高中数学单元测试——第4章幂函数、指数函数和对数函数（适中版02）

**基本信息** 本试卷为高中数学第4章幂函数、指数函数和对数函数单元复习卷，题型全面，覆盖核心概念与性质，注重基础巩固与能力提升，适配单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|幂函数解析式、函数奇偶性单调性|基础概念辨析，如幂函数过点求参数| |多选题|3/18|函数定义域、奇偶性、值域|综合性质判断，如含参数函数奇偶性讨论| |填空题|3/15|函数对称性、单调性、零点|抽象函数与图像结合，如对称函数解析式| |解答题|5/77|对数运算、函数最值、指数模型应用|突出数学思维与语言，如工厂废气处理的指数函数模型，奇函数单调性证明|

高中数学单元测试 —— 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题目条件求出幂函数的表达式，再代入值即可求解． 【详解】幂函数的一般形式为（为常数），所以， 解得，故幂函数解析式为， ． 故选：B． 4．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 5．（本题5分）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断． 【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A； 因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D． 故选：C． 6．（本题5分）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】先利用奇偶函数的定义，判断出的奇偶性，再由指数函数的性质，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以是偶函数， 当时，，易知在区间单调递增， 故选：C. 7．（本题5分）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 8．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数单调性可判断A项，由幂函数单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项. 【详解】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确； 对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确； 对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误； 对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确. 故选：ABD. 10．（本题6分）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为. B．若为奇函数，则 C．在上单调递减 D．若，则的值域为 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义域的求法，可判定A正确；根据函数的奇偶性列出方程，求得的值，可判定B正确，化简，结合指数函数的单调性，可判定C错误；化简函数，结合指数函数的值域，可判定D正确. 【详解】由题意，函数， 对于A中，由，所以函数的定义域为，所以A正确； 对于B中，由函数为奇函数，则满足，即， 所以，即， 所以B不正确； 对于C中，由， 因为函数为单调递增函数，则递增函数， 所以函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，当时，可得， 因为，可得，所以， 即函数的值域为，所以D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B．的最大值为1 C． D．取值范围为 【答案】ACD 【分析】画出的函数图象，数形结合判断A；根据是方程的两根，利用韦达定理判断B；根据判断C；利用的范围求出的范围，再结合对勾函数的单调性判断D. 【详解】画出的函数图象如图： 由图象可知，，故A正确； 因是方程的两根，则， 故无最大值，故B错误； ，则，则，故C正确； 因，则，得， 则， 因在上单调递增，，， 故，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 【答案】3 【分析】利用反函数的概念计算即可. 【详解】易知函数与的图象关于直线对称， 即上一点，则有在上， 设，则，解得. 故答案为：3 13．（本题5分）已知 是增函数，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，建立关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】当时，单调递增. 若使在上单调递增，则. ∵是增函数， ∴，解得 ，即的取值范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，若存在两个零点，且，则实数__________. 【答案】 【分析】先指数函数，对数函数图象画出函数图象，再结合，再应用指对数运算结合函数单调性即可求解. 【详解】画出函数的图象，再画出直线， 可以发现当直线过点时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个解，也就是函数有两个零点， 此时满足，即. 不妨设，则， 从而即 设，函数单调递增，且 所以，又，解得， 所以.    故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知，，试用a，b表示； （2）求值：． 【答案】（1） ；（2）1 . 【分析】（1）根据对数运算法则进行计算； （2）非零数的零次幂等于1，结合对数运算法则求出结果. 【详解】（1）因为， 而，，所以． （2） ． 16．（本题15分）已知函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由对数的单调性解不等式求解集； （2）讨论、，根据对数复合函数的单调性求最值，结合已知求参数值. 【详解】（1）由题设，则，可得， 所以，不等式解集为. （2）令在上递增， 当，则在定义域上递减，此时在上递减， 则； 当，则在定义域上递增，此时在上递增， 则； 所以或. 17．（本题15分）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，结合指数幂的运算直接求解即得. （2）令，则，将问题转化为求解最小值问题，根据和两种情况分类讨论求解即可. （3）利用换元法将恒成立问题转化为恒成立，令，则，然后利用函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数且，所以，即，解得； （2）令，因为，所以，则转化为， 此抛物线开口向上，且对称轴， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调的递减，在上单调递增， 则. 综上，； （3）由，得， 令，则， ，令， 则由得，当且仅当时等号成立， 所以， 由题意知恒成立，令，则， 显然在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 18．（本题17分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中是正的常数.若在前消除了的污染物，则： (1)后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少需要花多少时间？（精确到，参考数据：） 【答案】(1)后还剩的污染物 (2) 【分析】(1)先根据已知条件得出的值，从而可得的值，进而得出答案. (2)令，再根据指数化成对数，利用对数的运算即可得出结果. 【详解】（1）由可知，当时，；当时，， 于是有，得，当时，， 所以后还剩的污染物. （2）当时，则，即， 可得①，由，可得②，①/②，得 ，则， 所以污染物减少大约需要花 19．（本题17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若方程在内有解，求实数b的取值范围. 【答案】(1)；证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）由题可得，据此可得解析式；然后取，，证明 即可； （2）由（1）分析结合题意可得，解不等式可得答案； （3）由（1）分析可得等价于，则的范围为函数在上的值域，然后令，研究函数值域可得答案. 【详解】（1）因是R上的奇函数， 则.则. 取，，. 因，，则，，. 从而，则在R上单调递增； （2），结合（1）分析，可得： . 或， 则； （3）在上有解，由（1）分析可知等价于： ， 则的范围为函数在上的值域. 令，则.令. ，得其在上单调递减，在上单调递增. 则，. 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 7．（本题5分）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 8．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为. B．若为奇函数，则 C．在上单调递减 D．若，则的值域为 11．（本题6分）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B．的最大值为1 C． D．取值范围为 三、填空题 12．（本题5分）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 13．（本题5分）已知 是增函数，则的取值范围是_____. 14．（本题5分）已知函数，若存在两个零点，且，则实数__________. 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知，，试用a，b表示； （2）求值：． 16．（本题15分）已知函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 17．（本题15分）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 18．（本题17分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中是正的常数.若在前消除了的污染物，则： (1)后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少需要花多少时间？（精确到，参考数据：） 19．（本题17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若方程在内有解，求实数b的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $