第10讲 幂函数（3个知识点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第10讲 幂函数（3个知识点+5种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养． 2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养. 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点) 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【即学即练1】（2023秋•浦东新区校级月考）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则　　 A． B．3 C．1或 D．或3 知识点02 幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 【即学即练2】（2023秋•静安区校级月考）如果幂函数的图像，当时，在直线的上方，那么的取值范围是 　 　． 知识点03 幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 【即学即练3】（2023秋•浦东新区校级期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 　 　． 【即学即练4】（2023秋•杨浦区校级期末）设，已知函数为偶函数，且在上递减，则可取的值为 　 　． 【即学即练5】（2023秋•浦东新区校级期中）已知幂函数在上单调递增，函数． （1）求的值； （2）记集合，，，集合，，，若，求实数的取值范围． 题型一．幂函数的概念 1．（2023秋•虹口区校级期中）若幂函数，，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确是　　 A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且 2．（2023秋•上海期末）若幂函数的图象不经过原点，则的值为　　 A．2 B． C．3 D．或2 3．（2023秋•浦东新区校级期末）若幂函数的图像经过点，则此幂函数为　 ． 4．（2023秋•松江区期末）已知幂函数的图像经过点，则（4）　　． 5．（2023秋•奉贤区期末）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式是 　　． 6．（2023秋•普陀区校级期末）已知幂函数的图像关于轴对称，则　　． 题型二．幂函数的定义域 7．（2024秋•邢台月考）下列关于幂函数的说法正确的有　　 A．的定义域为 B．的值域为，， C．为偶函数 D．不等式的解集为 8．下列幂函数中定义域和值域相同的函数是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•沂水县期中）已知幂函数的定义域为，则实数　　． 题型三．幂函数的图象 10．（2022秋•黄浦区校级期中）如图所示是函数、且互质）的图象，则　　 A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且 11．（2023秋•浦东新区校级月考）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 　 　． 12．（2021秋•宝山区校级期末）幂函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有．那么　　． 题型四．幂函数的单调性与最值 13．（2023秋•宝山区校级期中）幂函数，当时为减函数，则实数的值为　　 A． B． C．或 D． 14．（2023秋•浦东新区校级月考）下列幂函数中，是奇函数，且在上是增函数的是　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•虹口区期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数　　． 16．（2023秋•青浦区校级月考）若幂函数在上单调递增，则实数　　． 17．（2023秋•浦东新区校级月考）已知幂函数在上是严格减函数，则　　． 18．（2023秋•奉贤区期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的有 　 ．（请填入全部正确的序号） ①； ②； ③； ④ 19．（2023秋•宝山区校级期末）已知幂函数的图像过原点，则　　． 20．（2023秋•嘉定区校级月考）若幂函数在时的图像位于直线的上方，则的取值范围是 　 　． 21．（2023秋•闵行区校级月考）不等式的解集为 　　． 22．（2023秋•浦东新区校级月考）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是 　　． ①；②；③；④；⑤（请填入全部正确的序号） 23．（2023秋•普陀区校级期中）已知是幂函数，且在区间上是严格减函数，则实数的值为 　　． 24．（2023秋•普陀区校级期中）已知幂函数在上单调递减． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 25．（2023秋•静安区校级期中）已知幂函数满足：①在区间上是严格增函数；②函数图像关于原点对称． （1）求同时满足①②的幂函数的表达式． （2）在（1）条件下，图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，恰好和函数的图像重合，求函数的表达式． 26．（2023秋•静安区校级期中）已知幂函数的图象关于点对称． （1）求该幂函数的解析式； （2）设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （3）直接写出函数的单调区间． 27．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数． （1）若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； （2）若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 题型五．幂函数的奇偶性 28．（2023秋•金坛区校级月考）已知幂函数且为奇函数，且在区间上递增，则等于　　 A．1 B．2 C．1或3 D．3 29．（2022秋•鄠邑区校级期中）已知幂函数的图象经过点． （1）求的解析式：并判断它的奇偶性（不证明）； （2）若，求的取值范围． 一．选择题（共3小题） 1．（2022秋•浦东新区期末）关于幂函数的图像，下列选项描述正确的是　　 A．幂函数的图像一定经过和 B．幂函数的图像一定关于轴或原点对称 C．幂函数的图像一定不经过第四象限 D．两个不同的幂函数的图像最多有两个公共点 2．（2023秋•浦东新区校级期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•浦东新区校级期中）直线，，及幂函数将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过　　 A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤ 二．填空题（共14小题） 4．（2023秋•黄浦区校级期末）若幂函数的图像经过点，则实数　　． 5．（2023秋•奉贤区期中）若幂函数的图像经过，则此函数的表达式为 　　． 6．（2022秋•杨浦区校级期末）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则　　． 7．（2023秋•静安区期中）已知幂函数过原点，则实数的值为 　　． 8．（2023秋•杨浦区校级期中）已知幂函数的图像经过点，则实数的值为 　　． 9．（2022秋•长宁区校级期末）幂函数在区间上为严格减函数，则　　． 10．（2022秋•闵行区校级月考）函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么　　． 11．（2022秋•普陀区校级期中）已知，若幂函数在区间上是严格增函数，且函数图像关于原点中心对称，则的所有可能的值为 　　． 12．（2022秋•闵行区校级期末）若幂函数在上严格减，则　　． 13．（2022秋•长宁区期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的　　． 14．（2022秋•闵行区期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，且图像关于轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是　　（只需写出一个正确的答案） 15．（2022秋•徐汇区校级期末）幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数的取值集合是 　　． 16．（2023秋•金山区校级期中）若点在幂函数的图象上，则　　． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）幂函数在上单调递增，则实数　　． 三．解答题（共6小题） 18．（2023秋•浦东新区校级月考）已知幂函数与的图象与轴、轴都无公共点，且的图象关于轴对称，求的值． 19．（2023秋•闵行区校级月考）已知幂函数的图象关于点对称． （1）求该幂函数的解析式； （2）设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象．（提示：列表、描点、连线作图） 20．（2023秋•静安区校级月考）已知幂函数的图象经过点． （1）试确定的值； （2）求满足条件 的实数的取值范围． 21．（2023秋•徐汇区校级期中）幂函数的图象关于轴成轴对称，且与轴、轴均无交点，求的值． 22．（2022秋•杨浦区校级期中）已知是幂函数． （1）若函数过定点，求函数的表达式和定义域； （2）若，求实数的取值范围． 23．（2022秋•静安区校级期末）已知幂函数．若函数经过点，试确定的值，并求满足的实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 幂函数（3个知识点+5种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养． 2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养. 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点) 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【即学即练1】（2023秋•浦东新区校级月考）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则　　 A． B．3 C．1或 D．或3 【分析】令系数等于1，得到或，排除不合要求的解，得到答案． 【解答】解：令，解得或， 当时，，图象经过坐标原点，不合要求， 当时，，图象不经过坐标原点，满足要求． 故选：． 【点评】本题考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 知识点02 幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 【即学即练2】（2023秋•静安区校级月考）如果幂函数的图像，当时，在直线的上方，那么的取值范围是 　 　． 【分析】分别讨论当，，，，时，幂函数的图像与直线第一象限的图象性质，能求出结果． 【解答】解：当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图： 由图知不满足题意； 当时，幂函数的图像与直线的图象重合，不满足题意； 当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图， 由图知满足题意； 当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图， 由图知满足题意； 当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图， 由图知满足题意． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查幂函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 知识点03 幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 【即学即练3】（2023秋•浦东新区校级期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 　 　． 【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再结合幂函数的性质求解． 【解答】解：设幂函数的解析式为为常数）， 幂函数的图像经过点， ， ， ，定义域为，且为偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立， 函数的单调减区间是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题． 【即学即练4】（2023秋•杨浦区校级期末）设，已知函数为偶函数，且在上递减，则可取的值为 　 　． 【分析】由题意，利用幂函数的奇偶性和单调性的性质，求出可取的值． 【解答】解：由于，已知函数为偶函数，且在上递减， 则为负的偶数， 故的值可为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性的性质，属于基础题． 【即学即练5】（2023秋•浦东新区校级期中）已知幂函数在上单调递增，函数． （1）求的值； （2）记集合，，，集合，，，若，求实数的取值范围． 【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，求的值； （2）由函数的单调性，求和在区间内的值域，由集合的包含关系，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）为幂函数且在上单调递增， 解得； （2）由（1）知，，在上单调递增， 当，时，，，即，， 在上单调递增， 当，时，，，即，， ，， 解得，即实数的取值范围为，． 【点评】本题考查了幂函数的定义及单调性，交集和子集的定义，是基础题． 题型一．幂函数的概念 1．（2023秋•虹口区校级期中）若幂函数，，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确是　　 A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且 【分析】根据幂函数的性质进行判断． 【解答】解：由题图知，函数为偶函数，为偶数，为奇数，又在第一象限向上“凸”， 所以， 故选：． 【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题． 2．（2023秋•上海期末）若幂函数的图象不经过原点，则的值为　　 A．2 B． C．3 D．或2 【分析】根据幂函数的定义，求出的值，再根据图象不过原点取舍的值． 【解答】解：幂函数定义得，，解得或2，当时，指数，，过原点，不符合题意，故舍去；当时，指数，，显然不过原点，符合条件． 故选：． 【点评】考查幂函数的定义，并考查函数是否过原点．幂函数指数小于零才不过原点．属于简单题． 3．（2023秋•浦东新区校级期末）若幂函数的图像经过点，则此幂函数为　　． 【分析】设幂函数，将点代入，即可求解． 【解答】解：由题意，设幂函数， 则，解得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂函数的概念，属于基础题． 4．（2023秋•松江区期末）已知幂函数的图像经过点，则（4）　2　． 【分析】结合幂函数的定义，以及的图像经过点，求出的解析式，再将代入，即可求解． 【解答】解：幂函数， 的图像经过点， 则，解得， 故， 所以（4）． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查幂函数的概念，属于基础题． 5．（2023秋•奉贤区期末）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式是 　　． 【分析】将代入函数求得即可得出． 【解答】解：将代入函数得，解得， 所以此幂函数的表达式是． 故答案为：． 【点评】本题考查幂函数，考查运算求解能力，属于基础题． 6．（2023秋•普陀区校级期末）已知幂函数的图像关于轴对称，则　2　． 【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据函数图像关于轴对称求得的值． 【解答】解：因为为幂函数， 所以， 解得或， 当时，为偶函数，图像关于轴对称，符合题意． 当时，为奇函数，图像关于原点对称，不符合题意． 所以的值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题． 题型二．幂函数的定义域 7．（2024秋•邢台月考）下列关于幂函数的说法正确的有　　 A．的定义域为 B．的值域为，， C．为偶函数 D．不等式的解集为 【分析】由已知结合幂函数的性质检验各选项即可判断． 【解答】解：由题意可知，函数的定义域为，，，错误； 的值域为，，，正确； 的定义域为，，，关于原点对称， 又， 所以为奇函数，错误； 不等式，则，解得，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了幂函数性质的判断，属于中档题． 8．下列幂函数中定义域和值域相同的函数是　　 A． B． C． D． 【分析】分别求出选项中的函数定义域和值域，判断即可． 【解答】解：对于，函数，定义域为，值域也为，定义域和值域相同； 对于，函数，定义域为，值域为，，定义域和值域不同； 对于，函数，定义域为，，，值域也为，，，定义域和值域相同； 对于，函数，定义域为，，，值域为，定义域和值域不同． 故选：． 【点评】本题考查了幂函数的图象与性质应用问题，是基础题． 9．（2023秋•沂水县期中）已知幂函数的定义域为，则实数　3　． 【分析】由幂函数的定义以及性质，列出方程，代入计算，即可得到结果． 【解答】解：由题意可得，，解得或， 当时，，定义域为； 当时，，定义域为，，，不满足题意． ． 故答案为：3． 【点评】本题考查幂函数的定义及性质，是基础题． 题型三．幂函数的图象 10．（2022秋•黄浦区校级期中）如图所示是函数、且互质）的图象，则　　 A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且 【分析】利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果． 【解答】解：将分数指数化为根式，，由定义域为，值域为，知为奇数，为偶数， 又由幂函数，当时，图象在第一象限的部分下凸， 当时，图象在第一象限的部分上凸， 故选． 或由图象知函数为偶函数，为偶数，为奇数．又在第一象限内上凸，． 故选：． 【点评】本题考查幂函数的图象和性质，考查学生推理能力，是基础题． 11．（2023秋•浦东新区校级月考）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 　　． 【分析】根据的图象与性质，直接求出定点坐标即得． 【解答】解：因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点． 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂函数的图象特征，属于基础题． 12．（2021秋•宝山区校级期末）幂函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有．那么　1　． 【分析】先确定、的坐标，然后求得，；再求的值． 【解答】解：，点，，所以 ，分别代入， 故答案为：1 【点评】本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题． 题型四．幂函数的单调性与最值 13．（2023秋•宝山区校级期中）幂函数，当时为减函数，则实数的值为　　 A． B． C．或 D． 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再根据幂函数的单调性确定的值． 【解答】解：幂函数， ， 解得或； 当时，幂函数为， 且在时为减函数，满足题意； 当时，幂函数为， 且在时为增函数，不合题意； 综上，实数的值为2． 故选：． 【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题． 14．（2023秋•浦东新区校级月考）下列幂函数中，是奇函数，且在上是增函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】选项，不满足单调性；选项，不满足为奇函数，选项满足要求． 【解答】解：选项，中，，故在上单调递减，错误； 选项，中，故在上单调递增， 又定义域为，， 故为奇函数，正确； 选项，的定义域为，故不是奇函数，错误； 选项，的定义域为，，故为偶函数，错误． 故选：． 【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题． 15．（2023秋•虹口区期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数　　． 【分析】根据条件可得出是偶函数，且，然后即可得出的值． 【解答】解：幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数， 是偶函数，且，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了偶函数的定义，幂函数的单调性，是基础题． 16．（2023秋•青浦区校级月考）若幂函数在上单调递增，则实数　6　． 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质，即可求解． 【解答】解：令，解得或6， 当时，在上单调递减，舍去， 当时，在上单调递增，符合题意， 综上所述，． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题． 17．（2023秋•浦东新区校级月考）已知幂函数在上是严格减函数，则　　． 【分析】根据幂函数的定义得，求得的值，结合幂函数单调性，即可求解． 【解答】解：由幂函数的定义得，解得或，当时，，在上不是减函数，不符合题意，舍去； 当时，，在上是减函数，符合题意． 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题． 18．（2023秋•奉贤区期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的有 　①③　．（请填入全部正确的序号） ①； ②； ③； ④ 【分析】根据幂函数性质，在区间上单调递增时，，再结合奇函数性质即可判断． 【解答】解：根据幂函数性质，因为幂函数在区间上单调递增， 所以，此时有①②③满足， 又因为函数图象关于原点成中心对称， 所以该幂函数为奇函数， 根据奇函数的性质， 又因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故②不满足题意， 故答案为：①③． 【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题． 19．（2023秋•宝山区校级期末）已知幂函数的图像过原点，则　2　． 【分析】由幂函数的概念求出或2，再利用幂函数的图象性质进行验证即可． 【解答】解：因为函数是幂函数， 所以，解得或2， 当时，其图像不过原点，应舍去， 当，，其图像过原点． 故答案为：2． 【点评】本题考查幂函数的应用，属于基础题． 20．（2023秋•嘉定区校级月考）若幂函数在时的图像位于直线的上方，则的取值范围是 　　． 【分析】利用幂函数的图象和性质求解． 【解答】解：幂函数的部分图象如图： 可知与幂函数图象的变换规律，在第一象限内，的右侧， 幂函数的图象顺时针，越来越小． 当时，幂函数的图像在直线的上方， 可知． 故答案为：． 【点评】本题考查幂函数的图象和性质，考查运算求解能力，是基础题． 21．（2023秋•闵行区校级月考）不等式的解集为 　　． 【分析】构造函数，分析该函数的定义域、奇偶性与单调性，根据可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集． 【解答】解：构造函数，该函数的定义域为， 且，即函数为奇函数， 因为函数在，上为增函数，则该函数在，上也为增函数， 所以，函数为上的增函数， 由可得，可得，解得， 因此，不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了幂函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题． 22．（2023秋•浦东新区校级月考）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是 　②⑤　． ①；②；③；④；⑤（请填入全部正确的序号） 【分析】由题意，利用函数的单调性以及函数的图象的对称性，得出结论． 【解答】解：由于函数的定义域为，，故它的图像不可能关于原点成中心对称，故排除①； 由于函数是上的增函数，且是奇函数，故它的图像关于原点成中心对称，故②满足条件； 由于函数的定义域为，，故它的图像不可能关于原点成中心对称，故排除③； 由于函数是上的减函数，故排除④； 由于函数是上的增函数，且是奇函数，故它的图像关于原点成中心对称，故⑤满足条件， 故答案为：③⑤． 【点评】本题主要考查函数的单调性以及函数的图象的对称性，属于基础题． 23．（2023秋•普陀区校级期中）已知是幂函数，且在区间上是严格减函数，则实数的值为 　2　． 【分析】根据幂函数的定义，令幂的系数为1，列出方程求出的值，将的值代入，判断出的单调性，选出符合题意的的值． 【解答】解：是幂函数， ， 解得或， 当时，在上是减函数，满足题意． 当时，在上不是减函数，不满足题意． 故答案为：2． 【点评】解决幂函数有关的问题，常利用幂函数的定义：形如为常数）的为幂函数；幂函数的单调性与指数符号的关系．是基础题． 24．（2023秋•普陀区校级期中）已知幂函数在上单调递减． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出的值； （2）由解不等式得出的取值范围． 【解答】解：（1）由幂函数的定义可得，即， 解得或． 因为在上单调递减， 所以，即， 则； （2）设，是上的增函数， 由（1）可知， 即， 则， 解得， 即的取值范围为． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题． 25．（2023秋•静安区校级期中）已知幂函数满足：①在区间上是严格增函数；②函数图像关于原点对称． （1）求同时满足①②的幂函数的表达式． （2）在（1）条件下，图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，恰好和函数的图像重合，求函数的表达式． 【分析】（1）解不等式求出的范围，结合函数的单调性和奇偶性求出的值，从而求出函数的解析式即可； （2）根据函数图像的平移变换求出的解析式即可． 【解答】解：（1）由题意得：，解得：， 故或， 时，，不符合题意，舍， 时，，符合题意； 故； （2）将图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位得： ． 【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是基础题． 26．（2023秋•静安区校级期中）已知幂函数的图象关于点对称． （1）求该幂函数的解析式； （2）设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （3）直接写出函数的单调区间． 【分析】（1）直接利用幂函数的定义和函数的对称关系求出函数的关系式； （2）利用函数的关系式，画出函数的图象； （3）利用函数的图象求出函数的单调区间． 【解答】解：（1）因幂函数，则， 解得或． ①当时，函数定义域是，，，是奇函数，图象关于原点对称， ②当时，函数是上的偶函数，其图象关于轴对称，则， 所以幂函数的解析式是； （2）因函数，由（1）知，， 是定义域，，上的偶函数， 当时，在上单调递减， 其图象是反比例函数． 根据题意：函数第一象限的图象，再将其函数的图象沿轴翻折即可得在定义域上的图象， 如图所示． （3）观察（2）中图象得，故函数的单调递增区间是：， 单调递减区间是：． 【点评】本题考查的知识要点：幂函数的定义，函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 27．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数． （1）若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； （2）若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可； （2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可． 【解答】解：（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 即或或， 所以的取值范围是． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于中档题． 题型五．幂函数的奇偶性 28．（2023秋•金坛区校级月考）已知幂函数且为奇函数，且在区间上递增，则等于　　 A．1 B．2 C．1或3 D．3 【分析】根据幂函数的单调性及奇偶性求解即可． 【解答】解：因为且在区间上递增， 所以且，所以，2，， 当时，幂函数为奇函数，符合题意； 当时，幂函数为偶函数，不符合题意； 当时，幂函数为奇函数，符合题意，综上等于1或3． 故选：． 【点评】本题考查幂函数的性质，属于中档题． 29．（2022秋•鄠邑区校级期中）已知幂函数的图象经过点． （1）求的解析式：并判断它的奇偶性（不证明）； （2）若，求的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法求函数的解析式，然后根据函数奇偶性的定义加以验证，可得答案； （2）根据的定义域和单调性，建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）根据题意，设， 将代入，可得，解得，故， 因为，定义域为，，不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数； （2）根据，在，上单调递增， 可得等价于，解得． 因此，满足，求的取值范围是． 【点评】本题考查了幂函数的定义与性质、函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题． 一．选择题（共3小题） 1．（2022秋•浦东新区期末）关于幂函数的图像，下列选项描述正确的是　　 A．幂函数的图像一定经过和 B．幂函数的图像一定关于轴或原点对称 C．幂函数的图像一定不经过第四象限 D．两个不同的幂函数的图像最多有两个公共点 【分析】根据幂函数的图像和性质逐个判断各个选项即可． 【解答】解：对于，由幂函数的性质可知，幂函数的图像一定经过，不一定过点，例如，故错误， 对于，幂函数的图像既不关于轴对称，也不关于原点对称，故错误， 对于，由幂函数的性质可知，幂函数的图像一定不经过第四象限，故正确， 对于，幂函数与的交点为，，，共3个，故错误， 故选：． 【点评】本题主要考查了幂函数的图象和性质，属于基础题． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】先待定系数法将幂函数解析式设出，再将点坐标代入，可得函数解析式，确定函数图像． 【解答】解：设幂函数，将点代入，得， ，则幂函数为，由于定义域，且， 则函数图象只分布在第一象限，且单调递减． 故选：． 【点评】本题考查幂函数性质，属于基础题． 3．（2022秋•浦东新区校级期中）直线，，及幂函数将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过　　 A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤ 【分析】根据幂函数的图象和性质直接求解． 【解答】解：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近于轴， ， 在的左侧位于左侧，故经过⑤， 在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近于轴， 在的右侧位于上方的下方，故经过①． 故选：． 【点评】本题考查幂函数图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二．填空题（共14小题） 4．（2023秋•黄浦区校级期末）若幂函数的图像经过点，则实数　4　． 【分析】根据幂函数，代点求值即可． 【解答】解：若幂函数的图像经过点， 则有，即，，． 故答案为：4． 【点评】本题考查了幂函数的应用，属于基础题． 5．（2023秋•奉贤区期中）若幂函数的图像经过，则此函数的表达式为 　　． 【分析】将点的坐标代入，即可确定解析式． 【解答】解：幂函数的图像经过，则，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题． 6．（2022秋•杨浦区校级期末）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则　　． 【分析】根据已知条件，结合幂函数的性质，以及奇函数的定义，即可求解． 【解答】解：，幂函数奇函数，且在上为严格减函数， 则且是奇数， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题． 7．（2023秋•静安区期中）已知幂函数过原点，则实数的值为 　　． 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，即可求解． 【解答】解：由题意可知，，解得或， 当时，，不经过原点，不符合题意，舍去， 当时，，经过原点，符合题意， 综上所述，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂函数的定义，属于基础题． 8．（2023秋•杨浦区校级期中）已知幂函数的图像经过点，则实数的值为 　4　． 【分析】直接将点的坐标代入幂函数表达式即可求解． 【解答】解：因为幂函数的图像经过点，所以，解得． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查幂函数的应用，属于基础题． 9．（2022秋•长宁区校级期末）幂函数在区间上为严格减函数，则　2　． 【分析】由已知结合幂函数的定义及性质可求． 【解答】解：因为幂函数在区间上为严格减函数， 所以， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质，属于基础题． 10．（2022秋•闵行区校级月考）函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么　0　． 【分析】根据，可得点与的坐标，进而可得参数值，计算可得解． 【解答】解：因为，点，， 所以，， 将两点坐标分别代入，， 得，， 所以， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了幂函数的性质的应用，属于基础题． 11．（2022秋•普陀区校级期中）已知，若幂函数在区间上是严格增函数，且函数图像关于原点中心对称，则的所有可能的值为 　，3　． 【分析】由已知结合幂函数的性质即可求解． 【解答】解：因为幂函数在区间上是严格增函数，且函数图像关于原点中心对称， 所以， 当时，显然不符合题意， 当时，显然不符合题意， 故的取值有，3． 故答案为：，3． 【点评】本题主要考查了幂函数的性质的应用，属于基础题． 12．（2022秋•闵行区校级期末）若幂函数在上严格减，则　　． 【分析】根据幂函数得到，解方程求出的值，再验证单调性得到答案． 【解答】解：是幂函数，则，解得或， 当时，，函数在上严格增，不满足； 当时，，函数在上严格减，满足； 综上，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题． 13．（2022秋•长宁区期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的　　． 【分析】根据已知条件，结合函数的单调性，以及偶函数的性质，即可求解． 【解答】解：当时， 在区间上是严格减函数，且图像关于轴对称． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的单调性，以及偶函数的性质，属于基础题． 14．（2022秋•闵行区期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，且图像关于轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是　（答案不唯一）　（只需写出一个正确的答案） 【分析】根据幂函数的性质，写出一个符合条件的幂函数的表达式即可． 【解答】解：根据题意，满足条件的幂函数的表达式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了幂函数的性质，属于基础题． 15．（2022秋•徐汇区校级期末）幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数的取值集合是 　，　． 【分析】根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数的取值集合． 【解答】解：因为幂函数，所以， 解得或， 幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以，即， 所以或均符合题意，则实数的取值集合是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题． 16．（2023秋•金山区校级期中）若点在幂函数的图象上，则　6　． 【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得和 的值，可得结论． 【解答】解：点在幂函数的图象上， ，且， 求得，，， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）幂函数在上单调递增，则实数　　． 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得的值． 【解答】解：由题意，幂函数，可得， 即，解得或． 当时，函数，可得函数在上单调递减，不符合题意； 当时，函数，可得函数在上单调递增，符合题意， 故， 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题． 三．解答题（共6小题） 18．（2023秋•浦东新区校级月考）已知幂函数与的图象与轴、轴都无公共点，且的图象关于轴对称，求的值． 【分析】由已知条件推导出，且，为偶数，由此能求出的值． 【解答】解：幂函数与的图象与、轴没有公共点， ，且， 解得， 的可能取值为3，4，5， 又的图象关于轴对称， 为偶函数，即为偶数， ． 【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的灵活运用． 19．（2023秋•闵行区校级月考）已知幂函数的图象关于点对称． （1）求该幂函数的解析式； （2）设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象．（提示：列表、描点、连线作图） 【分析】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图． 【解答】解：（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：． （2）由（1）可得：，则的定义域为，，， 可得： 1 2 3 1 2 3 1 则的图象为： 【点评】本题主要考查幂函数的概念，考查转化能力，属于基础题． 20．（2023秋•静安区校级月考）已知幂函数的图象经过点． （1）试确定的值； （2）求满足条件 的实数的取值范围． 【分析】（1）代入点的坐标，求出的值，从而求出函数的解析式即可； （2）根据函数的单调性得到关于的不等式，解出即可． 【解答】解：（1）将代入函数的解析式得： ，即， 解得：（舍或， 故； （2）由，在递增， 若 ， 则，解得：． 【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数求值以及函数的单调性问题，是一道基础题． 21．（2023秋•徐汇区校级期中）幂函数的图象关于轴成轴对称，且与轴、轴均无交点，求的值． 【分析】由幂函数与轴、轴均无交点得，再根据求出的值，结合幂函数的图象和性质分类验证是否满足题意即可． 【解答】解：由幂函数的图像与轴、轴均无交点， 得，解得，又， 所以，1，2，3，4． 当或4时，，定义域为，，， 即函数，其图象关于轴对称，满足题意； 当或3时，，即， 设，由（1），（1）， 故其图象不关于轴对称，不满足题意； 当时，，即，定义域为，，， 设，则， 故是偶函数，则图象关于轴对称，满足题意． 综上所述，的值为0或2或4． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 22．（2022秋•杨浦区校级期中）已知是幂函数． （1）若函数过定点，求函数的表达式和定义域； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）设，代点计算可得表达式，进而可得定义域； （2）先根据幂函数的性质得函数的单调性和定义域，再利用函数单调性解不等式，即可求解． 【解答】解：（1）设，代入点得，解得， 故，其定义域为． （2）由幂函数的性质可得，函数的定义域为，且在定义域上单调递减， ， ，解得或， 故实数的取值范围为或． 【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题． 23．（2022秋•静安区校级期末）已知幂函数．若函数经过点，试确定的值，并求满足的实数的取值范围． 【分析】根据幂函数的定义求出，再列出不等式求解即可． 【解答】解：幂函数经过点， ，， ，即， ，， 幂函数， ， ， ，， 实数的取值范围为，． 【点评】本题考查了幂函数的定义与性质，不等式的解法，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$