第3章 幂、指数与对数（2知识6题型）（期末复习知识清单）高一数学上学期沪教版

该高中数学知识清单系统涵盖“幂、指数与对数”核心内容，包含指数幂拓展（根式性质、幂的运算）和对数（概念、性质、运算）两大知识范畴，搭建从基础概念梳理到题型应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型分类”构建体系，如标注根式运算注意点、对数换底公式结论等重难点，设计6大题型含例题与变式，培养数学思维与运算能力。通过分层练习与要点提示，助力学生自主高效复习，教师可据此精准设计教学，提升课堂实效。

第3章 幂、指数与对数（2知识6题型） 【清单01】指数幂的拓展 1.根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序． 2.幂的运算性质 根式与分数指数幂的互化 （1）规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）对任意给定的正数、及实数、，有，， 3. 幂的基本不等式 定理 当，时，； 【清单02】 对数 1. 对数的概念 　　如果ab=N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数. 2. 对数式与指数式的关系 　　当a>0，a≠1时，ab=N⇔b=logaN. 3. 常用对数与自然对数 以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lg N； 以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，对数logeN简记为ln N. 4. 对数的性质 (1)零和负数没有对数； (2)loga1=0(a>0，a≠1)； (3)logaa=1(a>0，a≠1)； (4)logaab=b(a>0，a≠1，b∈R)； (5) =N(a>0，a≠1，N>0). 5. 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 6.对数的换底公式 1. 换底公式：logaN=，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 2. 相关结论 (其中a，b均为不等于1的正数) (1)logab·logba=1； (2)lobn=logab(m∈R，n∈R，m≠0). 【题型一】根式的化简与根式化有理数指数幂 【例1-1】（24-25高一上·上海·期末）当 时，化简: . 【例1-2】（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【例1-3】（24-25高一上·上海宝山·期末）设，用有理数指数幂的形式表示 ． 【变式1-1】当时，化简 . 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【变式1-3】（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【变式1-4】（23-24高一上·上海·期中）已知，用有理数指数幂的形式表示 . 【变式1-5】（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 【题型二】指数幂的运算与化简求值 【例2】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）指数幂的值为 ． 【变式2-2】（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简 （其中，）． 【变式2-3】若函数满足，则 ． 【题型三】指数式与对数式的互化 【例3】（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 【变式3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【题型四】对数的运算 【例4-1】（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 【例4-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则用表示为 ． 【例4-3】（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 【变式4-1】（24-25高一上·上海虹口·期末）计算： . 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期末）计算 ． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【变式4-4】（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-5】（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型五】对数的运算性质的应用 【例5-1】（24-25高一上·上海·期末）已知，若用表示，则 . 【例5-2】（24-25高一上·上海·期末）函数的最小值为 . 【例5-3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，，则（   ）. A． B． C． D． 【例5-4】（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式5-1】（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知，，则用a、b表示 . 【变式5-2】（23-24高一上·上海·期末）已知函数，则 ． 【变式5-3】（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知的三边长分别为、、，且，，，有以下2个命题： ①以、、为边长的三角形一定存在； ②以、、为边长的三角形一定存在； 则下列选项正确的是（   ） A．①成立，②不成立； B．①不成立，②成立； C．①②都成立； D．①②都不成立. 【题型六】运用换底公式化简计算 【例6-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，，则 【例6-2】（23-24高一下·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 【例6-3】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【例6-4】（24-25高一上·上海·期末）的值是 . 【变式6-1】（23-24高一上·上海松江·期末）已知，用、的代数式表示 . 【变式6-2】（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则 . 【变式6-3】（23-24高一上·上海·期末）已知，，则可以用a、b表示为 . 【变式6-4】（23-24高一上·上海虹口·期末）若实数和满足，则 ． 【变式6-5】（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数（2知识6题型） 【清单01】指数幂的拓展 1.根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序． 2.幂的运算性质 根式与分数指数幂的互化 （1）规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）对任意给定的正数、及实数、，有，， 3. 幂的基本不等式 定理 当，时，； 【清单02】 对数 1. 对数的概念 　　如果ab=N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数. 2. 对数式与指数式的关系 　　当a>0，a≠1时，ab=N⇔b=logaN. 3. 常用对数与自然对数 以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lg N； 以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，对数logeN简记为ln N. 4. 对数的性质 (1)零和负数没有对数； (2)loga1=0(a>0，a≠1)； (3)logaa=1(a>0，a≠1)； (4)logaab=b(a>0，a≠1，b∈R)； (5) =N(a>0，a≠1，N>0). 5. 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 6.对数的换底公式 1. 换底公式：logaN=，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 2. 相关结论 (其中a，b均为不等于1的正数) (1)logab·logba=1； (2)lobn=logab(m∈R，n∈R，m≠0). 【题型一】根式的化简与根式化有理数指数幂 【例1-1】（24-25高一上·上海·期末）当 时，化简: . 【答案】 【详解】因为 所以， 故答案为： 【例1-2】（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【详解】由题意. 故答案为：. 【例1-3】（24-25高一上·上海宝山·期末）设，用有理数指数幂的形式表示 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 【变式1-1】当时，化简 . 【答案】 【详解】因为，所以 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【变式1-3】（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【答案】 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 【变式1-4】（23-24高一上·上海·期中）已知，用有理数指数幂的形式表示 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【变式1-5】（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 【答案】 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 【题型二】指数幂的运算与化简求值 【例2】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）指数幂的值为 ． 【答案】 【详解】由. 故答案为：4 【变式2-2】（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简 （其中，）． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【变式2-3】若函数满足，则 ． 【答案】 【详解】由题意，函数满足，令，可得. 故答案为：. 【题型三】指数式与对数式的互化 【例3】（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 【答案】 【详解】方程的解. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 【题型四】对数的运算 【例4-1】（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【例4-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则用表示为 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【例4-3】（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 【变式4-1】（24-25高一上·上海虹口·期末）计算： . 【答案】 【详解】原式. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期末）计算 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】20 【详解】， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：20 【变式4-4】（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即， . 故选：B 【变式4-5】（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即，①正确； ②因为，，，所以， 所以，②正确； ③，当且仅当时等号成立，所以③错误； ④， 所以，当且仅当时等号成立，④正确； 所以有个不等式成立. 故选：. 【题型五】对数的运算性质的应用 【例5-1】（24-25高一上·上海·期末）已知，若用表示，则 . 【答案】 【详解】因为，则. 故答案为：. 【例5-2】（24-25高一上·上海·期末）函数的最小值为 . 【答案】 【详解】, 令，则有， 当时，，所以的最小值为. 故答案为：. 【例5-3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，又， . 故选：A. 【例5-4】（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由题意可知：， 因为关于的二次方程有两个相等的实根， 则，可得， 则，即，可知角C为直角，即直角三角形. 故选：B. 【变式5-1】（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知，，则用a、b表示 . 【答案】 【详解】由题意得， 故答案为： 【变式5-2】（23-24高一上·上海·期末）已知函数，则 ． 【答案】1 【详解】由题意，，， 所以. 故答案为：1 【变式5-3】（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与互为相反数，则，即，则. 故选：D. 【变式5-3】（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知的三边长分别为、、，且，，，有以下2个命题： ①以、、为边长的三角形一定存在； ②以、、为边长的三角形一定存在； 则下列选项正确的是（   ） A．①成立，②不成立； B．①不成立，②成立； C．①②都成立； D．①②都不成立. 【答案】A 【详解】不妨设，则，即， 对于①：显然，则， 因为，可得， 所以以、、为边长的三角形一定存在，故①正确； 对于②：例如，此时，符合题设， 但， 所以、、不能构成三角形，故②错误； 故选：A. 【题型六】运用换底公式化简计算 【例6-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，，则 【答案】 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 【例6-2】（23-24高一下·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 【答案】125 【详解】由题意知，，则， 所以， 解得. 故答案为：125 【例6-3】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【例6-4】（24-25高一上·上海·期末）的值是 . 【答案】1 【详解】易知. 故答案为：1 【变式6-1】（23-24高一上·上海松江·期末）已知，用、的代数式表示 . 【答案】 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 【变式6-2】（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则 . 【答案】 【详解】由对数的运算性质，可得， 可得，所以. 故答案为：. 【变式6-3】（23-24高一上·上海·期末）已知，，则可以用a、b表示为 . 【答案】 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 【变式6-4】（23-24高一上·上海虹口·期末）若实数和满足，则 ． 【答案】1 【详解】因为，则，可得， 所以. 故答案为：1. 【变式6-5】（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $