高中数学单元测试——第4章幂函数、指数函数和对数函数（较难版02）

**基本信息** 高中数学第4章幂函数、指数函数和对数函数单元复习卷（较难版），通过基础运算、性质探究及实际应用（如注意力指数模型），分层考查数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配单元综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|幂函数定义（题3）、指数对数运算（题1-2）|基础概念与运算辨析，结合函数大小比较（题4）| |多选题|3/18|函数单调性（题10）、方程根问题（题11）|综合性质判断，考查分类讨论能力| |填空题|3/15|图像对称（题12）、参数范围（题13）|抽象与直观结合，零点综合应用（题14）| |解答题|5/77|奇偶性证明（题16）、实际建模（题18）|分层设计，如题19多问考查单调性、恒成立及交点问题，体现逻辑推理与创新应用|

高中数学单元测试 —— 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂的运算性质可得答案. 【详解】. 故选：D 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出函数解析式，代入可得答案. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以， 解得，所以. 故选：D. 4．（本题5分）设，则的大小关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性确定的范围，由此比较的大小即可. 【详解】因为函数为增函数，且， 所以，故， 因为函数为减函数，且， 所以，故， 因为函数为增函数，且， 所以，故，故. 故选：D. 5．（本题5分）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】当时，，函数与均为减函数，四个图象均不满足， 当时，，函数与均为增函数，排除ACD，在同一坐标系中的图象可能是B. 故选：B． 6．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，设，则下列函数是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性判断函数奇偶性，再根据奇偶函数性质，结合复合函数的单调性逐项判断即可 【详解】对于选项A，令，则，所以是奇函数，所以A错误； 对于选项B，令，则，所以是偶函数，因为当时，，由复合函数单调性知，在上是减函数，所以B正确； 对于选项C，令，则，所以是偶函数，因为当时，，由复合函数单调性知，在上是增函数，所以C错误； 对于选项D，令，则，所以是偶函数，因为当时，，所以，由复合函数单调性知，在上是增函数，所以D错误． 故选：B． 7．（本题5分）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质分析可知的值域为，结合题意可得，结合对数函数性质列式求解即可. 【详解】设的值域分别为， 当时，则，可得； 因为的值域为，可知， 则，且，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数单调性可判断A项，由幂函数单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项. 【详解】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确； 对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确； 对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误； 对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确. 故选：ABD. 10．（本题6分）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，求出函数的最值，判断CD. 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减，故A正确， B错误； ∴，故C正确； 又，，的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 三、填空题 12．（本题5分）函数与的图象关于直线______对称． 【答案】 【分析】根据反函数的性质即可求解. 【详解】由于与互为反函数，所以与图象关于对称， 故答案为： 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，由每一段都为增函数，且断点处左侧函数值不大于右侧函数值求解. 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以 ，解得， 故答案为： 14．（本题5分）已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分别为与图象交点的横坐标，而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，从而可得，再得出的范围后即可得结论． 【详解】由题意，分别为与图象交点的横坐标， 而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直， 因此这两个交点关于直线对称，如图所示： ， ∵，∴， . 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）化简求值 (1) (2)已知，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用方根的意义及对数运算性质、换底公式计算得解. （2）利用指数运算法则化简计算即得. 【详解】（1） . （2）由，得，， ， 所以. 16．（本题15分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再计算，即可证明； （2）首先判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 又， 所以函数是定义在上的奇函数. （2）因为， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 不等式，即，即，即， 解得， 所以的取值范围为. 17．（本题15分）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) 是奇函数，证明如下： ， 的定义域是，， 所以是奇函数. (2)是定值， 【分析】（1）先求得的解析式，然后根据函数奇偶性的定义来进行判断. （2）是定值，由此化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）略 （2）为定值. 所以， 即， 即①， 在上单调递增， ， ，即②， 由①②得，而， 所以关于x的不等式的解集为. 18．（本题17分）某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求的函数关系式； (2)当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为多少？ (3)一道数学难题，讲解需要20分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 【答案】(1)； (2)80； (3)能，理由： 当时， ，解得，则； 当时，，解得，则， 因此当时学生听课效果最佳，此时， 所以老师能经过合理安排时间在学生听课效果最佳时段讲完. 【分析】（1）根据所给的函数图象，由分别求出当时的二次函数解析式，当时函数解析式，再用分段函数表达即可. （2）分段判断代入求出注意力指数p. （3）由分段函数，分段解不等式求出的取值范围，求出时间的长度并比较大小判断. 【详解】（1）当时，设，而， 则，解得，当时，； 又，解得，当时，， 所以. （2）当时，， 所以当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为80. （3）略 19．（本题17分）已知函数，． (1)当时，判断上的单调性并求函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； (3)若，，与有2个交点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增，最小值为 (2) (3) 【分析】（1）令，借助作差法可得与的大小关系，即可得函数在上的单调性，从而可得其最小值； （2）参变分离后计算即可得； （3）作出函数图象分析即可得. 【详解】（1）时，， 令，则 ， 由，则、， 故，即， 故在上单调递增，则的最小值为； （2），由对任意，恒成立， 则，即对任意恒成立， 又，故， 即实数的取值范围为； （3）当时，， 由时，，当且仅当时，等号成立， 故可作出与图象如下图： 由图可得，当时，与有2个交点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．3 4．（本题5分）设，则的大小关系满足（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，设，则下列函数是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 11．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）函数与的图象关于直线______对称． 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 14．（本题5分）已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________. 四、解答题 15．（本题13分）化简求值 (1) (2)已知，求的值. 16．（本题15分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 17．（本题15分）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集． 18．（本题17分）某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求的函数关系式； (2)当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为多少？ (3)一道数学难题，讲解需要20分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 19．（本题17分）已知函数，． (1)当时，判断上的单调性并求函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； (3)若，，与有2个交点，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $