第3章 幂、指数与对数（六大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）高一数学沪教版必修第一册

第3章 幂、指数与对数 一、根式 1.n次方根的定义 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。 特殊结论： ①当为奇数时：正数的次方根为正数，负数的次方根为负数，的次方根记作。 ②当为偶数时：正数的次方根有两个，互为相反数。正的方根称为次算术根，负的方根，合并写作。 ③负数没有偶次方根。 ④的任何次方根都是，记作。 2.根式概念 式子叫做根式；称为根指数，称为被开方数。 （1）为奇数：，均有意义； （2）为偶数：仅当时，才有意义。 3.与的区别 （1） （2） 辨析：若为奇数：，取全体实数； 若为偶数：；若有意义，则要求。 二、分数指数幂与无理数指数幂 1.分数指数幂 （1）正分数指数幂 在的条件下，所有根式均可改写为分数指数幂形式。 （2）负分数指数幂 2.0的分数指数幂 （1）的正分数指数幂： （2）的负分数指数幂：无意义 3.无理数指数幂（，为无理数） 无理数指数幂满足完整指数运算性质（，为无理数）： ①（，）②（，） ③（，） 三、对数的概念 如果，那么数叫做以为底的对数，记作： 其中：为对数底数，为真数（真数必须满足）。 对底数限制的原因： （1）若：，时任意；无解，对数不唯一或不存在； （2）若：要么为0，要么无意义，无法建立一一对应； （3）若：部分不存在对应实数，研究范围受限。 四、指数式与对数式互化 ，指数式与对数式为同一数量关系的两种等价表达，可双向互化。 五、对数基础性质（） 1.负数和零没有对数，即真数； 2.，； 3.对数恒等式：。 六、对数运算性质 设，且，对数核心运算性质如下： ① ② ③（） ④（） ⑤（） 七、对数换底公式 换底公式： 重要推论： （倒数关系） 易错点1 偶次根式化简遗漏绝对值 易错提醒 易错原因：混淆根式的奇偶次化简规则，默认直接等于底数，忽略为偶数时，开方结果恒为非负数，容易遗漏绝对值化简步骤，导致负数底数化简出错。 处理方法：严格区分奇偶次根式化简公式，分类讨论求解：，遇偶次根式必须添加绝对值，再根据底数正负去绝对值符号。 例1．当时，的值是（    ） A．-1 B．2 C．1 D．-2 【答案】C 【详解】当时，， 故选：C. 变式1-1．化简根式______. 【答案】 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 变式1-2．若，则化简的结果是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】 . 因为， 所以异号，， 所以， 所以，. 故选：B. 变式1-3．化简：___________. 【答案】 【详解】由二次根式的定义可知：，因为，所以， 因此 ； 故答案为： 易错点2 负分数指数幂变形转化失误 易错提醒 易错原因：对负分数指数幂的运算定义理解模糊，化简时容易遗漏倒数变形，或混淆分子、分母的指数位置，出现符号、指数书写错误，导致整体化简结果偏差。 处理方法：牢记负分数指数幂核心公式：，负指数优先转化为正指数倒数形式，再进行根式、幂的化简运算。 例2．___________． 【答案】/0.4 【详解】． 变式2-1．计算：__________. 【答案】3 【详解】原式. 故答案为：. 变式2-2．__________． 【答案】2 【详解】 故答案为：. 变式2-3．计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. 易错点3 忽略对数式参数的定义域限制 易错提醒 易错原因：运算、化简、求解对数参数问题时，只套用运算公式，完全忽略对数定义域要求，未验证底数和真数的取值范围，最终出现无意义的增根、错解。 处理方法：所有对数运算必须优先满足定义域：中且。解题先列定义域约束条件，再进行化简计算，最终结果必须验证参数取值符合对数定义。 例3．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使有意义，只需，所以， 又因为,所以. 变式3-1．使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 变式3-2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，所以， 反之，若，则，当时，没有意义， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 变式3-3．下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：C. 易错点4 指数、对数互化位置出错 易错提醒 易错原因：对指数式与对数式的等价关系掌握不扎实，互化时混淆底数、指数、真数的对应位置，错写变量关系，导致整体式子变形错误。 处理方法：严格遵循互化核心公式：，明确底数不变、指数变对数、幂变真数的互化规则，固定对应关系，避免位置错位。 例4．已知，得______. 【答案】/ 【详解】由，得，. 变式4-1．若，则____________． 【答案】/ 【详解】由题可知，. 故答案为：. 变式4-2．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 变式4-3．已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 易错点5 对数运算公式混淆、记忆错误 易错提醒 易错原因：容易混淆对数加减、幂运算公式，常出现“真数相加变对数相乘”“幂指数随意拆分”等公式乱用问题，也易遗忘换底公式及推论，导致运算失误。 处理方法：熟记核心运算公式：、、，区分公式正向、逆向用法，搭配换底公式及推论规范运算。 例5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：，所以. 变式5-1．随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以 变式5-2．下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】 选项A：对两边平方得 ，得，A正确； 选项B：指数函数为单调递增函数，等价于， 解得，B错误； 选项C：由得，得，故，C正确； 选项D：，D正确. 变式5-3．已知，，，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 由，，可知， 所以，当且仅当时取等， 则，即的最小值为. 1．使对数式有意义的a的值不可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】要使有意义，则解得或． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，所以. 4．若，则______. 【答案】 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 5．求使等式成立的实数a的取值范围为_____． 【答案】 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 6．已知集合,集合，则=（   ） A．{} B．{,,0} C．{2} D．{0,1} 【答案】C 【详解】由可得,又， 故 故选：C 7．若实数，且，，则_________． 【答案】/ 【详解】，即，即， 则. 故答案为：. 8．在中，最大的数是___________． 【答案】 【详解】因为 所以，所以最大的数是． 故答案是：. 9．计算：__________. 【答案】/ 【详解】由. 故答案为： 10．计算_________ 【答案】 【详解】原式 . 11．方程的解为_____. 【答案】1 【详解】，得，整理得. 即. 因为，所以，所以，所以. 所以方程的解为. 故答案为：. 12．若，则____________． 【答案】 【详解】因为，所以，从而．故原式 ． 13．已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则，，， 所以， 又，，则，所以. 故选：C 14．方程的实数解为____________． 【答案】 【详解】令，由指数函数的性质可知，原方程可变形为： ， 对一元二次方程因式分解得，解得或. 由于，故舍去，即. 根据对数的定义，可得. 15．若，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】因为，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 16．如果方程的两根是，求的值． 【答案】 【详解】设，则得，即， 则或，即或，解得或. 依题意，或，故. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数 一、根式 1.n次方根的定义 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。 特殊结论： ①当为奇数时：正数的次方根为正数，负数的次方根为负数，的次方根记作。 ②当为偶数时：正数的次方根有两个，互为相反数。正的方根称为次算术根，负的方根，合并写作。 ③负数没有偶次方根。 ④的任何次方根都是，记作。 2.根式概念 式子叫做根式；称为根指数，称为被开方数。 （1）为奇数：，均有意义； （2）为偶数：仅当时，才有意义。 3.与的区别 （1） （2） 辨析：若为奇数：，取全体实数； 若为偶数：；若有意义，则要求。 二、分数指数幂与无理数指数幂 1.分数指数幂 （1）正分数指数幂 在的条件下，所有根式均可改写为分数指数幂形式。 （2）负分数指数幂 2.0的分数指数幂 （1）的正分数指数幂： （2）的负分数指数幂：无意义 3.无理数指数幂（，为无理数） 无理数指数幂满足完整指数运算性质（，为无理数）： ①（，）②（，） ③（，） 三、对数的概念 如果，那么数叫做以为底的对数，记作： 其中：为对数底数，为真数（真数必须满足）。 对底数限制的原因： （1）若：，时任意；无解，对数不唯一或不存在； （2）若：要么为0，要么无意义，无法建立一一对应； （3）若：部分不存在对应实数，研究范围受限。 四、指数式与对数式互化 ，指数式与对数式为同一数量关系的两种等价表达，可双向互化。 五、对数基础性质（） 1.负数和零没有对数，即真数； 2.，； 3.对数恒等式：。 六、对数运算性质 设，且，对数核心运算性质如下： ① ② ③（） ④（） ⑤（） 七、对数换底公式 换底公式： 重要推论： （倒数关系） 易错点1 偶次根式化简遗漏绝对值 易错原因：混淆根式的奇偶次化简规则，默认直接等于底数，忽略为偶数时，开方结果恒为非负数，容易遗漏绝对值化简步骤，导致负数底数化简出错。 处理方法：严格区分奇偶次根式化简公式，分类讨论求解：，遇偶次根式必须添加绝对值，再根据底数正负去绝对值符号。 例1．当时，的值是（    ） A．-1 B．2 C．1 D．-2 变式1-1．化简根式______. 变式1-2．若，则化简的结果是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 变式1-3．化简：___________. 易错点2 负分数指数幂变形转化失误 易错原因：对负分数指数幂的运算定义理解模糊，化简时容易遗漏倒数变形，或混淆分子、分母的指数位置，出现符号、指数书写错误，导致整体化简结果偏差。 处理方法：牢记负分数指数幂核心公式：，负指数优先转化为正指数倒数形式，再进行根式、幂的化简运算。 例2．___________． 变式2-1．计算：__________. 变式2-2．__________． 变式2-3．计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 易错点3 忽略对数式参数的定义域限制 易错原因：运算、化简、求解对数参数问题时，只套用运算公式，完全忽略对数定义域要求，未验证底数和真数的取值范围，最终出现无意义的增根、错解。 处理方法：所有对数运算必须优先满足定义域：中且。解题先列定义域约束条件，再进行化简计算，最终结果必须验证参数取值符合对数定义。 例3．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-3．下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点4 指数、对数互化位置出错 易错原因：对指数式与对数式的等价关系掌握不扎实，互化时混淆底数、指数、真数的对应位置，错写变量关系，导致整体式子变形错误。 处理方法：严格遵循互化核心公式：，明确底数不变、指数变对数、幂变真数的互化规则，固定对应关系，避免位置错位。 例4．已知，得______. 变式4-1．若，则____________． 变式4-2．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 变式4-3．已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 易错点5 对数运算公式混淆、记忆错误 易错原因：容易混淆对数加减、幂运算公式，常出现“真数相加变对数相乘”“幂指数随意拆分”等公式乱用问题，也易遗忘换底公式及推论，导致运算失误。 处理方法：熟记核心运算公式：、、，区分公式正向、逆向用法，搭配换底公式及推论规范运算。 例5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 变式5-2．下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式5-3．已知，，，则的最小值为______． 1．使对数式有意义的a的值不可能是（   ） A．2 B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．若，则______. 5．求使等式成立的实数a的取值范围为_____． 6．已知集合,集合，则=（   ） A．{} B．{,,0} C．{2} D．{0,1} 7．若实数，且，，则_________． 8．在中，最大的数是___________． 9．计算：__________. 10．计算_________ 11．方程的解为_____. 12．若，则____________． 13．已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 14．方程的实数解为____________． 15．若，则的最小值为___________． 16．如果方程的两根是，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $