专题02 全等三角形（期中真题汇编，河北专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． (1)连接．若，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 2．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图所示的两个三角形全等，则x的值为（　　） A．82 B．72 C．63 D．45 3．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为________；当时，x的值为________． 5．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 6．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 7．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）下列命题不是真命题的是（   ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条角平分线必定交于一点 C．全等三角形对应边上的中线相等 D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等 9．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）已知图2中的两个三角形全等，则（    ）． A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，点在上，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 11．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，若，且，，则______． 12．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，两个三角形全等，则的度数是__________． 13．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）下列图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出：使得．点在小正方形的格点上，且点与点不重合．（只需画出一种即可） (2)在图2中画出：使得，且点在小正方形的格点上（只需画出一种即可）． 18．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且，动点 ，分别按照→→ 和 →→的路线同时开始运动，到各自的终点时停止，过点，分别作于点，于点 ．若点 的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，当与全等时，点的坐标为________ ． 19．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，已知，若，，则的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）． 2．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 3．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图1和图2，在中，，，D为直线上的动点，连接，过点A在直线的右侧作，且． 【解题填空】（1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于点F，（）． ①图1中与相等的角是 ； ②用含m的式子表示线段的长度 ； 【类比探究】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由； 【拓展应用】（3）当点D在射线上时，连接交直线于点M．若，请直接写出的值．      4．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（　　） A． B． C． D．平分 5．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，已知．求证：．以下是两名同学关于此题的讨论． 嘉嘉说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 淇淇说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” (1)看了他们的讨论，请你选择一位同学的方法写出证明过程； (2)连接，若，求的度数． 6．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是___________. 7．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”数学老师仅从他们的影长相等就断定它们的身高相同．我们可以运用全等三角形的有关知识说明其中的道理（假定太阳光线是平行的）现对老师说法的正确性进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图，于点，于，，__________． 求证：__________． 8．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）（多选）李老师善于通过教材例题整合知识内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师就华师版八年级上册数学教材第69页的例题进行拓展整合、设计的问题，请你解答． (1)【教材回顾】 例4  如图1，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． 证明：∵（已知）， ∴，（________，______）（填写依据）． 在与中， ∵，，（已知）， ∴（________）（填写依据）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 将上述证明过程补充完整； (2)【迁移探究】 为了探索直角三角形的性质，李老师将（1）中的替换为，并结合（1）作出如下辅助线． 如图2，在中，，是斜边上的中线，过点画直线，使，交的延长线于点．易得以及． 根据李老师的辅助线提示和思路，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3．在中，，，直接写出边上的中线长度的取值范围． 9．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 11．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求BF的长． 12．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 14．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）学习了角平分线和尺规作图后，嘉琪进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造角平分线． 嘉琪在的边上任取一点，并过点作了的垂线，垂足为（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点作的垂线，垂足为，与嘉琪所作的垂线交于点，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ． ②________（依据③___________）． 在和中， ． ⑥_________，OP即为的平分线． 15．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，光线射到镜面上的点处，入射光线与镜面的夹角为，嘉琪通过尺规作图作出了经过镜面反射后的光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，已知，利用“HL”判定与全等，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当________________秒时，与全等． 18．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系． 【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F． 请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整： 和之间的数量关系为________________．理由如下： 【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 19．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离． 下列判断正确的是（    ） A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行 C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行 20．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， (1)若只带一块去，则应该带第____块玻璃（填序号）； (2)尺规作图：根据所带的那块玻璃碎片画出与原三角形玻璃全等的三角形（记作，保留作图痕迹，不写作法．）． 22．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，在四边形中，分别是和的平分线，若，则__________． 23．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点同时从点出发，沿方向以的速度运动，当点到达点时，P、Q两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当点在运动时，_____；（用含的代数式表示） (2)求证： (3)当，，三点共线时，求t的值． 25．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，证明： (1)． (2)． 26．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 27．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 28．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有________．（填写正确的序号） 30．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，已知相交于点，点分别为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 31．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作，，连接，且交于点． (1)求证：； (2)求证：． 32．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）（多选）如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上载取BF=AC，延长CE至点G使CG=AB，连接AF，AG． (1)如图1，求证：AG=AF；求∠GAF的度数； (2)如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H．直接写出：①图中与AD相等的线段；②图中DH、DF、GH之间的数量关系． 33．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线，小聪测量了点A到的距离为米，米，米． 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元． 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过200元，请你确定长度的最大值． 34．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． (1)嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） (2)琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 35．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 36．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）下面是多媒体上的一道试题，则*处不可以填（    ） 在和中， ，，__________． ． A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为_________． 38．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）（多选）把两个含有45°角的直角三角板ACB和DEC如图放置，点A，C，E在同一直线上，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F. (1)求证：△ADC≌△BEC； (2)猜想AD与EB是否垂直？并说明理由． 40．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）（多选）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母） 41．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，为一面垂直于地面的墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度，小明设计的方案如下：①测量的长度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度，这个设计方案的根据是______． 42．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，幸福小区里有两个长度相同的滑梯和靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，已知，求两个滑梯底部的长度． 43．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图所示，以下是嘉淇通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线交于点P，点D为延长线上一点．根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 45．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（   ） A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边 C．已知两边及一边的对角 D．已知三边 46．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若，平分，且，，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴_______， 在和中， ， ∴（ ）， ∴，，（ ）， ∴四边形木架的周长为． 47．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）（多选）（1）学习中的数学： 如图1，线段，相交于点E，E为的中点．    图1 求证：． （2）生活中的数学： 如图2，有一块不规则的土地，，点E、F分别在和上，为分割线，把土地分别分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线EF变的最短，且保证甲、乙二人的土地面积不变，聪明的你能设计一种方案，解决这个问题吗？ 请给出你的方案，并证明方案的正确性． 48．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3=_____________ 49．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，小周书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D．以上都正确 50．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件(点、、分别是点A、B、C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（　　） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③此游戏最多4轮必分胜负． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 51．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质．    解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 52．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 53．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）在中，是边上的中线，，，则的取值范围是___________． 54．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 55．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，与交于点，且．若用“”证明，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 56．（25-26八年级上·河北邢台·期中）按要求完成下列各小题． (1)如图，直线是一个轴对称图形的对称轴，请在方格纸中画出这个轴对称图形的另一半； (2)如图，已知． ①用尺规在的下方找一点 ，使得（保留作图痕迹，不写作法）； ②根据①中的作图，判定的依据是 （填字母）． 57．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，桌面上有两摞一样的纸，分别摞有纸张张和张，在两摞纸中间竖直放入直角三角板，其直角顶点C在桌面上，当顶点A 落在右侧纸的上方边沿时，调整左侧纸的位置，使顶点B 恰好落在左侧纸的上方边沿，此时测得，则每张纸的厚度为（    ） A． B． C． D． 58．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“字图”，如图所示的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 59．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，，，和相等吗？请说明理由． 60．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，在中，，点E在边上，，作于点E，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 61．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，的两条高与交于点O，，． (1)求的长； (2)F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 62．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）如图1，直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， 以点A为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求点C的坐标； (2)如图2，已知点F为直线上的一点，且F到两坐标轴的距离相等，G为y 轴的负半轴上一点，坐标为，以为直角边作，始终保持，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求 n与m的函数关系式． 63．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． (1)求证：； (2)求的长． 64．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ___________ ． 65．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 66．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，，是和的平分线，添加下列一个条件后，不能得到的是（   ） A． B． C． D． 67．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，，，求证．小力和小旺分别想到了两种证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， （___①____）， 在和中，， （③ ）， （④ ）． 小旺的证法： ，（已知）， 且， （⑤ ）， ， 在和中， ， （⑦ ）， ． 68．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 考点03 角的平分线 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，在中，是角平分线，，，．设和的面积分别是，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）已知，如图，在中，是的高，若． (1)用尺规作的平分线交于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的度数． 3．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在四边形中，，，连接，．若是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D．6 4．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图中，，，，，是的角平分线．过点作于点，则的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 6．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③ 7．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）在如图所示的网格中，的位置如图所示，点A、P、M、N都在格点上，其中到两边距离相等的点是（   ） A．P B．A C．N D．M 8．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点P，画射线与相交于点D，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 10．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在的内部，过点作于点于点于点 ，且，连接，则的度数为________． 11．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 12．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 13．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，在中，，和分别为和的角平分线，则： （1） ___；（请填写线段的名称） （2）若周长为18，，则长为___． 14．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5.5 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． (1)连接．若，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 2．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图所示的两个三角形全等，则x的值为（　　） A．82 B．72 C．63 D．45 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应角相等，即可得到答案． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，由，得，再根据三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为________；当时，x的值为________． 【答案】 2 【分析】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．当时，可得：；当时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：当时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【答案】D 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【详解】解：观察图（4）、（5）、（6）三组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形． 故选：D． 6．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；或，； 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了全等三角形的性质，找准对应边是解题关键； （1）根据动点的运动速度、方向即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）由得一定有一组对应边为；分类讨论若，，若，，两种情况即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； （3）解：∵， ∴一定有一组对应边为； 若，，由（2）得：，； 若，，则，解得：，； 7．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，由三角形内角和定理得，再根据全等三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由三角形内角和定理得，， ∵两个全等三角形， ∴， 故选：． 8．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）下列命题不是真命题的是（   ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条角平分线必定交于一点 C．全等三角形对应边上的中线相等 D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了命题与定理，利用三角形的有关性质分别判断得出是解题关键． 根据三角形的角平分线，高，中线和全等三角形的性质，分别进行判断得出答案即可． 【详解】解：A、在钝角三角形中，从锐角顶点向对边所作的高在三角形的外部，故A不是真命题，符合题意； B、三角形的三条角平分线必交于一点（内心），故B是真命题，不符合题意； C、全等三角形对应边上的中线相等，故C是真命题，不符合题意； D、三角形一边上的中线将底边分为两等分，且两个三角形等高，所以三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等，故D是真命题，不符合题意； 故选：A． 9．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）已知图2中的两个三角形全等，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得a、c两边的夹角，再根据全等三角形的对应角相等即可求解即可． 【详解】解：由三角形内角和的定理可得：边a、c的夹角为， ∵图中的两个三角形全等，是a、c两边的夹角， ∴． 故选：D． 10．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，点在上，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 由得，进而可得，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 11．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，若，且，，则______． 【答案】##35度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，两个三角形全等，则的度数是__________． 【答案】##50度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．利用三角形内角和定理求得边的对角为，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ∵两个三角形全等， ∴边的对角相等， ∴的度数是， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，， ∵三个三角形是全等三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：B 14．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等得到，而，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 15．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的对应角是． 故选：C． 16．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）下列图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．根据图形全等的定义对题目中给出的四个选项注意进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个图形是全等形，故此选项符合题意； 故选：D． 17．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出：使得．点在小正方形的格点上，且点与点不重合．（只需画出一种即可） (2)在图2中画出：使得，且点在小正方形的格点上（只需画出一种即可）． 【答案】(1) 如图1所示，为所求： (2) 如图2所示，为所求． 【分析】本题主要考查了网格作图，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，解题的关键是确定点D和点E的位置． （1）根据三角形全等的性质得到以为公共边，取格点，使得，即可解答； （2）根据三角形全等的性质得到以为公共边，取格点，使得，即可解答． 【详解】（1） 略 （2） 略 18．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且，动点 ，分别按照→→ 和 →→的路线同时开始运动，到各自的终点时停止，过点，分别作于点，于点 ．若点 的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，当与全等时，点的坐标为________ ． 【答案】或 【分析】判断出再分三种情况讨论，表示出、，再建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：，， ，， 由题意可得，、是两直角三角形的斜边， 当与全等时，， 设点、运动时间为秒， ①当点在上，点在上时， 且， 即， 此时，， ， ， 解得，符合题意， ，即； ②当点、点都在上时， 且， 即， 此时，， ， ， 解得，符合题意， ，即； ③当点在上，点在上时， 且， 又点、点运动到各自的终点时停止， 即， 此时，且， ， ， 解得，不符合题意． 综上，当与全等时，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的知识点是全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题关键是恰当分类并利用全等三角形的性质建立方程． 19．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形全等的性质、三角形外角性质，熟记三角形全等的性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 由得到，再由三角形外角性质得到即可得到答案． 【详解】解：， ， 是的一个外角， ， 故选：C． 20．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，已知，若，，则的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图的基本操作、平行线的判定定理、全等三角形的判定与性质，解读两人尺规作图对应的几何逻辑是解题关键． 根据直线平行的判定法则对嘉嘉和淇淇的尺规作图过程进行分析． 【详解】解：嘉嘉的作法正确．理由：由作图可知， ∴； 淇淇的作法正确．理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：． 3．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图1和图2，在中，，，D为直线上的动点，连接，过点A在直线的右侧作，且． 【解题填空】（1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于点F，（）． ①图1中与相等的角是 ； ②用含m的式子表示线段的长度 ； 【类比探究】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由； 【拓展应用】（3）当点D在射线上时，连接交直线于点M．若，请直接写出的值．      【答案】（1）①；②；（2）是定值，为；（3）或1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． （1）①根据垂直的定义得到，求得，根据全等三角形的性质得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，求得； （2）如图2，过点E作，交的延长线于点N，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式得到结论； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于M，过点E作，交的延长线于N，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，，求得，如图4，点D在线段上，过点E作，同理可得到，，，求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ②∵，， ∴， ∵， ∴， （2）如图2，过点E作，交的延长线于点N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴的面积是定值，这个值为； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于M，过点E作，交的延长线于N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，点D在线段上，过点E作， 同理可得：，，， ∴，， ∴，， ∴， 综上，或1． 4．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（　　） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 已知，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．添加，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； B．添加，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； C．添加，结合条件，，不可以证明，故C符合题意； D．添加平分，得，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意． 故选：C． 5．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，已知．求证：．以下是两名同学关于此题的讨论． 嘉嘉说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 淇淇说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” (1)看了他们的讨论，请你选择一位同学的方法写出证明过程； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：嘉嘉的方法． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 淇淇的方法． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据证明． （1）对于嘉嘉的方法，根据垂线的知识可得，再结合证明，最后根据全等三角形的性质可得； 对于淇淇的方法，根据证明即可； （2）连接，利用全等三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是___________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，添加条件是，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：， 理由是：∵在和中 ∴， 故答案为：或或（答案不唯一） 7．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”数学老师仅从他们的影长相等就断定它们的身高相同．我们可以运用全等三角形的有关知识说明其中的道理（假定太阳光线是平行的）现对老师说法的正确性进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图，于点，于，，__________． 求证：__________． 【答案】 ；， 证明：， ， ，， ． 在和中， ∵， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据，可得，再由，，可得，可证明，即可解答． 【详解】略 8．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）（多选）李老师善于通过教材例题整合知识内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师就华师版八年级上册数学教材第69页的例题进行拓展整合、设计的问题，请你解答． (1)【教材回顾】 例4  如图1，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． 证明：∵（已知）， ∴，（________，______）（填写依据）． 在与中， ∵，，（已知）， ∴（________）（填写依据）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 将上述证明过程补充完整； (2)【迁移探究】 为了探索直角三角形的性质，李老师将（1）中的替换为，并结合（1）作出如下辅助线． 如图2，在中，，是斜边上的中线，过点画直线，使，交的延长线于点．易得以及． 根据李老师的辅助线提示和思路，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3．在中，，，直接写出边上的中线长度的取值范围． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线的性质得出，，再证，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）证明，得到，，证明，得到，即可证得； （3）延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 当添加时，由两边及一边的对角无法判定，故选项符合题意； 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 故选：． 10．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 【答案】180°##180度 【分析】利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， 所以△ABC≌△EDC（SAS），， 所以． 故答案为：180°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 11．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求BF的长． 【答案】(1) 证明：，， ，， 在和中， ， ， (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得，，进而可依据“”判定和全等； （2）根据全等三角形的性质得，进而得，则，然后再根据，即可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ，， ， 解得：． 12．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三种判定定理的内容是解题的关键；由已知有，且它们的夹角是对顶角也相等，则由可判定这两个三角形全等． 【详解】解：在与中， ， ∴； 故选：B． 13．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，逐一分析每个选项中的三角形与是否满足全等条件即可． 【详解】解：A、在甲三角形中，已知的角与中已知角的对应相等，但边不一定相等，所以甲与不一定全等，故不符合题意． B、在乙三角形中，已知的角与中已知角的位置和边的对应关系正确，所以乙与全等，故符合题意． C、在丙三角形中，有两边分别与的两边相等，且这两边的夹角不相等，不满足全等三角形判定定理中的“边角边”，所以丙与不全等，故不符合题意． D、丁三角形中，虽然有两角与的两角相等，但这两角的对边与中对应角的对边不相等，不满足全等三角形判定定理中的“角角边”，所以丁与不全等，故不符合题意． 故选：B． 14．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）学习了角平分线和尺规作图后，嘉琪进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造角平分线． 嘉琪在的边上任取一点，并过点作了的垂线，垂足为（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点作的垂线，垂足为，与嘉琪所作的垂线交于点，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ． ②________（依据③___________）． 在和中， ． ⑥_________，OP即为的平分线． 【答案】 第一步：如下图所示，即为所求 第二步：① ② ③全等三角形的对应边相等④ ⑤（④⑤可互换）⑥． 【分析】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：根据条件证明和，得出，即可解答． 【详解】解：第一步：略 第二步：证明：，， ． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）． 在和中， ． ，OP即为的平分线． 15．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，光线射到镜面上的点处，入射光线与镜面的夹角为，嘉琪通过尺规作图作出了经过镜面反射后的光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角，根据作图可知，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解：由作图可知， . 故选：C． 16．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，已知，利用“HL”判定与全等，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即或． 【详解】解：∵，且， ∴添加条件或，都能利用“”判定， 观察四个选项，选项A符合题意． 故选：A． 17．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当________________秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，分点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ，， 当，则， ，解得：． ③如图3，当Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 18．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系． 【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F． 请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整： 和之间的数量关系为________________．理由如下： 【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】 问题解决∶解：，理由如下： 如图：延长交的延长线于点， ， ，． 点是的中点， ， 在和中， ， ． ，． ， ． 平分，平分， ，． ．． 在和中， ， ． ． ，即． 拓展延伸∶解：．证明如下： 如图，延长到，使得，连接，则， 可得：． ，． ． ． ， ． ． ， ． 在和中， ， ． ， ． 【分析】本题主要考出了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 问题解决∶如图：延长交的延长线于点， 再证明可得、．然后证明可得，然后根据线段的和差即可解答； 拓展延伸∶如图，延长到，使得，连接，则，易证可得、．再证明可得，进而完成解答． 【详解】解：问题解决：略 拓展延伸：略 19．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离． 下列判断正确的是（    ） A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行 C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 根据题意依据能否证明即可解答． 【详解】解：甲同学方案： 由题意得， 在与中， ， ∴，．故甲同学的方案可行． 乙同学方案： 在与中，只能知道，不能判定与全等，故方案不可行． 故选：A． 20．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）由平行线的性质求得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是全等三角形判定定理的应用． 21．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， (1)若只带一块去，则应该带第____块玻璃（填序号）； (2)尺规作图：根据所带的那块玻璃碎片画出与原三角形玻璃全等的三角形（记作，保留作图痕迹，不写作法．）． 【答案】(1)③ (2) 尺规作图如下，为所求做的三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用、作一个角等于已知角等知识点，熟记全等三角形的判定方法和基本作图是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法解答； （2）根据尺规作图作出两个相等的角，进而完成作图． 【详解】（1）解：带③去满足“角边角”，可以配一块完全一样的玻璃． 故答案为：③． （2）略 22．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，在四边形中，分别是和的平分线，若，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 延长，于点，先证明，再证明，即可得到． 【详解】解：延长，于点， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据尺规作图可得，再根据定理即可得． 【详解】解：由尺规作图可知，， 在和中， ， ∴， 即这两个三角形全等的依据是， 故选：C． 24．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点同时从点出发，沿方向以的速度运动，当点到达点时，P、Q两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当点在运动时，_____；（用含的代数式表示） (2)求证： (3)当，，三点共线时，求t的值． 【答案】(1) (2) 证明：在和中， ， ∴， ∴； (3)8或 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，解一元一次方程，解题的关键是分类讨论思想， （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，则； （3）根据题意得，，，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，得，利用分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，设点P的运动时间为.根据题意得： ，则， 故答案为：； （2）略 （3）解：根据题意得：，，则， 如图， ∵， ∴，， ∵P，Q，C三点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：， 当时，， ∴， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 25．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到的距离=点D到的距离，即，是解答本题的关键． （1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到的距离=点D到的距离，即．再根据，得； （2）利用角平分线性质证明，，再将线段进行转化． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在Rt和Rt中， ， ． ； （2）证明：在与中， ， ， ． 26．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定的条件． 方案一：由题意可知，是对应边，，进而求得，由判定两个小三角形全等，方案一：√； 方案二：由题意可知，，进而求得，所以其对应边应该是和，而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等，方案二：×；即可得解． 【详解】解：方案一：如图1所示，   ，，， ， 是对应边，由判定两个小三角形全等， 故方案一：√； 方案二：如图2所示，   ，，， ，所以其对应边应该是和， 而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等， 故方案二：×； 综上所述，方案一：√、方案二：×． 故选：D． 27．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 【答案】 证明： ， ， ， 在与中， ． 【分析】由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 28．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形有两角和它们的夹边是完整的， 所以可以根据“”画出， 故选：A． 29．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有________．（填写正确的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中线的定义等知识．根据“边角边”即可证明，进而得到，，从而证明，作，垂足为H，根据即可证明，问题得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴, 在和中， ， ∴ ，故④正确； ∵ ， ∴，故①正确； ∵ ， ∴， ∴ ，故③正确； 如图，作，垂足为H， 则， ∵， ∴，故②正确． 故答案为：①②③④ 30．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，已知相交于点，点分别为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：点分别为的中点， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ． 31．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作，，连接，且交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：，， ． ， ． ． 在和中， ． ． (2) 证明：在和中， ． ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键． （1）求出，然后利用“”证明和全等； （2）利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】（1）略 （2）略 32．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）（多选）如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上载取BF=AC，延长CE至点G使CG=AB，连接AF，AG． (1)如图1，求证：AG=AF；求∠GAF的度数； (2)如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H．直接写出：①图中与AD相等的线段；②图中DH、DF、GH之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：∵BD，CE分别是AC，AB边上的高， ∴， ∴，， ∴∠ABD=∠ACE，即∠ABF=∠ACG， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，AG=AF， 又，， ∴， 又BD是高， ∴， ∴； (2)①CD，GH；②DH=DF+GH 【分析】（1）先根据余角的性质证明∠ABF=∠ACG，再根据“SAS”证明，从而得出AG=AF，，然后结合三角形外角的性质可得，即可求解； （2）①先根据“ASA”证明，可得AD=CD，根据余角的性质可得∠ABD=∠ECA，再根据“AAS”证明，可得AD=GH，从而得解； ②由①可得BD=CH，然后结合BF=CA得出DF=HA，再结合HD=HA+AD，AD=GH即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：①∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵BD是高， ∴∠ADB=∠CDB=， 又BD=BD， ∴（ASA）， ∴AD=CD， ∵BD、CE是高，GH⊥AC， ∴∠ADB=∠AEC=∠H=， ∴∠ABD+∠BAD=，∠ACE+∠BAD=， ∴∠ABD=∠ECA， 又∠ADB=∠H，AB=GC， ∴（AAS）， ∴AD=GH， ∴与AD相等的相等有CD和GH； ②由①知：， ∴BD=CH， 又BF=CA， ∴DF=HA， 又HD=HA+AD，AD=GH， ∴DH=DF+GH． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，正确的识别图形是解题的关键． 33．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线，小聪测量了点A到的距离为米，米，米． 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元． 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过200元，请你确定长度的最大值． 【答案】任务1：他的说法对，理由如下： 如图，过点B作于点G， 则， 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ， 最高点B到地面的距离就是线段长； 任务2：CE长度的最大值为米． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定，学会利用不等式解决实际问题是解题的关键． 任务1：过点B作于点G，利用全等三角形判定方法推出，即可得出结论； 任务2：设米，分别表示出长方形和三角形的面积，根据题意列出不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】解：任务1：略 任务2：该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形， ，米， 设米，则米， 长方形的面积（平方米）， 的面积（平方米）， 当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时， 由题意得：， 解得：， 故长度的最大值为米． 34．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． (1)嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） (2)琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 【答案】(1) (2) ①如图，点M即为所求． ②证明：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． ∴． 【分析】（1）由作图知，，，根据即可证明； （2）①根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以利用“”得到； ②结合全等三角形的判定可得，在和中，利用三角形内角和定理可得． 【详解】（1）解：由作图知，，，又， ∴， 故答案为：； （2）解：①略； ②略． 35．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质．根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得，再利用等高模型求得，同理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点、、是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点、、是线段的四等分点， ∴， ∴， ∵点是线段的五等分点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是线段的五等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：B； 36．