专题01 第4章 指数与对数（思维导图+知识清单+三大易错点总结）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 以思维导图、知识清单及易错点总结构建指数对数系统复习，通过概念拓展逻辑与运算技巧提炼，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数|含根式、分数指数幂等知识点，典例1+跟踪训练4|指数幂统一为分数指数幂，先定符号再运算|从根式定义到分数指数幂，再拓展至实数指数幂，运算性质从整数到实数逐步推导| |对数|含定义、运算性质、换底公式等，典例2+跟踪训练4|指对互化、换底公式应用，先变形再化简|由指数式定义对数，推导运算性质及换底公式，结合实际问题建立模型| |易错点|3大易错点，典例3+跟踪训练12|根式符号判断、指对互化规则、换底公式应用技巧|针对概念理解偏差（如偶次根式符号）、公式应用错误（如换底公式推论）设置纠错训练|

专题01 第4章 指数与对数（思维导图+知识清单+三大易错点总结） 【苏教版】 4.1 指数 【知识点1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【知识点2 指数幂的运算】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 4.2 对数 【知识点1 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828 简记作ln N 【知识点2 对数的运算性质】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识点3 对数的实际应用】 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【易错点1 当根指数为偶数时，没考虑符号的正负】 易错点分析：当根指数为偶数时，在计算过程中，没有考虑根号下的代数式的符号的正负，从而导致计算错误. 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先分析的取值范围，再进行根式化简. 【解答过程】由题意得，，即， 所以. 故选：B. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【解答过程】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 【跟踪训练1.2】（25-26高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【答案】C 【解题思路】由有意义，得到，由，根据根式的运算性质，即可求解. 【解答过程】因为有意义，可得，即， 又由 ， 故选：C. 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）当时，化简________. 【答案】4 【解题思路】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【解答过程】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可； （2）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可. 【解答过程】（1）， 当为偶数时，；当为奇数时，； 综上所述，. （2）， 当是奇数时，原式； 当是偶数时，原式； 综上所述，. 【易错点2 指数式与对数式的互化错误】 易错点分析：没有正确掌握指数式与对数式的互化规则，在进行互化时出错，导致结果错误. 【注】：对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 【典例2】（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【跟踪训练2.1】（25-26高三下·四川攀枝花·阶段检测）已知，，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数对数互化，结合指数幂的运算求解. 【解答过程】由题意，， 于是， 于是. 故选：D. 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·北京昌平·期末）噪声污染问题越来越受到人们的重视，我们常用声压（单位：Pa）与声压级（单位：dB）来度量声音的强弱，声压级与声压满足，其中常数为听觉下限阈值.已知两辆匀速行驶的汽车，其声压级分别为80dB，60dB，声压分别为，，则（   ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【解题思路】根据指数与对数的互化求解即可. 【解答过程】第一辆汽车：，对应声压为，则，即， 所以. 第二辆汽车：，对应声压为，则，即， 所以. 所以. 故选：A. 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·天津河西·阶段检测），，则_________． 【答案】 【解题思路】利用指对互化得，变形得，解二次方程求得，即可得解. 【解答过程】设，则， 所以，因为，所以， 所以，即， 解得或（负根舍去）， 所以 . 故答案为：. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据指数式和对数式的互换公式，逐一求解，即可得出答案. 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 【易错点3 对数的换底公式使用错误】 易错点分析：没有正确掌握对数的换底公式及其推论，在使用对数的换底公式进行求解时出错，导致结果错误. 【注】：对数的换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. 【典例3】（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【解答过程】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 【跟踪训练3.1】（25-26高二下·天津河东·期末）若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得. 【解答过程】由，得，而， 所以. 故选：A. 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·福建南平·期末）已知，，（，且；，且；，且；），则的值为（    ） A． B．3 C． D．30 【答案】B 【解题思路】由条件结合换底公式可求的值，相加可得结论. 【解答过程】由，可得， 同理，可得，， ， 所以. 故选：B. 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）设，，则可用含有，的代数式表示为__________. 【答案】 【解题思路】根据换底公式，结合对数的运算性质及指数和对数的互换即可求解. 【解答过程】因为，得， 所以， 所以， 故答案为：. 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 【答案】（1）①； ②证明见解析 （2）①；② 【解题思路】（1）①直接写出换底公式；②利用对数换底公式证明； （2）①利用换底公式求值；②由已知得，再利用换底公式和对数运算性质求值. 【解答过程】（1）①对数的换底公式：； ②证明：. （2）①； ②因为，则， 所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 第4章 指数与对数（思维导图+知识清单+三大易错点总结） 【苏教版】 4.1 指数 【知识点1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【知识点2 指数幂的运算】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 4.2 对数 【知识点1 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828 简记作ln N 【知识点2 对数的运算性质】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识点3 对数的实际应用】 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【易错点1 当根指数为偶数时，没考虑符号的正负】 易错点分析：当根指数为偶数时，在计算过程中，没有考虑根号下的代数式的符号的正负，从而导致计算错误. 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（25-26高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）当时，化简________. 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 【易错点2 指数式与对数式的互化错误】 易错点分析：没有正确掌握指数式与对数式的互化规则，在进行互化时出错，导致结果错误. 【注】：对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 【典例2】（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【跟踪训练2.1】（25-26高三下·四川攀枝花·阶段检测）已知，，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·北京昌平·期末）噪声污染问题越来越受到人们的重视，我们常用声压（单位：Pa）与声压级（单位：dB）来度量声音的强弱，声压级与声压满足，其中常数为听觉下限阈值.已知两辆匀速行驶的汽车，其声压级分别为80dB，60dB，声压分别为，，则（   ） A． B． C．10 D． 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·天津河西·阶段检测），，则_________． 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错点3 对数的换底公式使用错误】 易错点分析：没有正确掌握对数的换底公式及其推论，在使用对数的换底公式进行求解时出错，导致结果错误. 【注】：对数的换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. 【典例3】（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.1】（25-26高二下·天津河东·期末）若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·福建南平·期末）已知，，（，且；，且；，且；），则的值为（    ） A． B．3 C． D．30 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）设，，则可用含有，的代数式表示为__________. 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $