专题08 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、准圆、阿基米德三角形 （专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题08 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、准圆、阿基米德三角形 （题型突破·举一反三） 题型一、阿基米德三角形的认识 题型二、圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 题型三、圆锥曲线中的蒙日圆 题型四、阿基米德三角形的应用 题型五、准圆问题 阿波罗尼斯圆：到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹．解题关键是识别“定比+双定点”题干特征，建系推导圆的标准方程，结合角平分线定理、相似比转化线段关系，高效求解距离比值、最值及定点定值问题． 蒙日圆：椭圆与双曲线互相垂直切线的交点轨迹．椭圆轨迹方程为，双曲线为（仅时存在实圆）．常设切线斜率，借助斜率积为联立方程推导轨迹，处理切线交点轨迹、点线距离范围类题型． 准圆：以圆锥曲线焦点弦为直径的圆，与对应准线呈固定位置关系（抛物线相切、椭圆相离、双曲线相交）．解题时利用圆心到准线距离与半径的数量关系，转化弦长计算、中点轨迹问题，有效减少运算量． 阿基米德三角形：抛物线弦与两端点切线围成的三角形，顶点恒在准线上，弦过焦点时两切线互相垂直．常用点差法、切线方程求解面积最值与定点定值，核心技巧是利用顶点与弦中点连线平行于对称轴的性质简化计算． 题型01 阿基米德三角形的认识 【典例1】（多选题）（2026·高二·广西·阶段检测）抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，线段为抛物线的弦，为抛物线的“阿基米德三角形”.设线段的中点为，下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3. B．点与点的纵坐标相等. C．若点在直线上，则直线过点. D．若直线过焦点，且其倾斜角为锐角，则的最小值为. 【变式1-1】（多选题）（2026·高二·山东临沂·阶段检测）阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（    ） A．有可能是等边三角形 B．顶点在抛物线的准线上 C．若边的中点为，则轴 D．面积的最小值为64 【变式1-2】（多选题）（2026·高二·陕西榆林·期末）若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【变式1-3】（多选题）（2026·湖北黄冈·模拟预测）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．任意点，都有 D．面积的最小值为4 题型02 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 【典例2】（2026·高二·安徽阜阳·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【变式2-1】已知圆的圆心坐标为，与直线交于两点，且． (1)求过点的圆的切线方程． (2)已知两定点，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，求的值． 【变式2-2】（2026·高二·四川眉山·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆，称为阿波罗尼斯圆.已知平面内两定点，，点P满足. (1)记动点的轨迹为，求轨迹的方程； (2)设点，点在直线上，过点作轨迹的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值. 【变式2-3】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 题型03 圆锥曲线中的蒙日圆 【典例3】（2026·高二·上海·阶段检测）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的离心率为，焦距为，为坐标原点． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线的斜率存在设的斜率分别为，证明：为定值． 【变式3-1】（2026·高二·广东广州·期末）数学家在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，以（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆分别为左，右焦点，离心率是，它的蒙日圆为圆. (1)求椭圆的方程； (2)过点作互相垂直的直线，其中交椭圆于两点，交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围； (3)已知点是椭圆上的任意一点，直线与圆相交于两点，求证：. 【变式3-2】（2026·高二·贵州毕节·期末）法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； (3)若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式3-3】（2026·高二·山东聊城·期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围 题型04 阿基米德三角形的应用 【典例4】（2026·宁夏银川·三模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【变式4-1】（2026·高二·重庆·阶段检测）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．    (1)求抛物线的方程； (2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； (3)设是“囧边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：． 【变式4-2】（2026·高二·湖北·阶段检测）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为 阿基米德三角形 对于抛物线给出如下三个条件：  ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为． (1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程 (2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由． 【变式4-3】（2026·高二·福建泉州·期末）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 题型05 准圆问题 【典例5】（2026·高二·内蒙古巴彦淖尔·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【变式5-1】（2026·高二·重庆·阶段检测）已知椭圆 ，我们称圆心在原点，半径为 的圆为椭圆的 “准圆”. 若椭圆的离心率为 上的点到它的焦点的最大距离为 3 . (1)求椭圆的方程及椭圆的 “准圆” 方程； (2)已知点是椭圆的 “准圆” 上的动点，过点作椭圆的两条切线 ，证明: ； (3)过椭圆的上顶点作 的两条切线，与椭圆分别交于两点. 