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）下面是多媒体上的一道试题，则*处不可以填（    ） 在和中， ，，__________． ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等；注意：、不能判定两个三角形全等；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，添加， ∴，故该选项不符合题意； B、，，添加， ∴，故该选项不符合题意； C、，，添加， ∴不能判断与全等，故该选项符合题意； D、，，添加， ∵，∴，， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 37．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为_________． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 38．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 39．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）（多选）把两个含有45°角的直角三角板ACB和DEC如图放置，点A，C，E在同一直线上，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F. (1)求证：△ADC≌△BEC； (2)猜想AD与EB是否垂直？并说明理由． 【答案】(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠BCA=90°，CE=CD，BC=AC，在△DCA和△ECB中，∵，∴△ADC≌△BEC（SAS）； （2）∵△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠BEC=∠ADC，又∠ADC+∠DAC=90°，∴∠BEC+∠DAC=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE． 【详解】分析：（1）由SAS判定△ADC≌△BEC；     （2）根据全等三角形的性质可知：对应边相等AD=BE、对应角相等∠BEC=∠ADC；加上已知条件来求∠AFE=90°即可． 详解略 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，是基础知识要熟练掌握． 40．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）（多选）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母） 【答案】AC=DF(答案不唯一)， 证明：∵BF=EC， ∴BF﹣CF=EC﹣CF， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【分析】先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可． 【详解】略 考点：全等三角形的判定． 41．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，为一面垂直于地面的墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度，小明设计的方案如下：①测量的长度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度，这个设计方案的根据是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分析题意，得出梯子长度不发生变化，即，又因为，，故，即可作答． 【详解】解：依题意，梯子缓慢下滑过程中，梯子长度不发生变化，即， ∵，， ∴， ∴这个设计方案的根据是， 故答案为：． 42．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，幸福小区里有两个长度相同的滑梯和靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，已知，求两个滑梯底部的长度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得到，即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 在和Rt中， ， ． ， ， ， 两个滑梯底部的长度为． 43．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图所示，以下是嘉淇通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线交于点P，点D为延长线上一点．根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本作图，得，根据三角形外角性质，得，，代换解答即可． 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，三角形外角性质，等量代换的思想，熟练掌握基本作图，三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得，， 故A，B正确，不符合题意； 根据三角形外角性质，得， 故C错误，符合题意； 由，， 得， 故D正确，不符合题意． 故选：C． 44．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，再证和全等即可； （2）利用全等三角形的性质，求出，根据即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 45．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（   ） A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边 C．已知两边及一边的对角 D．已知三边 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：已知两边及其夹角，能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； B、已知两角及夹边，能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知两边及一边的对角，不能作出唯一三角形，故本选项符合题意； D、已知三边，能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 46．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若，平分，且，，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴_______， 在和中， ， ∴（ ）， ∴，，（ ）， ∴四边形木架的周长为． 【答案】(1)三角形的稳定性 (2)，，，，，，全等三角形的对应边相等． 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）由平分，得，再根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的稳定性等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形木架加上木条后，四边形由和拼接而成， ∵三角形具有稳定性， ∴此时木架不易变形， 故答案为：三角形的稳定性； （2）略 47．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）（多选）（1）学习中的数学： 如图1，线段，相交于点E，E为的中点．    图1 求证：． （2）生活中的数学： 如图2，有一块不规则的土地，，点E、F分别在和上，为分割线，把土地分别分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线EF变的最短，且保证甲、乙二人的土地面积不变，聪明的你能设计一种方案，解决这个问题吗？ 请给出你的方案，并证明方案的正确性． 【答案】（1）证明：∵点E为AC中点，∴ ∵，∴， 在和中，， ∴； （2）方案：如右图，取的中点O，过点O作于点M，延长交于点N    线段为新的分割线 理由：∵，∴ ∵，∴， ∴（根据两条平行线间垂线段最短，此时分割线变为最短） ∵O为的中点，∴ 在和中，， ∴， ∴ ∴甲分割出去的土地的面积等于补还给甲的土地的面积，甲和乙的土地面积没有发生改变． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． （1）由中点定义得，由平行线的性质得，，然后根据即可证明； （2）如右图，取的中点O，过点O作于点M，延长交于点N，根据两条平行线间垂线段最短，此时分割线变为最短，然后根据即可证明可得，从而可证明方案的正确． 【详解】（1）略 （2）略 48．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3=_____________ 【答案】135° 【分析】先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2=45°，进而可得答案． 【详解】解：如下图 ∵在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠BAC＝∠4， ∵∠BAC＝∠1， ∴∠4=∠1， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵AG=DG，∠AGD=90°， ∴∠2=45°， ∴∠1+∠2+∠3=135°， 故答案为：135° 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 49．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，小周书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D．以上都正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 观察图形可知，已知两角以及两角的夹边，由此即可得到答案． 【详解】解：由图知，三角形未被墨迹污染的边剩下一条，角剩下两个，且边为两角夹边， 这两个三角形完全一样的依据是， 故选：C． 50．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件(点、、分别是点A、B、C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（　　） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③此游戏最多4轮必分胜负． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据游戏规则，分析第三轮甲添加不同条件后的结果，并判断游戏最大轮次，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵第一轮甲添加，第二轮乙添加， ∴若第3轮甲添加，则三边对应相等，，甲失败，乙获胜，故①正确； 若甲添加，则两边及非夹角相等，不能判定全等，当乙添加时，无论添加什么条件后，两个三角形都会全等，所以甲获胜，故②正确； 当两个三角形有四组对应关系相等时，都可以运用其中的一种方法判定全等，故③正确； 综上，①②③正确， 故选：D． 51．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质．    解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 【答案】(1)“筝形”的对角线互相垂直； (2) 已知：四边形是“筝形”，，，对角线相交于点． 求证：．    证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)“筝形”的面积等于对角线积的一半． 【分析】（）根据题意写出答案即可； （）根据题意，画出图形，根据图形写出已知求证，利用“”可证明，得到，利用“”可证明，即可证明“筝形”的对角线互相垂直； （）把“筝形”转化为两个三角形的面积相加，即可得到“筝形”的面积计算公式； 本题考考查了“筝形”对角线的性质及其应用，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：“筝形”的对角线互相垂直； （2）略 （3）∵， ∴， ∴“筝形”的面积等于对角线积的一半． 52．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 53．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）在中，是边上的中线，，，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，中线，正确作出辅助线是解题的关键． 延长到，使，连接，证明三角形全等，推出，在三角形中，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， 在中，根据三角形三边关系， 有， 即， ∴， 因此． 故答案为：． 54．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）略 （3）略 55．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，与交于点，且．若用“”证明，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定（），解题的关键是掌握判定定理的内容． 已知与是对顶角相等，要根据“”证明，需要添加一组对应角相等． 【详解】解：与是对顶角， ， 又， 当时，可利用“”（两角及其中一角的对边对应相等）判断， 故选：B． 56．（25-26八年级上·河北邢台·期中）按要求完成下列各小题． (1)如图，直线是一个轴对称图形的对称轴，请在方格纸中画出这个轴对称图形的另一半； (2)如图，已知． ①用尺规在的下方找一点 ，使得（保留作图痕迹，不写作法）； ②根据①中的作图，判定的依据是 （填字母）． 【答案】(1) 如图即为所求： (2) ①如图，即为所求： ② 【分析】（1）根据轴对称的定义画图即可解答； （2）①运用判定三角形全等进行尺规作图即可解答；②根据①的作图过程即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②由①作图过程可知，，，， 作图依据为． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称作图、全等三角形的判定、尺规作图作三角形，解题关键是掌握运用判定三角形全等． 57．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，桌面上有两摞一样的纸，分别摞有纸张张和张，在两摞纸中间竖直放入直角三角板，其直角顶点C在桌面上，当顶点A 落在右侧纸的上方边沿时，调整左侧纸的位置，使顶点B 恰好落在左侧纸的上方边沿，此时测得，则每张纸的厚度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明则有，，结合，可得，即可求得答案． 【详解】解：为等腰直角三角形， ，． ． ， ． ． 在和中 ． ，． ， ． （张） ． 故选：B． 58．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“字图”，如图所示的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角．根据在和在正方形网格中的位置可以证明，根据全等三角形对应角相等可证，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以得到． 【详解】解：如下图所示， 在和中 ， ， ， 又是的外角， ， ． 故选：B． 59．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，，，和相等吗？请说明理由． 【答案】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 直接根据证明，再根据全等三角形对应边相等即可求证． 【详解】略 60．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，在中，，点E在边上，，作于点E，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：，于点， ， 在和中， ． (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据垂直的性质得到，根据判定方法进行证明即可； （2）根据可证得，进而求解的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， ， 的度数为． 61．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，的两条高与交于点O，，． (1)求的长； (2)F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【答案】(1)6 (2)1.2或2． 【分析】本题考查全等三角形的判定． （1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【详解】（1）解： ，， ， ． 又，， ， ． （2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 62．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）如图1，直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， 以点A为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求点C的坐标； (2)如图2，已知点F为直线上的一点，且F到两坐标轴的距离相等，G为y 轴的负半轴上一点，坐标为，以为直角边作，始终保持，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求 n与m的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点S，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）由题意可设，代入直线， 得，解得， F的坐标为， 过点 F分别作轴于 S点，轴于T点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 63．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 64．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ___________ ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质构造一元一次方程是解决问题的关键． 先证明和全等得，依题意得， ，根据点P的运动速度和方向有以下两种情况∶①当点P从点A向点B运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，证明和全等得．则，由此解得；②当点P从点B向点A运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，同理证明和全等得，则，由此解得．综上所述即可得出答案． 【详解】解：， ，． 在和中， ． ∵点Q从点D出发，沿DE以的速度向E运动， ． ， 根据点P的运动速度进而方向有以下两种情况： ①当点P从点A向点B运动时，依题意得： ， 此时． 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 在和中， ． ． ，解得：； ②当点P从点B向点A运动时，依题意得： ， 此时， 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 同理证明：． ． ，解得：， 综上所述：当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为或． 65．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等． 【详解】解：由作图可知，，，， 故． 故选：A． 66．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，，是和的平分线，添加下列一个条件后，不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答此题的关键是明确全等三角形的判定方法． 根据题意得到，，证明，结合，再分别对每个选项进行判断即可． 【详解】解：是和的平分线， ∴， ∴，即 又， 当，，故选项A不符合题意； 当，不能判断，故选项B符合题意； 当，，故选项C不符合题意； 当，，故选项D不符合题意； 故选：B． 67．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，，，求证．小力和小旺分别想到了两种证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， （___①____）， 在和中，， （③ ）， （④ ）． 小旺的证法： ，（已知）， 且， （⑤ ）， ， 在和中， ， （⑦ ）， ． 【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【分析】本题考查了等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键； 根据等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，补全证明过程即可． 【详解】解：小力的证法： （已知），， （等角的补角相等）， 在和中，， （）， （全等三角形的对应边相等）； 小旺的证法： ，（已知），且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 在和中，， （）， , 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦． 68．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）．理由如下： 延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）根据三角形三边关系，列式计算即可得出答案； （3）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （4）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）略 （4）略 考点03 角的平分线 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，在中，是角平分线，，，．设和的面积分别是，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求出的值，即可． 【详解】解：如图，过点作于， ，是角平分线， ， ，． ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）已知，如图，在中，是的高，若． (1)用尺规作的平分线交于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的度数． 【答案】(1) 如图，为所作； (2)． 【分析】本题考查角平分线的作图以及三角形内角和，熟练掌握角平分线的作图方法是解题的关键． （1）利用基本作图作平分； （2）先利用三角形内角和计算出，再利用角平分线的定义得到，接着利用互余计算出，然后计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在四边形中，，，连接，．若是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质以及垂线段最短，熟练掌握角平分线上的一点到两边的距离相等是解题的关键．本题先得出是的角平分线，进而根据垂线段最短得，时最小，即可依据角平分线上的一点到两边的距离相等得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， 由垂线段最短得，时最小， 此时，． 故选：B． 4．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图中，，，，，是的角平分线．过点作于点，则的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．先利用角平分线的性质求得，利用证得，求得，，然后利用三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：B． 5．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； (2) ，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出． 【详解】（1）略；略； （2）解：略． 6．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质对每个结论逐一进行分析即可． 【详解】 解： 过点作于点，于点，于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ，，， 平分， 故结论①正确； 是由，平分、得到的， 实际关系为， 显然（例如取特殊角验证，若，则，和为而非）， 故结论②错误； 若于，于点， 则， 由，，且， ， ， 由，，且， ， ， ， 故结论③正确； 是的外角， ， 平分，平分， ． 又是的外角， ， 联立得， ， 故结论④正确； 综上所述，结论①③④正确， 故选B． 7．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）在如图所示的网格中，的位置如图所示，点A、P、M、N都在格点上，其中到两边距离相等的点是（   ） A．P B．A C．N D．M 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【详解】解：由图形可知，点M在的角平分线上，点A、P、N不在的角平分线上， 所以点M到两边距离相等， 故选：D． 8．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点P，画射线与相交于点D，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余，掌握尺规作图的方法是解题的关键．由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得平分，即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知，平分， ∴， 故选：C． 9．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 10．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在的内部，过点作于点于点于点 ，且，连接，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形两锐角互余、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟记角平分线的判定与性质是解决问题的关键． 在中，得到，再由角平分线的判定与性质得到，在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，则， ，，， 平分， 则； ，，， 平分， 则； ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2)． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 12．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 【答案】A 【分析】本题考查几何综合，涉及角平分线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记正方形性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 过点作于点，如图所示，由角平分线的性质直接求证即可得到①正确；再由两个三角形全等的判定与性质得到、，数形结合表示出即可得到②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在正方形中，，， 平分，，， ， 故①正确； 分别平分和， ，， 在和中， ， ； 同理可证， ； ， 故②正确； 综上所述，结论①，②均正确， 故选：A． 13．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，在中，，和分别为和的角平分线，则： （1） ___；（请填写线段的名称） （2）若周长为18，，则长为___． 【答案】 7 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证得，进而得到，据此进行求解即可； （2）过点作交于点，根据角平分线的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，据此求解即可 【详解】（1）解：为的角平分线， ， 故答案为：； （2）过点作交于点，如图 ， 为的角平分线， ， 周长为18， ． 故答案为：7． 14．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：过点作， 则：， ∴， ∵点为直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵是的平分线， ∴当时，， ∴线段的长不可能是2； 故选A． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 2．B 3．A 4．【答案】 2 【分析】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．当时，可得：；当时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：当时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 5．D 6．【答案】(1)， (2) (3)，；或，； 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了全等三角形的性质，找准对应边是解题关键； （1）根据动点的运动速度、方向即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）由得一定有一组对应边为；分类讨论若，，若，，两种情况即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； （3）解：∵， ∴一定有一组对应边为； 若，，由（2）得：，； 若，，则，解得：，； 7．D 8．A 9．D 10．A 11．【答案】##度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．【答案】度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．利用三角形内角和定理求得边的对角为，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ∵两个三角形全等， ∴边的对角相等， ∴的度数是， 故答案为：． 13．B 14．B 15．C 16．D 17．【答案】(1) 如图1所示，为所求： (2) 如图2所示，为所求． 【分析】本题主要考查了网格作图，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，解题的关键是确定点D和点E的位置． （1）根据三角形全等的性质得到以为公共边，取格点，使得，即可解答； （2）根据三角形全等的性质得到以为公共边，取格点，使得，即可解答． 【详解】（1） 略 （2） 略 18．【答案】或 【分析】判断出再分三种情况讨论，表示出、，再建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：，， ，， 由题意可得，、是两直角三角形的斜边， 当与全等时，， 设点、运动时间为秒， ①当点在上，点在上时， 且， 即， 此时，， ， ， 解得，符合题意， ，即； ②当点、点都在上时， 且， 即， 此时，， ， ， 解得，符合题意， ，即； ③当点在上，点在上时， 且， 又点、点运动到各自的终点时停止， 即， 此时，且， ， ， 解得，不符合题意． 综上，当与全等时，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的知识点是全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题关键是恰当分类并利用全等三角形的性质建立方程． 19．C 20．C 考点02 三角形全等的判定 1．【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 2．D 3．【答案】（1）①；②；（2）是定值，为；（3）或1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． （1）①根据垂直的定义得到，求得，根据全等三角形的性质得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，求得； （2）如图2，过点E作，交的延长线于点N，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式得到结论； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于M，过点E作，交的延长线于N，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，，求得，如图4，点D在线段上，过点E作，同理可得到，，，求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ②∵，， ∴， ∵， ∴， （2）如图2，过点E作，交的延长线于点N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴的面积是定值，这个值为； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于M，过点E作，交的延长线于N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，点D在线段上，过点E作， 同理可得：，，， ∴，， ∴，， ∴， 综上，或1． 4．C 5．【答案】(1) 证明：嘉嘉的方法． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 淇淇的方法． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据证明． （1）对于嘉嘉的方法，根据垂线的知识可得，再结合证明，最后根据全等三角形的性质可得； 对于淇淇的方法，根据证明即可； （2）连接，利用全等三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，添加条件是，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：， 理由是：∵在和中 ∴， 故答案为：或或（答案不唯一） 7．【答案】 ；， 证明：， ， ，， ． 在和中， ∵， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据，可得，再由，，可得，可证明，即可解答． 【详解】略 8．【答案】(1)两直线平行，内错角相等； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线的性质得出，，再证，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）证明，得到，，证明，得到，即可证得； （3）延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 9．C 10．【答案】180°#´度 【分析】利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， 所以△ABC≌△EDC（SAS），， 所以． 故答案为：180°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 11．【答案】(1) 证明：，， ，， 在和中， ， ， (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得，，进而可依据“”判定和全等； （2）根据全等三角形的性质得，进而得，则，然后再根据，即可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ，， ， 解得：． 12．B 13．B 14．【答案】 第一步：如下图所示，即为所求 第二步：① ② ③全等三角形的对应边相等④ ⑤（④⑤可互换）⑥． 【分析】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：根据条件证明和，得出，即可解答． 【详解】解：第一步：略 第二步：证明：，， ． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）． 在和中， ． ，OP即为的平分线． 15．C 16．A 17．【答案】2或或12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，分点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ，， 当，则， ，解得：． ③如图3，当Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 18．【答案】 问题解决∶解：，理由如下： 如图：延长交的延长线于点， ， ，． 点是的中点， ， 在和中， ， ． ，． ， ． 平分，平分， ，． ．． 在和中， ， ． ． ，即． 拓展延伸∶解：．证明如下： 如图，延长到，使得，连接，则， 可得：． ，． ． ． ， ． ． ， ． 在和中， ， ． ， ． 【分析】本题主要考出了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 问题解决∶如图：延长交的延长线于点， 再证明可得、．然后证明可得，然后根据线段的和差即可解答； 拓展延伸∶如图，延长到，使得，连接，则，易证可得、．再证明可得，进而完成解答． 【详解】解：问题解决：略 拓展延伸：略 19．A 20．【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）由平行线的性质求得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是全等三角形判定定理的应用． 21．【答案】(1)③ (2) 尺规作图如下，为所求做的三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用、作一个角等于已知角等知识点，熟记全等三角形的判定方法和基本作图是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法解答； （2）根据尺规作图作出两个相等的角，进而完成作图． 【详解】（1）解：带③去满足“角边角”，可以配一块完全一样的玻璃． 故答案为：③． （2）略 22．【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 延长，于点，先证明，再证明，即可得到． 【详解】解：延长，于点， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 23．C 24．【答案】(1) (2) 证明：在和中， ， ∴， ∴； (3)8或 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，解一元一次方程，解题的关键是分类讨论思想， （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，则； （3）根据题意得，，，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，得，利用分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，设点P的运动时间为.根据题意得： ，则， 故答案为：； （2）略 （3）解：根据题意得：，，则， 如图， ∵， ∴，， ∵P，Q，C三点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：， 当时，， ∴， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 25．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到的距离=点D到的距离，即，是解答本题的关键． （1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到的距离=点D到的距离，即．再根据，得； （2）利用角平分线性质证明，，再将线段进行转化． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在Rt和Rt中， ， ． ； （2）证明：在与中， ， ， ． 26．D 27．【答案】 证明： ， ， ， 在与中， ． 【分析】由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 28．A 29．【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中线的定义等知识．根据“边角边”即可证明，进而得到，，从而证明，作，垂足为H，根据即可证明，问题得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴, 在和中， ， ∴ ，故④正确； ∵ ， ∴，故①正确； ∵ ， ∴， ∴ ，故③正确； 如图，作，垂足为H， 则， ∵， ∴，故②正确． 故答案为：①②③④ 30．【答案】(1) 证明：点分别为的中点， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ． 31．【答案】(1) 证明：，， ． ， ． ． 在和中， ． ． (2) 证明：在和中， ． ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键． （1）求出，然后利用“”证明和全等； （2）利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】（1）略 （2）略 32．【答案】(1) 证明：∵BD，CE分别是AC，AB边上的高， ∴， ∴，， ∴∠ABD=∠ACE，即∠ABF=∠ACG， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，AG=AF， 又，， ∴， 又BD是高， ∴， ∴； (2)①CD，GH；②DH=DF+GH 【分析】（1）先根据余角的性质证明∠ABF=∠ACG，再根据“SAS”证明，从而得出AG=AF，，然后结合三角形外角的性质可得，即可求解； （2）①先根据“ASA”证明，可得AD=CD，根据余角的性质可得∠ABD=∠ECA，再根据“AAS”证明，可得AD=GH，从而得解； ②由①可得BD=CH，然后结合BF=CA得出DF=HA，再结合HD=HA+AD，AD=GH即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：①∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵BD是高， ∴∠ADB=∠CDB=， 又BD=BD， ∴（ASA）， ∴AD=CD， ∵BD、CE是高，GH⊥AC， ∴∠ADB=∠AEC=∠H=， ∴∠ABD+∠BAD=，∠ACE+∠BAD=， ∴∠ABD=∠ECA， 又∠ADB=∠H，AB=GC， ∴（AAS）， ∴AD=GH， ∴与AD相等的相等有CD和GH； ②由①知：， ∴BD=CH， 又BF=CA， ∴DF=HA， 又HD=HA+AD，AD=GH， ∴DH=DF+GH． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，正确的识别图形是解题的关键． 33．【答案】任务1：他的说法对，理由如下： 如图，过点B作于点G， 则， 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ， 最高点B到地面的距离就是线段长； 任务2：CE长度的最大值为米． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定，学会利用不等式解决实际问题是解题的关键． 任务1：过点B作于点G，利用全等三角形判定方法推出，即可得出结论； 任务2：设米，分别表示出长方形和三角形的面积，根据题意列出不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】解：任务1：略 任务2：该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形， ，米， 设米，则米， 长方形的面积（平方米）， 的面积（平方米）， 当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时， 由题意得：， 解得：， 故长度的最大值为米． 34．【答案】(1) (2) ①如图，点M即为所求． ②证明：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． ∴． 【分析】（1）由作图知，，，根据即可证明； （2）①根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以利用“”得到； ②结合全等三角形的判定可得，在和中，利用三角形内角和定理可得． 【详解】（1）解：由作图知，，，又， ∴， 故答案为：； （2）解：①略； ②略． 35．B 36．C 37．【答案】5 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 38．D 39．【答案】(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠BCA=90°，CE=CD，BC=AC，在△DCA和△ECB中，∵，∴△ADC≌△BEC（SAS）； （2）∵△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠BEC=∠ADC，又∠ADC+∠DAC=90°，∴∠BEC+∠DAC=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE． 【详解】分析：（1）由SAS判定△ADC≌△BEC；     （2）根据全等三角形的性质可知：对应边相等AD=BE、对应角相等∠BEC=∠ADC；加上已知条件来求∠AFE=90°即可． 详解略 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，是基础知识要熟练掌握． 40．【答案】AC=DF(答案不唯一)， 证明：∵BF=EC， ∴BF﹣CF=EC﹣CF， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【分析】先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可． 【详解】略 考点：全等三角形的判定． 41．【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分析题意，得出梯子长度不发生变化，即，又因为，，故，即可作答． 【详解】解：依题意，梯子缓慢下滑过程中，梯子长度不发生变化，即， ∵，， ∴， ∴这个设计方案的根据是， 故答案为：． 42．【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得到，即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 在和Rt中， ， ． ， ， ， 两个滑梯底部的长度为． 43．C 44．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，再证和全等即可； （2）利用全等三角形的性质，求出，根据即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 45．C 46．【答案】(1)三角形的稳定性 (2)，，，，，，全等三角形的对应边相等． 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）由平分，得，再根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的稳定性等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形木架加上木条后，四边形由和拼接而成， ∵三角形具有稳定性， ∴此时木架不易变形， 故答案为：三角形的稳定性； （2）略 47．【答案】（1）证明：∵点E为AC中点，∴ ∵，∴， 在和中，， ∴； （2）方案：如右图，取的中点O，过点O作于点M，延长交于点N    线段为新的分割线 理由：∵，∴ ∵，∴， ∴（根据两条平行线间垂线段最短，此时分割线变为最短） ∵O为的中点，∴ 在和中，， ∴， ∴ ∴甲分割出去的土地的面积等于补还给甲的土地的面积，甲和乙的土地面积没有发生改变． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． （1）由中点定义得，由平行线的性质得，，然后根据即可证明； （2）如右图，取的中点O，过点O作于点M，延长交于点N，根据两条平行线间垂线段最短，此时分割线变为最短，然后根据即可证明可得，从而可证明方案的正确． 【详解】（1）略 （2）略 48．【答案】135° 【分析】先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2=45°，进而可得答案． 【详解】解：如下图 ∵在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠BAC＝∠4， ∵∠BAC＝∠1， ∴∠4=∠1， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵AG=DG，∠AGD=90°， ∴∠2=45°， ∴∠1+∠2+∠3=135°， 故答案为：135° 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 49．C 50．D 51．【答案】(1)“筝形”的对角线互相垂直； (2) 已知：四边形是“筝形”，，，对角线相交于点． 求证：．    证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)“筝形”的面积等于对角线积的一半． 【分析】（）根据题意写出答案即可； （）根据题意，画出图形，根据图形写出已知求证，利用“”可证明，得到，利用“”可证明，即可证明“筝形”的对角线互相垂直； （）把“筝形”转化为两个三角形的面积相加，即可得到“筝形”的面积计算公式； 本题考考查了“筝形”对角线的性质及其应用，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：“筝形”的对角线互相垂直； （2）略 （3）∵， ∴， ∴“筝形”的面积等于对角线积的一半． 52．A 53．【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，中线，正确作出辅助线是解题的关键． 延长到，使，连接，证明三角形全等，推出，在三角形中，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， 在中，根据三角形三边关系， 有， 即， ∴， 因此． 故答案为：． 54．【答案】（1）； （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）略 （3）略 55．B 56．【答案】(1) 如图即为所求： (2) ①如图，即为所求： ② 【分析】（1）根据轴对称的定义画图即可解答； （2）①运用判定三角形全等进行尺规作图即可解答；②根据①的作图过程即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②由①作图过程可知，，，， 作图依据为． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称作图、全等三角形的判定、尺规作图作三角形，解题关键是掌握运用判定三角形全等． 57．B 58．B 59．【答案】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 直接根据证明，再根据全等三角形对应边相等即可求证． 【详解】略 60．【答案】(1) 证明：，于点， ， 在和中， ． (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据垂直的性质得到，根据判定方法进行证明即可； （2）根据可证得，进而求解的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， ， 的度数为． 61．【答案】(1)6 (2)1.2或2． 【分析】本题考查全等三角形的判定． （1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【详解】（1）解： ，， ， ． 又，， ， ． （2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 62．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点S，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）由题意可设，代入直线， 得，解得， F的坐标为， 过点 F分别作轴于 S点，轴于T点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 63．【答案】(1) 证明：， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 64．【答案】或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质构造一元一次方程是解决问题的关键． 先证明和全等得，依题意得， ，根据点P的运动速度和方向有以下两种情况∶①当点P从点A向点B运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，证明和全等得．则，由此解得；②当点P从点B向点A运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，同理证明和全等得，则，由此解得．综上所述即可得出答案． 【详解】解：， ，． 在和中， ． ∵点Q从点D出发，沿DE以的速度向E运动， ． ， 根据点P的运动速度进而方向有以下两种情况： ①当点P从点A向点B运动时，依题意得： ， 此时． 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 在和中， ． ． ，解得：； ②当点P从点B向点A运动时，依题意得： ， 此时， 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 同理证明：． ． ，解得：， 综上所述：当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为或． 65．A 66．B 67．【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【分析】本题考查了等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键； 根据等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，补全证明过程即可． 【详解】解：小力的证法： （已知），， （等角的补角相等）， 在和中，， （）， （全等三角形的对应边相等）； 小旺的证法： ，（已知），且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 在和中，， （）， , 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦． 68．【答案】（1）； （2）； （3）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）．理由如下： 延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）根据三角形三边关系，列式计算即可得出答案； （3）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （4）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）略 （4）略 考点03 角的平分线 1．A 2．【答案】(1) 如图，为所作； (2)． 【分析】本题考查角平分线的作图以及三角形内角和，熟练掌握角平分线的作图方法是解题的关键． （1）利用基本作图作平分； （2）先利用三角形内角和计算出，再利用角平分线的定义得到，接着利用互余计算出，然后计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴， ∴． 3．B 4．B 5．【答案】(1) 证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； (2) ，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出． 【详解】（1）略；略； （2）解：略． 6．B 7．D 8．C 9．【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 10．【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形两锐角互余、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟记角平分线的判定与性质是解决问题的关键． 在中，得到，再由角平分线的判定与性质得到，在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，则， ，，， 平分， 则； ，，， 平分， 则； ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故答案为：． 11．【答案】(1)的度数为； (2)． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 12．A 13．【答案】 7 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证得，进而得到，据此进行求解即可； （2）过点作交于点，根据角平分线的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，据此求解即可 【详解】（1）解：为的角平分线， ， 故答案为：； （2）过点作交于点，如图 ， 为的角平分线， ， 周长为18， ． 故答案为：7． 14．A 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $