河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册24.2解一元二次方程）

冀教版九年级数学上册 第二十四章 一元二次方程
24.2 解一元二次方程 分层作业

一、作品基础信息

项目	具体内容
学科	初中数学
教材版本	冀教版（新教材）九年级上册
所属章节	第二十四章 一元二次方程
课题	24.2 解一元二次方程
课时安排	3课时（第1课时 直接开平方法和配方法；第2课时 公式法；第3课时 因式分解法）
作业类型	书面分层作业（A、B、C三级）
适用对象	九年级学生
建议用时	约30分钟（A组约12分钟，B组约12分钟，C组约6分钟）
设计理念	面向全体、分层递进、方法优化、减量提质
设计时间	2026年

二、设计背景与意图

（一）课标依据

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域，要求学生理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。本节内容以“降次、转化”为核心思想，引导学生把一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，在观察方程结构、选择解法的过程中逐步形成运算能力和推理能力，发展模型观念和应用意识。本次作业以“解一元二次方程”为核心，通过分层训练，帮助学生在理解算理的基础上熟练算法，并学会根据方程的特点选择适当的方法。

（二）教材分析

“24.2 解一元二次方程”是第二十四章“一元二次方程”的核心内容，承接 24.1 一元二次方程的意义与一般形式。教材按照“直接开平方法—配方法—公式法—因式分解法”的顺序编排，体现了从特殊到一般、从直观到抽象的认知规律。本节的三个课时分别对应：第一课时，以 、 型方程唤醒平方根的旧知，给出直接开平方法，再由“凑完全平方”过渡到配方法——把方程的一边配成含未知数的一次式的平方、另一边为常数，进而开平方求解。第二课时，用配方法推导一元二次方程的求根公式：对于一般形式 ，当 时，

这种把各项系数的值直接代入求根公式求解的方法叫做公式法。其中 叫做一元二次方程根的判别式，通常用 表示： 时方程有两个不相等的实数根， 时方程有两个相等的实数根， 时方程没有实数根。第三课时，给出因式分解法：把方程的一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的乘积，再根据“若 ，则 或 ”，转化为两个一元一次方程求解。

教材强调：解一元二次方程的基本思路是“降次”，即把二次方程转化为一次方程；四种方法各有适用范围，解题时应先观察方程的结构，再选择适当的方法，这样才能又准又快。

（三）学情分析

九年级学生已经学习了平方根、整式乘法与因式分解，具备用平方根的定义解简单方程、用乘法公式分解因式的经验，也具有一定的运算能力。但学习本节内容时容易出现四方面的困难：一是配方时不能正确确定“一次项系数一半的平方”，并且容易漏掉方程两边的同加；二是用公式法解方程时，容易在确定 、、 的符号、计算判别式 等环节出错；三是对因式分解法的前提“把方程右边化为 0”理解不到位，容易在右边不为 0 时直接分解因式；四是缺乏方法选择意识，遇到方程习惯用公式法“硬算”，运算量大且容易出错。因此，作业设计应遵循“辨析—规范—优化”的顺序，通过基础训练、方法对比和综合应用，帮助学生夯实算理、熟练算法、优化方法。

（四）设计意图

本次作业分为 A、B、C 三个层级。A 组为基础巩固题，面向全体学生，指向直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种基本解法及判别式的简单应用，重在“保底”；B 组为能力提升题，指向根据方程的特点选择适当的方法、由根的情况确定字母系数的取值（范围），以及由实际问题列方程并求解，重在“提质”；C 组为拓展创新题，指向配方法在求最值中的应用，以及在几何图形、

动点情境中综合运用方程求解，重在“扬长”。三个层级按照“会解—会选—会用”的路径设计，题量精简、层次分明，使不同水平的学生都能获得成功的体验。

三、作业目标

（一）基础目标（必做）

（1）会用直接开平方法解形如 的一元二次方程。

（2）理解配方法的依据，会用配方法解二次项系数为 1 的简单一元二次方程。

（3）会用公式法解一元二次方程，会用根的判别式判断一元二次方程根的情况。

（4）会把方程的一边化为 0、另一边分解因式，用因式分解法解一元二次方程。

（二）提升目标（选做）

（5）能根据方程的特点选择适当的方法求解，能由方程根的情况确定字母系数的取值（范围）。

（6）能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据实际意义检验所得的解。

（三）拓展目标（挑战）

（7）能灵活运用配方法解决求最值等综合问题，能在几何图形、动点情境中综合运用一元二次方程求解，体会降次、转化的数学思想，发展运算能力和推理能力。

四、作业内容与目标对应表

层级	题号	主要内容与考点	对应目标
A组（基础巩固，必做）	1	选择适当的解法（直接开平方法的适用形式）	（1）
	2	用配方法解一元二次方程	（2）
	3	用根的判别式判断一元二次方程根的情况	（3）
	4	用公式法解一元二次方程	（3）
	5	由面积问题列方程并求解	（6）
B组（能力提升，选做）	6	根据方程的特点选择适当的方法解方程	（5）
	7	由根的情况确定字母系数的取值，由一	（5）