问：是否存在，使得直线与之相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由. 【变式5-2】（2026·高二·江西赣州·期末）以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆C的长轴长是短轴长的倍，且经过点，椭圆C的“准圆”的一条弦所在的直线与椭圆C交于两点． (1)求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程； (2)当时，证明:弦的长为定值． 【变式5-3】（2026·高二·北京平谷·期末）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为. （1）求椭圆的方程和其“准圆”方程； （2）设椭圆短轴的一个端点为，长轴的一个端点为，点 是“准圆”上一动点，求三角形面积的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题8圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、准圆、阿基米 德三角形 参考答案 题型01阿基米德三角形的认识 三典例精析 【典例1】【答案】BCD 【解析】对于A, 搬物线的质点为兮0)，准线为x=是 由抛物线定义可知=AD,则AN+4F=+AD≥ND- 当且仅当D、A、N三点共线时取等号，故A错误： 对于B,设A(:,),B(3,),过点A的切线方程为x=(y-片)+x (切线斜率不为0)，联立抛物线方程y=2x,化简并整理得，y-2少+2-2x=0,又片=2x, 所以方程y-2y+2少-2x=0可变形为y-2y+2-=0, 而△=41-8+4=4(t-y)=0,所以1=片， 1/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以过点A的切线方程为x=(y-)+:,结合=2x,可得 过点A的切线方程为y=x+x,同理可得过点B的切线方程为yy=x+x, y=x+结合听=2x,巧=25解得S受，生”） yy=x+x 联立 21 2 +五出+2 而线段4B的中点M的坐标为2,2 所以点S,M的纵坐标相等，故B正确： 对于C,可设直线AB:x=四+1，联立y2=2x, 化简并整理得y-2(y+0=0,显然y=-21=4.1=2 直线AB方程为x=y+2过点(2,0)，故C正确； 对于D,依题意直线4B的倾斜角。为锐角，设=且m>0, m 设直线AB方程为x=m+2,联立y=2x,易得片+为，=2m,=-1 kk===4=4 由题意知， xx2yy yiy2 4 n240F=ka:am∠B0r=-太a'⅓<0<，ana=kw= m' 则tan乙4OB=tan(∠A0F+∠BOF)=tan∠4OF+an∠BOp 1-tan∠AOF.tan∠BOF h_2 -k4-km=三203-y）-24+⅓'-4y4.4m+1 1+kou'koB 1-4 -3y2 3 所以tan2∠AOB.tana= 6(+_16m+≥32m是 9m 9m9V" m 9 1 当且仅当m= m,即m=1时取等号， 32 所以tan2∠4OB.tana的最小值为g,故D正确. 故选：BCD. 三举一反目 【变式1-1】【答案】BCD 2/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解折】设’由=16y可得：y=6y， x2 1 1 由导数的几何意义知，直线4P的斜率为km一8，同理直线BP的斜率为k,g, y=x+4 设直线4B:y=:+4,联立x=16y，化为：-16-64=0 得到×+x=16k,x52=64」 对于A意冬- =-1, PA·PB=0,故PA⊥PB 所以△PAB是直角三角形，故A错误； 对于B:由导数的几何意义可得A处的切线方程为：’-y=8(x-), 168x-),化简可得：y=点x-至 816 所以直线4D的方程为：y=点x 816 同理可得：直线BP的方程为：y=点x-兰 8 161 所以x- 1 1616 因为≠名，解得：x=5」 2 所以y=点十5及=5.4， 821616 所以 因为抛物线C:x2=16y的准线为y=-4: 所以顶点M的轨迹是抛物线C的准线，故B正确： 对于C:40的中点如气生当，””）与生当，4)华标相同.故M1,编。放c正确： 对于D:因为PM平行y轴， 所以seP+4 3/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 + 1616+4 2 k经小 因为x+x2=16k，xx2=-64 所以x+=(+x)2-2xx2=256k2+128, x-x=V:+x2-4x五2=161+2， 代入可得： 2562+128+16N+F-16+16N+e=640+月， 232 2 4 当k=0时，Smim=64,故D正确： 0 故选：BCD. 【变式1-2】【答案】ABD 【解析】对于A,F(2,0),设1：x三my+2,代入y2=8x, 整理可得y2-8my-16=0,设A(x,),B(,2)(不妨设片>0)， 则为+y2=8m,y2=-16 由抛物线E:y-8x,整理可得函数y=2W2x2,则y=士2x, 设过点A的切找斜率为25，易知写。则切线方程为，-男=2x女-5》小则头+登.同理 4x+ 可得：过点B的切线方程为y=年x+兰 4 4 y= x+当 (1 y 2 =84=-2 联立可得 4x+解得 1 ，即故 y= y2 2 =20y+%)=4m C(-2,4m 所以点C的横坐标为-2，故A正确： 4/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 对于B,由A可知：直线4C:y=4x 2，直线BC:y=4x+ +当 22 h4.4=16三↓，则ACLBC即∠ACB=,放B正确； 由yy2y 对于C,由选项A可知c《24:则直线Cr的斜率太=物9 -2-2-m, 1 mk=-1,则AB⊥CF由选项B可知AC⊥BC, BC BF 所以 Brc-ABCA:得BABG,即|BC=BABF,故C错误： 对于0，由C可得，及m=hC, ABl=V1+m2以-2=V1+m2V(y+y2}-4yy2=V1+m2.v64m2+64=81+m), CF=V4m-0}+(-2-2)}=v16m2+16, 则S,c=16+m2,当m=0时，S。4c取得最小值为16，故D正确： 故选：ABD, 【变式1-3】【答案】BCD 【解析】设A(x,),B(x,),设直线AB:x=my+1, x=my+1, 联立y=4x得y-4my-4=0:则y+为=4m,=4 设过点A的切线为y-片=k(x-x),则=4x 立-男小整理可得子-+经-片=0， 联立1y2=4x k 向4(-经-小0.可符=异 5/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 同理可得过点。的切线斜率为乃2， B 3对于A,因为uK为4-，所以01：QB=0’故A错误， 对于B,可得处的切线方程分别为：y上=(x-X,“=4x 即y=2(x+x): 同理B处的切线方程分别为：y=2(x+x) yy=2(x+x)∫=4x 由 y=2(x+x)及1=4x,' 得y=22-”=2m,x-+4--44-=-司 yi-y2 2 4 4 可得Q(-1,2m）,因为rL,0),所以ka=-4+上=-m, 4 又因为直线AB的斜率为m,所以AB⊥QF,故B正确： 对丁C,因为%=%=兰，所以Q项1Op,数c正确： 对于D,AB=1+mVy+}-4y%=41+m2),1OF=2m+l, Se=2AHQ=)×4+m)x21+m=4+m1+m 当m=0时，△ABQ面积取得最小值为4，故D正确。 故选：BCD 题型02圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 6/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 M=2, 【典例2】【解析】(1)设点Px,)由PB Vx+2)2+y2 可得 Vx-1)2+y2 =2,整理可得2+y-4x=0 化为标准方程可得(x-2°+y=4,所以点P的轨迹方程为(x-2+y=4: MC] (2)由阿波罗尼斯圆的定义可知，若MD为定值， 则点M的轨迹即圆(x-2+y=4)应为C(3,0),D(a,0)的阿波罗尼斯圆， MC 当M分别位于(0,0)和(4,0)时，MD满足为定值， 4-310-3 可得a-4a-0,解得。=3（合去减a=6'所以a=6 设点Mx,),因为MC=(x-3+y2=(x-3}+(4x-x2)=-2x+9, MD=(x-6)}2+y2=(x-6}+(4x-x2)=-8x+36, MCP_-2x+9_1 IMC]1 所以可得MD=-8x+364,经验算，当点D的坐标为(6,0)时，满足MD2, MC] 故存在点D使得MD为定值)，此时a=6 B 上举一反三 【变式2-1】【解析】(1) 7/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 己知圆C的圆心坐标为(2，D,设圆心到直线x-y+1=0的距离为d, 则、 2-1+1=2 V+(-1)月 己知AB=22,由弦长定理得AB=2P-2=22,解得，=4，即r=2, :圆的方程为(x-2)2+(y-12=4」 当斜率不存在时，圆心到直线x=4的距离为4-2=2=r,故x=4是圆C切线： 当斜率存在时，设斜率为k,设切线方程为y-4=k(x-4),即a-y+(4-4k)=0, 圆心到切线距 2k-1+4-4-2,即F+ Vk2+1 3-2火=2，化简整理得12k=5 5 解得k=2,故切线方程为5x-12y+28=0, 综上，切线方程为x=4和5x-12y+28=0 V(x-m)2+y2 = (2)设动点 ,由Mg -得 .12 x+2+y ,平方后移项整理得： M(x,y) MP -利2+0-利p-++--0 ≠1. 2+y_2m+) x+ =0 1-2 1-2 (2m+22） =0 1-22 [=4 已知轨迹方程为 则 → m=-8' =-4 x2+y2=4 1-22 8/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.2+m=-8+4=-4. 【变式2-2】【解析】(1)设点P(x,y), Vx+12+y2 1 由点4仁.0”B2.01点P满足=，可得x-2+ PB2 22 化简可知轨迹C的方程为(x+2)2+y2=4. (2)易知轨迹C是以(-2,0)为圆心，半径为2的圆， 又点E(-2,0),因此E即为圆心， 点到直线：xy-2生0的距离为42-0-2-22n V1+1 因此直线与轨迹C相离，如下图所示： 显然TM=TN,且EM⊥TM,EN⊥TN,又因为ET为公共边， 所以△ENT=△EMT, 因此四边形EMN的面积为S=2Sam=2×2ENN7=2NM=2ET-EN=2E7f-4； 显然当ET取得最小值时，四边形EMTN面积最小， 又点T在直线：x-y-2=0上， 当ET⊥1时，满足题意，此时ETln即为点E到直线：x-y-2=0的距离，所以ETm=d=2V2, 所以四边形EMN面积的最小值为Sm=222-4=4. 【变式2-3】【解析】(1)方法(1)特殊值法，由题意可得F(c,0),A(a,0), c-2 c+2 取M(±2,0)：则a-2a+2: 又离心率为2且，故a=2c,解得c2=2, d-8尔=心-d-6~精回C的方程为后+若-引 9/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MF Vx-c)+y 方法(2)设 M(x.y ,由题意MA x-a)+y =入，2≠1（常数）， 整理得：x2+y+2c-2a2+2a2-c2 -X+ 22-1 22-1 =0 2c-2a22 =0 22-1 故d-c (2-1-4 、1’解得： ，又 a2 a=2W2c=√2 小份-d6箱c内方为苦+ =1 方法(3)设M(x),则x2+y2=4. MF Vx-c)'+y2 Vx-c)2+4-x Vc2+4-2cx 由题意MA V(x-a)+y2 Vx-a)'+4-x2 Va2+4-2ax MF 为常数，c4台又 a2+4a a 2 解得：a2=8,c2=2,故b2=2-c2=6, 版c的程为后+若- SASBE ISB-SFl-sin∠BsF SB (2)①由S.F 21SDHF例-sin /DSF BF, 1 SD, 又SAr SASDE DF BS BF ∴DsDF例 (或由角平分线定理得) BF 令DF 九，则B=2FD 设D(,）,则有3x,2+4y2=24, 又直线1的斜率k>0,则∈（2V2,V2), 区=5a+元入324y-2-0 ya=-Ayo 3「21+)-2x了+42%2-24=0，即(+152-3-2x)=0, 10/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 >0’ 5-√2x 6 SB TB BF ②由①知， SD TD DF' 由阿波罗尼斯圆定义知， S,T,F在以B,D为定点的阿波罗尼斯圆上 设该圆圆心为C,半径为r,与直线的另一个交点为N, 1 BFNB 则有 即BF2r-BF r=- 解得： 11 DF 2r+DF BFDF 又S6=2=8x,故r=9 1122 8 2·BFD丽=9， x0--可+w2--回可+6--25- 1 15-V2x :BF DFDF D丽 、-1，=2-2、-22 25-22-2 2古 9 解得： 2，%= 6- 4 ..k=- 2-x02 5.o ∴，直线，的方程为y= 2 x- 2 题型03圆锥曲线中的蒙日圆 三典例精析 11/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 【典例3】【解析】(1)已知椭圆c的离心率为2，焦距为2c=2√5，故c=V5, 由e==5，得a-e5=2 a 2 2 b2=a2-c2=4-3=1 x2 ,椭圆c的标准方程为：4+少=1。 (2) B 由《④)如托西C的标准方程为：手+护=1， 当斜车不存在时，设直线，：X则<2代入稀圆方程得子+y=1, -写小 中0410s期o0-f-号-0，解7手外-后 则为-号4d-宁24=h,写后得- 当直线I斜率存在时，设方程为y=x+m,A(x,片)，B(x2,y2), y=kx+m 联立直线与痛国方程后+产=1有+4秋')+m+4-小=0 △=(8km)2-41+4k2）4(m2-)=16(42+1-m2）>0,可得4k2+1>m2①， 8km 七+x3三4 且{4m2-),则 xx=1+4k2 0A0B=x2+yy2=xx2+(+m)(,+m） -+2)5+m(g+)+m-+m-8影m )1+42i+4球+m2=0, 12128 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 化简得5m2=4k+1,即m-（+),经检验满足①式 84d-1+eG+}-4 m V1+k2 lm2m4k2 +1m 2.2R+1.16k+ -+农4 55 1+4k2 V1+k2 1+4k2 1+4k2 42+0162+可 5 1+4k2 今1-144，≥则。+1=年，16+1=-3. (t+3)(41-3) ..S=4.V 5 -… t 则ua引则s=号+a+4, 令3 二次函数f(w)=-+3u+4,开口向下，对称轴u= 大为空。 区同端点。0成，→3时.→4：即)[4习故F回e引 s=号F@3制， 综上可得，AOAB面积的范围为 (3) M 由(1)得a=4,b=1,则蒙日圆为x2+y2=a+b2=5, 设椭圆的切线方程为y=x+n,由椭圆切线条件n=+b2=4+1, 设切线与蒙日圆x2+y2=5的交点M(,⅓)，N(x4,y4), 13/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2+y2=5 联立切线与圆方 y=kx+n,得(+)x2+2km+m2-5=0, 2kn x3+x4=一 1+2 由韦达定理得{ n2-5 因 x4=1+k网 kou=,ow= 则kowkow=业=医5+m+川_经x+kn(飞+)+r XXA X3X4 X3X4 5 -+n2 n2-5k4+1-5k_-+1=_1 n2-5 m-54然+1-54-可4 1+ 上举一反 【变式3-1】【解析】(1)因为椭圆的蒙日圆为x2+y2=7,所以+6=√7， c I 因为椭圆的离心率为分，所以。2 [V0+b=万 联立方程组 a 2 ,解得 a2=b2+c2 a=2,b=V3,c=1 则椭圆的方程为4+3 (2)由题意得F,0),如图，作出符合题意的图形， ①当斜率不存在，斜率为0时，4方程为x=1,原点到的距离为4=1， 得到Pg=2V4-d=2V5,MW=23, 则四边形PMON面积S=×PO×N-=×25x25=6, 14/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当斜率存在，2斜率不为0时，设h的方程为x=my+1, 则的方程为y=-m(x-),即mx+y-m=0, x=my+l )Nk)联立2c的方程，即任+号= 设 12C 43 消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0. 6m 9 由韦达定理得4+%=3m+44=3m+4 由于E(1,0)在椭圆C内部，可得直线马与C必相交， 12 由弦长公式得MN=V1+m2× 6m 9)= 12(m2+10 3m2+4 -4x(3m+4=3m+4 mx+y-m=0 设 联立，与的方程，即父+上 (y)0(xy）4C =1, 43 消去x得（4m2+3)y2-6my-92=0, 6m 9m2 由韦达定理得y+%=4m+3y%=4m+3 由法长公式得P-+（×n+3 6m 2 ACA 9m2 12(m2+1) 4m2+3, 对于互相垂直的直线，h,可得MN1P9, 设四边形PMOv面积为g,别S=×12+机x12m+)。72m2+y 23m2+44m2+3(3m2+4)(4m2+3) 1=a9a29令0®司 可得f0= 72(t-1)t+1)2 3+42(4+3,令f0<0'1e(0,1):令f0>0'1∈0，+o) 则f)在(0,1)上单调递减，在(，+o)上单调递增， 且/0=28 9, 当1→0时，f0→6：当1→t∞时，f0→6 则.fe 288 49,6,有己知得当1斜率不存在，1，斜率为0时，S=6: 故四边形PMON面积的取值范围为 15/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图，作出符合题意的图形， 设，必》则至+普-1，可符后-3芬，又10叭500 3 由两点间距离公式得44=++%×+店=4子。 南蓝茶完理得=7-0=7--=7-亏+茶-34长. 4 故AAT=AAE得证. [a2+b2=5 e-5 a=2 【变式3-2】【解析】(1)由题意， 解得)b=1’ a2=b2+c2 c=V3 x 则椭圆c的方程为4+少=1. (2)设椭圆上两点P(:,乃小(x,)关于直线y=4x+m对称，中点为M(x,%), 1 则Pg斜率为4： + 4 由点差法： + 4 两式相减得名-≤≤++-0+)=0 4 1 代入片-为=4-)，得x=w 由于M在y=4x+m上，故%=4x+m, 3%、m 联立x=为得6= 3 M在稀四内部，代入椭版不等式：草+店<1， m2,m2 <1 369 16/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6√56W5 解得m∈ 55 M (3)设A(,八B(,),满足k=元，即=x, y=kx 联立 1+4k2 由于线01y=0则，到oy的原客d.2 Vx2+2 4-w-所g受-刘 平方得s2=(号+-2x), 4 4 4 四吸司t44秋4交张 1+43, 整理得S2 4(+号-2)4(k+3-2） 4(k+k)-8元 (（1+4k)(1+4号)4(k+3)+16k3+14(+)+1622+1, 要使得g与尽+号无关，则-8以=164+得1= 代入2= 4得s2=1,则s=1 所以存在元=一4使得长~k=入时，A40B的面积s为定值1 【变式3-3】【解析】(1)如图所示，显然直线x=a,y=b与C相切，且相互垂直， 17/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=b y x=a 则它们的交点(a,b)在蒙日圆上， a2+b2=7 则由题意得 a 2 ,解得 (c2=a2-b2 a2=4b2=3 x=y+1 (2)设直线AB的方程为x=+1,由y=4x得y-4物-4=0'“片+为=41以2=4 从而AB=V1+以-2=4(t+1, x=y+1 (312+4)y2+6y-9=0 -6t -9 4+%=32+4,y%3+4? 从而CD=+Py-4= 12(2+) 32+4 A8=3+4≥4 S2 2coh CD3之行（当且仅当时，等号成立)， t=0 令m=S34 8号烟ra网袋受-m+日 m 由对勾函数的图像性质可知f(m)在(，∞)上单调递增， 25 S,S 12, 所以值国为[ 题型04阿基米德三角形的应用 18/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例4】【解析】（④）由愿意得号=2，则=4， 所以抛物线C的方程为x2=8y, 因为△PMN为阿基米德三角形， 所以，h分别与抛物线C切于点M,N, 不妨设点M在y轴左侧，则M(-4,2),N(4,2) 由2=8y钓y=,则y子 所以的斜率为-山，的斜率为1，则1， 所以∠MPN=90」 (2)由(1)可知抛物线C:x=8y, 由(1)可知直线PQ的斜率为4，直线PR的斜率为4， 所以直线0的方程为y-香(-小.印y=子-香 直线pR的方件为)营-亭（-）.甲y普号 8 所以g}4小告小 设△PAB外接圆的圆心为G(m,n), 则圆心G在线段4B的垂直平分线上，所以m=十三 所同6的方程为-5学)+0--（色产+m。 p在风6上所以(（警-小-(：+㎡ 19/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即纹+发_匹=0，所以n=516 4 64 4 16 (j(。6 整理得x2一十2x+2心816y+2=0 2 4 *y-2x4经）0， x2+y2-2y=0 令 3x=0 ,得 x=0 y=2 所以△PAB的外接圆过定点(O,2). R MO F A O/B E 举一反王 【变式41】【解折】()由腿意得，Q0,-)r=2F0) 由1PFL0F1-r=5+3=6→p=6, 2 所以r「：x2=12y 3)y) x=12yX-12c-12m=0,A=48(32+m）>0 联立y=kc+m 设方程的两根为，，则x+x=12k,x2=-12m, 由r-2py-营所做My舌--My各活 6 12 联级以m时特言-各多月写当 2 20/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 代入P1方程中，得少，互.+戈-艾-西m,即P6k,m 621212 的面积Saw-48d=i+F.45V5R+ml6+m 故PAB V1+2=4W5(3k2+m. 方p6,m在圆O上，所以36+5-时=4kSm且m7 36 于是3W+m=4-(m-5+m=m+2m-21 12 12 显然此式在meB,7上单调递增，故3+m 「-32+22×3-21-72+22×7-21 12 12 也即3k2+m∈3,7]，因此SAPB=4V3(3k2+m)2∈36,282i], 2 由题干知“囧边形”面积=SA,所以“囧边形”面积的取值范围为 (3)由(2)知，x,=当+3 2, 小进g的脚线⅓-名-小.印y音高 12 过。现我交Py名x-草得w手十。同理士内 2 2 AMX-XM 所-5+5 2 -x 因为MPxp-xM西+龙_x+ x2- 2 2 西+x2_x2+ NP p-x 2 xi-x BN2-N 店专+ x2- 2 AM NP 所以MD=BN,即IAM-BN=PM-HPN 【变式42】【解折】(1)y=2x2即为= 11,。1 若选①，8a=4a=2六抛物线方程为x2=y 111 选②，由准线为y=一4知，8a4解得a-2所以抛物线方程为x2=y 21/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 选③， 4y-1=0代入y=2a2,解得x=± 所以弦长为28a -1，解得a=2 所以抛物线方程为x2=y (2)令A(x,),B(),(),则y=x,当2=号， y=2x.k40=2x,ke=2x, ∴10：y-片=2x(x-x)即为2xx-y-片=0， 又(o,%)e10.2xx-%-月=0即2xx-y-%=0, 同理，2x为--。=0， .14B:2xox-y-=0 而1a过点(0,3)0-3-%=0即%=-3 ∴点Q在直线y=-3上 【变式4-3】【解析】(1) 选①，设点Ax,乃，B(x,,P(,),双曲线T的焦点F(V2元，0)， 依题意，过点A的切线方程为x-y=九，过点B的切线方程为x,x-y=九， 而两切线交于点P(xo,),于是xx一=元，且x-y2,=九， 因此(：，，(x,)是方程x-y=元的两组实数解，即点A(xB6,)在直线ox-yoy=九上， 则直线仙的方程为-=2，又直线仙过点F反.0：测v2Z=A,解得62区 2 所义点P在定直线x2入上，印点P在定直线上成 选②，设点A(x,,B(x,,P(x),双曲线T的焦点F(V2元，0)， 依题意，过点A的切线方程为x-y=元，过点B的切线方程为x-y=九， 而两切线交于点P(x,o),于是x-=九，且x-2=元， 因此(x,,(任，)是方程xr-y=元的两组实数解，即点A,片以B,)在直线x-%y=元上， 则直线B的方程为x-=2:又直线5过点Fv反.0：测v2=A解得气=区 2 肾O时，点P220,直线6垂直于轴，显然有pFL极 当0时线8的斜字大如克织，宜线5的释，，与 x-√22元， 22/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则有kBkr=-1,即PF⊥AB, 所以PF⊥AB成立 选③，设点A(x,),B(x,2),P(x,),双曲线T的焦点F(N2九，0)， 依题意，过点A的切线方程为x-yy=元，过点B的切线方程为x-y=元， 而两切线交于点P(xo,),于是xx-%=见，且xx。-y6=元， 因此(：，)，(：，2)是方程ox-y=元的两组实数解，即点A(x,,Bx,)在直线-y=元上， 则直线1份的方程为-y=:又直线4过点下不反)：则v=A,解得气=区 2 省二0时，点P20,直线AB垂直于x轴，直线4B2 x=√2元 由-y-2得咔'不妨令4N2元，，BN2,-见 =-V2 直线PA的斜率 V2元-v2a ，直线PB的斜率%一V2、 2 2 有kaks=-2,显然PA不垂直于PB, 所以PA⊥PB不成立， (2)当元=2时，双曲线：x2-y2=2,F(2,0),由(1)知，P0,),直线AB的方程为：x-oy=2, x-y=2 ∫片1 由x-少=2消去x整理得：06-y+4y+2=0:显然A=80+)>0: 2 +2= +五=2% 老丛=，弦AB的中点Q的纵坐标为2坊- w-0-22. 2W21+y) IFO=V+14+22l+ 2 I-川’IFPF1+,而ABFP=3Fg: 220+2+-61+8 1y-1 -产，化线得20+0=3引%r解得风击E%=±号 所以点P半标是±号.Ny 23/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05准圆问题 典例精析 【典例5】【解析】(1)由题意知c=V2,且a=V+c2=V5,可得b=V-c2=1, x2 故椭圆c的方程为)+广=1. (2)由(1)得椭圆C的“准圆”方程为x2+y2=4,由题意不妨设A(2,0),B(-2,0), 设P机5sm5,则有弩+W=1,=a-2小丽=(a+2小 、所以APPm-4+P=m-4+1了=2写-3， 又5≤m5g:则2g-33. 所以APBP的取值范围是[-3，-刊 举一反三 a 2 【变式5-1】【解析】(1)由题可知 a+c=3,解得〔a=2, c=1 所以b2=a2-c2=3,Va2+b=V7, 议椭圆F的方程为；+片1，椭圆E的“准圆”方程为X+y=] (2)证明：设过点P的直线分别与椭圆相切于M,N, 24/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y M M A1当两切线，中一条斜率不存在时，可得P(a,b), 则过点P的另一条切线与x轴平行，所以11， 当两切线马，凸斜率均存在时， 设P(xo,yo),过点P的切线方程为：y-%=k(x-xo),,l2斜率分别为k,k2, y-yo=k(x-xo) 消去y并化简得：(4k2+3)x2-8k(,-%)x+4(-)2-12=0, 由△=64k2(a,-%)2-16(4k2+3)[(-%)2-3]=0, 得(x-4)k2-2xk+-3=0, 所以布=片-3 名-4：又因为6+好=7， 所u站7-等=-1，简以41 x6-4x号-4 综上所述，112： (3)因为T为椭圆E的上顶点，所以T0,V3), A,a=x+3,即--y+ X T -5)W3+3x 因为直线与相切，所以圆心到直线的距离为 V0-32+x 25128 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 整理得：(3-r2)x+6(y-V③)x+3-r20y-V5)2=0①， 又因为手+号1，所以-e功，将共代入0心 得：等8-r8-)+60-x+8-产X0-=0 →号-30++6x+6-rX0-=0→18x+2-3r+75r-)=0, 同理：由直线1m与⊙C相切，18x+(r2-3)y2+73(r2-3)=0, 所以1Ms的方程为：18x+(2-3)y+73(2-3)=0, h83+75-3-, 设直线与相切，则圆心到直线的距离为 1AB⊙C C 182+2-3月 令r2-3=1,有3(18+702=U+3)182+t),即r2-48×31-18×24=0, 解得1=72-12√39或1=72+12√39（舍去）， 所以r2=1+3=75-1239, 所以存在⊙C:(x-V3}+y=75-1239使得直线4B与之相切： a=√2b, 【变式5】【1@由怒范仔疗-解 a=2 b=2 所以椭圆的标准方程为4+2 椭圆C的“准圆”方程为x+y2=6. (2)证明：①当弦ABLx轴时，交点M、N关于x轴对称， 又OM.ON=0,则OM⊥ON, 可设小M片+兮=1将2 3 此时原点0到弦B的距离d25 ，则， 网t4卧26子子 ②当弦AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=x+m, 且与椭圆C的交点M(x,小N(x2,), 26128 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=kx+m 联列方程组 代入消元得：(2+4k2)x2+8mx+4m2-8=0. -8km 4m2-8 由+6=2+42=2+42 可得=（低+m+m）=×m-8+A 2+m×23+m220 2+4k2, 由OM.ON=0得x2+y2=0, 2_88-0,商以m-+刊 2+4k22+4k2 2+42 此时=24-m+2到=2含+号引>0成立。 则原点O到弦，p的距离d=m m2 42W3 AB 2+V+1V3=3, 4_242 则1ABF26-33 综上得B子和，因此弦B的长为定值， 3 【变式5-3】【解析】(1)由题可知c=V3,a=2, ∴.b=1 :椭圆方程为4+少=1， 准圆方程为x2+y2=5. (2)设椭圆短轴的一个端点为A(0,),长轴的一个端点为B(2,0), 那么直线B方程为y=方+1，即x+2-2=0 要使得三角形△MBP面积最大，则过点P的直线与直线AB平行且与圆相切. 设过点P的直线L:x+2y+m=0, 因为直线与圆相切，所以d= =r=5 所以m=±5】 当m=5时，直线L距离直线AB更远，此时三角形△ABP面积最大， 27128 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即直线L:x+2y+5=0 此时直线，与直线R的距离为d=2-5_75 55 所以三角形△MBP面积最大值SAMm=2 ABxd=7 点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键是要发现当直线与椭圆相切时，三角形的面积最大，是中档 题. 28/28 专题08 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、准圆、阿基米德三角形 （题型突破·举一反三） 题型一、阿基米德三角形的认识 题型二、圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 题型三、圆锥曲线中的蒙日圆 题型四、阿基米德三角形的应用 题型五、准圆问题 阿波罗尼斯圆：到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹．解题关键是识别“定比+双定点”题干特征，建系推导圆的标准方程，结合角平分线定理、相似比转化线段关系，高效求解距离比值、最值及定点定值问题． 蒙日圆：椭圆与双曲线互相垂直切线的交点轨迹．椭圆轨迹方程为，双曲线为（仅时存在实圆）．常设切线斜率，借助斜率积为联立方程推导轨迹，处理切线交点轨迹、点线距离范围类题型． 准圆：以圆锥曲线焦点弦为直径的圆，与对应准线呈固定位置关系（抛物线相切、椭圆相离、双曲线相交）．解题时利用圆心到准线距离与半径的数量关系，转化弦长计算、中点轨迹问题，有效减少运算量． 阿基米德三角形：抛物线弦与两端点切线围成的三角形，顶点恒在准线上，弦过焦点时两切线互相垂直．常用点差法、切线方程求解面积最值与定点定值，核心技巧是利用顶点与弦中点连线平行于对称轴的性质简化计算． 题型01 阿基米德三角形的认识 【典例1】（多选题）（2026·高二·广西·阶段检测）抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，线段为抛物线的弦，为抛物线的“阿基米德三角形”.设线段的中点为，下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3. B．点与点的纵坐标相等. C．若点在直线上，则直线过点. D．若直线过焦点，且其倾斜角为锐角，则的最小值为. 【答案】BCD 【解析】对于A，抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线定义可知，则 当且仅当､､三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为 （切线斜率不为0），联立抛物线方程，化简并整理得，，又， 所以方程可变形为， 而，所以， 所以过点的切线方程为，结合，可得 过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为， 联立，结合，解得， 而线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，可设直线，联立， 化简并整理得，显然， 直线方程为过点，故C正确； 对于D，依题意直线的倾斜角为锐角，设， 设直线方程为，联立，易得 由题意知， ，，，， 则 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【变式1-1】（多选题）（2026·高二·山东临沂·阶段检测）阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（    ） A．有可能是等边三角形 B．顶点在抛物线的准线上 C．若边的中点为，则轴 D．面积的最小值为64 【答案】BCD 【解析】设，，，，由可得：，， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 设直线，联立，化为， 得到，． 对于A，， ，故    ， 所以是直角三角形，故A错误； 对于B：由导数的几何意义可得处的切线方程为：， 则，化简可得：， 所以直线的方程为：， 同理可得：直线的方程为：， 所以，则， 因为，解得：， 所以， 所以，因为抛物线：的准线为， 所以顶点的轨迹是抛物线的准线，故B正确； 对于C： 的中点，与横坐标相同，故轴，故C正确； 对于D：因为平行轴， 所以 因为，． 所以， ， 代入可得：， 当时，，故D正确； 故选：BCD. 【变式1-2】（多选题）（2026·高二·陕西榆林·期末）若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ABD 【解析】对于A，，设，代入， 整理可得，设（不妨设）， 则. 由抛物线，整理可得函数，则， 设过点A的切线斜率为，易知，则切线方程为，即，同理可得：过点的切线方程为， 联立可得，解得，即故； 所以点的横坐标为，故A正确； 对于B，由A可知：直线，直线， 由，则，即，故B正确； 对于C，由选项A可知，则直线的斜率， 由，则.由选项B可知， 所以，得，即，故C错误； 对于D，由C可得：， ， ， 则，当时，取得最小值为16，故D正确； 故选：ABD. 【变式1-3】（多选题）（2026·湖北黄冈·模拟预测）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．任意点，都有 D．面积的最小值为4 【答案】BCD 【解析】设，设直线， 联立得，则． 设过点的切线为，则 联立 ,整理可得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为． 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，可得处的切线方程分别为： ，∵， 即； 同理处的切线方程分别为： 由及， 得， 可得，因为，所以， 又因为直线的斜率为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， 当时，面积取得最小值为4，故D正确． 故选：BCD． 题型02 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 【典例2】（2026·高二·安徽阜阳·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设点.由， 可得，整理可得， 化为标准方程可得，所以点的轨迹方程为； （2）由阿波罗尼斯圆的定义可知，若为定值， 则点的轨迹(即圆)应为的阿波罗尼斯圆， 当分别位于和时，满足为定值， 可得，解得 (舍去)或，所以. 设点，因为， ， 所以可得，经验算，当点的坐标为时，满足， 故存在点，使得为定值，此时. 【变式2-1】已知圆的圆心坐标为，与直线交于两点，且． (1)求过点的圆的切线方程． (2)已知两定点，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，求的值． 【解析】（1） 已知圆的圆心坐标为，设圆心到直线的距离为， 则， 已知，由弦长定理得，解得，即， 圆的方程为． 当斜率不存在时，圆心到直线的距离为，故是圆切线； 当斜率存在时，设斜率为，设切线方程为，即， 圆心到切线距离，即，化简整理得， 解得，故切线方程为， 综上，切线方程为和． （2）设动点，由得，平方后移项整理得： ， ， ， 已知轨迹方程为，则， ． 【变式2-2】（2026·高二·四川眉山·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆，称为阿波罗尼斯圆.已知平面内两定点，，点P满足. (1)记动点的轨迹为，求轨迹的方程； (2)设点，点在直线上，过点作轨迹的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值. 【解析】（1）设点， 由点，，点P满足可得； 化简可知轨迹的方程为. （2）易知轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 又点，因此即为圆心， 点到直线的距离为， 因此直线与轨迹相离，如下图所示： 显然，且，又因为为公共边， 所以， 因此四边形的面积为； 显然当取得最小值时，四边形面积最小， 又点在直线上， 当时，满足题意，此时即为点到直线的距离，所以； 所以四边形面积的最小值为. 【变式2-3】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 【解析】（1）方法（1）特殊值法，由题意可得， 取，则， 又离心率为且，故，解得， ∴，，椭圆的方程为. 方法（2）设，由题意（常数）， 整理得：， 故，又，解得：，， ∴，椭圆的方程为． 方法（3）设，则． 由题意， ∵为常数，∴，又， 解得：，，故， ∴椭圆的方程为. （2）①由，又， ∴（或由角平分线定理得） 令，则， 设，则有， 又直线的斜率，则， 代入得： ，即， ∵，∴． ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， ，，在以，为定点的阿波罗尼斯圆上， 设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，解得：, 又，故，∴， 又， ∴， 解得：，， ∴， ∴直线的方程为． 题型03 圆锥曲线中的蒙日圆 【典例3】（2026·高二·上海·阶段检测）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的离心率为，焦距为，为坐标原点． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线的斜率存在设的斜率分别为，证明：为定值． 【解析】（1）已知椭圆的离心率为，焦距为，故， 由，得，， 椭圆的标准方程为：． （2） 由（1）知椭圆的标准方程为：， 当斜率不存在时，设直线：，则，代入椭圆方程得， 解得，则， 由，则，解得，， 则面积为， 当直线斜率存在时，设方程为，， 联立直线与椭圆方程得， ，可得①， 且，则 ， 化简得，即，经检验满足①式. ， 令，，则，， ， 令，则，则， 二次函数，开口向下，对称轴，最大值为， 区间端点或时，，即，故， ， 综上可得，面积的范围为． （3） 由（1）得，则蒙日圆为， 设椭圆的切线方程为，由椭圆切线条件， 设切线与蒙日圆的交点， 联立切线与圆方程，得， 由韦达定理得，因， 则 . 【变式3-1】（2026·高二·广东广州·期末）数学家在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，以（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆分别为左，右焦点，离心率是，它的蒙日圆为圆. (1)求椭圆的方程； (2)过点作互相垂直的直线，其中交椭圆于两点，交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围； (3)已知点是椭圆上的任意一点，直线与圆相交于两点，求证：. 【解析】（1）因为椭圆的蒙日圆为，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 联立方程组，解得， 则椭圆的方程为. （2）由题意得，如图，作出符合题意的图形， ①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 得到，， 则四边形面积， ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为，即， 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由韦达定理得 由于在椭圆内部，可得直线与必相交， 由弦长公式得， 设，，联立与的方程，即， 消去得， 由韦达定理得， 由弦长公式得， 对于互相垂直的直线，可得， 设四边形面积为，则， 令，则，令， 可得，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 且，当时，，当时，， 则，有已知得当斜率不存在，斜率为0时，， 故四边形面积的取值范围为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设，则，可得，又、， 由两点间距离公式得， 由圆幂定理得， 故得证. 【变式3-2】（2026·高二·贵州毕节·期末）法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； (3)若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意，解得， 则椭圆的方程为. （2）设椭圆上两点关于直线对称，中点为 ， 则斜率为， 由点差法：两式相减得， 代入，得, 由于在上，故， 联立得， 在椭圆内部，代入椭圆不等式：， 解得. （3）设，满足，即， 联立得，， 由于直线：，则到的距离， 则 平方得， 代入以及， 整理得 ， 要使得与无关，则，得， 代入得，则. 所以存在使得时，的面积为定值1. 【变式3-3】（2026·高二·山东聊城·期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围 【解析】（1）如图所示，显然直线，与相切，且相互垂直， 则它们的交点在蒙日圆上， 则由题意得，解得，， ． （2）设直线AB的方程为，由,得，，， 从而， 又由得， ，， 从而， （当且仅当时，等号成立）， 令，则， 由对勾函数的图像性质可知在上单调递增， 所以，所以取值范围为． 题型04 阿基米德三角形的应用 【典例4】（2026·宁夏银川·三模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【解析】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得，则， 所以的斜率为的斜率为1，则， 所以. （2）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点，， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上，所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上，所以， 即，所以， 所以， 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 【变式4-1】（2026·高二·重庆·阶段检测）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．    (1)求抛物线的方程； (2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； (3)设是“囧边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：． 【解析】（1）由题意得，， 由， 所以 （2）设， 联立，， 设方程的两根为，则， 由，所以， 联立直线可得， 代入方程中，得，即， 故的面积. 因为在圆上，所以且， 于是， 显然此式在上单调递增，故， 也即，因此， 由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为. （3）由（2）知，, 设，过的切线，即， 过点切线交得，同理， 因为， . 所以，即. 【变式4-2】（2026·高二·湖北·阶段检测）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为 阿基米德三角形 对于抛物线给出如下三个条件：  ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为． (1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程 (2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由． 【解析】（1）即为， 若选①，抛物线方程为， 选②，由准线为知，，解得，所以抛物线方程为. 选③，代入，解得，所以弦长为，解得， 所以抛物线方程为. （2）令，，，则，, ，, 即为， 又即， 同理，， ， 而过点即 点在直线上 【变式4-3】（2026·高二·福建泉州·期末）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 【解析】（1） 选①，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 所以点P在定直线上，即点P在定直线上成立. 选②，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，显然有， 当时，直线AB的斜率，直线PF的斜率， 则有，即， 所以成立. 选③，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，直线， 由得，不妨令， 直线PA的斜率，直线PB的斜率， 有，显然不垂直于， 所以不成立. （2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB的方程为：， 由消去x整理得：，显然， ，弦AB的中点Q的纵坐标为， ， ，，而， 即，化简得，解得或， 所以点P的坐标是，. 题型05 准圆问题 【典例5】（2026·高二·内蒙古巴彦淖尔·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【解析】（1）由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为． （2）由（1）得椭圆的“准圆”方程为，由题意不妨设，， 设，则有，，， 所以， 又，则， 所以的取值范围是． 【变式5-1】（2026·高二·重庆·阶段检测）已知椭圆 ，我们称圆心在原点，半径为 的圆为椭圆的 “准圆”. 若椭圆的离心率为 上的点到它的焦点的最大距离为 3 . (1)求椭圆的方程及椭圆的 “准圆” 方程； (2)已知点是椭圆的 “准圆” 上的动点，过点作椭圆的两条切线 ，证明: ； (3)过椭圆的上顶点作 的两条切线，与椭圆分别交于两点. 问：是否存在，使得直线与之相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题可知，解得， 所以，， 所以椭圆 的方程为，椭圆 的 “准圆” 方程为； （2）证明：设过点的直线分别与椭圆相切于， AI当两切线中一条斜率不存在时，可得， 则过点的另一条切线与轴平行，所以， 当两切线斜率均存在时， 设，过点的切线方程为：，斜率分别为， 则， 消去并化简得：， 由， 得， 所以，又因为， 所以，所以 综上所述，； （3）因为为椭圆的上顶点，所以， 设，，即， 因为直线与相切，所以圆心到直线的距离为， 整理得：①， 又因为，所以，将其代入①式， 得： ， 同理：由直线与相切，， 所以的方程为：， 设直线与相切，则圆心到直线的距离为， 令，有，即， 解得或（舍去）， 所以， 所以存在：使得直线与之相切. 【变式5-2】（2026·高二·江西赣州·期末）以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆C的长轴长是短轴长的倍，且经过点，椭圆C的“准圆”的一条弦所在的直线与椭圆C交于两点． (1)求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程； (2)当时，证明:弦的长为定值． 【解析】（1）由题意解得， 所以椭圆的标准方程为 椭圆C的“准圆”方程为. （2）证明：①当弦轴时，交点关于x轴对称， 又，则， 可设得 此时原点O到弦的距离，则， 因此 ②当弦不垂直于x轴时，设直线的方程为， 且与椭圆C的交点， 联列方程组， 代入消元得：， 由 可得， 由得， 即，所以 此时成立， 则原点O到弦的距离， 则， 综上得，因此弦的长为定值. 【变式5-3】（2026·高二·北京平谷·期末）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为. （1）求椭圆的方程和其“准圆”方程； （2）设椭圆短轴的一个端点为，长轴的一个端点为，点 是“准圆”上一动点，求三角形面积的最大值. 【解析】（1）由题可知， 椭圆方程为， 准圆方程为. （2）设椭圆短轴的一个端点为，长轴的一个端点为， 那么直线方程为，即 要使得三角形面积最大，则过点的直线与直线平行且与圆相切. 设过点的直线：， 因为直线与圆相切，所以. 所以， 当时，直线距离直线更远，此时三角形面积最大， 即直线： 此时直线与直线的距离为 所以三角形面积最大值 点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键是要发现当直线与椭圆相切时，三角形的面积最大，是中档题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $