浙江省杭州高级中学2027届高三上学期9月阶段性检测数学试题

机密★考试前 2027届高三阶段性学习检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，且，则（ ） A． B． C． D． 5．设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A． B． C． D． 6．设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，两点均在双曲线（，）的右支上，若恒成立，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，，…，，，每个点均在函数的图象上．已知以点为圆心的均与x轴相切，与外切，且，则（ ） A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为 C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项等比数列中，，设其公比为q，前n项和为，则（ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上一点，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线C的离心率 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．双曲线C上存在不同两点M，N关于点对称 11．已知定义在上的函数不是常数函数，且，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式中项的系数为__________． 13．在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为__________，内切球表面积为__________． 14．已知双曲线（，），其左右焦点分别为，，点P是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 16．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且． （1）求； （2）求函数与的图象在区间内的交点横坐标． 17．如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面且，，，，E，F分别是线段，的中点． （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求； （3）在（2）的条件下，求点A到平面的距离． 18．设椭圆的离心率为，是C的右焦点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B是C上的两点，且． （ⅰ）设直线的斜率为，求直线的方程； （ⅱ）求面积的最大值与最小值． 19．已知函数． （1）若是的一个极值点． （ⅰ）求a的值； （ⅱ）判断在处取得极大值还是极小值，并说明理由； （2）若对任意，恒成立，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三阶段性学习检测数学 参考答案及评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.C 4.C 7.B 2.B 5.A 8.C 3.B 6.B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.A,B,D 10.A,C 11.A,C,D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9 2 43-√21 元 12.-40 13.2 3 14. 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(1)证明：由余弦定理，得b2=a2+c2-2 accosB」 f代入b2-a2=ac,得ac=c2-2 accosB,则a=c-2ac0sB, 由正弦定理，得sinA=sinC-2 sinAcosB 所以sinA=sin(A+B)-2 sinAcosB sinA=sinAcosB+cosAsinB-2sinAcosB cosAsinB-sinAcosB,sin=sin(B-4) 由b2-a2=ac>0,知b>a,则B>A, 所以A=B-A或M+(B-A)=元（舍去），则B=2A. (2)解：解法1：因为C=兀-3A, ,0<A<0<2A<0<π-3A<TT<A<正 2 2,得6 4. 所以2下sin1< a=sinA sinA sinA sinA sinA 2,sinc sin(-34)sin34 sin(4+24sindcos24+cos4sin24 sinA sinA sinA(2cos24-1)+2cosAsinAcos4 -sin4+4cos2AsinA sinA sinA 1 -sinA+4(1-sin2A)sinA 3sinA-4sin34 3-4sin24 1 <sin2A< 由2 2,得4 2,1<4sin2A<2. 1<-m2.mue号到 c/62 sin2A -1= -1=4cos2A-1 解法2：由b2-a2=ac,得a(a sinA A<π 元 2 因为64，所以2 下cos4<3 2,得2<4c0s2A<3, 1<<2 所<4sA2.则。，防以22门 )解：由题意.则函数8)的图象经过右( 州以9行号引 0<psπ 5π9π 由 之，得88<g 8 9π2π 11π 所以8p= 0= 3，解得24. (2)解：由(1)得， ()-cos3) 4]副 -g.有6}-om3- 女贤+w后咖e要》-e列 则24 =13x+(k∈Z）-37=2km(keZ) 解得1443 或8 舍去)， 当k=-1时， 语品] 13π「元23π 当k=0时， 492472]} 61π「π23π x= 当k=1时，1442472」 π23π 13π 所以函数8（与(）的图象在区间24’72]内的交点横坐标为14. 17.(1)证明：如图，取AB的中点G,连接CG,DG,PG, 因为ABCD,AB=2CD,所以AG/CD,AG=CD, 则四边形AGCD是平行四边形，所以对角线AC与DG相交于点R, 则F是DG的中点，所以EF是△PDG的中位线，则EFIIPG, 又因为EFC平面PAB,PGC平面PAB,所以EF∥平面PAB, (2)解：以G为坐标原点，GD,GB，AP的方向分别为，y,z轴的正方向建立如下图所示的空间直 角坐标系， 段C-,wPQ-L.Db).台.Fga0c6l0 uF-(.F-(-2c-0 mEF-1 y-2=0 b 设平面PEF的一个法向量为m=(:少，2），则 ym.PF=号x+y-2z=0 令2=1，得平面PEF的一个法向量为m=(0,2) 设平面CEF的一个法向量为元=(x,,2)】 mF=-=0 n-FC-5x+y-0 由 2 令2=b,得平面CEF的一个法向量为元=（-4,2b,b)】 105 因为平面PEF与平面CEF夹角的余弦值为21， sb 所以 os(m=网同5-i6+56 m· V105 21,解得b=1(负值合去)，则BC=1 a品ta.40-0.传0.亚-经0 5x0+1×2+0×列 25 所以，点A到平面PEF的距离为m 5 a2 18.(1)解：由题意可得c=1,解得a=2,c=1,b=Va2-c=V5, x2 y2 故椭圆C的方程为4十3=】 3 (2)解：(1)设A(:,),B(x,乃)，直线AB的方程为： y=- x+m 2 、3 +m 2+=1 联立(43 ，消去y整理得：3x2-3x+m2-3=0, 由4=9m-12(m-3列>0，可得-25<m<25, 由韦达完理。x1+x2=m2一3*) 前-司++m6g+m-9 4() 因为∠AFB=90°，所以FAFB=(G-1(:-1）+yy2=0 即x5(+x)+1+y=0. 将)，(*)代入整理得：7m2-12m-27=0,解得m=3或7， 9 经检验m=3或7都满足-2V3<m<2V3, 故直线AB的方程为： +3y=-3x-9 、3 或 2x- (i)不妨设FA=片，F8=5,∠Ax=a,则∠BFx=270-a, A(1+rcosa,rsina）.B(1+5cos(270°-a),5sin(270°-a) (rcosa)(rina) 因为点A在椭圆上，所以4 3 3 整理符4-cos☑）斤+6cosa听-9=0，解符7=2+c0sa,或 = = 2-cos0(负值舍去)， 同理可得：5二 2-sina, 11 3 、3 9 F+cosa*2-sina8-4(sina-cosa)-2sinacosa 故 令sina-cosa=t,则2 sinacosa=l-t,且 -Vsin[a-)e[-v2.] 9 9 8-4-1-F可2-4+7-2y+3。 多 因y=(-2+3在[-2.]上单调道减，故9-45≤-2+3≤9+45， 故9+42≤5s。9 9 81-65s5m581+362 9-4√2，即49 49, 项S-81+362 a= 当t=-√2时，即4时， 49； 3π Q= 当t=V2时，即4时， Sm=81-362 49 81+36W2 81-36v2 △ABF面积的最大值为49，最小值为49 19.(1)解：(i)函数f()=r+simr-arCOsx,求导可得f'()=1+cosx-aco5x+axsinx, 所以f'(2π)=2-a=0 解得a=2: (ii)a=2,f(x)=x+sinx-2xcosx f(x)=1-cosx+2xsinx g(x)=f"(x)=1-cosx+2xsinx ..g'(x)=3sinx+2xcosx g'(x)=cosx(3tanx+2x).cosx>0. 11π13π 函数y=3anr+2x在6’6)上单调递增， 3a+2>5+1>0.g)0. 3 11π13π 11π13π 所以8(x)在区间6’6)上单调递增，即了'(x)在区间6’6)上单调递增， t传2a=0,ag）,rre-0 所以f(0)在x=2π处取得极小值，其极小值为一-2元，同时也说明了(1)中Q=2符合愿意： ②)解：当4≤0时，显然对任意x0,2f()=x+sinr-GYCOSY≥0 当0<a≤2时， f(x)=1+(1-a)cosx+axsinxz1-cosx+axsinx20 0, 所以f(:在 上单调递增，f(x)≥f(0)=0 则h'(r)=(2a-l)sinx+aXCOSx≥0 所以0上.0)=2-a<0.)-1+号0>0 所以存在 使得当x∈(0，)时，有'()<0 此时f()在(0，七)上为单调减函数，从而()水f(0)=0, 故f()恒大于等于0不成立， 综上所述，实数a的取值范围为a≤2.