因为， 所以，所以. 所以直线的方程，即. (2) 小问详解： 略 14．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 (1)根据给定条件求出，进而求出即可求得直线l的方程. (2)根据给定条件可得直线l的斜率存在且不为0，设出其方程，再结合三角形面积计算作答. (1) 小问详解： 直线的倾斜角，则， 于是得直线的斜率，而直线过点，则，整理得， 所以直线的方程是：. (2) 小问详解： 依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为：， 则直线交x轴于，交y轴于， 于是得面积， 即或，方程，即，无 解， 解，即，得或， 当时，直线方程是：，当时，直线方程是：， 所以直线的方程是：或. 15．【答案】 【分析】 根据题意，分别求得定点和，由两直线垂直的判定方法，求得，得到点在以为直径的圆上，求得，结合基本不等式，即可求得的面积的最大值，得到答案. 【详解】 由直线，令，可得，所以直线恒过定点， 由直线，得，所以直线恒过定点， 因为和的直线方程，满足，所以， 又因为和交于点，所以点在以为直径的圆上（除去点和）， 由，可得， 则直角的面积， 当且仅当时，等号成立，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 16．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用直线是否经过原点分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. (1) 小问详解： 由直线可得斜率为 根据垂直关系，可设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，整理得； (2) 小问详解： 联立 ，解得 ，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意 ，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．C 2．AC 3．D 4．ACD 5．A 6．C 7．C 8．C 9．AD 10．ABC 11．B 12．ACD 13．BCD 14．BCD 15．【答案】 【分析】 根据两条平行直线的距离公式计算. 【详解】 由题意得，，得. 故答案为： 16．【答案】 【分析】 设点的坐标为，由题意得到 求解即可. 【详解】 设点的坐标为， 由题意可得： ，解得： ， 即对称点的坐标为， 故答案为： 17．【答案】 【详解】将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】 可将直线＝化为， 所以两条平行直线间的距离为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查平行线间距离公式，属于基础题. 18．【答案】 【分析】 借助两平行线距离公式计算即可得. 【详解】 由题意得可化为， 则两平行线间距离. 故答案为：. 19．【答案】 【分析】 根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】 . 故答案为： 20．【答案】和 【分析】 依题意，由方程组 可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程. 【详解】 解：联立方程组 ，解得 . 所以平行四边形的顶点. 设，由题意知点是线段的中点， 所以 ， 解得 ，所以. 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和 21．【答案】 【分析】 由两点的距离公式，即可解出答案. 【详解】 设，则， ， 故答案为：. 22．【答案】 【分析】 先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有4个，则，然后解不等式即可. 【详解】 圆心到直线的距离，又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有个， 所以，即，解得. 故答案为： 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据垂直关系求出的直线方程，然后与平分线所在的直线联立即可求解； （2）根据对称关系求出点关于平分线所在直线的对称点，然后根据点的对称点和点坐标即可求解. (1) 小问详解： 设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立 ，解得 ， 即点的坐标为. (2) 小问详解： 设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即 ，解得 ，所以， ，所以直线的方程为，即. 24．【答案】 【分析】 根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】 表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1）根据高线的性质，结合互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. (1) 小问详解： ∵，， ∴AB的斜率， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为， (2) 小问详解： 直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积. 26．【答案】 【分析】 确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】 因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 27．【答案】（1）：     （2）      【分析】 （1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. (1) 小问详解： 因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. (2) 小问详解： 设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 28．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. (1) 小问详解： 因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； (2) 小问详解： 由直线与的方程联立方程组 ，解得 . 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. (3) 小问详解： 直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 第一问根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为，可得对应的共线向量解决求的中点；根据求，设点的坐标，根据的中点可以用表示，根据点在上且点在上，求出点的坐标，根据与垂直求出的方程，然后联立与. (1) 小问详解： 设中点， 因为为的重心，且， 所以\vec {AG}=2\vec {GM}，即 所以 ，所以中点 (2) 小问详解： 因为的方程为，且为的垂心 所以即，所以 所以直线的方程为：，即 所以设点，又因为的中点，设则 即 又因为点在直线上，即，所以 所以，所以，则边上的高线为 而点也在直线：上，所以点的坐标即为与的交点 即. 30．【答案】（1）①；②； （2）法一：设，过点作直线的垂线，垂足为， 则过点和直线垂直的直线方程为. 联立 ，解得 ， 所以点的坐标为. 所以 当时， . 当时， . 所以点到直线的距离. 法二：过点作，垂足为. 当时， 过点分别作轴､轴的垂线， 分别与相交于. 由， 得， 所以， 因为是斜边上的高， 所以， 即点到直线的距离. 当时， . 当时， . 综上，点到直线的距离. 【分析】 （1）① 求得直线的方程，联立方程求解即可；② 求得圆的方程，由勾股定理可得，计算即可求解； （2）方法一：求得过点和直线垂直的直线方程，联立方程组求得交点坐标，由平面中两点间的距离公式即可得证；方法二：过点分别作轴､轴的垂线，分别与相交于，由等面积法计算即可得证. 【详解】 （1）① 因为直线的斜率， 所以其垂线的斜率， 所以直线的方程为. 联立 ，解得. ② 因为， 所以以为直径的圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 设圆与轴交于两点，则， 所以， 所以，所以所求弧长为. （2）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $