周周测08 3.3抛物线（数学苏教版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦抛物线核心知识，通过单选、多选、解答题等多样题型，分层考查定义、性质及与直线综合应用，体现数学眼光下的抽象能力与数学思维中的推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|抛物线焦点、准线、点到焦点距离|基础巩固，考查抽象能力| |多选|3/18|准线方程、最值问题、几何性质|辨析应用，培养批判性思维| |填空|3/15|焦点弦、点到坐标轴距离|简洁应用，强化模型意识| |解答|5/77|标准方程求解、直线与抛物线位置关系、对称问题|综合探究，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学周周测08 3.3抛物线 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【解题思路】利用抛物线的定义，将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得. 【解答过程】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 2．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解答过程】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【解题思路】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【解答过程】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A. 4．已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 【解题思路】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直于准线，交准线于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 5．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】先由是正三角形得到直线的倾斜角是，即可得到直线的方程，联立抛物线和直线方程，得到，根据抛物线定义可得结果. 【解答过程】由题意可知直线的斜率一定存在， 设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形， 有，又，所以， 联立，得， 设，则， 由抛物线的定义，. 故选：B. 6．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意设直线的方程为，与抛物线方程联立并应用韦达定理，求解即可. 【解答过程】由题意得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为， 设， 联立，得，， 由韦达定理得， 又，所以，所以， 解得或，所以， 所以. 故选：A. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BC 【解题思路】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断. 【解答过程】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 8．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（   ） A．的值为4 B． C． D．的面积与的面积之比为4 【解题思路】把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，，再结合抛物线的定义，可求的值，可判断A的真假；进而可得点的坐标，求值斜率，判断B的真假；利用两点间的距离公式可求，判断C的真假；根据可判断D的真假. 【解答过程】如图：    设，， 联立可得， 所以，， 故． 对A：因为，， 所以 ，则，解得或． 因为，所以，故A正确； 对B：因为，． 又，所以，，则，故B成立； 对C：因为 ，故C错误； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______. 【答案】 【解题思路】确定准线方程，结合抛物线的定义确定点P的纵坐标，代入即可求解. 【解答过程】由题可知抛物线即的准线方程为. 设点，根据抛物线的定义可知，即. 由抛物线方程可得，即，所以点P到y轴的距离为. 故答案为： 10．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点（在第一象限），若，则直线的倾斜角为 【解题思路】设直线，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由得到，即可求出参数的值，从而求出直线的倾斜角. 【解答过程】抛物线焦点为， 显然直线的斜率存在，设直线，， 联立，消去整理得， 由， 所以，， 由，即， 即，，所以， 所以，，由，所以， 所以，解得（负值已舍去）， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. (1)求直线l的方程； (2)求p. 【解题思路】（1）由D的坐标求出OD所在直线的斜率，进一步得到AB所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案； （2）设出A，B的坐标，由得到A，B横纵坐标的关系，联立直线和抛物线方程，消元后利用根与系数的关系求解． 【解答过程】（1）由题意，得直线的斜率， 因为，所以直线的斜率. 又点的坐标为， 所以直线的方程为， 即. （2）由得， 设，则.① 因为，所以，即. 又因为，所以.② 将①代入②，得. 又，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测08 3.3抛物线 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【解题思路】利用抛物线的定义，将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得. 【解答过程】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 2．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设抛物线的方程为，根据焦点坐标求出，求出抛物线的标准方程. 【解答过程】设抛物线的方程为， 因为抛物线的焦点是， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为. 故选：A. 3．设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 【解题思路】根据焦半径公式求的值，再代入点的坐标，即可求的值. 【解答过程】由抛物线的方程可得焦点坐标为，由抛物线的性质可得，所以， 将的坐标代入抛物线的方程：，所以，又因为在第四象限， 所以. 故选：. 4．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解答过程】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【解题思路】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【解答过程】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A. 6．已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 【解题思路】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直于准线，交准线于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 7．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】先由是正三角形得到直线的倾斜角是，即可得到直线的方程，联立抛物线和直线方程，得到，根据抛物线定义可得结果. 【解答过程】由题意可知直线的斜率一定存在， 设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形， 有，又，所以， 联立，得， 设，则， 由抛物线的定义，. 故选：B. 8．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意设直线的方程为，与抛物线方程联立并应用韦达定理，求解即可. 【解答过程】由题意得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为， 设， 联立，得，， 由韦达定理得， 又，所以，所以， 解得或，所以， 所以. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BC 【解题思路】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断. 【解答过程】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 10．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【答案】AB 【解题思路】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D． 【解答过程】设，则，，又抛物线的焦点为， 对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错； 对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（   ） A．的值为4 B． C． D．的面积与的面积之比为4 【解题思路】把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，，再结合抛物线的定义，可求的值，可判断A的真假；进而可得点的坐标，求值斜率，判断B的真假；利用两点间的距离公式可求，判断C的真假；根据可判断D的真假. 【解答过程】如图：    设，， 联立可得， 所以，， 故． 对A：因为，， 所以 ，则，解得或． 因为，所以，故A正确； 对B：因为，． 又，所以，，则，故B成立； 对C：因为 ，故C错误； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______. 【答案】 【解题思路】确定准线方程，结合抛物线的定义确定点P的纵坐标，代入即可求解. 【解答过程】由题可知抛物线即的准线方程为. 设点，根据抛物线的定义可知，即. 由抛物线方程可得，即，所以点P到y轴的距离为. 故答案为： 13．已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 【解题思路】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得. 【解答过程】直线过点，又抛物线的焦点坐标为， 所以，解得，所以抛物线，设，， 由，消去可得，显然， 所以，则. 故答案为：. 14．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点（在第一象限），若，则直线的倾斜角为 【解题思路】设直线，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由得到，即可求出参数的值，从而求出直线的倾斜角. 【解答过程】抛物线焦点为， 显然直线的斜率存在，设直线，， 联立，消去整理得， 由， 所以，， 由，即， 即，，所以， 所以，，由，所以， 所以，解得（负值已舍去）， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 【解题思路】（1）分过点的抛物线开口向左或开口向上两种情况设抛物线的标准方程求解即可； （2）由直线与坐标轴的交点为焦点，再由抛物线的性质求解即可； （3）由抛物线的性质求解即可； 【解答过程】（1）由于点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （2）因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （3）焦点到准线的距离，焦点可在轴或轴上，故有四种情况，所求抛物线的标准方程为或或或． 16．（15分） 如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. (1)求直线l的方程； (2)求p. 【解题思路】（1）由D的坐标求出OD所在直线的斜率，进一步得到AB所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案； （2）设出A，B的坐标，由得到A，B横纵坐标的关系，联立直线和抛物线方程，消元后利用根与系数的关系求解． 【解答过程】（1）由题意，得直线的斜率， 因为，所以直线的斜率. 又点的坐标为， 所以直线的方程为， 即. （2）由得， 设，则.① 因为，所以，即. 又因为，所以.② 将①代入②，得. 又，所以. 17.（15分） 已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点 ，求的最小值： 【答案】(1); (2) 【解题思路】（1）利用抛物线定义求解. （2）利用两点间距离公式，讨论参数求解. 【解答过程】（1）由可知，，则，所以焦点，准线为. （2）设点，则有， 则. 因为， 所以当，即时，， ； 当，即时，， . 综上所述，. 18.（17分） 已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 【解题思路】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程； （2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为，即可求解问题. 【解答过程】（1）由题知双曲线, 所以，所以，即双曲线的上焦点为， 由抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为：， 则，， 所以抛物线的标准方程为：， 其准线方程为：； （2）设，，线段AB的中点记为， 由，结合抛物线的焦半径公式得：， 即，所以， 即线段AB的中点到轴的距离为2. 19.（17分） 已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【解题思路】（1）由题意可得上的任意点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义即可求解； （2）由题意可设直线方程为,由题可得与有两个不同交点,根据韦达定理及根的判别式可得的中点坐标及的取值范围，根据的中点坐标在直线上即可求解. 【解答过程】（1）因为上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1， 所以上的任意点到点的距离等于它到直线的距离， 所以曲线是以为焦点的抛物线. 因为曲线在轴右侧， 所以曲线的方程是. （2）设关于直线对称，所以. 设直线方程为, 代入,得. 因为与有两个不同交点, 所以,解得. 当直线经过原点时，, 所以且. 所以, , 所以中点坐标为. 又中点坐标为在直线上, 所以,即, 因为且，所以且. 所以的取值范国是.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测08 3.3抛物线 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 2．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 4．已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 5．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 6．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 8．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（   ） A．的值为4 B． C． D．的面积与的面积之比为4 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______. 10．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点（在第一象限），若，则直线的倾斜角为 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. (1)求直线l的方程； (2)求p. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测08 3.3抛物线 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 2．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 4．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 6．已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 7．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 8．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 10．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（   ） A．的值为4 B． C． D．的面积与的面积之比为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______. 13．已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 14．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点（在第一象限），若，则直线的倾斜角为 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 16．（15分） 如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. (1)求直线l的方程； (2)求p. 17.（15分） 已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点 ，求的最小值： 18.（17分） 已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 19.（17分） 已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $