第4章 指数与对数（单元分层自测·基础通关卷）数学苏教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元自测 第4章 指数与对数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若与互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 5．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 6．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（    ） A． B． C． D． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 10．已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 11．已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求值：______. 13．_____. 14．已知，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 求值： (1)； (2). 16．（15分） (1)已知，，用，分别表示和； (2)已知，求及的值． 17．（15分） 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为，求该气体能过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量（精确到）． 18．（17分） 已知正实数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的值. 19．（17分） （1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第4章 指数与对数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A，算术平方根的运算结果为非负数，因此，而非. 选项B，根据幂的运算法则，. 选项C，根据完全平方差公式，，题干中等式右侧为完全平方和公式的展开式. 选项D，提取公因式，. 2．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项：由题意得，故选项A错误； B选项：由题意得，故选项B错误； C选项：由题意得，故选项C错误； D选项：由题意得，故选项D正确. 4．若与互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与互为相反数， ，则. 5．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【解析】因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则，解得． 6．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，则， 即， 所以． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以. 8．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因 ， 得 ，则 ，又， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 10．已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】AD 【解析】∵，∴，∴. 11．已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于AB，因，从而，又为正实数，可得，故A正确 类似上述方法可得，从而，故B正确； 对于CD，由基本不等式，，当且仅当时取等号，故C正确； 由基本不等式，， 当且仅当时取等号，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求值：______. 【答案】/ 【解析】. 13．_____. 【答案】3 【解析】. 14．已知，则______. 【答案】/ 【解析】由，可得，， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 求值： (1)； (2). 【解析】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． 16．（15分） (1)已知，，用，分别表示和； (2)已知，求及的值． 【解析】（1）因为，， 所以； . （2）因为，所以 ， 所以； 因为，所以， 所以. 17．（15分） 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为，求该气体能过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量（精确到）． 【解析】（1）由题意，得（k是大于0的常数）． （2）由，，得， 所以，所以函数解析式为． （3）因为， 所以当时，． 所以气体通过管道半径为5cm时，该气体的流量为． 18．（17分） 已知正实数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的值. 【解析】（1），即，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为4． （2），当且仅当，时，等号成立，故的最小值为16． （3）因为，所以． 因为，所以，即， 解得． 19．（17分） （1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：令，则. ，. . （2）由，得. ，则. 由，得. 所以，解得或（舍去），得. 从而. 所以存在. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第4章 指数与对数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若与互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 5．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 6．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（    ） A． B． C． D． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 10．已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 11．已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求值：______. 13．_____. 14．已知，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 求值： (1)； (2). 16．（15分） (1)已知，，用，分别表示和； (2)已知，求及的值． 17．（15分） 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为，求该气体能过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量（精确到）． 18．（17分） 已知正实数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的值. 19．（17分） （1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第4章 指数与对数·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D C C C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）原式．（6分） （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． （13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为，， 所以； .（7分） （2）因为，所以 ， 所以； 因为，所以， 所以.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意，得（k是大于0的常数）．（3分） （2）由，，得， 所以，所以函数解析式为．（9分） （3）因为， 所以当时，． 所以气体通过管道半径为5cm时，该气体的流量为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1），即，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为4．（5分） （2）， 当且仅当，时，等号成立，故的最小值为16．（10分） （3）因为，所以． 因为，所以，即， 解得．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）证明：令，则. ，. .（8分） （2）由，得. ，则. 由，得. 所以，解得或（舍去），得. 从而. 所以存在.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $