第3章 圆锥曲线与方程（知识清单）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线与方程 1、椭圆 （1）定义：平面内与两个定点,的距离 等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的 ，两焦点间的距离叫作椭圆的 .； （2）集合表示：P={,2a>}； （3）标准方程： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 （4）几何性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 短轴的长     长轴的长 焦点 焦距 对称性 关于轴、轴、原点对称 离心率 e越小，椭圆越 ；e越大，椭圆越 （5）椭圆的焦点三角形：设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦点三角形，如图所示. ①焦点三角形的周长 ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则 2、直线与椭圆的位置关系 （1）点与椭圆的位置关系： 对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外 点在椭圆内 ; 点在椭圆上 （2）直线与椭圆的位置关系：类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有 三种位置关系，如图所示. 直线与椭圆 有 个公共点; 直线与椭圆 有且只有 公共点; 直线与椭圆 公共点. （3）弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则 . （4）中点弦问题 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ② ：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. （5）弦中点与直线斜率 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 3、双曲线 （1）定义：平面内与两个定点的 的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的 ，两焦点间的距离叫作双曲线的 （2）标准方程： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 （3）几何性质： 图形 标准方程 范围 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 4、直线与双曲线的位置关系 （1）位置关系判断：一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. （2）交点位置判断： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件 ； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件 ； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件 . （3）弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长 . （4）通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于 . （5）中点弦问题：①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. （6）第二定义：平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 5、抛物线 （1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的 ，直线l叫作抛物线的 . （2）集合表示：设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. （3）标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) （4）几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 6、直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. （3）弦长公式：设直线与抛物线交于A,B两点，则 （4）焦点弦：抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 一、圆锥曲线的方程 1. 混淆圆锥曲线类型 错误：圆锥曲线方程中含有参数时，不能辨别曲线类型． 注意：区分三类曲线参数的含义，abc的关系。 二、圆锥曲线几何性质 2.焦点判断错误 错误：想当然认为焦点在x轴上或y轴上． 注意：椭圆中看分母大的变量，双曲线看正项的变量，抛物线看一次项． 3.离心率公式混淆 错误：忽略abc的大小关系，e的范围不明 纠正：椭圆离心率∈（0,1），双曲线离心率大于1 二、直线与圆锥曲线 4.直线与圆锥曲线位置关系 错误：联立方程漏解或多解 注意：直线方程设斜截式必须单独讨论斜率不存在的情况，联立方程后需δ≥0 5.弦长公式使用错误 错误：直接套用公式，不考虑实际意义 注意：先联立方程，确保有解的情况下，再套用公式 题型01 椭圆的标准方程 1．已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 3．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 题型02椭圆的几何性质 6．（多选）已知椭圆的焦距是，则的值可能是（   ） A． B．13 C． D．19 7．（多选）已知椭圆与椭圆，则（    ） A． B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 8．已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，设以为对角线的椭圆内接平行四边形的一组邻边斜率分别为，则 . 10．已知椭圆的上顶点为，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．10 B．8 C． D． 题型03直线与椭圆 11．（多选）已知直线被椭圆截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（    ） A． B． C． D． 12．直线被椭圆截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D． 13．求椭圆上的点到直线的最短距离，并求出此时椭圆上的点的坐标. 14．已知椭圆：（）的离心率为，且过点．设点处的切线为． (1)求的方程； (2)求直线的方程； (3)直线过点，且，点，在上，且，问：直线与的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标;若不是，说明理由． 15．已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为 ． 题型04双曲线的标准方程 16．已知双曲线的焦距为，则的值为 ． 17．若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，且，则（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．2或18 19．已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程; 20．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型05双曲线的几何性质 21．已知双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C的焦距是 . 22．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 23．（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（    ） A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为 C．C的实轴长为2 D．C的右焦点到渐近线的距离为 24．已知双曲线：（）的左、右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 25．已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型06直线与双曲线 26．已知双曲线，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 27．已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程． 28．已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 29．过双曲线M：的右顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C两点，且，则双曲线M的离心率是（    ） A． B． C． D． 30．已知双曲线，若直线：与双曲线交于不同的两点，且与构成的三角形中有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07抛物线的标准方程 31．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 32．已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 . 33．（多选）设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 34．顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为 . 35．若抛物线过点，则该抛物线的焦点为 ． 题型08抛物线的几何性质 36．（多选）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 37．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 38．在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为 ． 39．圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 40．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型09直线与抛物线 41．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 42．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段为直径的圆交y轴于两点，设线段的中点为H，则的值为（    ） A． B． C． D． 43．已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，若与轴交于点B，AF与抛物线的一个交点为（异于点），则的面积为（    ） A．4 B． C． D．6 44．抛物线上恒有两点关于直线对称．求的取值范围． 45．已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线与方程 1、椭圆 （1）定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.； （2）集合表示：P={,2a>}； （3）标准方程： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 （4）几何性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 短轴的长    长轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴、原点对称 离心率 e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁 （5）椭圆的焦点三角形：设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦点三角形，如图所示. ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则 2、直线与椭圆的位置关系 （1）点与椭圆的位置关系： 对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. （2）直线与椭圆的位置关系：类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. >0直线与椭圆相交有两个公共点; =0直线与椭圆相切有且只有一个公共点; <0直线与椭圆相离无公共点. （3）弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. （4）中点弦问题 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. （5）弦中点与直线斜率 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 3、双曲线 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. （2）标准方程： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 （3）几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 4、直线与双曲线的位置关系 （1）位置关系判断：一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. （2）交点位置判断： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. （3）弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. （4）通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于. （5）中点弦问题：①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. （6）第二定义：平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 5、抛物线 （1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. （2）集合表示：设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. （3）标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) （4）几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 6、直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. （3）弦长公式：设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). （4）焦点弦：抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 一、圆锥曲线的方程 1. 混淆圆锥曲线类型 错误：圆锥曲线方程中含有参数时，不能辨别曲线类型． 注意：区分三类曲线参数的含义，abc的关系。 二、圆锥曲线几何性质 2.焦点判断错误 错误：想当然认为焦点在x轴上或y轴上． 注意：椭圆中看分母大的变量，双曲线看正项的变量，抛物线看一次项． 3.离心率公式混淆 错误：忽略abc的大小关系，e的范围不明 纠正：椭圆离心率∈（0,1），双曲线离心率大于1 二、直线与圆锥曲线 4.直线与圆锥曲线位置关系 错误：联立方程漏解或多解 注意：直线方程设斜截式必须单独讨论斜率不存在的情况，联立方程后需δ≥0 5.弦长公式使用错误 错误：直接套用公式，不考虑实际意义 注意：先联立方程，确保有解的情况下，再套用公式 题型01 椭圆的标准方程 1．已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的焦点在轴上列出对应的不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，，解得． 故选:D. 2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可得，利用可求的最大值. 【详解】    设椭圆的半焦距为，则，， 如图，连接，则， 而，当且仅当共线且在中间时等号成立， 故的最大值为. 故选：A. 3．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得. 【详解】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 4．设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，从而利用两点距离公式与二次函数的性质即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径， 设，则，故，， 所以圆心到椭圆的最大距离 ， 因为开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减，故，则， 所以两点间的最大距离是． 故选：B． 5．设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【分析】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，三角形面积公式可判定B，利用向量数量积公式可判定C，根据等面积法可判定D. 【详解】由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 对于A，在中，设，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； 对于B，的面积为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ABD． 题型02椭圆的几何性质 6．已知椭圆的焦距是，则的值可能是（   ） A． B．13 C． D．19 【答案】BD 【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解. 【详解】由题知或， 解得或. 故选：BD 7．已知椭圆与椭圆，则（    ） A． B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】AC 【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论. 【详解】由题意，在中，有，，， ∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为，离心率， 在中，有，，， ∴长半轴为，短半轴为，焦距为， ，解得：，离心率， ∴AC正确，BD错误. 故选：AC. 8．已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形相似即可结合椭圆性质得由齐次式即可求解. 【详解】的垂心为点是以为直角顶点的直角三角形，又, 与相似（为坐标原点），， ，解得或（舍）， 故选：A． 9．已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，设以为对角线的椭圆内接平行四边形的一组邻边斜率分别为，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性，斜率坐标公式计算作答. 【详解】因是椭圆上关于原点对称的两点，不妨设，则，且， 又是椭圆内接平行四边形，则点关于原点对称， 不妨设，则，且，直线斜率分别为： ，因此，而，即， 所以. 故答案为： 10．已知椭圆的上顶点为，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】取椭圆的右焦点，易证直线是线段的垂直平分线，可得，，结合椭圆的定义求得答案. 【详解】由椭圆方程可得，，则， 如图，取椭圆的右焦点，连接， 则，即为正三角形， 又直线的斜率为，则直线的倾斜角为，即， 所以直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以的周长为 . 故选：B. 题型03直线与椭圆 11．已知直线被椭圆截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的对称性，结合直线之间的对称性，可得答案. 【详解】由椭圆是关于轴、轴、原点对称， 对于A，由直线与直线关于轴对称，则A正确； 对于B，直线是由直线向上平移个单位，则B错误； 对于C，由直线与直线关于轴对称，则C正确； 对于D，由直线与直线关于原点对称，则D正确. 故选 ：ACD 12．直线被椭圆截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】求出交点得纵坐标即可得解. 【详解】令，得，解得， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故选：C. 13．求椭圆上的点到直线的最短距离，并求出此时椭圆上的点的坐标. 【答案】最短距离为，对应的点的坐标为. 【分析】利用直线与椭圆相切的位置关系，联立椭圆和切线方程求得切线方程，再根据平行线间的距离公式求解. 【详解】设直线与椭圆相切， 则只有一组解， 即， 所以， 解得， 依题意，需求最短距离，所以取， 则最短距离为两平行线与的距离， 即， 此时点的横坐标为，代入可得， 所以对应的点的坐标为. 14．已知椭圆：（）的离心率为，且过点．设点处的切线为． (1)求的方程； (2)求直线的方程； (3)直线过点，且，点，在上，且，问：直线与的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标;若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线与的交点是为定点，定点坐标为 【分析】（1）由待定系数法及离心率公式即可求得结果； （2）设出直线方程，运用直线与椭圆相切时，联立直线方程与椭圆方程消元后令即可； （3）分两大类进行讨论：①当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，消去，写出韦达定理，结合可得或，分别找出两种情形下直线所过的定点，确定与直线的交点坐标；②当直线的斜率不存在时，设其方程为，求解直线方程得交点坐标即可得结论． 【详解】（1）由题意，得，则， 故椭圆． （2）由题意可得，直线的切线斜率一定存在． 令直线，联立， 整理得， 所以， 即，所以， 故直线，即直线． （3）因为直线过点，且，所以直线， ①当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立，得， 由，知， 设，，则，， 由于，所以， 即， 所以， 化简整理得，， 所以或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点，点在直线上， 即直线与的交点是为定点； ②当直线的斜率不存在时，设其方程为，，，且， 因为，所以， 解得或2（舍2），则直线：与直线的交点坐标为； 综上所述，直线与的交点是为定点，定点坐标为． 15．已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为 ． 【答案】/0.125 【分析】根据定义写出极线的方程，由距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系再进行求解. 【详解】设椭圆:，（），则. 设椭圆:，（），则. 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以. 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于把表示成函数，结合函数的值域求解. 题型04双曲线的标准方程 16．已知双曲线的焦距为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的焦距可求得的值. 【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，则，，， 所以，，解得. 故答案为：. 17．若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线方程化成焦点在y轴上的双曲线标准方程，列不等式组可得结果. 【详解】∵表示焦点在y轴上的双曲线， ∴将曲线化成标准方程得：， ∴ 故选：B. 18．是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，且，则（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．2或18 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由双曲线方程为可得：，， 因为是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点， 由双曲线的定义可知：，又因为， 所以或，由题意可知：，所以， 故选：. 19．已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程; 【答案】 【分析】设点的坐标为，进而利用得到动点的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为， 因为， 所以，化简得. 故动点的轨迹方程为. 20．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为，根据焦点坐标及点可求双曲线的方程. 【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 题型05双曲线的几何性质 21．已知双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C的焦距是 . 【答案】 【分析】根据题意求出即可得解. 【详解】因为双曲线C：的离心率是2，实轴长为2， 所以， 所以， 所以双曲线C的焦距是. 故答案为：. 22．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定的双曲线方程，直接求出其渐近线方程即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，化简得. 故选：D 23．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（    ） A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为 C．C的实轴长为2 D．C的右焦点到渐近线的距离为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线方程可得，即可根据双曲线的几何性质即可判断ABC，根据点到直线的距离公式即可求解D. 【详解】由双曲线C：可得， 所以， 故离心率为长轴长为，故A正确，C错误， 渐近线方程为，故B正确， 右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确， 故选：ABD 24．已知双曲线：（）的左、右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义联立方程组求出，，再根据勾股定理求出，进一步计算得出结果． 【详解】不妨设在双曲线的右支上,由题意可得， 根据双曲线定义，又， 所以，． 因为，所以， 则，故双曲线的离心率． 故选：B. 25．已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的离心率得到，左焦点，根据双曲线的定义得到，然后根据几何知识得到当，，三点共线时最大，最后求最大值即可. 【详解】 因为双曲线的离心率为2，所以，解得，则左焦点， 由双曲线的定义得， 因为，即当，，三点共线时最大， 所以. 故选：B. 题型06直线与双曲线 26．已知双曲线，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. 【详解】（1）当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； （2）由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 27．已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设所求双曲线方程为，根据过知，把点代入求得，即可得出答案． （2）当直线l与双曲线的一条渐近线平行时，设直线l的方程为，根据三角形面积公式列方程求出，当直线l与双曲线相切时，设其方程为，与双曲线方程联立，利用求得，结合三角形面积公式列方程求得及，即可得出答案． 【详解】（1）由题意知该双曲线焦点在x轴上，故设其方程为， 根据过知，又过，故有，解得， 所以双曲线C的标准方程为； （2）直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且与坐标轴正半轴所围成三角形，分两种情况： 当直线l与双曲线的一条渐近线平行时，设直线l的方程为， 此时三角形的面积为，解得，所以直线l的方程为； 当直线l与双曲线相切时，直线l的斜率显然存在，设其方程为， 联立，得， 所以且，即， 又因为三角形的面积为，解得（负根舍去）， 所以，解得（正根舍去），所以直线l的方程为； 综上，直线l的方程为或. 28．已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出渐近线方程，结合直线与双曲线左右两支各交一点，比较斜率即可得结果. 【详解】因为双曲线方程为（）， 所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线左右两支各交一点， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 29．过双曲线M：的右顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C两点，且，则双曲线M的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的方程联立两条渐近线的方程，结合解得，求离心率即可. 【详解】由已知得l的方程为：， 若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点，， 联立直线l与两条渐近线的方程，可得，则, 故，∴（∗）， 又，则点B为AC的中点， 所以，代入（∗）式得，, 解得，， 所以双曲线M的离心率， 故选：A. 30．已知双曲线，若直线：与双曲线交于不同的两点，且与构成的三角形中有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程组，消可得，由已知可得判别式大于0，结合设而不求法求线段的垂直平分线，由条件列方程可得的关系，解不等式求的取值范围. 【详解】因为直线与双曲线交于不同的两点， 联立 ，消可得， 由已知方程有两组解， 所以且， 所以且， 设， 则， 所以， 所以线段的中点为， 所以线段的垂直平分线方程为， 即， 又与构成的三角形中有， 所以点不在直线上，在线段的垂直平分线上， 所以，， 所以，，又， 所以， 所以或， 所以的取值范围是， 故选：B. 题型07抛物线的标准方程 31．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出p，即可得答案. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点， 则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； 32．已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 . 【答案】 【分析】利用给定条件求出抛物线方程，进而求出准线方程，计算距离即可. 【详解】因为点在抛物线上， 代入抛物线中得，解得，所以 故抛物线的准线方程为， 所以到的准线的距离为. 故答案为： 33．设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据焦点到准线的距离为p求解. 【详解】解：因为焦点到准线的距离为4， 所以， 根据四个选项可得，满足， 故选：AB 34．顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为 . 【答案】或 【分析】由直线方程求得与坐标轴的交点，根据已知焦点求得抛物线的标准方程，可得答案. 【详解】令得，令得，所以抛物线的焦点为或. 当焦点为时，抛物线方程为；焦点为时，抛物线方程为. 故答案为：或. 35．若抛物线过点，则该抛物线的焦点为 ． 【答案】 【分析】根据题意，代入求得，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】解：将代入抛物线方程，可得，即， 所以抛物线的焦点为． 故答案为：. 题型08抛物线的几何性质 36．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断. 【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 37．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可 【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为 故选：C 38．在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出点的轨迹方程，根据两点间的距离公式，利用二次函数求出的最小值. 【详解】设点坐标为，则，， 又因为，所以， 由，得， 所以，是抛物线上的点， 设，则, 因为，所以当时，取最小值，此时． 故答案为：. 39．圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得准线方程以及圆心到准线的距离，即可求得圆的方程. 【详解】易知抛物线的准线方程为； 圆心到准线的距离为，所以该圆的半径为2； 所以圆的方程为. 故选：C 40．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将三角形面积间的数量关系转化为线段长之间的数量关系，求得有关线段的数量关系，并根据三角形相似建立方程，解方程得到结果. 【详解】对于△OQN和△OFN，底边QN和FN上的高均为点O到直线l的距离，故由可得， 如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点，， 设，则，，故． 因为，所以． 在直角三角形中，，，，所以，所以，解得． 设抛物线的准线与x轴交于点，则，所以， 即，解得， 故选：B． 【点睛】思路点睛：求解本题的关键是观察两个三角形间的关系，将三角形的面积间的关系转化为线段长之间的关系，并利用抛物线的定义及平面几何的知识求解． 题型09直线与抛物线 41．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程； （2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程. 【详解】（1）点在抛物线上， 由抛物线定义可得，解得， 故抛物线的标准方程为． （2）设，如下图所示：    则，两式相减可得， 即， 又线段的中点为，可得； 则，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为， 即直线的方程为． 42．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段为直径的圆交y轴于两点，设线段的中点为H，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题写出直线的方程，与抛物线方程联立消元，写出韦达定理，继而求得点和，过点作轴，垂足为点，借助于，即可求得. 【详解】由题易得焦点，由直线l过点且斜率为，可得， 将其与联立，消元得，设， 则．设，则，即， 且(或运用抛物线焦点弦公式)， 故以为直径的圆的半径为， 过点作轴，垂足为点，则在中， ，故． 故答案为：A. 43．已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，若与轴交于点B，AF与抛物线的一个交点为（异于点），则的面积为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据点在抛物线上，即可得抛物线方程，则，根据曲线方程即可求切线的方程，从而得点坐标，又直线与抛物线的一个交点为，可得点坐标，求解长及点到直线AC的距离，即可求的面积. 【详解】解：把代入，可得，则抛物线方程为，所以 由题可知切线的斜率存在，设切线的方程为，代入，可得， 由，解得，故切线的方程为，所以 又，所以直线AF的方程为， 由可得或，故， 所以，又点到直线AC的距离， 故的面积. 故选：B. 44．抛物线上恒有两点关于直线对称．求的取值范围． 【答案】 【分析】设直线AB的方程为，联立方程组，求得AB中点为，代入直线方程，得到，再由，得出关于的不等式，即可求解. 【详解】解：设两点，关于直线对称， 且直线AB的方程为， 联立方程组，整理得， 再设AB中点为，则，可得， 又点M在直线上，代入得， 解得， 又因为AB为抛物线交于两个不同点，可得， 即，整理得，即， 所以，因为， 所以，所以实数的取值范围为．    45．已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可. 【详解】由抛物线的光学性质知，直线与轴的交点为抛物线的焦点， 的焦点为，故与轴的交点横坐标为， 根据题意，画出草图，如下图所示， 令得，解得，又过焦点， 所以方程为：， 即，联立， 得，解得或，所以 ∴的边上的高为， 又， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分了解抛物线的光学性质，从而得解. 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$