第3章 圆锥曲线与方程 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

一、圆锥曲线的定义及标准方程

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：动点M的集合{M|MF1＋MF2＝2a}，其中F1F2＝2c，a，c为正常数，且a>c.

(2)双曲线：动点M的集合{M||MF1－MF2|＝2a}，其中F1F2＝2c，a，c为正常数，且a<c.

(3)抛物线：动点M的集合{M|MF＝d}，其中定点F是定直线l外一点，d为点M到定直线l的距离.

2.求圆锥曲线方程的常用方法

(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)待定系数法.

3.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理、数学运算和直观想象的数学素养.

例1　(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.双曲线

C.抛物线 D.以上都不对

答案　C

解析　把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成.

∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等，

∴点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.

(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝64，则∠F1PF2＝　　　　. 

答案　60°

解析　双曲线方程16x2－9y2＝144，

化简为＝1，

即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，

解得a＝3，c＝5，

所以F1(－5，0)，F2(5，0).

设PF1＝m，PF2＝n，

由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，

又已知mn＝64，

在△PF1F2中，由余弦定理知

cos∠F1PF2＝

＝

＝

＝.

所以∠F1PF2＝60°.

反思感悟　(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.

(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.

(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离和到准线的距离进行相互转化，结合几何图形，利用几何意义去解决.

跟踪训练1　(1)已知抛物线y2＝4x，F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线在第二象限交于点A，若∠F1F2A＝，则双曲线的标准方程为(　　)

A.－y2＝1  B.x2－＝1

C.x2－＝1  D.－y2＝1

答案　C

解析　由题意可得抛物线的准线为x＝－，

又抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，

∴c＝，联立

可得yA＝，

又∠F1F2A＝，

∴yA＝F1F2，

∴＝2c，

∴b＝2a，∴b2＝4a2，

又c2＝a2＋b2，

∴5＝a2＋4a2，

∴a2＝1，b2＝4，

∴双曲线的标准方程为x2－＝1.

(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.则曲线C的方程为　　　　　　　　. 

答案　＋y2＝1

解析　方法一　由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，

则点P的坐标为(x，2y).

因为点P(x，2y)在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4，所以曲线C的方程为＋y2＝1.

方法二　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则D(x0，0)，

由＝2，得x0＝x，y0＝2y，

因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，

所以＝4， (*)

把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，