24.3 一元二次方程根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

课题

一元二次方程根与系数的关系

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P60-62

教学目标

1.了解一元二次方程根与系数的关系，经过一元二次方程根与系数的关系的探究，体会探究过程中的化归思想.

2. 能够不解方程，应用根与系数的关系解决问题.

3. 通过探究发现根与系数的关系，培养学生的观察思考、归纳概括能力和探究精神.

4. 在探究根与系数的关系过程中，让学生体会事物之间的联系，激发学生的求知欲望.

教学重难点

重点：1.一元二次方程的根与系数的关系.

2.能根据根与系数的关系解决有关问题.

难点：探究一元二次方程的根与系数的关系的过程. 

教学准备

多媒体课件

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1. 创设情景，导入新课

格格和同学们打赌，她有一手绝活，只要同学给出两个数，她就能马上说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们表示不相信，菲菲首先发难，恨不得考倒格格，她报的数是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲验证了一下正确，接着同学们纷纷报数，格格快速准确解答．同学想不不通为什么她能快速回答，聪明的同学，你知道“源头”何在?

师生活动：学生讨论交流、总结发言，教师补充．

用讲故事的方法引出本节课的学习内容，直观形象，激发学生学习兴趣．

2.实践探究，学习新知

【探究】

1. (1)已知一元二次方程x2－7x+10=0的两根分别为x1=2，x2=5，观察这个方程的根与系数的特征，猜想根与系数之间有怎样的关系?

(2)求出方程2x2+3x－9=0的两根，判断这个方程的根与系数之间的关系是否还符合你的猜想.如不符合，你是否还有进一步的猜想.

2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请猜想方程的两根x1，x2与系数a，b，c之间的关系，并利用求根公式验证你的结论.     

猜想：

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，b2-4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，则.

验证结论：

事实上，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，利用求根公式，得

由此可得

通过小组合作交流,探究数字系数的一元二次方程中根与系数的关系,培养学生观察思考能力及合作意识,为探究一般形式的一元二次方程中根与系数的关系做好铺垫,同时体会由特殊到一般解决数学问题的思想方法.

【结论】

一元二次方程根与系数的关系:

如果一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根分别为x1，x2，那么x1+x2=-，x1·x2=.

师生活动：小组讨论，共同探究，教师适时引导方程两根的和与积与系数之间的关系，教师板书.

我们归纳总结了一元二次方程根与系数的关系，让我们尝试用所得结论解决有关问题吧！

【例题】

例1  根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积.

（1） x2－3x－8＝0；  （2）3x2＋4x－7＝0.

解：（1） 这里a＝1，b＝-3，c＝-8，且

       b2－4ac＝(－3)2－4×1×(-8)＝41＞0.

       所以x1+x2=-=3，x1·x2==-8.

（2）这里a＝3，b＝4，c＝－7，且

       b2－4ac＝42－4×3×(-7)＝100＞0，

       所以x1+x2=-，x1·x2=.

师生活动：学生代表板书解答过程,其他学生独立完成后，小组内交流答案，教师对学生的展示进行点评，并强调解答过程的规范性.

【总结】

求一元二次方程两根的和与积时，先要将方程整理成一

该例题是根与系数关系的直接应用，加深学生对根与系数关系的理解和掌握，通过独立完成及交流答案的过程，既培养学生独立思考问题的能力，又培养学生与他人交流的能力.