第4章 4.1 第1课时 数列的概念及通项公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦数列的概念及通项公式核心知识点，从生活实例引入，通过问题探究梳理数列的定义、分类标准，再深入理解通项公式的含义及应用，构建从具体到抽象的学习支架。 以讨价还价等生活情境导入培养数学眼光，通过多实例对比分析发展数学思维，结合通项公式书写训练提升数学语言表达，课中助力教师引导探究，课后可帮助学生巩固练习、查漏补缺。

第1课时　数列的概念及通项公式 学习目标　1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项. 导语 同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100，20，90，30，80，40，…，这就是我们今天要研究的数列. 一、数列的概念与分类 问题1　观察以下几列数： ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； ②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； ③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的年份：2025，2025，…，2025； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； ⑤－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化. 知识梳理 1.按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫作首项. 2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}. 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 注意点： (1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列. (2)同一个数可以在数列中重复出现. (3)表示一个数列，an表示数列中的第n项. 例1　(1)下列说法中，正确的是(　　) A.数列2，4，6，8可表示为集合{2，4，6，8} B.数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的数列 C.数列{n2＋n}的第k项为k2＋k D.数列0，1，2，3，4，…可记为{n} 答案　C 解析　对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列{n2＋n}的第k项为k2＋k，故C正确； 对于D，因为0∈N，所以n∈N，这与数列的定义不相符，故D错误. (2)下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ ①1，0.84，0.842，0.843，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④，，，，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； ⑥0，－1，2，－3，4，－5，…. 解　⑤是有穷数列；①②③④⑥是无穷数列；②是递增数列；①④⑤是递减数列；③是常数列；⑥是摆动数列. 反思感悟　(1)判定所给对象是否为数列，关键在于是否属于按一定次序排列的一列数，这也是数列与集合的本质区别； (2)判断数列是递增(或递减)数列时，一定要满足数列单调性的定义，即从第2项起，每一项都大于(或小于)它的前一项，不能有例外. 跟踪训练1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？ (1)2 020，2 021，2 022，2 023，2 024，2 025； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1，0，－1，…，sin ，…； (6)9，9，9，9，9，9. 解　(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列. 二、数列的通项公式 问题2　我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示　对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈； 对于②，an＝，n∈N*； 对于③，an＝2 025，n∈； 对于⑤，an＝，n∈N*. 知识梳理 一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式. 注意点： (1)并不是所有的数列都有通项公式. (2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一. 例2　(课本例4)写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，－，，－； (2)0，2，0，2. 解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是分数，分子都为1，分母都等于序号与序号加1的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝. (2)这个数列的奇数项是0，偶数项是2，所以它的一个通项公式是an＝1＋(－1)n. 例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前6项分别是下列各数： (1)－1，，－，，－，； (2)，2，，8，，18； (3)0，1，0，1，0，1； (4)9，99，999，9 999，99 999，999 999； (5)，，－，，－，. 解　(1)这个数列的前6项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝也可以写成an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*). (4)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，100 000，1 000 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*. (5)分母为2n，易看出第2，3，4，5，6项的分子均比分母少3，因此第1项为－， 因此原数列的前6项可以化为－，， －，，－，， 所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*. 延伸探究1　试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式. 解　由本例的第(4)题每一项除以9即可得到该数列，则它的一个通项公式为an＝(10n－1)，n∈N*. 延伸探究2　试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式. 解　由本例的第(4)题的每一项乘以即可得到该数列， 则它的一个通项公式为an＝(10n－1)，n∈N*. 反思感悟　根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分与对应序号间的函数解析式，有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 跟踪训练2　写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1，3，7，15，31； (2)，，，，； (3)－，，－，，－； (4)2×3，3×4，4×5，5×6. 解　(1)由1＝2－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，31＝25－1， 可得an＝2n－1，n∈N*. (2)由，，，，， 可得an＝，n∈N*. (3)由－，，－，，－，可知奇数项为负数，偶数项为正数， 可得an＝(－1)n×，n∈N*. (4)由2×3＝×，3×4＝×，4×5＝×，5×6＝×， 可得an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*. 三、数列的通项公式的简单应用 例3　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项. 解　(1)在通项公式中依次取n＝1，2，3，可得{an}的前3项分别为1，6，15. (2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项. 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是数列{an}中的项. 反思感悟　(1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项. (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则该数值是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是数列的一项. 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项. 解　(1)由题意知，q4－q2＝72， 则q2＝9或q2＝－8(舍去)， ∴q＝±3. (2)当q＝3时，an＝3n. 显然－81不是此数列中的项； 当q＝－3时，an＝(－3)n. 令(－3)n＝－81，无解， ∴－81不是此数列中的项. 1.知识清单： (1)数列的概念与分类. (2)数列的通项公式. (3)数列的通项公式的简单应用. 2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法. 3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 1.下列说法正确的是(　　) A.数列中不能重复出现同一个数 B.2 024，2 025，2 026与2 026，2 025，2 024是同一数列 C.1，1，1，1不是数列 D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 答案　D 解析　由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A，C不正确； B中两数列排列次序不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确. 2.已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则该数列的前4项依次为(　　) A.1，0，1，0 B.0，1，0，1 C.，0，，0 D.2，0，2，0 答案　A 解析　把n＝1，2，3，4依次代入通项公式，得a1＝＝1，a2＝＝0，a3＝＝1，a4＝＝0. 3.在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的(　　) A.第16项 B.第24项 C.第26项 D.第28项 答案　C 解析　数列1，2，，，，…就是数列，，，，，…， ∴an＝， ∴＝2， ∴n＝26， 故2是这个数列的第26项. 4.已知数列1，－3，5，－7，9，…，则该数列的第100项为　　　　.  答案　－199 解析　由题知， 该数列的通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)， 所以a100＝(－1)100＋1×(2×100－1)＝－199. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.以下说法正确的是(　　) A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列中的项与顺序无关 C.数列0，1，2，3，4，5，6，7，…的第8项为7 D.数列0，2，4，6，…可记为{2n} 答案　C 解析　数列是按一定顺序排成一列的数，和项相同与否没有关系，故A，B均错误； 数列0，1，2，3，4，5，6，7，…的第8项为7，故C正确； 数列0，2，4，6，…可记为{2n－2}，n∈N*，故D错误. 2.数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是(　　) A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* 答案　A 解析　数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*. 3.数列，，，，…的第10项是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知数列的通项公式是an＝(n∈N*)， 所以a10＝. 4.已知an＋1－an－3＝0，则数列是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 答案　A 解析　因为an＋1－an－3＝0， 所以an＋1－an＝3>0. 所以数列是递增数列. 5.数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式为(　　) A.an＝(10n－1)，n∈N* B.an＝(10n－1)，n∈N* C.an＝，n∈N* D.an＝(10n－1)，n∈N* 答案　C 解析　因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为bn＝1－，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是数列{bn}对应项的， 所以an＝，n∈N*. 6.(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.1，，，，…，，… B.sin，sin，sin，…，sin，… C.－1，－，－，－，…，－，… D.1，，，…，，… 答案　CD 解析　选项C，D既是无穷数列又是递增数列. 7.(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝2 025－3n，n∈N*，则使an>0成立的正整数n的最大值为　　　. 答案　674 解析　由an＝2 025－3n>0，得n<＝675， 又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为674. 8.(5分)数列2，－5，8，－11，…，(－1)n－1(3n－1)，(－1)n(3n＋2)的第2n项为　　　.  答案　1－6n 解析　由数列可知奇数项为正数，偶数项为负数，即可表示(－1)n－1，又首项为2，故数列的通项公式为an＝(－1)n－1(3n－1)，n∈N*，可知第2n项为a2n＝(－1)2n－1(6n－1)＝－(6n－1)＝1－6n. 9.(10分)写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…；(3分) (2)，，，，，…；(3分) (3)－1，，－，，….(4分) 解　(1)各项是从4开始的偶数， 所以an＝2n＋2，n∈N*. (2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，…，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N*. (3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－，则每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成(2n＋1)的形式.分子为3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式.所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*. 10.(12分)古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…，这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫作三角数列{an}.类似地，数1，4，9，16，…叫作正方形数，求三角数列{an}中的第二个正方形数. 解　由题意可得，三角数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*， 则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…. 设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为{bn}，则bn＝n2，n∈N*， 其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…， 所以三角数列{an}中的第二个正方形数是36. 11.设an＝＋…＋(n∈N*)，则a2等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵an＝＋…＋(n∈N*)， ∴a2＝. 12.数列{an}中，an＝，则a5等于(　　) A.3 333 B.7 777 C.33 333 D.77 777 答案　C 解析　an＝ ＝，则a5＝＝33 333. 13.对于数列{an}，规定Δan为数列{an}的一阶差分，其中Δan＝an＋1－an(n∈N*)，规定Δkan为数列{an}的k阶差分，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an(n∈N*).若an＝，则Δ2a3等于(　　) A.7 B.9 C.11 D.13 答案　A 解析　由新定义知，Δa4＝a5－a4＝＝16，Δa3＝a4－a3＝＝9， 所以Δ2a3＝Δa4－Δa3＝16－9＝7. 14.(5分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝　　　　.  答案　61 解析　f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61. 15.1766年，一位德国教师戴维·提丢斯对已知的太阳系各大行星在太阳系的位置进行研究后，发现把数列0，3，6，12，24，48，96，…经过一定的规律变化，得到的新数列0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，…的各项恰好为太阳系各大行星与太阳的平均距离，这个新数列就是著名的“提丢斯－波得定则”.根据规律，新数列的第8项为(　　) A.14.8 B.19.2 C.19.6 D.20.4 答案　C 解析　数列0，3，6，12，24，48，96，…的规律是从第三项起，每一项是前一项的两倍，故该数列的第8项是192，新数列0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，…的规律是原数列的每一项加4，再除以10，故第8项为19.6. 16.(12分)在数列{an}中，an＝(n∈N*). (1)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内；(5分) (2)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？(7分) (1)证明　因为an＝＝1－(n∈N*)， 则n2＋1>1， 所以0<an<1，故数列的各项都在区间(0，1)内. (2)解　令<<， 则<n2<2，n∈N*， 解得n＝1，即在区间内有且只有1项数列中的项，为a1. 学科网（北京）股份有限公司 $