宁夏六盘山高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

宁夏六盘山高级中学 2026-2027学年第一学期高二第一次月考测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：张艳萍 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D A C B 题号 7 8 9 10 11 12 答案 D B ACD AC ＢＣ ＡＢＤ 1．已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2．已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 3．在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 4．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 5．如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算性质进行求解即可. 【详解】 . 故选：C 6．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 7．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式可得边的中点坐标为，可得边上的中线的斜率，由点斜式可得边上的中线所在直线的方程. 【详解】因为， 设边的中点为，则，即， 又，所以， 故边上的中线所在直线的方程为，即． 故选：D. 8．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题直线过定点，作图，数形结合求解即可. 【详解】因为直线恒过定点，且， 要使得直线与线段相交由图可知，则或. 所以的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】ACD 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D正确. 10．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 11．已知直线l在x轴上的截距为1，且点到l的距离相等，则l的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，确定直线的特征，再按是否垂直于轴分类求解. 【详解】由直线在x轴上的截距为1，得直线过点， 由点到的距离相等，得直线过中点或， 直线过点，则l的方程可以为； 当直线时，由直线的斜率为1，得的方程为，即， 所以直线的方程为或. 故选：BC 12．如图，在棱长为1的正方体中，N，P分别是，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（    ）    A．四面体的外接球的表面积为 B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D．点是四边形内的动点，且直线PH与直线AD的夹角为，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】利用补形法可判断A选项；作出辅助线，得到，即、、、四点共面，当与重合时满足要求，但不能与重合，可判断B选项；作出辅助线，得到平面截正方体截面为平行四边形，当与点重合时，面积最大，此时面积为，当与点无限接近时，面积接近于，可判断C选项；作出辅助线，得到点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧，可求出点的轨迹长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，将四棱锥补成长方体， 所以，四面体的外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即四面体的外接球的直径为， 所以，四面体的外接球的表面积为，A正确； 对于B选项，连接，，，因为且， 故四边形为平行四边形，所以，因为P，N分别是中点， 则，所以，即，，，四点共面， 而平面与的交点唯一，故即为，又不为的端点， 因此不存在满足条件的点，B正确； 对于C选项，如图，在平面上作，垂足为点， 过点在平面内作交BC或者于， 因为平面平面，平面平面，    且平面，所以平面， 又平面，所以，    因为，，平面，所以平面， 平面截正方体截面为平行四边形， 当与点重合时，面积最大，此时，，面积为 当Q与点无限接近时，面积接近于0， 过且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为，C错误；    对于D选项，依题意，直线PH与直线的夹角为， 取的中点，连接PO，则， 则平面，取AB的中点，以为圆心，为半径作圆，交，于X，Y， 则点H的轨迹为以O为圆心，1为半径的部分圆弧， 又，故    所以点的轨迹长度为，D正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．直线与直线平行，则它们之间的距离是____________． 【答案】2 【详解】直线与直线平行， 则它们之间的距离是 故答案为：2 14．已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 15．在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线上的一个定点，且，活动弹子M在正方形对角线上移动，当取最小值时，的值为____________. 【答案】 【分析】根据给定条件建立以直线BA，BE，BC分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算，求其最小值即可． 【详解】解：因ABCD为正方形，则AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD⋂平面ABEF＝AB， 于是得AB⊥平面ABEF，又ABEF为矩形，即BE⊥AB， 以射线BA，BE，BC分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，3，0），F（1，3，0）， 因点N在BF上，且2FN＝BN，则， 又M在线段AC上移动，则有， 于是得点， ⋅ ， 因此，当时，取最小值， 此时，，. 故答案为： 16．人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为________． 【答案】/0.5 【分析】根据平面的方程得出平面和的法向量坐标，得出两平面夹角余弦值的表达式，再根据点的坐标得出平面的法向量，利用平行关系得出的方向向量，从而得出间的关系，代入表达式求最值． 【详解】 平面的方程为， 平面的法向量为， 同理，平面的法向量为， 两平面夹角的余弦值为， 平面经过点， ， 设的法向量为，则，令，则， 设的方向向量为，则，令，则， 平面,平面的法向量与直线的方向向量垂直，即， 平面与平面夹角的余弦值为 ， ，， ，当且仅当时取等号， 平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）求出，得到，故得到垂直关系，得到三角形形状； （2）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，得到答案. 【详解】（1），， ， ，又，， 为直角三角形 （2）因为， 所以边上高线所在直线的斜率为, 直线的方程是，即 18．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）将放在三角形或多边形中利用向量的线性运算法则表示即可； （2）将均用基底表示出来，再运算即可． 【详解】（1）因为点E为的中点， 所以． （2）因为， 所以 . 19．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求异面直线FＨ与所成角的余弦值. 【答案】(1) 证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以， 所以，故． (2) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明，故． （2）利用空间向量法，利用向量的夹角公式求异面直线EF与所成角的余弦值. 【详解】（1）略 （2） 因为H是的中点，且，，所以，所以． 因为，且， 所以． 20．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【详解】（1）略 （2）方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，， E为线段的中点，F为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)若直线EC与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明如下： 解法一：因为平面ABCD，平面ABCD，则， 且，，平面，则平面PAB， 由平面，可得， 又因为，E为中点，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面； 解法二：因为底面，， 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，，，， 设平面PBC的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，可得； 因为，则， 所以平面平面. （2）解法一：作，垂足为H， 因为平面平面PBC，平面平面，平面PBC，， 则平面AEF，可知直线EC与平面AEF所成角为， 则，可得，， 设，则，， 因为与相似，则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 即，所以； 解法二：由（1）的解法二可知：，平面AEF的法向量， 设直线EC与平面AEF所成角为， 则， 整理可得，解得或， 所以. 23．中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． (1)证明：； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)D是的中点，翻折前，翻折后. 是的中点，翻折前，翻折后 翻折后，又， 且方向相同，. 又E是的中点，F是的中点， 翻折前、后，， 且方向相同，， 翻折后，在中， ； (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件得到翻折前后线段的数量关系，进而得到，，在中，利用向量加法的三角形法则即可得证； （2）过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可知为三棱锥的高，求出、，再利用锥体的体积公式即可求得三棱锥的体积； （3）在平面中，过点作，交于点，以点为坐标原点，、、的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合基本不等式，即可求得平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【详解】（1）略 （2） 过点在平面内作，垂足为，取的中点，连接， 在中，，，D是的中点， 可知翻折前，；翻折后，， 又，平面， 又平面，， 又，平面， 就是三棱锥的高. 在中，，，， 由余弦定理可知. ， . 在中，，， ，，D是的中点，E是的中点， ， ， . （3）在平面中，过点作，交于点， 平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为轴的正方向 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，则， ，，， 设平面的一个法向量， 则， 令，则，，， 设平面的一个法问量， 则， 令，则，，， 设平面与平面的夹角为， 则 ， ，，则， 当且仅当，即时，即时，等号成立. 平面与平面的夹角的余弦值的最大值为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $宁夏六盘山高级中学 2026-2027学年第一学期高二第一次月考测试卷 学科：数学测试时间：120分钟满分：150分命题教师：张艳萍 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知直线经过点A(2,-8),B(5,1),则直线的斜率为() A.-3 C.3 2.已知à=(2,1，-1)，b=(-2,x,5),且ā16，则x=（) A.9 B.0 C.1 D -3 3.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，AA·BC=（) A.2W2 B.4V2 C.2 D.4 4.经过点P(2,),且与直线3x+y-4=0平行的直线方程为() A.3x+y-7=0 B.3x+y-5=0 C.x+3y-5=0 D.x-3y+1=0 5.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=a,AD=b,AA=c,点M为线段AC的中点， 则AM=() A.7atii-c 一a+一b+一C 2 8.a+161 2 2 2 2 C.1,1五1 1- 2a+2b-2 D.a+b--c 6.△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=1,OB=4,OC=2.则平面ABC的一个 法向量是() A.（4,2,1) c.G21 D.（-1,2,-4) B 7.已知△ABC的三个顶点分别为A(4,0),B(6,-7),C(4,-3),则BC边上的中线所在直线的方程是() A.x+y=0 B.x+y-4=0 C.5x+y-12=0 D.5x+y-20=0 高二数学月考试 8.己知点A(2,-3),B(-3,-2),若直线y-1=k(x-I)与线段AB相交，则k的取值范围是() A.（o)8.(o4小[存树）c.[4 到 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.若n=（2,3,-1)为平面a的法向量，m=（-4,a,2)为平面B的法向量，=(1,2，b)为直线1的方向向 量，则() A.若a川B,则a=-6 B.若1⊥B,则b=-2 C若a-9,则a1B D.若b=8,则1ca或1/∥a 10.下面四个结论中，正确的是（) A.点A1,-1,2)关于xOz平面对称的点的坐标是(1,1,2) B.若ab<0,则向量a,b的夹角是钝角 C.已知a=(0,1,1),b=(0,0,-1),则a在b上的投影向量的模为1 D.设{a,b,c}是空间的一个基底，则{a,b+c,a+b+c}也是空间的一个基底 11.已知直线1在x轴上的截距为1，且点A(-2,0),B(4,6)到1的距离相等，则1的方程是() A.2x-y-1=0 B.x-y-1=0 C.x=1 D.2x-3y-1=0 12.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，N,P分别是CC, D CD的中点，Q是线段DA上的动点（不包含端点），则() A.四面体BCCP的外接球的表面积为 D 4 B.不存在点Q,使B,N,P,Q四点共面 C.过2且与BN垂直的平面截正方体ABCD-AB,CD,所得截面面积的取值范围为(O,V5] D。点H是四边形A4公B内的动点，且直线P阳与直线AD的夹角为膏则点H的轨迹长度为号 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.直线3x+4y-3=0与直线3x+4y+7=0平行，则它们之间的距离是 14.己知三条直线x-y+4=0,4x+3y-10=0与2x-y=0相交于一点，则a= 卷第1页共2页 15.在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，ABEF为矩形， 且BE=3AB=3,且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，D 且2FN=BN,活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当ME.MN取最小值 AM 时，AC1 的值为 16.定义：“在空间直角坐标系O-x32中，己知向量m=(a,b,c),点乃(x,,20),若平面α经过 点，且以m为法向量，点P(x,y,z)是平面内的任意一点，则平面α的方程为 “a(x-)+b(y-%)+c(z-)=0”.现已知平行六面体ABCD-AB,CD,平面CDD,C的方程为 x-2y+z-2=0,平面ADDA经过点E(0,0,1),F(1,1,2),G(2,2,1),平面ACCA的方程为 cx-y-2z+1=01≤1≤2)，则平面CDD,C,与平面ACCA1夹角的余弦值的最大值为 四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本大题满分10分)已知△ABC的顶点坐标为A(-5,-1),B(-1,),C(-2,3). (1)试判断△ABC的形状； (2)求AC边上的高所在直线的方程. 18.(本大题满分10分)如图，在空间四边形OABC中，BD=DC,点E为AD的中点，设 OA=a,OB=b,OC=c. (1)试用向量a,b,c表示向量OE: (2)若OA=OB=OC=2,∠AOC=∠AOB=60°，∠B0C=90°， 求OE.BC的值. D B 19.（本大题满分12分)如图，在棱长为2的正方体中，E,F分别是DD,DB的中点，G在棱CD上， 且cG=CD,H是CG的中点。 A (1)求证：EF⊥BC; D (2)求异面直线FH与CD所成角的余弦值. 高二数学月考试卷 20.(本大题满分12分)如图，已知正三棱柱ABC-A,BC中，AB=AA=2,点P为 BC的中点. (1)证明：AB/平面APC: B (2)求点A到平面APC的距离. 21.(本大题满分13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD, PA=AB=2,E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点， (1)证明：平面AEF⊥平面PBC; (2②)若直线BC与平面AEF所成角的正弦值为？，求BF. B 22.(本大题满分13分)△ABC中，AB=AC,AB⊥AC,BC=4,D是BC的中点，E是AB的中点， F是BD的中点.如图，将△BEF和△ACD分别沿EF、AD向平面ADFE的同侧翻折至△MEF和△ADN 的位置，且使得DN∥MF. E D (1)证明：NA=2ME; (@若N-号求三校锥4-DEN的体积： (3)求平面DEM与平面AEMN的夹角的余弦值的最大值. 第2页共2页