圆锥曲线的离心率专题强化练-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

专题强化练3　圆锥曲线的离心率 1.设椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆E上,若椭圆E的离心率e满足PF1=ePF2,则e的取值范围为(　　) A.(0,-1]　　　　B. C.　　　　D.[-1,1) 2.(创新题·新考法)若函数y=x+的图象是以直线y=x和直线x=0为渐近线的双曲线,设它的离心率为e,则e2=(　　) A.　　　　B.2　　　　C.4-2　　　　D.1+ 3.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,双曲线C上的两点A,B关于原点对称,且满足·=0,FB<FA≤3FB,则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A.　　　　B.[,+∞) C.　　　　D.(,+∞) 4.已知F1,F2,B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点和上顶点,连接BF1并延长交椭圆C于点P,若△PF2B为等腰三角形,则椭圆C的离心率为　　　　.  5.已知椭圆方程为+=1(a>b>0),若该椭圆的内接矩形的面积的范围是,则椭圆离心率的范围是　　　　　　.  6.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),斜率为-的直线与E的左、右两支分别交于A,B两点,点P的坐标为(-1,1),直线AP交E于另一点C,直线BP交E于另一点D.若直线CD的斜率为-,则E的离心率为　　　　.  7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上且∠F1PF2=,直线PF1的平行线OQ与∠F1PF2的平分线交于点Q,OQ=b,则椭圆C的离心率为　　　　.  8.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|为“曼哈顿距离”.若d(O,P)=2,则点P的轨迹所围成图形的面积为　　　　,若椭圆C:+y2=1(a>0)上有且仅有8个点P满足d(O,P),则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　.   9.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,且PF2⊥x轴,过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线,与直线PF1交于点A,若点A在圆O:x2+y2=a2上,则C的离心率为　　　　.  答案与分层梯度式解析 专题强化练3　圆锥曲线的离心率 1.D 2.C 3.A 1.D　由椭圆定义可得PF1+PF2=2a,又PF1=ePF2, 所以(1+e)PF2=2a,即PF2=, 因为a-c≤PF2≤a+c,所以a-c≤≤a+c, 故1-e≤≤1+e,又0<e<1,所以-1≤e<1. 2.C　由题意知两条渐近线之间的夹角为, 设渐近线与实轴之间的夹角为θ, 则2θ=,所以θ=,则tan===, 由tan==1,解得tan=-1或tan=--1(舍),故=-1,所以e2=4-2. 3.A　不妨设点B在第一象限内,则点A在第三象限内,如图所示: 设双曲线的左焦点为F1,连接F1A,F1B,由双曲线的对称性可知,四边形AFBF1为平行四边形, 又·=0,所以FA⊥FB,所以平行四边形AFBF1为矩形,故AB=FF1=2c, 设AF1=n,AF=m,则BF=n,m-n=2a, 在Rt△ABF中,m2+n2=4c2,所以2mn=4c2-4a2=4b2,则mn=2b2, 所以==+, 令=t,则t+=, 由FB<FA≤3FB,得=t∈(1,3], 易知y=t+在(1,3]上单调递增,所以=t+∈, 所以∈,即+1∈,则∈,故∈, 所以e==∈,所以双曲线C的离心率的取值范围是. 4.答案　 解析　若△PF2B为等腰三角形,则PB=PF2,易知PF1+PF2=BF1+BF2=2a,BF1=BF2=a,PB=PF1+BF1, 设PF1=m,则PB=a+m,PF2=2a-m,所以a+m=2a-m,解得m=, 在Rt△BF1O中,易得cos∠BF1O=, 在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠PF1F2==, 又cos∠PF1F2+cos∠BF1O=0,所以=,整理得3c2=a2, 则e==. 5.答案　 解析　不妨设矩形为ABCD,对角线AC所在直线的方程为y=kx(k>0), 联立解得x2=,y2=, 所以矩形ABCD的面积S=4|xy|==≤=2ab,当且仅当k=时取等号, 所以b2≤2ab≤b2,则b≤a≤b,即b2≤a2≤b2, 所以(a2-c2)≤a2≤(a2-c2),所以≤≤, 所以≤e2≤, 又0<e<1,所以≤e≤, 故椭圆离心率的范围是. 6.答案　 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(xM,yM), 则两式相减得=·=·=-,所以yM=-xM①, 设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为N(xN,yN), 同理得yN=-xN②, 因为kAB=kCD,所以AB∥CD,则P,M,N三点共线, 所以=,将①②代入得=,即(xM-xN)·=0, 所以a2=9b2=9(c2-a2),即9c2=10a2,所以e==. 7.答案　 解析　设P在第一象限内,∠F1PF2的平分线交x轴于点M, 延长OQ与PF2交于点N(图略),易知N为PF2的中点,QN=ON-OQ=PF1-b, ∵OQ∥PF1,∴∠F1PQ=∠OQM=∠PQN, ∵∠F1PQ=∠NPQ,∴∠PQN=∠NPQ, ∴PN=QN=PF2=PF1-b,即PF1-PF2=2b, 又∵PF1+PF2=2a,∴PF1=a+b,PF2=a-b, 在△PF1F2中,由余弦定理得F1=P+P-2PF1·PF2·cos∠F1PF2, 即4c2=(a+b)2+(a-b)2-2(a+b)(a-b)×, ∴a2+3(a2-c2)=4c2,∴=,即椭圆C的离心率为. 8.答案　8; 解析　设P(x,y),则d(O,P)=|x|+|y|=2, 若x>0,y>0,则x+y=2;若x>0,y≤0,则x-y=2; 若x≤0,y>0,则-x+y=2;若x≤0,y≤0,则-x-y=2, 由此画出点P的轨迹如图中正方形所示, 由图可知点P的轨迹所围成图形的面积为×2×2×4=8. 由椭圆C:+y2=1(a>0),得b=1,a≠1, 要使椭圆C:+y2=1(a>0)上有且仅有8个点P满足d(O,P)=|x|+|y|=2, 则根据对称性可知,方程组有两个解,且0<a<2,a≠1, 所以+(-x+2)2=1,整理得(a2+1)x2-4a2x+3a2=0, 则Δ=16a4-12a2(a2+1)=4a2(a2-3)>0,所以a2>3,又0<a<2,a≠1,所以3<a2<4,即<=<, 所以e===∈. 9.答案　 解析　由题意知F2(c,0),将x=c代入-=1, 得-=1,则y=±,即PF2=, 由PF2⊥x轴可知P在双曲线右支上,则PF1-PF2=2a,故PF1=2a+. 由题意知PA=PF2,即PA=,又PF1=PA+AF1=2a+,所以AF1=2a, 由点A在圆O:x2+y2=a2上,得OA=a, 又OF1=c,所以cos∠PF1F2==, 在△AOF1中,OA2=O+A-2OF1·AF1cos∠PF1F2, 即a2=c2+4a2-2c·2a·,又b2=c2-a2, 所以3a4-4a2c2+c4=0,即e4-4e2+3=0,又e>1, 所以e=, 即C的离心率为. 解题技法 求椭圆或双曲线的离心率的方法 (1)定义法:由已知条件列出关于a,c的式子或找出a,b,c之间的关系,求得a,c的值,再代入e=求解. (2)齐次式法:由已知条件,结合a2,b2,c2之间的关系列出关于a,c的式子,然后两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的式子求解. (3)特殊值法:通过取特殊位置或特殊值,求得离心率. 注意:椭圆中e的范围是(0,1),双曲线中e的范围是(1,+∞). 10 学科网（北京）股份有限公司 $$