精品解析：宁夏银川市六盘山高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷

宁夏六盘山高级中学 2024-2025学年第一学期高二第二次月考试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 总分：150分 命题人：王伟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 2. 过点的等轴双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出双曲线的方程为（），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 3. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求得m的值，再去求两平行直线间的距离即可. 【详解】由直线与直线平行， 可得，解之得 则直线与直线间的距离为 故选：B 4. 两个圆和的公切线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数. 【详解】圆可化为， 圆的圆心为，半径， 圆可化为， 圆的圆心为，半径， ， 又，， ， 圆与内切，即公切线有1条. 故选：A. 5. 已知且，则二次曲线与必有（ ） A. 不同的顶点 B. 不同的焦距 C. 相同的离心率 D. 相同的焦点 【答案】D 【解析】 【分析】 分和两种情况讨论，确定二次方程所表示的曲线的形状，并求出焦点坐标，从而得出结论. 【详解】若，则，此时，二次方程所表示的曲线为焦点在轴上的双曲线，焦距为，焦点坐标为，而椭圆的焦点坐标为，此时两曲线的焦点重合； 若，则，二次曲线表示焦点在轴上的椭圆，且焦距为，焦点坐标为，此时，两曲线的焦点重合. 综上所述，二次曲线与必有相同的焦点. 故选：D. 【点睛】本题考查根据椭圆、双曲线的标准方程求焦点的坐标，解题时要对参数的取值进行分类讨论，并结合标准方程确定焦点的位置，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 6. 已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得弦长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出渐近线的方程和圆心到渐近线的距离，再利用圆的弦长公式求解. 【详解】双曲线C：的一条渐近线方程为，即. 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到渐近线的距离为. 所以渐近线被圆截得弦长为. 故选：C 7. 已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及点与圆的位置关系，通过数形结合计算最值即可. 【详解】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点. 由题意可得的准线方程为. 因为，所以， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故选：D. 二．多选题 9. 已知直线，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D. 当时，不经过第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可. 【详解】由题知，直线， 对于A，当时，，解得，故A正确； 对于B，当时，，解得或，故B错误； 对于C，在直线中， 当时，，当时，， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； 对于D，由题知当时，的图象为： 故D正确； 故选：ACD. 10. 已知空间中的三点，，，则下列说法正确的是（  ） A. 不是直线AB的一个方向向量 B. 直线AB 的一个单位方向向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，可判断A、B项；根据向量夹角公式，可判断C项；根据平面法向量的求法，即可得出结果判断D项. 【详解】由题意，空间中的三点，，， 对于A ，，，所以不存在实数， 使得，则不是直线AB的一个方向向量，故A正确； 对于B，因为，， 所以直线AB 的一个单位方向向量是： ，或，故B错误； 对于C，向量，， 所以，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是，，， 所以，则， 当时，可得，故D正确； 故选：AD. 11. 已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线的离心率为 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意作出图分析可知曲线为椭圆，从而求出椭圆的方程判断选项A与B，由点差法求出直线的斜率，然后求得直线的方程，可知C正确，由直线过椭圆的上焦点，所以的周长为，可知D正确. 【详解】如图： 由图可知点到点与点的距离之和始终为定值且， 故点的轨迹为：以点与点为焦点的椭圆，可设其方程为， 故，，所以，， 所以椭圆的方程为：，故A正确； 椭圆的离心率为：，故B错误； 直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点， 设，，则，. 由点差法得：，所以， 所以，即， 所以直线的方程为：，即，故C正确； 由于直线：过椭圆的上焦点， 所以的周长为，故D正确。 故选：ACD. 三．填空题 12. 双曲线C：的渐近线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得. 【详解】由可得， 故其渐近线方程为， 故答案为. 13. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再利用数形结合思想将问题转化为圆心到直线的距离. 【详解】由题意可知直线经过圆心，所以，即， 点到圆心距离最小值就是圆心到直线的距离的最小值， 又圆心到直线的距离. 故答案为： 14. 设抛物线（）的焦点为F，点，过点F的直线交C于M，N两点，直线垂直x轴，，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，得到M点的横坐标为p，根据焦半径得到方程，求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出的横坐标，从而由焦半径公式求出. 【详解】由题意得，因为直线垂直于x轴，， 所以M点的横坐标为p，设， 根据抛物线的定义知，解得， 则，则，，可设直线的方程为， 联立抛物线方程有，可得， ，，则， 则，解得，则． 故答案为： 四．解答题 15. 圆心在曲线（）上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）求过点且与该圆相切的直线方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】（1）由圆心在直线上，设出圆心坐标，再根据圆与轴相切，可得半径与圆心纵坐标绝对值相等，利用弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形求解即可． （2）分直线斜率存在与不存在两种情况，表示出所求直线，根据圆心到直线的距离等于半径求解即可． 【详解】（1）设圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 而， 即， 解得（舍去）， 故所求圆的方程为 （2）当切线的斜率不存在时，因为过点，其方程为，圆心到直线的距离为，满足题意． 当切线斜率存在时，设切线为，即， 圆心，半径， ， 解得． 当切线的斜率存在时，其方程为， 即． 故切线方程为或． 16. 已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. （1）求点的轨迹方程； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【小问1详解】 设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. 【小问2详解】 点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【小问1详解】 椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 【小问2详解】 设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积， 18. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、、、、、. 依题意，，， 从而，所以； （Ⅱ）； （Ⅲ）. 【解析】 【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出； （Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ） 依题意，是平面的一个法向量， ，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得． ， ． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，． 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 19. 已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． （1）求椭圆的离心率和标准方程； （2）求点的坐标； （3）过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【答案】（1）离心率为，标准方程为 （2） （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的离心率及其标准方程； （2）设，利用两点间距离公式得，然后根据、分类讨论求解即可； （3）设直线的方程为，、，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线、的方程，进而求解即可； 【小问1详解】 由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. 【小问2详解】 设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2024-2025学年第一学期高二第二次月考试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 总分：150分 命题人：王伟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 过点的等轴双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 4. 两个圆和的公切线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知且，则二次曲线与必有（ ） A. 不同的顶点 B. 不同的焦距 C. 相同的离心率 D. 相同的焦点 6. 已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得弦长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 4 D. 8 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 二．多选题 9. 已知直线，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D. 当时，不经过第一象限 10. 已知空间中的三点，，，则下列说法正确的是（  ） A. 不是直线AB的一个方向向量 B. 直线AB 的一个单位方向向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 11. 已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线的离心率为 C. 直线的方程为 D. 的周长为 三．填空题 12. 双曲线C：的渐近线方程为_______． 13. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________. 14. 设抛物线（）的焦点为F，点，过点F的直线交C于M，N两点，直线垂直x轴，，则______________. 四．解答题 15. 圆心在曲线（）上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）求过点且与该圆相切的直线方程． 16. 已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. （1）求点的轨迹方程； （2）若，求的最小值. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的面积． 18. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． （1）求椭圆的离心率和标准方程； （2）求点的坐标； （3）过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $