第3章 圆锥曲线与方程（复习讲义）数学苏教版选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 复习要点 掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程与几何性质，能用坐标法求解曲线相关问题。 复习重难点 重点：三种圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质。 难点：圆锥曲线的综合应用，数形结合思想的运用。 知识点 椭圆 1、椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 要点速测 （多选题）（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 知识点 双曲线 1、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 2、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 要点速测 （多选题）（2026·高二·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 知识点 抛物线 1、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 2、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 要点速测 （多选题）（2026·高二·广东潮州·期末）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 题型1 椭圆的标准方程及性质 【典例1】（多选题）（2026·高二·云南玉溪·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．不存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有六个 【变式1-1】（多选题）（2026·高二·安徽阜阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 【变式1-2】已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 【变式1-3】与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 题型2 双曲线的标准方程及性质 【典例2】已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【变式2-1】（2026·高二·天津·阶段检测）双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为__________. 【变式2-2】中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 【变式2-3】（2026·高二·甘肃定西·期末）已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 题型3 抛物线的标准方程及性质 【典例3】与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【变式3-1】（2026·高三·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【变式3-2】（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则坐标原点到直线的距离为________． 【变式3-3】（2026·高二·河南信阳·阶段检测）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C的准线上且位于第二象限内，线段PF与C交于点Q，且，，则______． 题型4 圆锥曲线中的轨迹 【典例4】（2026·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是________________． 【变式4-1】双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是______． 【变式4-2】（2026·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为______；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为_____. 【变式4-3】（2026·高二·宁夏银川·期中）已知过定点的动圆与定圆相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 题型5 圆锥曲线中的焦点三角形 【典例5】（1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 【变式5-1】（2026·高二·辽宁·阶段检测）已知双曲线经过点和． (1)求的方程； (2)点在上，且点在第一象限， （i）设是的焦点，若，求的周长； （ii）点，若，求点的纵坐标． 【变式5-2】（2026·高二·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【变式5-3】（2026·高二·吉林·期末）已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 题型6 圆锥曲线中的定点定值 【典例6】已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 【变式6-1】（2026·高二·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【变式6-2】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【变式6-3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型7 圆锥曲线中的最值 【典例7】（2026·高二·广西贺州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 【变式7-1】（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，为坐标原点． (1)求的离心率e； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 【变式7-2】（2026·高二·上海·期中）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. (1)求的周长； (2)若，求点的坐标； (3)求动点到点距离的最大值和最小值. 【变式7-3】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，，，，求四边形面积的最小值. 题型8 弦长公式 【典例8】（2026·高二·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【变式8-1】（2026·高三·广西河池·阶段检测）已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 【变式8-2】（2026·高二·上海·期中）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 【变式8-3】（2026·高三·山西长治·开学考试）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长． 难点一 圆锥曲线中点弦问题 点差法：设弦的两个端点坐标，分别代入圆锥曲线方程后两式作差，通过平方差因式分解，直接建立中点坐标与弦斜率的对应关系。适合已知中点求直线方程的场景，计算简便，但必须验证判别式≥0，确保直线与曲线有两个交点。 难点精练 1．（2026·高三·青海西宁·阶段检测）已知双曲线的焦距为，直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，其中，． (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由． 2．（2026·高三·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 3．（2026·高二·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 4．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 难点二 圆锥曲线向量问题 坐标转化法：把向量共线、垂直、数量积、定比分点等条件转化为坐标等式；设直线与交点坐标，联立圆锥曲线得一元二次方程，借助韦达定理代入化简，是通用解法，适配绝大多数题型，需注意验证判别式非负。 几何转化法：利用向量的几何意义（如中点、投影、长度比例），将向量条件转化为弦长、角度、对称等几何性质，简化运算，适用于几何特征明显的题目。 难点精练 1．（2026·高三·江苏泰州·期末）已知双曲线的离心率为2，焦距为4．过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 2．（2026·高三·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 3．（2026·高三·四川成都·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 4．（2026·福建漳州·模拟预测）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 基础达标 1．（2026·高二·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 2．（2026·高二·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·黑龙江吉林·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·湖南邵阳·开学考试）双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·辽宁朝阳·开学考试）双曲线的一条渐近线方程为，，分别为其左、右焦点，M是C上的一点，且，则（） A．1 B．3 C．7 D．9 6．已知椭圆，点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 7．（2026·高三·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 10．（多选题）（2026·高二·陕西·期末）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 11．（多选题）（2026·高二·山西太原·期末）已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 12．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 13．（2026·高二·北京·期中）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 14．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 15．（2026·高二·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 16．已知点，，动点满足直线和的斜率乘积为.求动点的轨迹方程. 17．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程. 18．（2026·高二·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 能力进阶 1．（2026·高二·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（ ） A． B．3 C．2 D．1 3．（2026·高二·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·北京·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．6 B．10 C．12 D．15 5．（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 6．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 7．离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若，且四边形与四边形的面积相等，则（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 8．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·河北保定·期中）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 10．（多选题）（2026·高二·吉林长春·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 11．（多选题）（2026·高二·甘肃白银·期末）已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，抛物线与M交于A，B两点，顺次连接所得封闭图形的周长为，则（    ） A． B．C的准线方程为 C． D．图形的面积为 12．（2026·高二·河北保定·期中）若对任意，圆与椭圆至多有3个公共点，则的取值范围为________． 13．（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 14．（2026·高二·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 15．（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 16．（2026·高二·湖南邵阳·开学考试）双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 17．设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆锥曲线与方程 复习要点 掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程与几何性质，能用坐标法求解曲线相关问题。 复习重难点 重点：三种圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质。 难点：圆锥曲线的综合应用，数形结合思想的运用。 知识点 椭圆 1、椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 要点速测 （多选题）（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 【答案】ACD 【解析】由 ，知. 所以 的周长为， 故A正确； 设内切圆半径为，， 的周长为， 面积为， 所以，得. 所以 内切圆半径的最大值小于 2，故B错误； 由椭圆的定义，得， 所以， 当为延长线与椭圆的交点时取等号，故最大值为，故C正确； 设， 由 ，得，所以. 当直线的斜率不存在时，其方程为， 代入，得，. 所以，不合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，得. 所以. 因为， 所以， 即，， 所以或. 当时，，无解； 当时，，，， 所以，故D正确. 知识点 双曲线 1、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 2、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 要点速测 （多选题）（2026·高二·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 知识点 抛物线 1、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 2、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 要点速测 （多选题）（2026·高二·广东潮州·期末）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【解析】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 题型1 椭圆的标准方程及性质 【典例1】（多选题）（2026·高二·云南玉溪·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．不存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有六个 【答案】BCD 【解析】已知椭圆，其中，，， 对于A：离心率，故A错误； 对于B：设，则， 又因为，化简得：，代入得：， 所以两向量的夹角不可能为钝角，故B正确； 对于C：设，，则， 由均值不等式，，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故C正确； 对于D：等腰三角形有三种情况， （1）当时，点P取短轴端点，共有2个点P符合要求； （2）当时， 设，由距离公式：，平方得：， 由点P在椭圆上，得， 代入：．化简得：， 解得：． 因为，所以，所以共有两个点P符合要求； （3）当时，同理共有两个点P符合要求； 综上：使得为等腰三角形的点P共有六个，故D正确． 【变式1-1】（多选题）（2026·高二·安徽阜阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 【答案】ABD 【解析】对于A，由题知，解得，所以，所以的短轴长为，A正确； 对于BC，由A可知，， 设椭圆上一点，则， 又，即， 所以， 因为，所以，得，故C错误， 由，则椭圆上存在点，使得，故B正确； 对于D，由的几何意义可知： 动点到定点的距离之和等于， 表示以为焦点，的椭圆，故D正确. 【变式1-2】已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】设所求椭圆的方程为． 将两点，的坐标代入，得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为． 【变式1-3】与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 【答案】 【解析】由题意可设所求椭圆的标准方程为， ∵椭圆过点， ∴将，代入方程得， 解得或（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 题型2 双曲线的标准方程及性质 【典例2】已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【解析】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 【变式2-1】（2026·高二·天津·阶段检测）双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为__________. 【答案】 【解析】因为点在双曲线右支上，直线的斜率为3，且是直角三角形， 所以，且，则， 设焦距为2c，即， 所以， 因为的面积为6，所以， 解得， 由双曲线的定义得，则， 所以， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 【变式2-2】中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 【答案】 【解析】直线中，令，得， 所以等轴双曲线的一个焦点坐标为，所以． 因为双曲线为等轴双曲线，即，所以， 即，故等轴双曲线方程为． 【变式2-3】（2026·高二·甘肃定西·期末）已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 【答案】 【解析】由双曲线的对称性可知不妨设直线l的表达式为，即， 点A，B到直线l的距离分别为，，由题意可知A，B关于C的右焦点对称， ，从而，得 从而C的离心率为. 题型3 抛物线的标准方程及性质 【典例3】与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【解析】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令，得；令，得，所以抛物线的焦点坐标为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． 【变式3-1】（2026·高三·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【答案】或 【解析】圆的圆心为，半径. 抛物线（）的准线方程为. 由题意知，圆心到抛物线准线的距离等于圆的半径，即，化简得， 解得或. 所以抛物线的方程为或. 【变式3-2】（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则坐标原点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】由题意，圆的圆心为， 故抛物线的焦点，所以抛物线方程为， 由可得， 解得或， 因为在第一象限，所以， 所以， 所以直线的方程为：，即， 所以原点到直线的距离为：. 【变式3-3】（2026·高二·河南信阳·阶段检测）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C的准线上且位于第二象限内，线段PF与C交于点Q，且，，则______． 【答案】/1.5 【解析】如图，设准线与轴交于点，过点作于点 所以由抛物线定义得到, 因为, 所以，即， 得到，即. 题型4 圆锥曲线中的轨迹 【典例4】（2026·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是________________． 【答案】 【解析】设点， 易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直， 所以四边形为矩形，如下图所示： 依题意可知点在轴上方，即，且； 因此， 所以四边形的面积为， 即可得; 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式4-1】双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】设， 由，则， 两式相减得， 故， 即，即． 故答案为：. 【变式4-2】（2026·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为______；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为_____. 【答案】 （且） （且） 【解析】因为等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，另一个端点为P， 所以， 故点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且）， 故点P的轨迹方程为（且）. 因为线段的垂直平分线与直线交于点Q，所以. 又，，所以点A在圆外，线段的垂直平分线与直线的交点Q在线段的延长线或反向延长线上. 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，； 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，， 综上，，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10. 又，所以点Q的轨迹是以点和为焦点的双曲线，其中，， 所以，，，所以双曲线方程为. 当点P为时，线段的垂直平分线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点为， 故动点Q的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且）；（且）. 【变式4-3】（2026·高二·宁夏银川·期中）已知过定点的动圆与定圆相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】 根据两圆位置关系可得，结合椭圆定义求方程即可. 【详解】 因为圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 显然点在圆内，则， 可得， 可知动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆， 则，，所以动圆的圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 题型5 圆锥曲线中的焦点三角形 【典例5】（1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 【解析】（1）由椭圆得， 根据椭圆定义可得， 所以的周长为. （2）设椭圆的左右焦点为，由题可得，， 由椭圆的定义， 即. 所以点P到右焦点的距离为. 【变式5-1】（2026·高二·辽宁·阶段检测）已知双曲线经过点和． (1)求的方程； (2)点在上，且点在第一象限， （i）设是的焦点，若，求的周长； （ii）点，若，求点的纵坐标． 【解析】（1）由题意可得：， 解得， 即双曲线方程为：； （2） （i）由（1）设， 则，又， 所以 所以 所以 所以， 所以的周长为； （ii）设坐标为， 则， 由题意，即， 又， 得 即， 平方得， 即， 即 即， 代入，可得，又， 解得， 即点的纵坐标. 【变式5-2】（2026·高二·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【解析】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 【变式5-3】（2026·高二·吉林·期末）已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 【解析】（1）根据题意知抛物线过点， 所以抛物线准线方程为，且点A到其准线的距离为4， 所以，即，所以抛物线的方程为； （2）由得，， 设，为直线与轴交点，则，， 所以． 题型6 圆锥曲线中的定点定值 【典例6】已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 【解析】（1）由题意可知，所以， 所以椭圆的方程为. （2）如图所示，可知，设， 则，所以， 所以， 设以为直径的圆交轴于点， 可得， 因为为直径，所以，即，化简得， 而，所以，所以，所以， 解得或，即以为直径的圆交轴于点，即以为直径的圆交轴于两定点. 【变式6-1】（2026·高二·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）由双曲线：经过点，， 得，解得. 所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为：，联立， 整理得. 因为直线与双曲线的右支相交于两点，设，， 所以，解得或. 故斜率的取值范围为. （ii）由轴平分可知. 由（i）可得. 又，， 则，. 假设在轴上存在定点，则， 因为，所以， 展开可得， 即. 因为或，所以. 即， 即， 即，得. 所以轴上存在定点符合条件，且． 【变式6-2】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【解析】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： （2）， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 【变式6-3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）（i）因为点是上的一点，所以，解得，即， 当点到直线的距离取得最大值时，有， 又，所以直线的斜率为，则直线的方程为， 设，由，得，所以， 所以． （ii）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 由，得， 此时即即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得． 所以 ．即为定值2. 题型7 圆锥曲线中的最值 【典例7】（2026·高二·广西贺州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 【解析】（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，， 所以曲线的方程为：. （2）（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）由（i）知直线过定点，所以 故， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16. 【变式7-1】（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，为坐标原点． (1)求的离心率e； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 【解析】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，，，所以的离心率． （2）依题意，设，则，， 因此， 则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以的最大值为，最小值为. 【变式7-2】（2026·高二·上海·期中）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. (1)求的周长； (2)若，求点的坐标； (3)求动点到点距离的最大值和最小值. 【解析】（1） 椭圆，得，，​， 上顶点，焦点， ， 根据椭圆的定义：，焦距， 周长； （2）设，由垂直性质得， ， ， 点积展开得： ， 又在椭圆上，满足， 代入上式得： ，得， 回代得​，即， 故的坐标为； （3）设， ，则， 距离平方为： ， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 最大值在对称轴处取得：即时，，得， 最小值在端点处取得：即时， ，得 故动点到点距离的最大值为​​​，最小值为. 【变式7-3】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，，，，求四边形面积的最小值. 【解析】（1）由题意可知，，所以，，所以， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，， 从而； 当直线的斜率为零时，可得，； 设直线的斜率为，且，直线的方程为：， 直线的方程为， 设，，，， 由，消去得，显然成立， 所以，，从而， 由，消去得，显然成立， 所以，，从而， 所以， 因为，则，，则， 所以， 当且仅当，即时取得最小值，所以四边形面积的最小值为. 题型8 弦长公式 【典例8】（2026·高二·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【解析】（1）由题知，则，又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 因为恒成立，所以， 则， 所以的面积， 化简得，解得，所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 所以的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 【变式8-1】（2026·高三·广西河池·阶段检测）已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 【解析】（1）已知椭圆焦点在轴上，故，即. 由离心率，得，， 因此椭圆方程为； （2）设过的直线方程为，设，. 联立直线与椭圆方程得：， 消去整理得， 由判别式 ，得. 由韦达定理得，. 原点到直线的距离， 弦长. 三角形面积， 令，，则 ， 代入化简可得，整理得 ， 解得，即，得，即，满足， 当，即时，直线的方程为，. 当直线斜率不存在时，直线过，此时三点共线，不符合题意，舍去. 【变式8-2】（2026·高二·上海·期中）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 【解析】（1）由题意得，则双曲线C的渐近线方程为. （2）①设，，直线l的斜率为k， 则，两式相减，得， 即，所以，即. 直线l的方程为，即. 联立得，则， 则直线与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以，直线l的方程为. ②由①得， 则. 【变式8-3】（2026·高三·山西长治·开学考试）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长． 【解析】（1）设，由， 则，其中， 由题意知：，化简得， 所以点的轨迹方程为：. （2）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为：， 联立，消去得：， 由， 所以设，所以，① 因为，所以即， 也即， 整理可得：， 将①代入上式，得，解得：， 所以 . 难点一 圆锥曲线中点弦问题 点差法：设弦的两个端点坐标，分别代入圆锥曲线方程后两式作差，通过平方差因式分解，直接建立中点坐标与弦斜率的对应关系。适合已知中点求直线方程的场景，计算简便，但必须验证判别式≥0，确保直线与曲线有两个交点。 难点精练 1．（2026·高三·青海西宁·阶段检测）已知双曲线的焦距为，直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，其中，． (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）记双曲线的焦距为，由题意可得，即， 因为，，所以斜率. 设直线的倾斜角为，则， 又因为直线的斜率为， 所以，，解得. 所以，则C的方程为． （2）存在，直线的方程为或，理由如下： 假设存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形， 则直线的斜率显然存在，设的方程为，，， 由消去整理得， 由，， 解得且， 则，所以. 记的中点为，则， 当时，则，分别为双曲线的两个实顶点， 显然构成以为顶点的等腰三角形，此时直线的方程为，符合题意． 当时，为使构成以为顶点的等腰三角形，只需，所以， 即，， 整理得，解得或， 若，则不满足条件，舍去，因此. 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 2．（2026·高三·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【解析】（1）因为，，所以，则， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，，由题知， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，整理，得， 则，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线的方程为． 3．（2026·高二·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【解析】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 4．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【解析】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 难点二 圆锥曲线向量问题 坐标转化法：把向量共线、垂直、数量积、定比分点等条件转化为坐标等式；设直线与交点坐标，联立圆锥曲线得一元二次方程，借助韦达定理代入化简，是通用解法，适配绝大多数题型，需注意验证判别式非负。 几何转化法：利用向量的几何意义（如中点、投影、长度比例），将向量条件转化为弦长、角度、对称等几何性质，简化运算，适用于几何特征明显的题目。 难点精练 1．（2026·高三·江苏泰州·期末）已知双曲线的离心率为2，焦距为4．过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【解析】（1）由题意可知在双曲线中，，解得， 又因为，解得， 所以， 所以双曲线的方程为， 所以右焦点， 则直线方程为， ，得， 设且， 由韦达定理可得， 所以，即， 解得或； （2）因为， 即， 所以， 从而得， 又因为，， 所以， 整理得①， 又因为②， 由①②可得，， 即或， 将点代入直线方程， 得； 将点代入直线方程， 得； 综上，. 2．（2026·高三·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． （2）如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． 3．（2026·高三·四川成都·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由椭圆，得到，即 所以 所以. （2）由题可得焦点， 设，则， 由，即 化简得到， 联立椭圆方程，消元得到， 因为，所以，代入，由解得， 所以 （3）假设存在定点，使得的值为定值. 当直线AB的斜率为0时，， 当直线AB的斜率不存在时，， 由，得到，且， 接下来判断当点T的坐标为，直线AB的斜率存在且不为0时，的值是否为定值， 设直线AB的方程为， 联立方程，得到， 则，， . 所以当点T的坐标为时，为定值. 4．（2026·福建漳州·模拟预测）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【解析】（1）设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则， 圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切， 则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到， 所以，则的方程为. （2）设直线，，易知， 由，消得到，即， 则，且①，②， 又，且，所以③， 由①③得到，由②③得到，所以， 整理得到，解得，满足， 所以直线的方程为或. 基础达标 1．（2026·高二·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【解析】的周长为， 2．（2026·高二·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 3．（2026·高二·黑龙江吉林·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的焦点在轴上，半焦距， 所以所求焦点坐标为. 4．（2026·高二·湖南邵阳·开学考试）双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线 可化为 所以 ，，两条渐近线为 直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，因此两条渐近线的夹角为 5．（2026·高三·辽宁朝阳·开学考试）双曲线的一条渐近线方程为，，分别为其左、右焦点，M是C上的一点，且，则（） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【解析】由题意得，，得， 则， 若在左支，则；若在右支，则； 因为，所以在左支，则，得. 6．已知椭圆，点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 【答案】C 【解析】把点的横、纵坐标代入椭圆的方程左边，得， 所以点在椭圆外. 7．（2026·高三·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 8．（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，渐近线方程为，即，， 则，得 所以，则渐近线方程为. 9．（多选题）（2026·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 【答案】ABD 【解析】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 10．（多选题）（2026·高二·陕西·期末）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【答案】ABD 【解析】由双曲线，得， 即， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率， 渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 11．（多选题）（2026·高二·山西太原·期末）已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 【答案】BD 【解析】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1， 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1． 故与的焦点不同，准线不同，离心率相同，与的焦点到准线的距离相同. 12．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 【答案】 【解析】设动点，由题意可知 则直线斜率，直线的斜率， 则，整理得. 13．（2026·高二·北京·期中）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 【答案】 【解析】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的倍， 所以，则，所以， 解得，故，所以椭圆的标准方程为. 14．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 【答案】 【解析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 设，则， 因为，所以，所以. 15．（2026·高二·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【解析】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 16．已知点，，动点满足直线和的斜率乘积为.求动点的轨迹方程. 【解析】设，由题意有， 化简得：，即，， 故所求动点的轨迹方程为. 17．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程. 【解析】由题意得，即，化简得. 18．（2026·高二·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【解析】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 能力进阶 1．（2026·高二·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 2．（2026·高二·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（ ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 3．（2026·高二·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得，即② ， ①② 得，所以， 又， 又，因为，所以， 解得，故椭圆的离心率为. 4．（2026·高二·北京·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解析】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解， 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 5．（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解析】由题设，结合椭圆参数关系，得，即, 由椭圆性质得，又，故为等边三角形； 因为过且垂直于，所以是的垂直平分线，因此 ，， 则的周长为， 根据椭圆定义，对椭圆上任意点有，故，， 因此 ， 代入周长表达式得的周长为。 接下来求的值： 直线的斜率，则直线的斜率， 又过 ，则的方程为， 联立与椭圆方程 ，整理得 ， 设，由韦达定理得，， 由弦长公式， 代入数值计算得：， 由题设，得，解得，故的周长为. 6．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 7．离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若，且四边形与四边形的面积相等，则（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设 则． 又因为，所以 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为． 由同时在两曲线上，得 即 解得 因此四边形的面积为 双曲线在第一象限的渐近线为 设该渐近线与椭圆在第一象限的交点为，则． 代入椭圆方程，得所以 因此四边形的面积为 由题意， 由于均为正数，所以 代入上式，得 得即 又因为所以 8．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的标准形式为，渐近线为， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示， 要使直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则直线必须在两渐近线之间， 此时的取值范围为，故D正确. 9．（多选题）（2026·高二·河北保定·期中）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【答案】BC 【解析】由双曲线：，得，则， 即， 则双曲线实轴长为，虚轴长为，离心率为，故A错误，BC正确； 而双曲线的两渐近线方程为， 则两渐近线的倾斜角分别为， 所以两渐近线的夹角为，则夹角的正切值为，故D错误. 10．（多选题）（2026·高二·吉林长春·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 【答案】ABD 【解析】对于选项A，的周长，故A正确； 对于选项B，当直线垂直于轴时，将代入，得，，故B正确； 对于选项C，，，， ，，，，. 在中， 在中，，得， ，，故C错误； 对于选项D，假设存在满足条件的点，过点向圆引两条切线，设切点为和， 因为，，，， 所以四边形为正方形，所以. 所以当时，椭圆上存在点满足题意，故D正确． 11．（多选题）（2026·高二·甘肃白银·期末）已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，抛物线与M交于A，B两点，顺次连接所得封闭图形的周长为，则（    ） A． B．C的准线方程为 C． D．图形的面积为 【答案】AC 【解析】由题意得：图形的周长为，所以， 又，所以，所以，故A正确； 由，所以，所以抛物线， 所以抛物线的准线方程为：，故B错误； 所以椭圆， 由，化简得，解得或（舍去）， 当时，，解得， 所以，所以，故C正确， 图形的面积为，故D错误. 12．（2026·高二·河北保定·期中）若对任意，圆与椭圆至多有3个公共点，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】由题意可得方程组①，消去可得， 可知对任意，方程组①至多有3组实数解， 因为，令，可得， 令，可知的图象开口向上，对称轴为， 由椭圆方程可知：，且，， 当，即，时，则在内单调递增， 可知在内至多有1个零点，所以方程组①至多有2组实数解，符合题意； 当，即，时，则， 因为在内单调递增，则， 根据的任意性可知：对任意，均存在，使得， 此时在内有2个零点，方程组①有4组解，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 13．（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 【答案】3 【解析】设，且且， 则处的切线方程为，则， 故， ， 因为，所以，得（舍）或， 则，故. 14．（2026·高二·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 【答案】14 【解析】由抛物线方程得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以， ，， 所以， 即该光线经过的路程为. 15．（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 【解析】（1）将点和代入椭圆方程可得， 解得； 即椭圆的标准方程为； （2）（i）设,联立直线与椭圆方程， 消去整理可得， 由韦达定理可得； 又， 当时，可得 ； 当时，可得，此时直线， 此时，两点坐标分别为和，或者和； 显然此时，，满足，即； 综上可知； （ii）因为点与点关于原点对称，所以为的中点，即， 由（i）中可知，垂直平分， 即为线段的垂直平分线上的一点，即到两点的距离相等，即 所以. 16．（2026·高二·湖南邵阳·开学考试）双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 【解析】（1）因为右焦点到渐近线的距离，故， 又，且，解得，，， 则曲线C的标准方程为； （2）设，，， 先证该双曲线在点处的切线方程为， 证明过程如下： 联立，整理有， 由于，则，， 故直线与双曲线相切，证毕； 联立得，则为方程的解， 故，故P为线段的中点． 17．设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． 【解析】（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为，可得为或， 而，所以直线的方程为或； （2）证法一：设，，且， 如图，分别过，作轴的垂线分别交轴于点，， 设直线的方程为， 欲证，可证，即证， 即证，即证，整理得． 由，得，显然，所以，， 所以，故，得证； 证法二：当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以， 当与轴不垂直时，设，，，则，， 由，得，，知，， 直线，的斜率之和为①， 将，及，的表达式代入①式分子， 可得， 所以，可知直线，的倾斜角互补，所以， 综上，，得证. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $