第08讲 幂、指数与对数（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第08讲 幂、指数与对数（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：指数幂的拓展 知识点02：对数 知识点03：常用对数与自然对数 知识点04：对数的基本性质 知识点05：对数的运算性质 知识点06：对数的换底公式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：指数幂的运算 题型02：分数指数幂与根式的互化 题型03：指数幂的化简、求值 题型04：对数的概念判断与求值 题型05：指数式与对数式的互化 题型06：对数的运算与运算性质的应用 题型07：运用换底公式化简计算 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】指数幂的拓展 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：=＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3.对任意给定的正数、及实数、，有，=， . 【例1】将下列根式化为分数指数幂并计算数值：、 解析：（1）化简 由分数指数幂公式： （2）化简 答案：， 【知识点02】对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 【例2】将指数式化为对数式，将对数式化为指数式。 解析：（1）指数式转对数式：根据 （2）对数式转指数式：根据 答案：； 【知识点03】常用对数与自然对数 【例3】求值：、。 解析：（1）计算： 设，则，得 即 （2）计算： 由定义得，即 答案：， 【知识点04】对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2) 1＝0(a>0，且a≠1)． (3) a＝1(a>0，且a≠1)． 【例4】利用对数基本性质求值： 解析：分步套用性质计算： 1. （1的对数为0） 2. （底数的对数为1） 3. （对数恒等式） 原式 答案：8 【知识点05】对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1) ； (2) ； (3) (n∈R)。 【例5】已知，求值。 解析：拆分真数： 代入对数运算性质： 代入数值计算： 答案： 【知识点06】对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有 【例6】利用换底公式计算： 解析：方法一：链式推论求解 方法二：原始换底公式验证 原式 答案：2 【题型01】指数幂的运算 【典例1-1】（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解. 【详解】对于选项A，，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误， 对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·上海宝山·开学考试）如果为实数，且，那么一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助指数运算法则计算可得，即得D符合；通过举反例排除A,B,C项可得. 【详解】由，可得， 则，即， 即，故，故D符合题意； 对于A，若取，，则，故A不合题意； 对于B，若取，，则，故B不合题意； 对于C，若取，，则，故C不合题意. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·上海松江·期中）计算：__________. 【答案】8 【分析】利用指数运算性质计算得解. 【详解】. 故答案为：8 【变式1-3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【答案】 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】. 【题型02】分数指数幂与根式的互化 【典例2-1】已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 【变式2-1】下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）用分数指数幂表示：_____. 【答案】 【分析】根据分数指数幂运算法则求解即可． 【详解】原式． 故答案为：． 【变式2-3】用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据分数指数幂与根式的互化公式求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【题型03】指数幂的化简、求值 【典例3-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数的运算的条件计算即可. 【详解】选项A、B中a的条件限制为C中的a的条件限制为 故选：D. 【变式3-1】已知，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算公式化简计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则______. 【答案】/ 【分析】条件等式两边平方可求，结合立方和公式求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【答案】（1）6；（2）7； 【分析】（1）直接由指数幂的运算可得；（2）先将等式完全平方求出，再平方可得，由立方差的公式可求. 【详解】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . 【题型04】对数的概念判断与求值 【典例4-1】若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 【答案】C 【分析】利用首数与尾数的概念求解即可. 【详解】 ，首数为，尾数为 故选：C． 【变式4-1】，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. 【变式4-2】下列说法中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】B 【分析】根据对数的性质、定义、常用对数的定义、自然对数的定义进行判断即可. 【详解】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数， 故选：B 【变式4-3】已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据解析式，直接代入求的值. 【详解】根据函数解析式可知. 故选：C 【题型05】指数式与对数式的互化 【典例5-1】已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，结合指数式的运算法则，得到，进一步求的值. 【详解】设， 则，，， 所以 ， 又，，则，所以. 故选：C 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 【答案】 【分析】根据题意，利用指数式与对数式的互化公式，即可求解. 【详解】由，根据指数式与对数式的互化公式，可得. 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则____________． 【答案】/ 【分析】先进行指对互化，再根据指数幂的运算性质求解. 【详解】由题可知，. 故答案为：. 【变式5-3】将下列对数式写成指数式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数式和指数式的互化关系求解. 【详解】（1）根据指数式和对数式的关系，可化为 （2）根据指数式和对数式的关系，可化为 【题型06】对数的运算与运算性质的应用 【典例6-1】（25-26高一上·上海·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：无法直接分解为，故B错误； 选项C，D：，故C错误，D正确； 故选：D 【变式6-1】下列各式中，正确的是（    ） ①  ② ③    ④ ⑤ A．①④⑤ B．③④ C．③ D．全正确 【答案】C 【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得； 【详解】解：①，③， ④，⑤， 故正确的只有③. 故选：C. 【变式6-2】已知，求的值． 【答案】 【分析】对原式化简，得，由对数的运算性质求解的值，再代入即可. 【详解】由，去分母可得 ，所以 所以. 【变式6-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）通常情况下，和的对数不等于对数的和，如，但是否存在实数对，使呢？若存在，请写出一对符合要求的；若不存在，请说明理由． 【答案】存在无数对，如（2，2），等． 【分析】利用对数的运算性质将对数式化成，即可判断. 【详解】由可得，即 ，即， 只要满足的都可以． 故存在无数实数对，如（2，2），等． 【题型07】运用换底公式化简计算 【典例7-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）可以写成（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的换底公式易得. 【详解】由对数换底公式可得，. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C 【分析】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【详解】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C 【变式7-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）若，则________．（用的代数式表示） 【答案】/ 【分析】由换底公式即可求解. 【详解】由换底公式可得， 所以， 故答案为： 【变式7-3】已知，，用及表示及． 【答案】， 【分析】根据换底公式求解即可. 【详解】由换底公式，，. 即， 知识点01指数幂的拓展 知识小结 本节实现整数指数幂向实数指数幂的完整拓展，统一根式与指数幂运算，是对数运算、指数函数的运算基础。 1. 基础指数幂公式 零指数幂： 负整数指数幂： 2. 分数指数幂与根式互化（核心） 易错点：负数的分数指数幂无意义，底数为负不能随意开方、转指数。 知识点02对数定义与互化 知识小结 对数是指数的逆运算，用于已知幂和底数、求指数的运算场景。 1. 定义式 若，则 2. 指数对数互化恒等关系 定义域硬性条件：底数，真数（真数小于等于0无意义）。 知识点03常用对数与自然对数 知识小结 两类特殊底数对数，为考试、计算器运算、高数基础，无需换算直接使用。 1. 常用对数（十进制运算） 2. 自然对数（高等数学专用） 记忆要点：看到默认底为10，看到默认底为。 知识点04对数基本性质 知识小结（必考秒杀公式） 对任意，恒成立： 1. 1的对数： 2. 底数自身对数： 3. 对数恒等式： 使用场景：化简、消幂、求值类小题高频使用。 知识点05对数运算性质 知识小结（核心运算工具） 设 1. 积对数： 2. 商对数： 3. 幂对数： 核心口诀：真数积变和、商变差、幂次提前放前面。 高频易错：，对数无加法分配律。 知识点06对数换底公式及推论 知识小结 解决底数不同无法运算的问题，是对数化简、连乘消项核心公式。 1. 万能换底公式 2. 两大必考推论 倒数关系： 链式消项： 知识点07简要高频易错点（极简总结） 1. 指数幂限制：无意义；负数无分数指数幂；只倒数、不变号。 2. 对数定义域优先：要求，零和负数无对数。 3. 严禁自创公式：，对数只对积、商、幂变形。 4. 恒等式前提：必须底数一致。 5. 换底公式结构：上真数、下底数，分子分母不可颠倒。 一、填空题 1．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则__________. 【答案】 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海·期末）已知，化简：______. 【答案】 【分析】由指数幂的运算化简即可； 【详解】原式. 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海·期中）已知，，用，表示代数式________． 【答案】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海徐汇·期末）设，用有理数指数幂的形式表示：________． 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式，及有理数指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海·期中）若实数，且，，则_________． 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则即可得到答案. 【详解】，即，即， 则. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海·期中）已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【答案】 【详解】. 8．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，且，则________． 【答案】16 【详解】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 。 9．（25-26高一上·上海·期中）已知（且），则___________ 【答案】 【分析】利用立方差公式将因式分解，再化简求值即可. 【详解】； 故答案为： 10．（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 __________ 【答案】 【分析】化根式为分数指数幂即可列式计算得答案. 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 11．（25-26高一上·上海浦东新·期末）记，则_______. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得 . 故答案为：1 12．（2025高一·上海·专题练习）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为__________． 【答案】 【分析】首先计算，再根据指对运算公式即可求解． 【详解】由对数的性质得 ， 整理得，可得． 故答案为：． 二、单选题 13．（25-26高一上·上海·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和指数幂的运算性质逐项判断. 【详解】对A：因为，故错误； 对B：因为无意义，故错误； 对C：因为，故错误； 对D：因为，故正确； 故选：D. 14．在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 15．现有下列计算式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ 【答案】D 【分析】由对数的运算性质与换底公式依次判断即可. 【详解】①右边， 当时，左边无意义，右边，故不成立； ②当时，，故不成立； ③，故不成立； ④由对数的运算性质，，式子成立； ⑤由换底公式，，故式子成立. 其中正确的是④⑤. 故选：D. 16．（25-26高一上·上海·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ）（） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 【答案】C 【分析】首先设，再通过对数运算公式，即可求解. 【详解】设，所以， 因为，所以，且 所以， 所以的位数是. 故选：C 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 18．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】结合根式化指数幂和指数的基本运算化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 19．（25-26高一上·上海·期中）计算，并写出必要的步骤： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，准确化简、计算，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算法则，可得． （2）由对数的运算性质，可得 . 20．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示，. （2）已知且，若，求的值. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据对数运算性质及换底公式计算可得结果. （2）结合指数幂的运算，由完全平方和公式及立方和公式计算即可. 【详解】（1）因为，，所以， . （2）对两边平方得，所以， 所以， 则. 21．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【详解】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 幂、指数与对数（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：指数幂的拓展 知识点02：对数 知识点03：常用对数与自然对数 知识点04：对数的基本性质 知识点05：对数的运算性质 知识点06：对数的换底公式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：指数幂的运算 题型02：分数指数幂与根式的互化 题型03：指数幂的化简、求值 题型04：对数的概念判断与求值 题型05：指数式与对数式的互化 题型06：对数的运算与运算性质的应用 题型07：运用换底公式化简计算 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】指数幂的拓展 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：=＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3.对任意给定的正数、及实数、，有，=， . 【例1】将下列根式化为分数指数幂并计算数值：、 【知识点02】对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 【例2】将指数式化为对数式，将对数式化为指数式。 【知识点03】常用对数与自然对数 【例3】求值：、。 【知识点04】对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2) 1＝0(a>0，且a≠1)． (3) a＝1(a>0，且a≠1)． 【例4】利用对数基本性质求值： 【知识点05】对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1) ； (2) ； (3) (n∈R)。 【例5】已知，求值。 【知识点06】对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有 【例6】利用换底公式计算： 【题型01】指数幂的运算 【典例1-1】（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·上海宝山·开学考试）如果为实数，且，那么一定有（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·上海松江·期中）计算：__________. 【变式1-3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【题型02】分数指数幂与根式的互化 【典例2-1】已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）用分数指数幂表示：_____. 【变式2-3】用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)；(2)；(3)；(4)． 【题型03】指数幂的化简、求值 【典例3-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】已知，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则______. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值； 【题型04】对数的概念判断与求值 【典例4-1】若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 【变式4-1】，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【变式4-2】下列说法中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【变式4-3】已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型05】指数式与对数式的互化 【典例5-1】已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则____________． 【变式5-3】将下列对数式写成指数式： (1)； (2). 【题型06】对数的运算与运算性质的应用 【典例6-1】（25-26高一上·上海·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列各式中，正确的是（    ） ①  ② ③    ④ ⑤ A．①④⑤ B．③④ C．③ D．全正确 【变式6-2】已知，求的值． 【变式6-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）通常情况下，和的对数不等于对数的和，如，但是否存在实数对，使呢？若存在，请写出一对符合要求的；若不存在，请说明理由． 【题型07】运用换底公式化简计算 【典例7-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）可以写成（    ）． A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 【变式7-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）若，则________．（用的代数式表示） 【变式7-3】已知，，用及表示及． 知识点01指数幂的拓展 知识小结 本节实现整数指数幂向实数指数幂的完整拓展，统一根式与指数幂运算，是对数运算、指数函数的运算基础。 1. 基础指数幂公式 零指数幂： 负整数指数幂： 2. 分数指数幂与根式互化（核心） 易错点：负数的分数指数幂无意义，底数为负不能随意开方、转指数。 知识点02对数定义与互化 知识小结 对数是指数的逆运算，用于已知幂和底数、求指数的运算场景。 1. 定义式 若，则 2. 指数对数互化恒等关系 定义域硬性条件：底数，真数（真数小于等于0无意义）。 知识点03常用对数与自然对数 知识小结 两类特殊底数对数，为考试、计算器运算、高数基础，无需换算直接使用。 1. 常用对数（十进制运算） 2. 自然对数（高等数学专用） 记忆要点：看到默认底为10，看到默认底为。 知识点04对数基本性质 知识小结（必考秒杀公式） 对任意，恒成立： 1. 1的对数： 2. 底数自身对数： 3. 对数恒等式： 使用场景：化简、消幂、求值类小题高频使用。 知识点05对数运算性质 知识小结（核心运算工具） 设 1. 积对数： 2. 商对数： 3. 幂对数： 核心口诀：真数积变和、商变差、幂次提前放前面。 高频易错：，对数无加法分配律。 知识点06对数换底公式及推论 知识小结 解决底数不同无法运算的问题，是对数化简、连乘消项核心公式。 1. 万能换底公式 2. 两大必考推论 倒数关系： 链式消项： 知识点07简要高频易错点（极简总结） 1. 指数幂限制：无意义；负数无分数指数幂；只倒数、不变号。 2. 对数定义域优先：要求，零和负数无对数。 3. 严禁自创公式：，对数只对积、商、幂变形。 4. 恒等式前提：必须底数一致。 5. 换底公式结构：上真数、下底数，分子分母不可颠倒。 一、填空题 1．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则__________. 2．（25-26高一上·上海·期末）已知，化简：______. 3．（25-26高一上·上海·期中）已知，，用，表示代数式________． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是________． 5．（25-26高一上·上海徐汇·期末）设，用有理数指数幂的形式表示：________． 6．（25-26高一上·上海·期中）若实数，且，，则_________． 7．（25-26高一上·上海·期中）已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 8．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，且，则________． 9．（25-26高一上·上海·期中）已知（且），则___________ 10．（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 __________ 11．（25-26高一上·上海浦东新·期末）记，则_______. 12．（2025高一·上海·专题练习）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为__________． 二、单选题 13．（25-26高一上·上海·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 14．在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 15．现有下列计算式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ 16．（25-26高一上·上海·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ）（） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 19．（25-26高一上·上海·期中）计算，并写出必要的步骤： (1)． (2)． 20．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示，. （2）已知且，若，求的值. 21．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $