圆锥曲线的离心率专题强化练-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

专题强化练3　圆锥曲线的离心率

1.设椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆E上,若椭圆E的离心率e满足PF1=ePF2,则e的取值范围为(　　)

A.(0,-1]　　　　B.

C.　　　　D.[-1,1)

2.(创新题·新考法)若函数y=x+的图象是以直线y=x和直线x=0为渐近线的双曲线,设它的离心率为e,则e2=(　　)

A.　　　　B.2　　　　C.4-2　　　　D.1+

3.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,双曲线C上的两点A,B关于原点对称,且满足·=0,FB<FA≤3FB,则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)

A.　　　　B.[,+∞)

C.　　　　D.(,+∞)

4.已知F1,F2,B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点和上顶点,连接BF1并延长交椭圆C于点P,若△PF2B为等腰三角形,则椭圆C的离心率为　　　　. 

5.已知椭圆方程为+=1(a>b>0),若该椭圆的内接矩形的面积的范围是,则椭圆离心率的范围是　　　　　　. 

 

 

6.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),斜率为-的直线与E的左、右两支分别交于A,B两点,点P的坐标为(-1,1),直线AP交E于另一点C,直线BP交E于另一点D.若直线CD的斜率为-,则E的离心率为　　　　. 

7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上且∠F1PF2=,直线PF1的平行线OQ与∠F1PF2的平分线交于点Q,OQ=b,则椭圆C的离心率为　　　　. 

 

8.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|为“曼哈顿距离”.若d(O,P)=2,则点P的轨迹所围成图形的面积为　　　　,若椭圆C:+y2=1(a>0)上有且仅有8个点P满足d(O,P),则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　.  

 

9.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,且PF2⊥x轴,过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线,与直线PF1交于点A,若点A在圆O:x2+y2=a2上,则C的离心率为　　　　. 

答案与分层梯度式解析

专题强化练3　圆锥曲线的离心率

1.D　由椭圆定义可得PF1+PF2=2a,又PF1=ePF2,

所以(1+e)PF2=2a,即PF2=,

因为a-c≤PF2≤a+c,所以a-c≤≤a+c,

故1-e≤≤1+e,又0<e<1,所以-1≤e<1.

2.C　由题意知两条渐近线之间的夹角为,

设渐近线与实轴之间的夹角为θ,

则2θ=,所以θ=,则tan===,

由tan==1,解得tan=-1或tan=--1(舍),故=-1,所以e2=4-2.

3.A　不妨设点B在第一象限内,则点A在第三象限内,如图所示:

设双曲线的左焦点为F1,连接F1A,F1B,由双曲线的对称性可知,四边形AFBF1为平行四边形,

又·=0,所以FA⊥FB,所以平行四边形AFBF1为矩形,故AB=FF1=2c,

设AF1=n,AF=m,则BF=n,m-n=2a,

在Rt△ABF中,m2+n2=4c2,所以2mn=4c2-4a2=4b2,则mn=2b2,

所以==+,

令=t,则t+=,