第4章 4.1 第1课时 数列的概念及通项公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

第1课时　数列的概念及通项公式

学习目标　1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项.

导语

同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100，20，90，30，80，40，…，这就是我们今天要研究的数列.

一、数列的概念与分类

问题1　观察以下几列数：

①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807；

②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…；

③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的年份：2025，2025，…，2025；

④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…；

⑤－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…；

你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？

提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化.

知识梳理

1.按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫作首项.

2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}.

3.数列的分类

 

注意点：

(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列.

(2)同一个数可以在数列中重复出现.

(3)表示一个数列，an表示数列中的第n项.

例1　(1)下列说法中，正确的是(　　)

A.数列2，4，6，8可表示为集合{2，4，6，8}

B.数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的数列

C.数列{n2＋n}的第k项为k2＋k

D.数列0，1，2，3，4，…可记为{n}

答案　C

解析　对于A，由数列的定义易知A错误；

对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；

对于C，数列{n2＋n}的第k项为k2＋k，故C正确；

对于D，因为0∈N，所以n∈N，这与数列的定义不相符，故D错误.

(2)下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？

①1，0.84，0.842，0.843，…；

②2，4，6，8，10，…；

③7，7，7，7，…；

④，，，，…；

⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；

⑥0，－1，2，－3，4，－5，….

解　⑤是有穷数列；①②③④⑥是无穷数列；②是递增数列；①④⑤是递减数列；③是常数列；⑥是摆动数列.

反思感悟　(1)判定所给对象是否为数列，关键在于是否属于按一定次序排列的一列数，这也是数列与集合的本质区别；

(2)判断数列是递增(或递减)数列时，一定要满足数列单调性的定义，即从第2项起，每一项都大于(或小于)它的前一项，不能有例外.

跟踪训练1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？

(1)2 020，2 021，2 022，2 023，2 024，2 025；

(2)0，，，…，，…；

(3)1，，，…，，…；

(4)－，，－，，…；

(5)1，0，－1，…，sin ，…；

(6)9，9，9，9，9，9.