第3章 幂、指数与对数（复习讲义）高一数学沪教版必修第一册

第3章 幂、指数与对数 复习要点 1.掌握整数指数幂、次方根、根式的定义，分清奇次、偶次方根的区别，能判断根式何时有意义，会区分与。 2.理解分数指数幂的含义，实现根式与分数指数幂互相转化；掌握有理数、无理数指数幂的运算性质，能进行化简、求值计算。 3.理解对数定义，分清底数、真数；会做指数式与对数式互化；认识常用对数、自然对数，记住对数基本性质与对数恒等式。 4.熟练掌握对数的四则运算性质、换底公式及其推论，能进行对数的化简、求值；做题注意底数、真数的取值限制条件。 复习重难点 重点： 1.理解次方根、根式概念，熟练完成根式和分数指数幂的互化，正确运用指数幂的运算性质进行化简计算。 2.把握互化关系；牢记真数大于0、、、对数恒等式等基础性质。 3.熟练使用对数四则运算法则，掌握换底公式及两个重要推论，用于对数的化简、求值。 难点： 1.分不清与；忽略偶次根式下被开方数必须非负，在化简时忘记加绝对值，容易直接去掉符号造成错误。 2.容易自创公式，错误把拆成；忽略前提条件，在真数为负的情况下进行运算。 3.公式变形多，换底时选不准中间底数；面对多层对数、带指数幂的对数综合化简，不会灵活选用推论，计算容易出现符号、系数错误。 知识点 幂与指数 一、整数指数幂 1.正整数指数幂定义：，其中。 2.正整数指数幂运算法则 ① ② ③ ④ ⑤ 拓展：零指数幂与负整数指数幂； 二、n次方根与根式 1.次方根定义 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。 特别说明： ①当是奇数时：正数的次方根为正数，负数的次方根为负数；的次方根记作。 ②当是偶数时：正数的次方根有两个，互为相反数；正的次方根记作（次算术根），负的次方根记作，合并写成。 ③负数没有偶次方根。 ④的任何次方根都是，记作。 2.根式概念 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数。 根式有意义条件： ①；②为奇数时，，均有意义；③为偶数时，只有，才有意义。 3.与的区别 ①为奇数：，；，。 ②为偶数：；，要求。 提示：两者不要混淆，中可取全体实数；，当偶数时，必须满足。 三、分数指数幂 1.正数的正分数指数幂：。 在条件下，根式可以改写成分数指数幂形式。 2.正数的负分数指数幂：。 3.的正分数指数幂等于；的负分数指数幂没有意义。 四、有理数指数幂运算性质（，） ① ② ③ 五、无理数指数幂 ，为无理数，则 ① ② ③ 说明：正数的无理数指数幂是一个确定实数；负数的无理数次幂无意义。 要点速测 1．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 2．求值：______. 知识点 对数 一、对数的概念 一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作。其中叫做对数的底数，叫做真数。 二、常用对数与自然对数 ①常用对数：以为底的对数叫作常用对数，简记作。 ②自然对数：无理数，近似值；以为底的对数叫自然对数，简记作。 三 、指数式与对数式的互化 当且时： 为底数，为指数/对数，为幂/真数。 四、对数的性质 ①负数和零没有对数，即真数。 ②对任意且： ；。 ③对数恒等式：。 五、对数的运算性质 前提条件：且，， ① ② ③ ④ ⑤ 六、对数换底公式 换底公式： 重要推论： （倒数关系） 要点速测 3． 求值： 4．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 题型1 根式的化简与求值 【例1】（   ） A． B． C． D． 【例2】若，则__________. 【变式1-1】已知，，给出下列4个式子，其中没有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则实数的取值范围是_____． 【变式1-3】计算的值为_________. 题型2 分数指数幂与根式的互化 【例3】下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】用有理数指数幂的形式表示：________． 【变式2-1】下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式2-2】设，m，n是正整数，且，则下列各式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（1）求值：__________ （2）用分数指数幂表示__________ 题型3 指数幂的化简与求值 【例5】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例6】求值与化简． (1)； (2)． 【变式3-1】已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】化简__________． 【变式3-3】（1）计算：； （2）已知，求的值． 题型4 对数运算 【例7】求值：_______________． 【例8】已知，且，则（    ） A．4 B．6 C．15 D．36 【变式4-1】已知命题：对任意，，．能说明为假命题的一组，的值_____，_____． 【变式4-2】计算：__________. 【变式4-3】已知实数，，若，，则____________. 题型5 换底公式 【例9】已知，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．52 【例10】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】若，则______． 【变式5-2】已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【变式5-3】若，且，求． 难点一 根式与分数指数幂的化简求值 难点分析： 1.容易混淆与的区别，尤其当为偶数时，化简忘记加绝对值，直接等于，忽略为负数的情况。 2.根式与分数指数幂互化容易搞错分子、分母位置：分数指数幂，分子对应乘方，分母对应开方，学生经常颠倒。 3.运算时忽略底数大于0的前提，负数随意转化为分数指数幂，造成式子无意义。 处理方法： 1.牢记结论：为奇数，；为偶数，，遇到偶次根式优先考虑绝对值。 2.互化口诀：上指下根，，分子是乘方次数，分母是开方次数。 3.进行分数指数幂运算前，先确认底数；如果底数为负，不能随意改写成分数指数幂，保留根式形式运算。 难点精练 1．计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 2．已知，，化简：． 难点二 对数综合化简与换底公式应用 难点分析： 1.对对数运算性质理解不到位，自创错误公式，例如错误认为。 2.容易忽略对数的限制条件：底数，真数，做题直接计算，不判断式子是否有意义。 3.换底公式变形多，面对底数各不相同的对数，不知道选择哪个中间底数换底；推论的系数容易写反。 处理方法 1.明确：对数只有“乘变加、除变减”，加减不能拆分变形，遇到不能拆开，只能整体保留。 做题第一步先圈出底数和真数，检查是否满足对数成立条件。 2.使用换底公式优先选择题目中出现的底数或者10；记忆推论，记住分子对应真数的指数，分母对应底数的指数，化简完成可以代入简单数字检验结果。 难点精练 3．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则______． 基础达标 1．下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．已知，，且，则的最小值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 4．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（     ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 5．已知，则________（用含的代数式表示）． 6．已知正数，，均不等于1，且，，则________． 7．已知且，则__________. 8．若，则___________. 9．若，则______． 10．已知，则______，若，则______. 11．计算： (1)； (2) 12．完成下列2个小题： (1)化简； (2)已知，，求的值. 能力进阶 1．已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 2．已知，，，则的最小值为________． 3．若，则___________ 4．已知，且，则最小值为____． 5．已知 ，且 ，则 的最小值为_____. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数 复习要点 1.掌握整数指数幂、次方根、根式的定义，分清奇次、偶次方根的区别，能判断根式何时有意义，会区分与。 2.理解分数指数幂的含义，实现根式与分数指数幂互相转化；掌握有理数、无理数指数幂的运算性质，能进行化简、求值计算。 3.理解对数定义，分清底数、真数；会做指数式与对数式互化；认识常用对数、自然对数，记住对数基本性质与对数恒等式。 4.熟练掌握对数的四则运算性质、换底公式及其推论，能进行对数的化简、求值；做题注意底数、真数的取值限制条件。 复习重难点 重点： 1.理解次方根、根式概念，熟练完成根式和分数指数幂的互化，正确运用指数幂的运算性质进行化简计算。 2.把握互化关系；牢记真数大于0、、、对数恒等式等基础性质。 3.熟练使用对数四则运算法则，掌握换底公式及两个重要推论，用于对数的化简、求值。 难点： 1.分不清与；忽略偶次根式下被开方数必须非负，在化简时忘记加绝对值，容易直接去掉符号造成错误。 2.容易自创公式，错误把拆成；忽略前提条件，在真数为负的情况下进行运算。 3.公式变形多，换底时选不准中间底数；面对多层对数、带指数幂的对数综合化简，不会灵活选用推论，计算容易出现符号、系数错误。 知识点 幂与指数 一、整数指数幂 1.正整数指数幂定义：，其中。 2.正整数指数幂运算法则 ① ② ③ ④ ⑤ 拓展：零指数幂与负整数指数幂； 二、n次方根与根式 1.次方根定义 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。 特别说明： ①当是奇数时：正数的次方根为正数，负数的次方根为负数；的次方根记作。 ②当是偶数时：正数的次方根有两个，互为相反数；正的次方根记作（次算术根），负的次方根记作，合并写成。 ③负数没有偶次方根。 ④的任何次方根都是，记作。 2.根式概念 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数。 根式有意义条件： ①；②为奇数时，，均有意义；③为偶数时，只有，才有意义。 3.与的区别 ①为奇数：，；，。 ②为偶数：；，要求。 提示：两者不要混淆，中可取全体实数；，当偶数时，必须满足。 三、分数指数幂 1.正数的正分数指数幂：。 在条件下，根式可以改写成分数指数幂形式。 2.正数的负分数指数幂：。 3.的正分数指数幂等于；的负分数指数幂没有意义。 四、有理数指数幂运算性质（，） ① ② ③ 五、无理数指数幂 ，为无理数，则 ① ② ③ 说明：正数的无理数指数幂是一个确定实数；负数的无理数次幂无意义。 要点速测 1．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 2．求值：______. 【答案】/ 【详解】. 知识点 对数 一、对数的概念 一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作。其中叫做对数的底数，叫做真数。 二、常用对数与自然对数 ①常用对数：以为底的对数叫作常用对数，简记作。 ②自然对数：无理数，近似值；以为底的对数叫自然对数，简记作。 三 、指数式与对数式的互化 当且时： 为底数，为指数/对数，为幂/真数。 四、对数的性质 ①负数和零没有对数，即真数。 ②对任意且： ；。 ③对数恒等式：。 五、对数的运算性质 前提条件：且，， ① ② ③ ④ ⑤ 六、对数换底公式 换底公式： 重要推论： （倒数关系） 要点速测 3．求值： 【答案】7 【详解】原式. 4．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)2 (2)100 (3) 【详解】（1）因为，所以.所以. （2）因为，所以.所以. （3）. 题型1 根式的化简与求值 【例1】（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 【例2】若，则__________. 【答案】 【详解】由已知， 又且，即且， . 故答案为：. 【变式1-1】已知，，给出下列4个式子，其中没有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项AC：因为，，可知无意义，有意义； 对于选项BD：开3次方时，被开方数无限制，即 、均有意义； 故选：A. 【变式1-2】若，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因为， 所以，即，解得， 当时，即， 满足. 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 【变式1-3】计算的值为_________. 【答案】 【详解】. 故答案为： 题型2 分数指数幂与根式的互化 【例3】下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误. 故选：C. 【例4】用有理数指数幂的形式表示：________． 【答案】 【详解】原式 故答案为：． 【变式2-1】下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【详解】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C错误； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：B 【变式2-2】设，m，n是正整数，且，则下列各式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，∵，m，n是正整数，且，∴，故正确； 对于B，显然，故正确； 对于C，，故不正确； 对于D，当n取偶数，；当n取奇数，，综上，，故正确， 故选：C 【变式2-3】（1）求值：__________ （2）用分数指数幂表示__________ 【答案】 【详解】（1）； （2）. 故答案为： 题型3 指数幂的化简与求值 【例5】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则，，且，所以， 所以. 故选：B. 【例6】求值与化简． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）原式． （2）原式． 【变式3-1】已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即， 由，得，所以. 故选：A. 【变式3-2】化简__________． 【答案】 【详解】原式 ． 故答案为：． 【变式3-3】（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】 【详解】（1）； （2）因为， 所以，； 所以 题型4 对数运算 【例7】求值：_______________． 【答案】/5.875 【详解】 ． 【例8】已知，且，则（    ） A．4 B．6 C．15 D．36 【答案】B 【详解】由得，由得， 则，， 因此， 因此，又因且， 故. 【变式4-1】已知命题：对任意，，．能说明为假命题的一组，的值_____，_____． 【答案】 4 2 【详解】取，则， ， 则，所以命题为假命题. 【变式4-2】计算：__________. 【答案】10 【详解】原式 【变式4-3】已知实数，，若，，则____________. 【答案】/0.5 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以，所以， 因为，所以，， 所以. 题型5 换底公式 【例9】已知，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．52 【答案】B 【详解】由，得； 由​，得 ； 所以. 【例10】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 【变式5-1】若，则______． 【答案】 【详解】由换底公式可得， 整理可得，解得，故，符合题意. 故答案为：. 【变式5-2】已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【答案】 【详解】. 【变式5-3】若，且，求． 【答案】# 【详解】由题意得，即，，即， 代入得 ． 由换底公式得，即， 所以，则． 难点一 根式与分数指数幂的化简求值 难点分析： 1.容易混淆与的区别，尤其当为偶数时，化简忘记加绝对值，直接等于，忽略为负数的情况。 2.根式与分数指数幂互化容易搞错分子、分母位置：分数指数幂，分子对应乘方，分母对应开方，学生经常颠倒。 3.运算时忽略底数大于0的前提，负数随意转化为分数指数幂，造成式子无意义。 处理方法： 1.牢记结论：为奇数，；为偶数，，遇到偶次根式优先考虑绝对值。 2.互化口诀：上指下根，，分子是乘方次数，分母是开方次数。 3.进行分数指数幂运算前，先确认底数；如果底数为负，不能随意改写成分数指数幂，保留根式形式运算。 难点精练 1．计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. 2．已知，，化简：． 【答案】 【详解】因为，所以， ． 因为，所以 所以 所以． 难点二 对数综合化简与换底公式应用 难点分析： 1.对对数运算性质理解不到位，自创错误公式，例如错误认为。 2.容易忽略对数的限制条件：底数，真数，做题直接计算，不判断式子是否有意义。 3.换底公式变形多，面对底数各不相同的对数，不知道选择哪个中间底数换底；推论的系数容易写反。 处理方法 1.明确：对数只有“乘变加、除变减”，加减不能拆分变形，遇到不能拆开，只能整体保留。 做题第一步先圈出底数和真数，检查是否满足对数成立条件。 2.使用换底公式优先选择题目中出现的底数或者10；记忆推论，记住分子对应真数的指数，分母对应底数的指数，化简完成可以代入简单数字检验结果。 难点精练 3．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 4．若，且，则______． 【答案】3 【详解】由可得，， 则， 因为，且， 所以， 即得，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：3. 基础达标 1．下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 2．（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】. 3．已知，，且，则的最小值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立. 4．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（     ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【答案】B 【详解】设训练个单位数据的时间为，训练个单位数据的时间为， 由已知，得. 根据对数运算性质，可得：. 由题意，，因此时间之比为：， 即前者所需时间是后者的3倍. 5．已知，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】. 6．已知正数，，均不等于1，且，，则________． 【答案】6 【详解】方法一：，即． 方法二：由，，得，，则，所以． 7．已知且，则__________. 【答案】29 【详解】因为，所以， 所以， . 8．若，则___________. 【答案】2 【详解】因为，所以，， 代入得. 9．若，则______． 【答案】1 【详解】因为，即， 所以， 则，解得． 10．已知，则______，若，则______. 【答案】 【详解】由可得， 若，则. 故答案为：①；② 11．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）； （2） . 12．完成下列2个小题： (1)化简； (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 故原式. （2）由得；由得， 所以. 能力进阶 1．已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【答案】D 【详解】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 2．已知，，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由可得，即，整理得， 由， 当且仅当，即时取等，即的最小值为. 3．若，则___________ 【答案】 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以，解得. 4．已知，且，则最小值为____． 【答案】 【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 5．已知 ，且 ，则 的最小值为_____. 【答案】 【详解】， 因为，所以， 所以，当且仅当， 即时取得等号， 所以 的最小值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $