第3章 圆锥曲线与方程（3大知识点+5大易错点+易错训练）（知识清单）数学苏教版选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 知识点1：椭圆 1、椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 知识点2：双曲线 1、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 2、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点3：抛物线 1、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 2、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 易错点1 混淆圆锥曲线类型 易错提醒 错误：圆锥曲线方程中含有参数时，不能辨别曲线类型． 注意：区分三类曲线参数的含义，abc的关系． 【对点训练】1．（多选题）（2026·高二·河北张家口·期末）当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）． A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 易错点2 焦点判断错误 易错提醒 错误：想当然认为焦点在x轴上或y轴上． 注意：椭圆中看分母大的变量，双曲线看正项的变量，抛物线看一次项． 【对点训练】2．（多选题）（2026·高三·云南楚雄·期末）已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 易错点3 离心率公式混淆 易错提醒 错误：忽略abc的大小关系，e的范围不明 纠正：椭圆离心率∈（0，1），双曲线离心率大于1 【对点训练】3．（多选题）（2026·高二·重庆·阶段检测）截口曲线是由平面截取圆锥和圆柱时形成的交线，其形状取决于截面与轴的夹角，当夹角变化时可得到不同的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与旋转轴的交点M距离圆锥顶点S长度为2，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（    ） A．若该截面与圆锥的一条母线夹角为60°，则该曲线为圆 B．若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线的离心率为 C．若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则点M为该曲线的一个焦点 D．若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线上任意两点之间的最大距离为3 易错点4 直线与圆锥曲线位置关系 易错提醒 错误：联立方程漏解或多解 注意：直线方程设斜截式必须单独讨论斜率不存在的情况，联立方程后需 【对点训练】4．（2026·高二·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知抛物线的方程为，直线过定点P（2,0），斜率为．当为何值时，直线与抛物线： （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点． 易错点5 弦长公式使用错误 易错提醒 错误：直接套用公式，不考虑实际意义 注意：先联立方程，确保有解的情况下，再套用公式 【对点训练】5．（2026·高三·广西河池·期末）已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 1．（2026·高二·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 2．（2026·高二·广西柳州·期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点，若四边形的面积是面积的4倍，则的方程不可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·河北雄安·开学考试）已知等腰梯形的四个顶点均在抛物线上，其中，并且，若四边形的面积为9，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（2026·高二·广西桂林·期末）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·贵州贵阳·期中）已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·山东青岛·期中）吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·安徽阜阳·期中）已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C．3 D．4 8．（2026·高二·浙江·期中）已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·安徽阜阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 10．（多选题）（2026·湖南邵阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（   ） A． B．当时，的最小值为 C．点到直线的距离的最小值为2 D．当时，直线ON的斜率的最大值为 11．（2026·高二·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 12．（2026·高二·广东·期中）中心为坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则椭圆的标准方程为______. 13．（2026·高二·河北·期中）已知椭圆的右焦点为为椭圆上的动点，点在以为直径的圆上，若的最大值为3（为坐标原点），则椭圆的短轴长___________． 14．（2026·高二·四川南充·阶段检测）解答下列两个小题： (1)双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程； (2)已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程. 15．（2026·高二·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求. 16．（2026·高二·安徽池州·期末）已知平面上动点到直线的距离比它到点的距离多. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点形成的曲线为，过点的直线交曲线于两点，若直线和直线的斜率之和为（其中为坐标原点），求直线的方程. 17．（2026·高二·湖北·期末）已知抛物线，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，. (1)求的值； (2)若，且三角形的面积为，求直线的方程. 18．（2026·高二·江西南昌·期末）已知抛物线与直线相切，切点为. (1)求的值； (2)过点且与直线垂直的直线与抛物线交于另一点，求. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆锥曲线与方程 知识点1：椭圆 1、椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 知识点2：双曲线 1、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 2、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点3：抛物线 1、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 2、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 易错点1 混淆圆锥曲线类型 易错提醒 错误：圆锥曲线方程中含有参数时，不能辨别曲线类型． 注意：区分三类曲线参数的含义，abc的关系． 【对点训练】1．（多选题）（2026·高二·河北张家口·期末）当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）． A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，方程为，即，表示轴，故错误； 对于B，当时，方程为，表示以原点为圆心的单位圆，故正确； 对于C，当时，，故方程为，表示双曲线； 当时，，故方程为，表示双曲线，故正确； 对于D，当且时，方程为， 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆，故正确. 易错点2 焦点判断错误 易错提醒 错误：想当然认为焦点在x轴上或y轴上． 注意：椭圆中看分母大的变量，双曲线看正项的变量，抛物线看一次项． 【对点训练】2．（多选题）（2026·高三·云南楚雄·期末）已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 【答案】BCD 【解析】若，则椭圆焦点在轴上，，长轴长为：，A错误. 当时，，则的焦点在轴上，B正确. 当时，的焦距为4，C正确. 因为，所以，D正确. 故选：BCD 易错点3 离心率公式混淆 易错提醒 错误：忽略abc的大小关系，e的范围不明 纠正：椭圆离心率∈（0，1），双曲线离心率大于1 【对点训练】3．（多选题）（2026·高二·重庆·阶段检测）截口曲线是由平面截取圆锥和圆柱时形成的交线，其形状取决于截面与轴的夹角，当夹角变化时可得到不同的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与旋转轴的交点M距离圆锥顶点S长度为2，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（    ） A．若该截面与圆锥的一条母线夹角为60°，则该曲线为圆 B．若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线的离心率为 C．若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则点M为该曲线的一个焦点 D．若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线上任意两点之间的最大距离为3 【答案】BD 【解析】对于A，当截面与圆锥一个轴截面的一条母线夹角为60°且与该轴截面的另一条母线平行线时， 所以所得曲线是不是圆，A错误； 对于BCD，根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆， 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该截面与圆锥的一条母线垂直， 设与截面垂直的母线垂足为A，平面SAM交椭圆曲线的另一交点为B， 由对称性知AB为该椭圆的长轴端点．如图， 在直角三角形SAB中，由，，， 则有，，，，， 所以该曲线上任意两点之间的最大距离是长轴长，故D正确； 再过M作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径， 在这个圆面内作MP垂直于平面SAB，交椭圆于点P，则， 如图， 在截面上取AB中点为坐标原点，方向为x轴正向，建立平面直角坐标系， 则，，， 由MP垂直于平面SAB知MP垂直于x轴，则， 设椭圆方程为，将代入得：，最后可得， 由于，所以不是椭圆的焦点，故C错误； 即椭圆离心率为，故B正确； 故选：BD 易错点4 直线与圆锥曲线位置关系 易错提醒 错误：联立方程漏解或多解 注意：直线方程设斜截式必须单独讨论斜率不存在的情况，联立方程后需 【对点训练】4．（2026·高二·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知抛物线的方程为，直线过定点P（2,0），斜率为．当为何值时，直线与抛物线： （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点． 【解析】由题意可设直线方程为：y＝k（x2）， 联立方程可得，整理可得k2x24（k2﹣1）x+4k2＝0（*） （1）直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）没有根 ①k＝0时，x＝0符合题意 ②k≠0时，△＝16（k2﹣1）2﹣16k4＝0 ∴ 综上可得，，，或0， （2）直线与抛物线有2个公共点⇔（*）有两个根 ∴ ∴ 即∪ （3）直线与抛物线没有一个公共点⇔（*）没有根 解不等式可得，k或k， 即∪ 易错点5 弦长公式使用错误 易错提醒 错误：直接套用公式，不考虑实际意义 注意：先联立方程，确保有解的情况下，再套用公式 【对点训练】5．（2026·高三·广西河池·期末）已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 【解析】（1）由题意知， 代入点，即，解得， 可得椭圆的方程为； （2）联立与， 化简得， 可得， 由可得， 即解得， 所以， 可得， 即弦的长为. 1．（2026·高二·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【解析】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 2．（2026·高二·广西柳州·期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点，若四边形的面积是面积的4倍，则的方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将代入椭圆方程中，解得：， 因为在第一象限，所以，所以坐标为：， 由，又，因此， 由，的边的长为，高为的横坐标，故， 代入中得：，从而可得：， 又因为，所以， 即， 对于A，由，满足，故A正确； 对于B，由 ，不满足，故B错误； 对于C，将化为标准形式为：， 由 ，满足，故C正确； 对于D，将化为标准形式为：， 由 ，满足，故D正确. 3．（2026·高三·河北雄安·开学考试）已知等腰梯形的四个顶点均在抛物线上，其中，并且，若四边形的面积为9，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】四边形为等腰梯形，根据抛物线的对称性可知，轴，轴，不妨设在轴上方，如图所示， 因为，所以，所以，所以， 所以等腰梯形的高为，又因为四边形的面积为9， 所以4），解得. 故选:A. 4．（2026·高二·广西桂林·期末）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 5．（2026·高三·贵州贵阳·期中）已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 设，则，， ，，，，，， ，， ，，， 在中，，，， ， ，，， 的离心率为. 故选：D. 6．（2026·高二·山东青岛·期中）吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是半圆上的点， ，，，， 半椭圆（，交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点， ， 当的面积最大时， 点为与直线平行的直线且此直线与半圆相切于第四象限的切点， ， 设与直线平行的直线且与半圆相切的直线方程为， 半圆的圆心为，半径为， 圆心为到的距离为， 与半圆相切， ，，，， 当点的坐标为时，的面积最大， 在上，，， 联立，解得，半椭圆方程为， . 故选：D. 7．（2026·高二·安徽阜阳·期中）已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】双曲线的渐近线为，即， 因为两条渐近线均与圆相切，所以点到直线的距离等于半径， 即，故双曲线C的离心率. 故选：C. 8．（2026·高二·浙江·期中）已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆：，半径为， 过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点， ，，，，， ，，， 在中，由余弦定理得， ，则， ，，. 故选：D. 9．（多选题）（2026·高二·安徽阜阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 【答案】ABD 【解析】对于A，由题知，解得，所以，所以的短轴长为，A正确； 对于BC，由A可知，， 设椭圆上一点，则， 又，即， 所以， 因为，所以，得，故C错误， 由，则椭圆上存在点，使得，故B正确； 对于D，由的几何意义可知： 动点到定点的距离之和等于， 表示以为焦点，的椭圆，故D正确. 10．（多选题）（2026·湖南邵阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（   ） A． B．当时，的最小值为 C．点到直线的距离的最小值为2 D．当时，直线ON的斜率的最大值为 【答案】ABD 【解析】根据抛物线的定义，的准线为， 由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确； 对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为， 对于B选项，当时，； 当时， 当且仅当时，等号成立.选项B正确； 对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：   到直线的距离， 当时，.选项C错误； 对于D选项，可根据向量共线作出示意图： 根据定义求出抛物线的焦点，由得， 当时，； 当时，， 当且仅当时，等号成立.选项D正确. 故选：ABD 11．（2026·高二·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 【答案】 【解析】由题知双曲线的焦点在轴上， 设半焦距为，由双曲线性质得：， 因为椭圆与双曲线焦点相同，故椭圆的焦点也在轴上，即， 由椭圆的性质得：， 所以，即，由，解得：. 12．（2026·高二·广东·期中）中心为坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则椭圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】焦距为4，，， 离心率为，，，， ， 焦点在x轴上，椭圆的标准方程为. 故答案为：. 13．（2026·高二·河北·期中）已知椭圆的右焦点为为椭圆上的动点，点在以为直径的圆上，若的最大值为3（为坐标原点），则椭圆的短轴长___________． 【答案】 【解析】设的中点为，椭圆的左焦点为，连接，则的最大值为， 而分别为和的中点，所以， 从而，故， 故椭圆的短轴长为． 故答案为：. 14．（2026·高二·四川南充·阶段检测）解答下列两个小题： (1)双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程； (2)已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程. 【解析】（1）对 椭圆 ，因为，所以，所以焦点为，在轴上， 设双曲线 的方程为， 所以， 且，所以， 所以， 双曲线 的标准方程为； （2） 双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以所求双曲线方程可设为： 又双曲线 经过点， 代入方程， ，即, 双曲线的标准方程为即. 15．（2026·高二·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求. 【解析】（1）设，则的斜率分别为，， 由已知得， 化简得， 即曲线C的方程为， 曲线是一个双曲线，除去左右顶点. （2）联立消去整理得， 设，，则， . 16．（2026·高二·安徽池州·期末）已知平面上动点到直线的距离比它到点的距离多. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点形成的曲线为，过点的直线交曲线于两点，若直线和直线的斜率之和为（其中为坐标原点），求直线的方程. 【解析】（1）由题意知，动点到定点的距离等于它到定直线的距离，所以动点的轨迹是以定点为焦点、定直线为准线的抛物线，因为，所以动点的轨迹方程是． （2）曲线是，设点，直线的方程为， 联立，得， 则，因为， 所以，即，解得 当时，有不等实数根，满足条件. 故直线的方程是 17．（2026·高二·湖北·期末）已知抛物线，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，. (1)求的值； (2)若，且三角形的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）（1）将直线代入消去可得 恒成立 设，则有 又，则有， 所以； （2）由（1）可知， 到直线的距离为， 故， 解得，所以， 所以直线的方程为或. 18．（2026·高二·江西南昌·期末）已知抛物线与直线相切，切点为. (1)求的值； (2)过点且与直线垂直的直线与抛物线交于另一点，求. 【解析】（1）由，得①. 因为抛物线与直线相切，所以， 解得（舍去），即的值为2． （2）方程①即，解得，，所以． 直线AB的方程为，即． 由，得， 解得（舍去），．由，得，即． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $