第4章 指数与对数（举一反三单元自测·拔尖卷）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 苏教版高一上第4章指数与对数单元自测拔尖卷，120分钟150分，19题覆盖指数对数互化、运算及应用，通过星等、酒驾等情境题培养数学眼光与应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|根式与分数指数幂互化、指数对数运算|基础巩固，如第1题互化辨析| |多选|3/18|运算性质综合判断|能力提升，如第9题多式运算正误判断| |填空|3/15|化简求值、最值、酒驾衰减模型|联系社会热点，第14题酒驾安全应用| |解答|5/77|计算、化简求值、茶水温度建模、位数判断|数学建模与文化传承，17题茶水温度模型、19题数学史与位数探究|

第4章 指数与对数（举一反三单元自测·拔尖卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·广东佛山·期中）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·辽宁·期末）若，则下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A． B． C． D．0 4．（5分）（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·河北邢台·期末）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 7．（5分）（25-26高一上·广东深圳·期末）已知当时，则 （    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·山东枣庄·期末）（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·福建厦门·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 11．（6分）（25-26高一上·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·天津·期末）___________． 13．（5分）（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的最小值为__________． 14．（5分）（25-26高一上·福建宁德·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 16．（15分）（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 17．（15分）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 18．（17分）（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 19．（17分）（25-26高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数与对数（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·广东佛山·期中）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解. 【解答过程】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 2．（5分）（25-26高一上·辽宁·期末）若，则下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数幂的运算法则依次讨论各选项即可得答案. 【解答过程】因为， 对于A，，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，正确 故选：D. 3．（5分）（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解题思路】根据指数幂的运算法则计算即可． 【解答过程】原式 ． 故选：B. 4．（5分）（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【解答过程】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 5．（5分）（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为、，且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：B. 6．（5分）（25-26高一上·河北邢台·期末）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 【答案】D 【解题思路】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为，根据定义得到即可． 【解答过程】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为， 则 ， ． 故选：D． 7．（5分）（25-26高一上·广东深圳·期末）已知当时，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过换底公式可求，再由，可得，求得，，即可求解. 【解答过程】因为，所以或. 因为，所以，所以，即 ①. 所以，所以 ②. 由①②得：，. 所以. 故选：D. 8．（5分）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用对数换底公式、运算法则和基本不等式可得，利用指对互化即可得解. 【解答过程】由得，因为 ，所以，所以，所以， 因为 ， 所以，所以，所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·山东枣庄·期末）（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据指数幂的运算法则，对数的运算法则以及换底公式逐项分析即可.. 【解答过程】由，故A选项不正确； 由，则 ，故B选项正确； 由， 故C选项正确； 选项 ，故D选项正确； 故选：BCD. 10．（6分）（25-26高一上·福建厦门·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 【答案】BC 【解题思路】对于 A、B、C选项，先将根式化为分数指数幂，将对数式化为指数式，再按照指数幂的运算法则计算，对于 D选项，对数的换底公式运算化简求解即可. 【解答过程】解：当时，，A错误； ，则，B正确； 若，，则，，，C正确； ，D错误. 故选：BC. 11．（6分）（25-26高一上·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【解答过程】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·天津·期末）___________． 【答案】/ 【解题思路】根据指数、对数运算性质及换底公式可得. 【解答过程】 . 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的最小值为__________． 【答案】/ 【解题思路】根据题目条件使用基本不等式求出的最小值. 【解答过程】， 由基本不等式得：， 又，故， 所以。 当且仅当时取等． 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·福建宁德·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：） 【答案】10 【解题思路】设出未知数，得到不等式，两边取对数，得到，求出答案. 【解答过程】因为驾驶员体内的酒精含量是按确定的比率衰减， 设t小时后驾驶员体内的酒精含量为，， 依题意得：，解得 由，得，整理得，两边取对数 解得 所以他停止喝酒后，至少经过10小时才能驾驶. 故答案为：10. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则与对数恒等式化简运算即可； （3）根据对数运算法则结合对数恒等式与指数运算性质化简计算即可. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3）. 16．（15分）（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）将目标式化为，结合化简求值即可； （2）根据已知先求出、，再代入目标式求值. 【解答过程】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 17．（15分）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 【答案】(1)，； (2)王老师大约等待20min 【解题思路】（1）由题意得，结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可； （2）令，进而结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）由题意，得， 即，即，解得， 此时. （2）令，即， 即，解得， 所以王老师大约等待20min. 18．（17分）（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由根式与分数指数幂的转换，结合指数幂的运算即可求解； （2）由条件通过平方得到，再次平方得到，进而可求解； （3）由指数与对数的转化，和对数的运算性质即可求解. 【解答过程】（1） ； （2）由， 平方可得：， 即，再平方可得：， 即， 所以 （3）由，可得， 由，可得， 所以. 19．（17分）（25-26高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】(1) (2) (3)610 【解题思路】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【解答过程】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $