第3章 圆锥曲线与方程全章高频重点题型突破全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一、椭圆与方程 题型一、椭圆与方程 题型二、双曲线与方程 题型三、抛物线与方程 题型四、椭圆的几何性质 题型五、双曲线的几何性质 题型六、抛物线的几何性质 题型七、直线与椭圆 题型八、直线与双曲线 题型九、直线与抛物线 核心提升：重难题型归纳 题型一：中点弦问题 题型二：定点问题 题型三：定值问题 题型四：范围与最值问题 题型专练：高频重难特训 题型一、椭圆与方程 1．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 2．（2026·高二·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长， 分别是椭圆左、右焦点，点在上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长， 所以. 3．（2026·高二·宁夏石嘴山·阶段检测）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【解析】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，所以，即. 题型二、双曲线与方程 5．（2026·高二·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 6．（2026·高二·山西朔州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【解析】设双曲线的半焦距为.因为，所以， 所以，解得. 由双曲线的定义可得， 所以，解得或，且有， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，满足题意.综上，. 故选：A. 7．（2026·高二·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 8．（2026·贵州安顺·一模）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程表示双曲线，所以， 解得或. 题型三、抛物线与方程 9．（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 10．（2026·高三·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 11．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 12．若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 题型四、椭圆的几何性质 13．（多选题）已知椭圆的离心率为，则实数的值可能为（   ） A．2 B． C．6 D．8 【答案】AD 【解析】由，得，即，所以， 化为， 若焦点在轴上，则，所以，解得； 若焦点在轴上，则，则，解得． 所以或． 14．（多选题）（2026·高三·贵州毕节·开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有6个 【答案】CD 【解析】由椭圆，得，则， 对于A，椭圆的离心率，故A错误； 对于B，当点在短轴端点处时，最大，此时，又， 所以，即，所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，由椭圆定义得， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，要使得为等腰三角形，分下面三种情况： 当时，对应短轴两个端点，共2个点； 当，，对应上下2个点； 当，，对应上下2个点； 综上，使得为等腰三角形的点共有6个，故D正确. 15．（多选题）（2026·高三·甘肃天水·阶段检测）已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点，且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（     ） A．的取值范围为 B．若，则直线的斜率为0 C．若，则的离心率的取值范围为 D．若，则，，，四点共圆 【答案】ACD 【解析】在A选项中，短轴端点到原点距离为，长轴端点到原点距离为， 故，设，因为关于原点对称，则， 已知，,分别为线段，的中点， 根据中点坐标公式可得：，， 则， 因为在椭圆上，所以，即， 则，其中， 因为，则当时，取得最小值， 当时，取得最大值，所以的取值范围为，A正确， 在B选项中，若，则，即， 因为，所以，此时直线的斜率不存在，B错误， 在C选项中，若，则，即， 又因为，所以，可得， 因为，所以，即， 由得，得，又因为， 所以离心率，C正确， 在D选项中，若，则， 若以为直径圆，则，，圆心，半径， 圆方程为，化简可得：， 将代入可得：， 即在圆上，同理，将代入可得： ， 即在圆上，而，也在圆上，所以，，，四点共圆，D正确. 16．（多选题）（2026·湖南永州·一模）设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 【答案】ABD 【解析】选项A，当时，，可知，所以A正确； 选项B，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，即在上下两个顶点时，取得最大值为2，所以B正确； 选项C，因为，所以即，椭圆上点对焦点的最大张角在短轴顶点处，故需， 可知，所以， 即，得，所以，离心率， 由可知，所以C错误， 选项D，设，则，，是开口向下的二次函数，对称轴， 若，对称轴，函数在单调递减，在处取得最大值，，满足； 若，对称轴，最大值在对称轴处取得，， 令，则，不满足条件， 所以，，即，所以D正确. 题型五、双曲线的几何性质 17．（多选题）（2026·湖南衡阳·一模）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有3条，则 C．恒成立 D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】双曲线：的右焦点为，左右顶点分别为， 对于A，当直线斜率为0时，，A错误； 对于B，由满足的直线恰有3条，得必有2条直线与双曲线的左右两支相交， 并关于轴对称，另有一条直线与右支交于两点，也关于轴对称，其斜率不存在， 因此为通径长，等于12，B正确； 对于C，当斜率为0时，成立， 当斜率不为0时，若直线与交于同一支， 则， 设，， 由，得， 则，，， 因此， 若直线与交于左右两支时， 不妨设在左支，， 同理可得成立，因此恒成立，C正确； 对于D，当直线与交于右支时，， 当直线与交于左右两支时，不妨设， ， 由，得， 当直线斜率为0时，， 因此的取值范围为，D正确． 18．（多选题）（2026·高二·河北保定·期中）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【答案】BC 【解析】由双曲线：，得，则， 即， 则双曲线实轴长为，虚轴长为，离心率为，故A错误，BC正确； 而双曲线的两渐近线方程为， 则两渐近线的倾斜角分别为， 所以两渐近线的夹角为，则夹角的正切值为，故D错误. 19．（多选题）双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 【答案】ACD 【解析】由双曲线，得，，即，， 所以渐近线方程为. 又右焦点，设过的直线为（存在）， 联立，消去，得， 整理得.① 对于，渐近线斜率为，若直线斜率，则直线与其中一条渐近线平行，此时直线和双曲线只有1个交点，正确； 对于，若两点均在右支，则方程有两个不相等的正根，即， 由韦达定理得，. 因中分子恒成立，故需要分母，解得，错误； 对于，分跨两支，则方程的两根一正一负，即，解得，正确； 对于，直线垂直于轴，即，代入双曲线，得，交点为，， 弦长为，正确. 20．（多选题）（2026·高三·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知双曲线：，其左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交于，两点，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】AC 【解析】 由双曲线方程：可知，，，则渐近线方程，选项A正确； 双曲线离心率公式，选项B错误； 将代入双曲线方程：可得，，即，则，，的面积为，选项C正确； ，故的周长为，选项D错误. 题型六、抛物线的几何性质 21．（多选题）（2026·高三·云南·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，且与交于，两点，则（     ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】选项A：抛物线的焦点，抛物线的顶点为， 由抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，所以，A正确. 选项B：由A选项分析知，联立，消得， 解得，，即交点为， 不妨设，，则，， 所以，B正确. 选项C：因为抛物线：的焦点，所以， 又因为，由抛物线的定义，C错误. 选项D：由，，所以，， 所以在上的投影向量为，D正确. 22．（多选题）（2026·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】由抛物线，得， ∴ 焦点， 准线方程为. 设， 由抛物线定义得. 将代入， 整理得， 由韦达定理得. 对选项A：∵ ， ∴ ， 解得，代入得， ∴ ， 解得， 又， ∴ ， A正确； 对选项B：∵ ， 为坐标原点， ∴ 在线段的垂直平分线上， 而中点为， 垂直平分线为， 故. 代入抛物线方程得， 又， ∴ ，∴ ， 解得， B正确； 对选项C：∵ ， ∴ ， 即. 代入得， 即， 解得（负根舍去）， 则， ∴ ， 解得， 又，∴ ， C错误； 对选项D：， 代入， 得， 令， 解得， 又， ∴ ， D正确. 23．（多选题）（2026·高三·河北保定·阶段检测）抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 【答案】AD 【解析】选项 A，抛物线的焦点为，是关于原点的对称点，故，由，且是的中点，得， 因为都在抛物线上，代入抛物线方程得，， 即，，所以，得，由，解得，故 A 正确； 选项 B，由，抛物线方程为，其准线方程为，故 B 错误； 选项 C，由，，因为点B在第一象限，故，即，故， 所以，故 C 错误； 选项 D，如图，延长AF与抛物线交于点C，在F的右侧且在x轴上取一点X， 焦点，，， 可得，说明直线与关于轴对称，所以， 因为，所以，故D 正确. 24．（多选题）（2026·高三·四川成都·开学考试）已知抛物线 的焦点为， 为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线上任意一点到点 的距离最小值为 B．若点为抛物线上的动点，点，则 的最小值为 C．若过焦点且倾斜角为 的直线与抛物线交于， 两点，且，则 D．若过点的直线与抛物线交于 ， 两点，则点 在以为直径的圆内 【答案】CD 【解析】A中，设为抛物线上任意一点，则，其中. 因为. 配方得，当时取得最小值， 即的最小值为，不等于，A错误. B中，抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线的定义知等于点到准线的距离，所以， 即折线的长度. 点到准线的距离为，而折线长度不小于点到直线的距离， 且当取过垂直于的直线与抛物线的交点时取到等号. 故的最小值为，不等于，B错误. C中，焦点，倾斜角为的直线斜率为，其方程为. 代入得，解得，. 由焦半径公式，，所以，C正确. D中，设过点的直线方程为，代入得， 其判别式恒大于零. 设，，则，. 因为. . 所以为钝角，即点在以为直径的圆内，D正确. 题型七、直线与椭圆 25．（2026·高二·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【解析】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 26．（2026·高二·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【解析】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 27．（2026·高二·宁夏·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【解析】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 28．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点.求的取值范围. 【解析】（1）因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率. （2）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. 题型八、直线与双曲线 29．已知双曲线. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值. 【解析】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当，即时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述，或. 30．（2026·高二·广东深圳·期中）已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 【解析】（1）由已知，可得，解得； （2）由已知，可得；解得； （3）联立方程组；消去y得 而双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或；依题意得， 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 31．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 【解析】（1）由双曲线方程知：，则直线方程为， 得：，则， 直线方程与双曲线有两个不同的交点. 设，，中点为， 得：，，； ； （2）由（1）得 . 32．（2026·高三·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【解析】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 题型九、直线与抛物线 33．（2026·高二·上海黄浦·期中）已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 (1)若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； (2)若直线过，且，求直线方程. 【解析】（1） 抛物线：，焦点为， 设直线为，与抛物线联立方程，得， 得，所以线段中点的横坐标为（定值）. （2）设直线的方程为，与抛物线联立方程， 得，， ，得， 所以直线方程为. 34．（2026·高二·安徽合肥·阶段检测）已知直线：. (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，求证：. 【解析】（1）由题知直线的斜率， 设直线的斜率为，则， 因为，所以，解得. （2）直线：与抛物线的方程联立， 消去，得，， 设，，则， 所以，所以. 35．（2026·高二·河南郑州·阶段检测）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A，B两点． (1)求的准线方程； (2)证明：； 【解析】（1）由题意得，因为点满足， 则，解得． 故，准线方程：． （2）当直线的斜率不存在时，此时轴， 由（1）得，将代入到，解得， 则，， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在且不为0时，设直线，如图： 联立，消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． 36．（2026·高二·河南漯河·期中）已知抛物线：（）经过点. (1)求抛物线的焦点的坐标； (2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 【解析】（1）抛物线：（）经过点， ，，， 抛物线的焦点的坐标为； （2）设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立，消去整理得到， 与有2个交点，，或. 实数的取值范围为或. 题型一：中点弦问题 37．（2026·高二·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 38．已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【解析】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 39．（2026·高二·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【解析】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 40．（2026·高二·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【解析】（1）因为动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）由题意点在椭圆内，且直线l的斜率存在且不为0， 设点、，因为为线段的中点， 所以 ， 所以直线的方程为即. 题型二：定点问题 41．已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 【解析】（1）由椭圆焦距为，可得，即， 由椭圆定义可得，故， 故， 即椭圆的标准方程为； （2）由题意可得，设，、， 联立，消去可得，恒成立， 则，， 则，，即， 则，令，解得，即， 若在以为直径的圆上，则， 由，， 即有 ， 即 即， 令，解得， 故以为直径的圆恒过定点. 42．（2026·高二·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【解析】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 43．（2026·高二·北京·期中）已知椭圆的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）因为， 令，得， 由已知， 又，， 解得，， 所以椭圆的方程为. （2）设，由题知直线存在斜率设为， 则， 于是， 消得 则，得， 于是， 令，则， 设，则，. ， 所以，得. 所以存在点满足题意. 44．（2026·西藏林芝·二模）设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)当最小时，求直线的方程； (3)设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 【解析】（1）由抛物线的定义可得，解得2. 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知抛物线的焦点， 设直线的方程为，，. 联立直线与抛物线的方程， 可得. 所以，. 根据抛物线的定义，，， 又因为，所以. . 根据基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当且时等号成立. 联立，解得或 当，时，； 当，时，. 所以直线的方程为，即. （3）已知，，则直线的方程为，直线的方程为. 令，可得，. 根据圆的性质，若点在以为直径的圆上，则. 所以. 又因为，所以， 代入上式可得. 由（2）可知，代入上式可得，即， 解得或. 所以以为直径的圆经过轴上的两个定点和. 题型三：定值问题 45．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【解析】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： （2）， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 46．（2026·高二·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 【解析】（1）由题意，因为点，在双曲线：（，）上， 所以，解得， 故的方程为. （2）证明： 由题意，易知的斜率不为0， 设的方程为，，， 与双曲线联立，即，化简可得， 则，，. 故直线与的斜率之积为 . 即直线与的斜率之积为定值. 47．（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 【解析】（1）根据题意，，解得， 则， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）设点到直线的距离为， 当直线轴时，， 根据等面积法得，解得； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为，由，得， 所以①， 同理，由可求得②， 根据等面积法得，即， 即 ，即③， 将①②代入③得， 又点到直线的距离为定值， 所以，解得， 时，，即， 综上所述，时，点到直线的距离为定值． 48．（2026·高二·上海·期中）已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）圆：的圆心，半径， 由线段的中垂线与交于点，得， 则， 因此点Q的轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆， 长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以曲线的方程为. （2）设直线l的方程为，点， 由消去并整理得， 则，， ， 直线的斜率分别为，因此 ， 由，得，当时，为定值， 当时，为定值， 所以在轴上存在定点，使得直线的斜率之积为定值，坐标为或. 题型四：范围与最值问题 49．（2026·高二·天津宝坻·阶段检测）椭圆方程 ，左右焦点分别，离心率 ，长轴长为4. (1)求椭圆方程； (2)若直线交椭圆于A， B两点， 直线又与以为直径的圆交于 C， D两点.若 .将下面几个问题的求解过程写在答题纸对应位置. ① 用m表示， 求出m的范围； ② 用m表示， 求出m的范围； ③ 利用已知条件求出直线 的方程. 【解析】（1）根据题意，设的坐标分别为， 根据椭圆的几何性质可得， 解得，则， 故椭圆C的方程为. （2）如图， 直线l为， 则由（1）知的坐标分别为， ①可得以线段为直径的圆为，圆心到直线l的距离， 得，即， 则， ； ②联立得， 设， 则，得， ， ， ； ③由可得， 解得，得. 所以直线 的方程. 50．（2026·高二·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【解析】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得， 因为圆内含于圆C,故圆上所有点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为; （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 51．（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，为坐标原点． (1)求的离心率e； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 【解析】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，，，所以的离心率． （2）依题意，设，则，， 因此， 则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以的最大值为，最小值为. 52．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，，，，求四边形面积的最小值. 【解析】（1）由题意可知，，所以，，所以， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，， 从而； 当直线的斜率为零时，可得，； 设直线的斜率为，且，直线的方程为：， 直线的方程为， 设，，，， 由，消去得，显然成立， 所以，，从而， 由，消去得，显然成立， 所以，，从而， 所以， 因为，则，，则， 所以， 当且仅当，即时取得最小值，所以四边形面积的最小值为. 1．与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆的焦点在轴上，故排除选项A，D． 在椭圆中，；在椭圆中，，故排除选项B； 在椭圆中，，易知中的椭圆符合题意． 2．（2026·高二·四川泸州·期末）已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线标准方程为，焦点在x轴正半轴上， 所以，所以它的焦点是. 3．（2026·高三·河南驻马店·开学考试）塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由抛物线的定义知： . 4．（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 5．（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 6．（2026·高二·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 7．（2026·高二·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 8．椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，设， 则·， 所以椭圆的离心率=. 9．（多选题）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【解析】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. 10．（多选题）（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的坐标为 B．当的倾斜角为时， C． D．以为直径的圆与直线相切 【答案】ACD 【解析】A，因为焦半径， 所以，代入，解得， 由，所以，故A正确； B，当的倾斜角为时，斜率为，则的方程为 ， 联立方程，得到，则或， 因为点在上方，所以，所以，故B错误； C，抛物线的标准方程为，若直线与轴重合， 此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，故C正确； D，设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，， 所以，圆心到准线的距离等于半径，故D正确； 11．（多选题）（2026·湖南怀化·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到渐近线的距离等于 B．内切圆的圆心在直线上 C．为定值 D．若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 【答案】ABC 【解析】对于A选项，由题意可知， 则渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离等于， 同理到渐近线的距离为； 对于B选项，设的内切圆与三边分别切于点， 根据切线长定理得 则 ， 又因为，解得，故G点坐标为，因为三角形的内切圆的圆心与切点G的连线垂直于x轴上，故横坐标与G点相同，故B选项正确； 对于C选项，设点，则，即， 点P到的距离， 同理点P到的距离， 则， 故C选项正确； 对于D选项，当点P与右顶点重合时， ，故当点P越接近右顶点时，的值就越接近2该值小于6，故D选项错误. 12．（2026·高二·河南·期中）如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为，则直线的斜率与直线的斜率之积为___________. 【答案】/ 【解析】由题意可知，，解得，，则， 设，则，化简得， 设直线的方程为，即， 代入整理得， 则， 整理得， 设直线的斜率为，同理得， 所以，是方程的两根， . 13．（2026·高二·四川·期中）已知动圆分别与圆外切和圆内切，设动圆的圆心轨迹为，过点的直线垂直于轴交曲线于两点，则弦长等于______ 【答案】/ 【解析】 如图所示，设圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的半径为， 由圆分别与圆外切和圆内切， 则，，则， 即动点到两定点的距离之和为定值，且大于，满足椭圆定义， 即点是以为焦点，且，的椭圆， 所以动点的轨迹方程为，如图所示， 由轴，且过点， 设，， 将代入椭圆方程，得， 即，，所以． 14．（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 【答案】或 【解析】由椭圆长轴长为30，得，即，椭圆离心率； 过的直线斜率为，且位于轴上方，故，因此， 设焦距，由得 ； 根据椭圆定义 ，得 。 在中由余弦定理知：， 即，整理得 ， 解得或，均满足题意， 当时，；当时，. 15．（2026·高二·江苏·期中）在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． (1)求证：为定值； (2)求四边形面积的最小值． 【解析】（1）由椭圆，得， 设，易得， 则直线的方程为， 令，可得，则得，即， 因为是椭圆上异于的一个动点，故，即， 则，为定值. （2）由（1）知，直线的方程为，令，可得， 设以为直径的圆的圆心为点，则其坐标为，设交轴于点， 连接，则 ， ， 故 ， 因，则，（*） 因点在椭圆上，则可设， 代入（*），可得 ， 不妨设，则可将其理解为动点与定点所在直线的斜率， 又动点在以原点为圆心的单位圆上， 由圆心到直线的距离 ，解得， 依题意，需使，即，从而， 即四边形面积的最小值为. 16．动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）利用点到直线与直线的距离之积等于建立方程，化简即可得到结果. （2）假设存在点，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点坐标满足的关系式，利用点在双曲线上即可得到结果. （1）因为动点到直线的距离为，动点到直线的距离为， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以的方程为. （2）存在，使得，理由如下： 由得，， 由得，且. 设，则，故. 由题意得，. 设存在点满足， 则， 所以. 因为点在上，所以， 化简得，解得或（舍）， 因为，所以，故，即， 所以存在，使得. 17．已知椭圆：（），过的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为.当在上运动时，点的轨迹为.求的方程. 【解析】（1）设椭圆的右焦点为，其中， 那么过右焦点且垂直于轴的直线为，代入椭圆得， 即，所以， 由于截线段长为，解得， 故，离心率. （2）方法一： 由（1）知椭圆方程为， 由于点满足，且，过作轴的垂线，交轴于点， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线方程为：，直线方程为：，即， 联立，解得， 即点. 设，则由，得， 代入椭圆方程得， 即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二：由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则，所以， 因为点在直线上，所以， 则 把代入椭圆方程：，得， 即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为. 18．（2026·高二·青海海东·期末）已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 【解析】（1）由左顶点 得 ，离心率 得 ， 则 ， 故 的方程为 . （2）设 , ，联立直线与双曲线： 消去 得 ， 化简得 ， 由韦达定理 , ， 又 ， 所以 . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆锥曲线与方程全章高频重点题型突破参考答案 题型一、椭圆与方程 1．【答案】C 【解析】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 2．【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长， 分别是椭圆左、右焦点，点在上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长， 所以. 3．【答案】D 【解析】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 4．【答案】C 【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，所以，即. 题型二、双曲线与方程 5．【答案】D 【解析】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 6．【答案】A 【解析】设双曲线的半焦距为.因为，所以， 所以，解得. 由双曲线的定义可得， 所以，解得或，且有， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，满足题意.综上，. 故选：A. 7．【答案】C 【解析】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 8．【答案】D 【解析】因为方程表示双曲线，所以， 解得或. 题型三、抛物线与方程 9．【答案】A 【解析】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 10．【答案】B 【解析】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 11．【答案】D 【解析】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 12．【答案】A 【解析】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 题型四、椭圆的几何性质 13．【答案】AD 【解析】由，得，即，所以， 化为， 若焦点在轴上，则，所以，解得； 若焦点在轴上，则，则，解得． 所以或． 14．【答案】CD 【解析】由椭圆，得，则， 对于A，椭圆的离心率，故A错误； 对于B，当点在短轴端点处时，最大，此时，又， 所以，即，所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，由椭圆定义得， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，要使得为等腰三角形，分下面三种情况： 当时，对应短轴两个端点，共2个点； 当，，对应上下2个点； 当，，对应上下2个点； 综上，使得为等腰三角形的点共有6个，故D正确. 15．【答案】ACD 【解析】在A选项中，短轴端点到原点距离为，长轴端点到原点距离为， 故，设，因为关于原点对称，则， 已知，,分别为线段，的中点， 根据中点坐标公式可得：，， 则， 因为在椭圆上，所以，即， 则，其中， 因为，则当时，取得最小值， 当时，取得最大值，所以的取值范围为，A正确， 在B选项中，若，则，即， 因为，所以，此时直线的斜率不存在，B错误， 在C选项中，若，则，即， 又因为，所以，可得， 因为，所以，即， 由得，得，又因为， 所以离心率，C正确， 在D选项中，若，则， 若以为直径圆，则，，圆心，半径， 圆方程为，化简可得：， 将代入可得：， 即在圆上，同理，将代入可得： ， 即在圆上，而，也在圆上，所以，，，四点共圆，D正确. 16．【答案】ABD 【解析】选项A，当时，，可知，所以A正确； 选项B，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，即在上下两个顶点时，取得最大值为2，所以B正确； 选项C，因为，所以即，椭圆上点对焦点的最大张角在短轴顶点处，故需， 可知，所以， 即，得，所以，离心率， 由可知，所以C错误， 选项D，设，则，，是开口向下的二次函数，对称轴， 若，对称轴，函数在单调递减，在处取得最大值，，满足； 若，对称轴，最大值在对称轴处取得，， 令，则，不满足条件， 所以，，即，所以D正确. 题型五、双曲线的几何性质 17．【答案】BCD 【解析】双曲线：的右焦点为，左右顶点分别为， 对于A，当直线斜率为0时，，A错误； 对于B，由满足的直线恰有3条，得必有2条直线与双曲线的左右两支相交， 并关于轴对称，另有一条直线与右支交于两点，也关于轴对称，其斜率不存在， 因此为通径长，等于12，B正确； 对于C，当斜率为0时，成立， 当斜率不为0时，若直线与交于同一支， 则， 设，， 由，得， 则，，， 因此， 若直线与交于左右两支时， 不妨设在左支，， 同理可得成立，因此恒成立，C正确； 对于D，当直线与交于右支时，， 当直线与交于左右两支时，不妨设， ， 由，得， 当直线斜率为0时，， 因此的取值范围为，D正确． 18．【答案】BC 【解析】由双曲线：，得，则， 即， 则双曲线实轴长为，虚轴长为，离心率为，故A错误，BC正确； 而双曲线的两渐近线方程为， 则两渐近线的倾斜角分别为， 所以两渐近线的夹角为，则夹角的正切值为，故D错误. 19．【答案】ACD 【解析】由双曲线，得，，即，， 所以渐近线方程为. 又右焦点，设过的直线为（存在）， 联立，消去，得， 整理得.① 对于，渐近线斜率为，若直线斜率，则直线与其中一条渐近线平行，此时直线和双曲线只有1个交点，正确； 对于，若两点均在右支，则方程有两个不相等的正根，即， 由韦达定理得，. 因中分子恒成立，故需要分母，解得，错误； 对于，分跨两支，则方程的两根一正一负，即，解得，正确； 对于，直线垂直于轴，即，代入双曲线，得，交点为，， 弦长为，正确. 20．【答案】AC 【解析】 由双曲线方程：可知，，，则渐近线方程，选项A正确； 双曲线离心率公式，选项B错误； 将代入双曲线方程：可得，，即，则，，的面积为，选项C正确； ，故的周长为，选项D错误. 题型六、抛物线的几何性质 21．【答案】ABD 【解析】选项A：抛物线的焦点，抛物线的顶点为， 由抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，所以，A正确. 选项B：由A选项分析知，联立，消得， 解得，，即交点为， 不妨设，，则，， 所以，B正确. 选项C：因为抛物线：的焦点，所以， 又因为，由抛物线的定义，C错误. 选项D：由，，所以，， 所以在上的投影向量为，D正确. 22．【答案】ABD 【解析】由抛物线，得， ∴ 焦点， 准线方程为. 设， 由抛物线定义得. 将代入， 整理得， 由韦达定理得. 对选项A：∵ ， ∴ ， 解得，代入得， ∴ ， 解得， 又， ∴ ， A正确； 对选项B：∵ ， 为坐标原点， ∴ 在线段的垂直平分线上， 而中点为， 垂直平分线为， 故. 代入抛物线方程得， 又， ∴ ，∴ ， 解得， B正确； 对选项C：∵ ， ∴ ， 即. 代入得， 即， 解得（负根舍去）， 则， ∴ ， 解得， 又，∴ ， C错误； 对选项D：， 代入， 得， 令， 解得， 又， ∴ ， D正确. 23．【答案】AD 【解析】选项 A，抛物线的焦点为，是关于原点的对称点，故，由，且是的中点，得， 因为都在抛物线上，代入抛物线方程得，， 即，，所以，得，由，解得，故 A 正确； 选项 B，由，抛物线方程为，其准线方程为，故 B 错误； 选项 C，由，，因为点B在第一象限，故，即，故， 所以，故 C 错误； 选项 D，如图，延长AF与抛物线交于点C，在F的右侧且在x轴上取一点X， 焦点，，， 可得，说明直线与关于轴对称，所以， 因为，所以，故D 正确. 24．【答案】CD 【解析】A中，设为抛物线上任意一点，则，其中. 因为. 配方得，当时取得最小值， 即的最小值为，不等于，A错误. B中，抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线的定义知等于点到准线的距离，所以， 即折线的长度. 点到准线的距离为，而折线长度不小于点到直线的距离， 且当取过垂直于的直线与抛物线的交点时取到等号. 故的最小值为，不等于，B错误. C中，焦点，倾斜角为的直线斜率为，其方程为. 代入得，解得，. 由焦半径公式，，所以，C正确. D中，设过点的直线方程为，代入得， 其判别式恒大于零. 设，，则，. 因为. . 所以为钝角，即点在以为直径的圆内，D正确. 题型七、直线与椭圆 25．【解析】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 26．【解析】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 27．【解析】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 28．【解析】（1）因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率. （2）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. 题型八、直线与双曲线 29．【解析】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当，即时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述，或. 30．【解析】（1）由已知，可得，解得； （2）由已知，可得；解得； （3）联立方程组；消去y得 而双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或；依题意得， 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 31．【解析】（1）由双曲线方程知：，则直线方程为， 得：，则， 直线方程与双曲线有两个不同的交点. 设，，中点为， 得：，，； ； （2）由（1）得 . 32．【解析】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 题型九、直线与抛物线 33．【解析】（1） 抛物线：，焦点为， 设直线为，与抛物线联立方程，得， 得，所以线段中点的横坐标为（定值）. （2）设直线的方程为，与抛物线联立方程， 得，， ，得， 所以直线方程为. 34．【解析】（1）由题知直线的斜率， 设直线的斜率为，则， 因为，所以，解得. （2）直线：与抛物线的方程联立， 消去，得，， 设，，则， 所以，所以. 35．【解析】（1）由题意得，因为点满足， 则，解得． 故，准线方程：． （2）当直线的斜率不存在时，此时轴， 由（1）得，将代入到，解得， 则，， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在且不为0时，设直线，如图： 联立，消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． 36．【解析】（1）抛物线：（）经过点， ，，， 抛物线的焦点的坐标为； （2）设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立，消去整理得到， 与有2个交点，，或. 实数的取值范围为或. 题型一：中点弦问题 37．【解析】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 38．【解析】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 39．【解析】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 40．【解析】（1）因为动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）由题意点在椭圆内，且直线l的斜率存在且不为0， 设点、，因为为线段的中点， 所以 ， 所以直线的方程为即. 题型二：定点问题 41．【解析】（1）由椭圆焦距为，可得，即， 由椭圆定义可得，故， 故， 即椭圆的标准方程为； （2）由题意可得，设，、， 联立，消去可得，恒成立， 则，， 则，，即， 则，令，解得，即， 若在以为直径的圆上，则， 由，， 即有 ， 即 即， 令，解得， 故以为直径的圆恒过定点. 42．【解析】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 43．【解析】（1）因为， 令，得， 由已知， 又，， 解得，， 所以椭圆的方程为. （2）设，由题知直线存在斜率设为， 则， 于是， 消得 则，得， 于是， 令，则， 设，则，. ， 所以，得. 所以存在点满足题意. 44．【解析】（1）由抛物线的定义可得，解得2. 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知抛物线的焦点， 设直线的方程为，，. 联立直线与抛物线的方程， 可得. 所以，. 根据抛物线的定义，，， 又因为，所以. . 根据基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当且时等号成立. 联立，解得或 当，时，； 当，时，. 所以直线的方程为，即. （3）已知，，则直线的方程为，直线的方程为. 令，可得，. 根据圆的性质，若点在以为直径的圆上，则. 所以. 又因为，所以， 代入上式可得. 由（2）可知，代入上式可得，即， 解得或. 所以以为直径的圆经过轴上的两个定点和. 题型三：定值问题 45．【解析】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： （2）， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 46．【解析】（1）由题意，因为点，在双曲线：（，）上， 所以，解得， 故的方程为. （2）证明： 由题意，易知的斜率不为0， 设的方程为，，， 与双曲线联立，即，化简可得， 则，，. 故直线与的斜率之积为 . 即直线与的斜率之积为定值. 47．【解析】（1）根据题意，，解得， 则， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）设点到直线的距离为， 当直线轴时，， 根据等面积法得，解得； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为，由，得， 所以①， 同理，由可求得②， 根据等面积法得，即， 即 ，即③， 将①②代入③得， 又点到直线的距离为定值， 所以，解得， 时，，即， 综上所述，时，点到直线的距离为定值． 48．【解析】（1）圆：的圆心，半径， 由线段的中垂线与交于点，得， 则， 因此点Q的轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆， 长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以曲线的方程为. （2）设直线l的方程为，点， 由消去并整理得， 则，， ， 直线的斜率分别为，因此 ， 由，得，当时，为定值， 当时，为定值， 所以在轴上存在定点，使得直线的斜率之积为定值，坐标为或. 题型四：范围与最值问题 49．【解析】（1）根据题意，设的坐标分别为， 根据椭圆的几何性质可得， 解得，则， 故椭圆C的方程为. （2）如图， 直线l为， 则由（1）知的坐标分别为， ①可得以线段为直径的圆为，圆心到直线l的距离， 得，即， 则， ； ②联立得， 设， 则，得， ， ， ； ③由可得， 解得，得. 所以直线 的方程. 50．【解析】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得， 因为圆内含于圆C,故圆上所有点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为; （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 51．【解析】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，，，所以的离心率． （2）依题意，设，则，， 因此， 则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以的最大值为，最小值为. 52．【解析】（1）由题意可知，，所以，，所以， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，， 从而； 当直线的斜率为零时，可得，； 设直线的斜率为，且，直线的方程为：， 直线的方程为， 设，，，， 由，消去得，显然成立， 所以，，从而， 由，消去得，显然成立， 所以，，从而， 所以， 因为，则，，则， 所以， 当且仅当，即时取得最小值，所以四边形面积的最小值为. 1．【答案】C 【解析】椭圆的焦点在轴上，故排除选项A，D． 在椭圆中，；在椭圆中，，故排除选项B； 在椭圆中，，易知中的椭圆符合题意． 2．【答案】A 【解析】抛物线标准方程为，焦点在x轴正半轴上， 所以，所以它的焦点是. 3．【答案】C 【解析】由抛物线的定义知： . 4．【答案】B 【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 5．【答案】B 【解析】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 6．【答案】C 【解析】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 7．【答案】B 【解析】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 8．【答案】B 【解析】由题意知，设， 则·， 所以椭圆的离心率=. 9．【答案】ABD 【解析】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. 10．【答案】ACD 【解析】A，因为焦半径， 所以，代入，解得， 由，所以，故A正确； B，当的倾斜角为时，斜率为，则的方程为 ， 联立方程，得到，则或， 因为点在上方，所以，所以，故B错误； C，抛物线的标准方程为，若直线与轴重合， 此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，故C正确； D，设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，， 所以，圆心到准线的距离等于半径，故D正确； 11．【答案】ABC 【解析】对于A选项，由题意可知， 则渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离等于， 同理到渐近线的距离为； 对于B选项，设的内切圆与三边分别切于点， 根据切线长定理得 则 ， 又因为，解得，故G点坐标为，因为三角形的内切圆的圆心与切点G的连线垂直于x轴上，故横坐标与G点相同，故B选项正确； 对于C选项，设点，则，即， 点P到的距离， 同理点P到的距离， 则， 故C选项正确； 对于D选项，当点P与右顶点重合时， ，故当点P越接近右顶点时，的值就越接近2该值小于6，故D选项错误. 12．【答案】/ 【解析】由题意可知，，解得，，则， 设，则，化简得， 设直线的方程为，即， 代入整理得， 则， 整理得， 设直线的斜率为，同理得， 所以，是方程的两根， . 13．【答案】/ 【解析】 如图所示，设圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的半径为， 由圆分别与圆外切和圆内切， 则，，则， 即动点到两定点的距离之和为定值，且大于，满足椭圆定义， 即点是以为焦点，且，的椭圆， 所以动点的轨迹方程为，如图所示， 由轴，且过点， 设，， 将代入椭圆方程，得， 即，，所以． 14．【答案】或 【解析】由椭圆长轴长为30，得，即，椭圆离心率； 过的直线斜率为，且位于轴上方，故，因此， 设焦距，由得 ； 根据椭圆定义 ，得 。 在中由余弦定理知：， 即，整理得 ， 解得或，均满足题意， 当时，；当时，. 15．【解析】（1）由椭圆，得， 设，易得， 则直线的方程为， 令，可得，则得，即， 因为是椭圆上异于的一个动点，故，即， 则，为定值. （2）由（1）知，直线的方程为，令，可得， 设以为直径的圆的圆心为点，则其坐标为，设交轴于点， 连接，则 ， ， 故 ， 因，则，（*） 因点在椭圆上，则可设， 代入（*），可得 ， 不妨设，则可将其理解为动点与定点所在直线的斜率， 又动点在以原点为圆心的单位圆上， 由圆心到直线的距离 ，解得， 依题意，需使，即，从而， 即四边形面积的最小值为. 16．【解析】（1）利用点到直线与直线的距离之积等于建立方程，化简即可得到结果. （2）假设存在点，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点坐标满足的关系式，利用点在双曲线上即可得到结果. （1）因为动点到直线的距离为，动点到直线的距离为， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以的方程为. （2）存在，使得，理由如下： 由得，， 由得，且. 设，则，故. 由题意得，. 设存在点满足， 则， 所以. 因为点在上，所以， 化简得，解得或（舍）， 因为，所以，故，即， 所以存在，使得. 17．【解析】（1）设椭圆的右焦点为，其中， 那么过右焦点且垂直于轴的直线为，代入椭圆得， 即，所以， 由于截线段长为，解得， 故，离心率. （2）方法一： 由（1）知椭圆方程为， 由于点满足，且，过作轴的垂线，交轴于点， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线方程为：，直线方程为：，即， 联立，解得， 即点. 设，则由，得， 代入椭圆方程得， 即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二：由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则，所以， 因为点在直线上，所以， 则 把代入椭圆方程：，得， 即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为. 18．【解析】（1）由左顶点 得 ，离心率 得 ， 则 ， 故 的方程为 . （2）设 , ，联立直线与双曲线： 消去 得 ， 化简得 ， 由韦达定理 , ， 又 ， 所以 . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆锥曲线与方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一、椭圆与方程 题型一、椭圆与方程 题型二、双曲线与方程 题型三、抛物线与方程 题型四、椭圆的几何性质 题型五、双曲线的几何性质 题型六、抛物线的几何性质 题型七、直线与椭圆 题型八、直线与双曲线 题型九、直线与抛物线 核心提升：重难题型归纳 题型一：中点弦问题 题型二：定点问题 题型三：定值问题 题型四：范围与最值问题 题型专练：高频重难特训 题型一、椭圆与方程 1．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2026·高二·宁夏石嘴山·阶段检测）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型二、双曲线与方程 5．（2026·高二·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·山西朔州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 7．（2026·高二·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州安顺·一模）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三、抛物线与方程 9．（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 10．（2026·高三·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 11．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 12．若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型四、椭圆的几何性质 13．（多选题）已知椭圆的离心率为，则实数的值可能为（   ） A．2 B． C．6 D．8 14．（多选题）（2026·高三·贵州毕节·开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有6个 15．（多选题）（2026·高三·甘肃天水·阶段检测）已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点，且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（     ） A．的取值范围为 B．若，则直线的斜率为0 C．若，则的离心率的取值范围为 D．若，则，，，四点共圆 16．（多选题）（2026·湖南永州·一模）设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 题型五、双曲线的几何性质 17．（多选题）（2026·湖南衡阳·一模）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有3条，则 C．恒成立 D．的取值范围为 18．（多选题）（2026·高二·河北保定·期中）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 19．（多选题）双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 20．（多选题）（2026·高三·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知双曲线：，其左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交于，两点，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的面积为 D．的周长为 题型六、抛物线的几何性质 21．（多选题）（2026·高三·云南·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，且与交于，两点，则（     ） A． B． C． D．在上的投影向量为 22．（多选题）（2026·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．（多选题）（2026·高三·河北保定·阶段检测）抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 24．（多选题）（2026·高三·四川成都·开学考试）已知抛物线 的焦点为， 为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线上任意一点到点 的距离最小值为 B．若点为抛物线上的动点，点，则 的最小值为 C．若过焦点且倾斜角为 的直线与抛物线交于， 两点，且，则 D．若过点的直线与抛物线交于 ， 两点，则点 在以为直径的圆内 题型七、直线与椭圆 25．（2026·高二·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 26．（2026·高二·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 27．（2026·高二·宁夏·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 28．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点.求的取值范围. 题型八、直线与双曲线 29．已知双曲线. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值. 30．（2026·高二·广东深圳·期中）已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 31．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 32．（2026·高三·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 题型九、直线与抛物线 33．（2026·高二·上海黄浦·期中）已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 (1)若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； (2)若直线过，且，求直线方程. 34．（2026·高二·安徽合肥·阶段检测）已知直线：. (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，求证：. 35．（2026·高二·河南郑州·阶段检测）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A，B两点． (1)求的准线方程； (2)证明：； 36．（2026·高二·河南漯河·期中）已知抛物线：（）经过点. (1)求抛物线的焦点的坐标； (2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 题型一：中点弦问题 37．（2026·高二·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 38．已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 39．（2026·高二·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 40．（2026·高二·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 题型二：定点问题 41．已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 42．（2026·高二·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 43．（2026·高二·北京·期中）已知椭圆的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 44．（2026·西藏林芝·二模）设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)当最小时，求直线的方程； (3)设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 题型三：定值问题 45．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 46．（2026·高二·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 47．（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 48．（2026·高二·上海·期中）已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型四：范围与最值问题 49．（2026·高二·天津宝坻·阶段检测）椭圆方程 ，左右焦点分别，离心率 ，长轴长为4. (1)求椭圆方程； (2)若直线交椭圆于A， B两点， 直线又与以为直径的圆交于 C， D两点.若 .将下面几个问题的求解过程写在答题纸对应位置. ① 用m表示， 求出m的范围； ② 用m表示， 求出m的范围； ③ 利用已知条件求出直线 的方程. 50．（2026·高二·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 51．（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，为坐标原点． (1)求的离心率e； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 52．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，，，，求四边形面积的最小值. 1．与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·四川泸州·期末）已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·河南驻马店·开学考试）塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 6．（2026·高二·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 8．椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 10．（多选题）（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的坐标为 B．当的倾斜角为时， C． D．以为直径的圆与直线相切 11．（多选题）（2026·湖南怀化·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到渐近线的距离等于 B．内切圆的圆心在直线上 C．为定值 D．若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 12．（2026·高二·河南·期中）如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为，则直线的斜率与直线的斜率之积为___________. 13．（2026·高二·四川·期中）已知动圆分别与圆外切和圆内切，设动圆的圆心轨迹为，过点的直线垂直于轴交曲线于两点，则弦长等于______ 14．（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 15．（2026·高二·江苏·期中）在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． (1)求证：为定值； (2)求四边形面积的最小值． 16．动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 17．已知椭圆：（），过的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为.当在上运动时，点的轨迹为.求的方程. 18．（2026·高二·青海海东·期末）已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $