专题01 三角形（期中真题汇编，河北专用）八年级数学上学期

专题01 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）图中的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 3．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 4．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）下图是钝角三角形的是（    ） A． B． C． D． 考点02 三角形的边 1．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分为两段的木条是（    ） A．长的木条 B．长的木条 C．两根都可以 D．两根都不可以 3．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（   ）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 5．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．两直线平行，同位角相等 6．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的内角和等于 8．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是 A．9cm B．12 cm C．12 cm或15 cm D．15 cm 9．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？ 10．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值___________． 11．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）为估计池塘两岸A，B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O测得，，那么A，B间的距离不可能是（   ） A．5 B．10 C．20 D．25 12．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 13．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）已知的三边分别为a，b，c，且． (1)求c的取值范围； (2)若c的长为小于6的偶数，求的周长． 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，三条线段的长度分别为a、b、c，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)a、b、c只需要满足条件______即可．（只填一个序号） ①    ②    ③ (2)若，，b为整数，求构成的三角形的周长． 15．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）已知等腰三角形有两边长分别为2和4，则第三边的长度为___． 16．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 17．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，E，F分别是四边形的边，的中点，若阴影部分的面积为10，则四边形的面积为_______． 2．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，． (1)______； (2)求和的长． 3．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，若，分别是边，的中点，与相交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 4．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，在中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 6．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在钝角三角形中，下面关于作高的方法描述正确的是（   ） A．找到边中点，连接，则是高 B．作的平分线与边交于点，是高 C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高 D．就是边上的高 7．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 8．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，有一块厚薄均匀的的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，在中，边上的高是线段______． 10．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在钝角三角形中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图中，是哪条边上的高（　　） A． B． C． D． 考点04 三角形的内角 1．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图是三个岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向． (1)从岛看两岛的视角是多少度？ (2)从岛看两岛的视角是多少度？ 2．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是______（只填序号）． 3．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则______（用含的式子表示）． 4．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 5．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 6．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　． 7．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）在中，，点在射线上运动，过点作交射线于点． (1)当点在线段上时： ①如图1，求证：； ②若，当平分时，求的度数； ③如图2，作于点，、的平分线相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由； (2)当点在的延长线上时： 如图3，作于点，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点，直接写出的度数． 8．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为__________． 9．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，，分别是的角平分线与高线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 10．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，将沿、翻折，顶点A、B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数是________． 11．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，在中，点D在边上，且，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 12．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点B，C，直角顶点D落在的内部，则的度数为（  ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）根据以下素材，探索完成任务 运用一副三角尺探究两条直线的平行关系 素材 在一副三角板与中，，，． 问题解决 探究图 探究1 将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线，之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． 如图1，求的度数； 探究2 如图2，将三角板固定点摆放，当边与三角板的边相交于点时，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； 探究3 如图3，将三角板固定点（点在的延长线上），在两条平行线之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出符合条件的的值． 14．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为___ 度． 15．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，在中，的平分线交于点D．若， ，则的度数为多少？ 考点05 三角形的外角 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图是嘉嘉画的类似“燕子”的图形，平分，平分．若，，则的度数为________ ． 2．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）下列图形中，不能求出度数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 4．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）某平板电脑支架如图所示，其中始终等于，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（　　） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 5．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，是外角的平分线，且交的延长线于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 6．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，按规定，，时才合格．而且为了舒适，可以根据需求调整大小，调整时，，保持不变．嘉琪躺在躺椅上时，测得，，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：该躺椅合格； 结论Ⅱ：若的度数减少，的度数会增加． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 7．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，是内一点，延长交于点，连接． (1) 的大小关系是： ； (2)若，嘉嘉想求的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解． 思路一 先利用三角形内角和求出的度数，再利用三角形内角和求出的度数． 思路二 先利用三角形外角性质求出的度数，再利用三角形外角性质求出的度数． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期中）根据图上标注的数据，的度数为__________． 9．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）    A．120° B．90° C．100° D．30° 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．C 2．C 3．A 4．B 考点02 三角形的边 1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．【答案】(1)这个等腰三角形的各边长分别为：3cm，9cm，9cm； (2) 能围成有一边的长是的等腰三角形，理由如下： 依题意分两种情况讨论如下： ①当腰长为时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：，，， ，符合构成三角形的条件； ②当底边长为时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为，，， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：能围成有一边的长是的等腰三角形． 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的判定，三角形三边关系是解决问题的关键． （1）设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为，再依题意列出方程，解此方程求出x即可得出该等腰三角形的三边长； （2）依题意分两种情况讨论如下：①当腰长为时，则底边长为，符合构成三角形的条件；②当底边长为时，则腰长为，符合构成三角形的条件，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为， 依题意得：， 解得：， 这个等腰三角形的各边长分别为：，，； （2）略 10．【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得m的取值范围即可求解． 【详解】解：由图可得，即， 则符合条件的m值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 11．A 12．C 13．【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出的周长． 【详解】（1）解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； （2）解：由（1）知， ∵c的长为小于6的偶数， ∴， ∴的周长． 14．【答案】(1)① (2)11 【分析】题目主要考查构成三角形的条件及三边关系的应用，理解题意，熟练掌握这些基础知识是解题关键． （1）根据构成三角形的条件求解即可； （2）根据构成三角形的条件得出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据构成三角形的条件得a、b、c只需要满足条件即可， 故答案为：①； （2）由题意得， ∴， 解得： 又∵b为整数， ∴， ∴围成的三角形周长． 15．【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，第三边可能是2或4，但需满足三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：当第三边为2时，三边分别为2、2、4，但2+2=4，不符合三角形两边之和大于第三边，故不成立； 当第三边为4时，三边分别为2、4、4，满足2+4>4、4+4>2、2+4>4，符合三角形三边关系，则第三边长度为4． 故答案为：4． 16．D 17．A 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．【答案】20 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，解题关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由E、F分别为四边形的边、的中点， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积四边形的面积， ∵阴影部分的面积为10， ∴四边形的面积为20， 故答案为：20． 2．【答案】(1) (2)， 【分析】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出是解题关键． （1）利用三角形的中线平分三角形面积得出； （2）利用三角形面积得出的长，即可得出的长． 【详解】（1）解：是边上的中线，， ， 故答案为：； （2）解：是边上的高，， ， ， ． 3．【答案】1 【分析】本题主要考查三角形中线与面积，连接，设的面积为，的面积为，根据题意得，由得，即，可得． 【详解】解：连接，如图， ∵，分别是边，的中点， ∴设设的面积为，的面积为， ∴，, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 4．B 5．A 6．C 7．C 8．C 9．【答案】 【分析】本题考查三角形的高，根据在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点到垂足之间的线段来确定高是． 【详解】解：由图可知，中，边上的高是． 故答案为：． 10．D 11．C 12．C 考点04 三角形的内角 1．【答案】(1)度 (2)度 【分析】（）由题意可得，进而根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意可得，再根据三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了方位角，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：从岛看两岛的视角是度； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 答：从岛看两岛的视角是度． 2．【答案】②③④ 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后即可得出答案． 【详解】解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵的三个内角的度数之比是， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个外角的度数之比是． 设的外角为，则的外角为，的外角为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该三角形的一个内角为， ∴为直角三角形；符合题意； 能确定为直角三角形的有：②③④． 故答案为：②③④． 3．【答案】## 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，由直角三角形的性质得，由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．【答案】(1)5 (2)120度 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握边形的内角和公式以及边形的外角和为，是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，， 解得， 这个多边形的边数为5． （2）解：四边形的内角和为， ， ， 又分别平分，， ∴， ， ． 5．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ， 故答案为：． （2）解：∵平分， ， 在中，， ， ， ， ， ． 6．【答案】【探究】（1）50，115； （2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°， ∴∠P＋（∠ABC＋∠ACB）＝180°， ∴∠P＋（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P﹣∠A＝90°； 故答案为：∠P﹣∠A＝90°； 【应用】∠Q＝90°﹣∠A． 【分析】探究：（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 应用：由角平分线定义可得∠CBQ＝90°−∠ABC，∠BCQ＝90°−∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】探究：解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB， ∴∠BCP＋∠CBP＝（∠ABC＋∠ACB）＝×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：50，115； （2）略 应用：解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC， ∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ＋∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC＋90°﹣∠ACB）＝（∠ABC＋∠ACB）， 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A； 故答案为：∠Q＝90°﹣∠A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 7．【答案】(1) ①证明：在中，， ∵， ∴， ∴； ②； ③的度数不变，为 (2) 【分析】（1）①利用直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等即可得出结论； ②先求出，再利用角平分线得出，即可得出即可得出结论； ③先利用①的结论得出∠BAD+∠DEF＝90°，进而得出∠DAG+∠DEG＝45°，最后利用三角形的内角和即可得出结论； （2）利用三角形的外角和三角形的内角和即可得出结论． 【详解】（1）解：①略 ②在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③的度数不变， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、的角平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵平分， ∴， 延长交于N， ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了垂直的定义，角的平分线，互余，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线是解题的关键． 8．【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由三角形内角和定理可求，再由平行线的性质可求，进而可求． 【详解】解：如图所示， 根据直角三角形的性质，得， 直尺的对边平行， ， ， ， 故答案为：． 9．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线和高线的定义，正确的识图，确定角度之间的和差关系是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求的度数即可； （2）由角平分线求出的度数，根据互余关系求出的度数，利用即可得出结果． 【详解】（1）解：，， 在中， ； （2）解：是的角平分线，， 是的高线， ， 在中，， ， ， ． 10．【答案】#*度 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键． 根据折叠的性质可得，，因为，再利用三角形内角和定理和等量代换即可求出的度数． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ， ， 故答案为：． 11．【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形外角的性质求出，根据三角形角平分线定义得，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴． 12．A 13．【答案】探究1：； 探究2：为定值， 探究3：或或 【分析】探究1：先利用平行线的性质求得，再利用角的差求得； 探究2：先判定为定值，．再说理，先证明，再利用平行线的性质得出，，再利用角的和差证明为定值，定值是即可； 探究3：分“”、“”、“”三种情况，分别求出即可． 【详解】探究1：解：∵，，， ∴， ∴； 探究2：为定值，． 理由如下： 过点O作， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴为定值，定值是；   探究3：①当时， 点C，B，E，D在同一条直线上， ∴， ∴； ②当时， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴； 综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 【点睛】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等． 14．【答案】40 【分析】根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键． 15．【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的性质证得，据此求解的度数即可． 【详解】解：，， ， 的平分线交于点， ， ． 故答案为：． 考点05 三角形的外角 1．【答案】#度 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的知识，推导出∠A+∠AOC＝∠C+∠ADC是解题的关键． 设交于点F，由平分，平分，且，，求得，，由，得，即可解答． 【详解】解：设交于点F， ∵平分，平分，且，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 2．D 3．【答案】(1) (2) 证明：如图，过C作于点H，于点G， ∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分； (3)的面积为28 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的外角的性质，垂线的定义，三角形的面积的计算，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得到，根据垂线的定义得到，即可得到； （2）首先过C作于点H，于点G，再根据角平分线的性质得到，最终证明出角平分线上一点到角两边的线段相等即可得到平分； （3）首先由（2）知，再根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为28． 4．A 5．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角性质． （1）根据，即可求解； （2）由是的平分线可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：是的外角， ， ，， ； （2）平分， 是的外角， ． 6．C 7．【答案】(1) (2)选择思路一或思路二， 【分析】本题考查三角形中比较角的大小、求角度等知识，熟记三角形内角和定理、三角形外角性质是解决问题的关键． （1）由三角形外角性质逐个比较即可得到答案； （2）选择思路一，由三角形内角和定理求解即可得到答案；选择思路二，由三角形外角性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 则； 是的一个外角， ， 则； ， 故答案为：； （2）解：选择思路一：在中，，则， ， ， 在中，； 选择思路二：是的一个外角， ， 是的一个外角， ． 8．【答案】#i度 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形外角性质、平角定义是解决问题的关键． 先由三角形外角的性质得到，再由平角定义得到，将代入解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是三角形的一个外角， ， 则， ， ， 解得， 故答案为：． 9．C 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）图中的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，且是边a、b的夹角， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键． 根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：∵ 在中，边连接顶点B和C， ∴ 其对角为（顶点A所对的角）， 故选：A． 4．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）下图是钝角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形为钝角三角形，依次进行判断即可． 【详解】解：依据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形为钝角三角形， 选项中只有B选项中的三角形含有钝角， ∴B为钝角三角形， 故选：B． 【点睛】题目主要考查钝角三角形的定义，理解定义是解题关键． 考点02 三角形的边 1．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的范围即可得到答案． 【详解】解：由构成三角形的条件可知，， ∵， ∴，即， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分为两段的木条是（    ） A．长的木条 B．长的木条 C．两根都可以 D．两根都不可以 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边解答即可． 【详解】若将长的木条分为两段，则分成的两段木条的长度之和为，大于，能组成三角形，故可以将长的木条分为两段； 若将长的木条分成两段，则分成的两段木条的长度之和为，小于，不能组成三角形，故不可以将长的木条分为两段； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系在实际中的应用，属于基本题型，熟练掌握三角形的三边关系是关键． 3．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，理解三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状，据此即可解答． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，只有C构成了三角形的结构． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（   ）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 5．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，平行线的性质，关键是掌握三角形的稳定性．由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【详解】解：在人字梯的中间一般会设计一拉杆，可以使人字梯稳定， 这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三边关系是解题关键； 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的取值范围。 【详解】解：∵， ∴， 即 ， ∴， ∴的长度可以是； 故选：B． 7．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的内角和等于 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，构造三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：A． 8．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是 A．9cm B．12 cm C．12 cm或15 cm D．15 cm 【答案】D 【详解】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立． 当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形； 此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm． 故选D． 9．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】(1)这个等腰三角形的各边长分别为：3cm，9cm，9cm； (2) 能围成有一边的长是的等腰三角形，理由如下： 依题意分两种情况讨论如下： ①当腰长为时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：，，， ，符合构成三角形的条件； ②当底边长为时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为，，， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：能围成有一边的长是的等腰三角形． 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的判定，三角形三边关系是解决问题的关键． （1）设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为，再依题意列出方程，解此方程求出x即可得出该等腰三角形的三边长； （2）依题意分两种情况讨论如下：①当腰长为时，则底边长为，符合构成三角形的条件；②当底边长为时，则腰长为，符合构成三角形的条件，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为， 依题意得：， 解得：， 这个等腰三角形的各边长分别为：，，； （2）略 10．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值___________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得m的取值范围即可求解． 【详解】解：由图可得，即， 则符合条件的m值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 11．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）为估计池塘两岸A，B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O测得，，那么A，B间的距离不可能是（   ） A．5 B．10 C．20 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系求出的范围判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，即， 故选：A． 12．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性， 故选：C． 13．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）已知的三边分别为a，b，c，且． (1)求c的取值范围； (2)若c的长为小于6的偶数，求的周长． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出的周长． 【详解】（1）解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； （2）解：由（1）知， ∵c的长为小于6的偶数， ∴， ∴的周长． 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，三条线段的长度分别为a、b、c，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)a、b、c只需要满足条件______即可．（只填一个序号） ①    ②    ③ (2)若，，b为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)① (2)11 【分析】题目主要考查构成三角形的条件及三边关系的应用，理解题意，熟练掌握这些基础知识是解题关键． （1）根据构成三角形的条件求解即可； （2）根据构成三角形的条件得出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据构成三角形的条件得a、b、c只需要满足条件即可， 故答案为：①； （2）由题意得， ∴， 解得： 又∵b为整数， ∴， ∴围成的三角形周长． 15．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）已知等腰三角形有两边长分别为2和4，则第三边的长度为___． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，第三边可能是2或4，但需满足三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：当第三边为2时，三边分别为2、2、4，但2+2=4，不符合三角形两边之和大于第三边，故不成立； 当第三边为4时，三边分别为2、4、4，满足2+4>4、4+4>2、2+4>4，符合三角形三边关系，则第三边长度为4． 故答案为：4． 16．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证各选项中最大边是否小于其余两边之和即可． 【详解】解：A最大边6，其余两边之和，，不满足三角形条件，故该选项不符合题意； B最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； C最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； D最大边4，其余两边之和．，满足三角形条件，故该选项符合题意； 故选：D． 17．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故选：A． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，E，F分别是四边形的边，的中点，若阴影部分的面积为10，则四边形的面积为_______． 【答案】20 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，解题关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由E、F分别为四边形的边、的中点， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积四边形的面积， ∵阴影部分的面积为10， ∴四边形的面积为20， 故答案为：20． 2．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，． (1)______； (2)求和的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出是解题关键． （1）利用三角形的中线平分三角形面积得出； （2）利用三角形面积得出的长，即可得出的长． 【详解】（1）解：是边上的中线，， ， 故答案为：； （2）解：是边上的高，， ， ， ． 3．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，若，分别是边，的中点，与相交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查三角形中线与面积，连接，设的面积为，的面积为，根据题意得，由得，即，可得． 【详解】解：连接，如图， ∵，分别是边，的中点， ∴设设的面积为，的面积为， ∴，, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 4．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，在中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选B． 5．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 6．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在钝角三角形中，下面关于作高的方法描述正确的是（   ） A．找到边中点，连接，则是高 B．作的平分线与边交于点，是高 C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高 D．就是边上的高 【答案】C 【分析】本题主要考查了作三角形的高，熟练掌握三角形高线的作法，是解题的关键．根据三角形高线的作法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．找到边中点，连接，则是中线，故A不符合题意； B．作的平分线与边交于点，是角平分线，故B不符合题意； C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高，故C符合题意； D．因为，所以不是边上的高，故D不符合题意． 故选：C． 7．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线，理解三角形的角平分线、高线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线． 故选：C． 8．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，有一块厚薄均匀的的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查三角形的重心．掌握重心为三角形三条中线的交点是解题关键． 【详解】解：∵三角形硬纸板处于平衡状态， ∴这个点为三角形的重心，由图可知点C为该三角形的重心． 故选：C． 9．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，在中，边上的高是线段______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，根据在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点到垂足之间的线段来确定高是． 【详解】解：由图可知，中，边上的高是． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在钝角三角形中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的高，根据高的定义进行判断即可． 【详解】解：在钝角三角形中，边上的高是， 故选：D． 11．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是中线的定义，解题关键是熟练掌握三角形中线的定义． 根据中线的定义得，再结合的周长及，，即可得到的周长． 【详解】解：是中线， ， ， ， 又，， ， ． 故选：． 12．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图中，是哪条边上的高（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可得出答案． 【详解】解：过A点作交的延长线与点D， 故是边上的高， 故选：C． 考点04 三角形的内角 1．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图是三个岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向． (1)从岛看两岛的视角是多少度？ (2)从岛看两岛的视角是多少度？ 【答案】(1)度 (2)度 【分析】（）由题意可得，进而根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意可得，再根据三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了方位角，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：从岛看两岛的视角是度； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 答：从岛看两岛的视角是度． 2．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是______（只填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后即可得出答案． 【详解】解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵的三个内角的度数之比是， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个外角的度数之比是． 设的外角为，则的外角为，的外角为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该三角形的一个内角为， ∴为直角三角形；符合题意； 能确定为直角三角形的有：②③④． 故答案为：②③④． 3．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则______（用含的式子表示）． 【答案】## 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，由直角三角形的性质得，由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 【答案】(1)5 (2)120度 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握边形的内角和公式以及边形的外角和为，是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，， 解得， 这个多边形的边数为5． （2）解：四边形的内角和为， ， ， 又分别平分，， ∴， ， ． 5．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ， 故答案为：． （2）解：∵平分， ， 在中，， ， ， ， ， ． 6．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　． 【答案】【探究】（1）50，115； （2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°， ∴∠P＋（∠ABC＋∠ACB）＝180°， ∴∠P＋（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P﹣∠A＝90°； 故答案为：∠P﹣∠A＝90°； 【应用】∠Q＝90°﹣∠A． 【分析】探究：（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 应用：由角平分线定义可得∠CBQ＝90°−∠ABC，∠BCQ＝90°−∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】探究：解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB， ∴∠BCP＋∠CBP＝（∠ABC＋∠ACB）＝×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：50，115； （2）略 应用：解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC， ∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ＋∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC＋90°﹣∠ACB）＝（∠ABC＋∠ACB）， 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A； 故答案为：∠Q＝90°﹣∠A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 7．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）在中，，点在射线上运动，过点作交射线于点． (1)当点在线段上时： ①如图1，求证：； ②若，当平分时，求的度数； ③如图2，作于点，、的平分线相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由； (2)当点在的延长线上时： 如图3，作于点，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) ①证明：在中，， ∵， ∴， ∴； ②； ③的度数不变，为 (2) 【分析】（1）①利用直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等即可得出结论； ②先求出，再利用角平分线得出，即可得出即可得出结论； ③先利用①的结论得出∠BAD+∠DEF＝90°，进而得出∠DAG+∠DEG＝45°，最后利用三角形的内角和即可得出结论； （2）利用三角形的外角和三角形的内角和即可得出结论． 【详解】（1）解：①略 ②在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③的度数不变， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、的角平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵平分， ∴， 延长交于N， ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了垂直的定义，角的平分线，互余，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线是解题的关键． 8．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由三角形内角和定理可求，再由平行线的性质可求，进而可求． 【详解】解：如图所示， 根据直角三角形的性质，得， 直尺的对边平行， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，，分别是的角平分线与高线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线和高线的定义，正确的识图，确定角度之间的和差关系是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求的度数即可； （2）由角平分线求出的度数，根据互余关系求出的度数，利用即可得出结果． 【详解】（1）解：，， 在中， ； （2）解：是的角平分线，， 是的高线， ， 在中，， ， ， ． 10．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，将沿、翻折，顶点A、B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数是________． 【答案】##42度 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键． 根据折叠的性质可得，，因为，再利用三角形内角和定理和等量代换即可求出的度数． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ， ， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，在中，点D在边上，且，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形外角的性质求出，根据三角形角平分线定义得，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点B，C，直角顶点D落在的内部，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形的内角和为，求出的度数，再求出，通过两者相减得到的度数即可． 【详解】解：在中，，根据三角形的内角和定理得，， 同理，在中，，根据三角形的内角和定理得， 则 ． 故选：A． 13．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）根据以下素材，探索完成任务 运用一副三角尺探究两条直线的平行关系 素材 在一副三角板与中，，，． 问题解决 探究图 探究1 将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线，之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． 如图1，求的度数； 探究2 如图2，将三角板固定点摆放，当边与三角板的边相交于点时，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； 探究3 如图3，将三角板固定点（点在的延长线上），在两条平行线之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出符合条件的的值． 【答案】探究1：； 探究2：为定值， 探究3：或或 【分析】探究1：先利用平行线的性质求得，再利用角的差求得； 探究2：先判定为定值，．再说理，先证明，再利用平行线的性质得出，，再利用角的和差证明为定值，定值是即可； 探究3：分“”、“”、“”三种情况，分别求出即可． 【详解】探究1：解：∵，，， ∴， ∴； 探究2：为定值，． 理由如下： 过点O作， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴为定值，定值是；   探究3：①当时， 点C，B，E，D在同一条直线上， ∴， ∴； ②当时， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴； 综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 【点睛】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等． 14．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为___ 度． 【答案】40 【分析】根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键． 15．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，在中，的平分线交于点D．若， ，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的性质证得，据此求解的度数即可． 【详解】解：，， ， 的平分线交于点， ， ． 故答案为：． 考点05 三角形的外角 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图是嘉嘉画的类似“燕子”的图形，平分，平分．若，，则的度数为________ ． 【答案】##25度 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的知识，推导出∠A+∠AOC＝∠C+∠ADC是解题的关键． 设交于点F，由平分，平分，且，，求得，，由，得，即可解答． 【详解】解：设交于点F， ∵平分，平分，且，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）下列图形中，不能求出度数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理，三角形的外角性质对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、已知三角形的三个内角的度数都为，可求得的度数为，故A不符合题意； B、另一锐角为，能求得的度数，故B不符合题意； C、根据外角性质，能求得的度数，故C不符合题意； D、另一锐角的度数不知道，不能求得的度数，故不符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过C作于点H，于点G， ∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分； (3)的面积为28 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的外角的性质，垂线的定义，三角形的面积的计算，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得到，根据垂线的定义得到，即可得到； （2）首先过C作于点H，于点G，再根据角平分线的性质得到，最终证明出角平分线上一点到角两边的线段相等即可得到平分； （3）首先由（2）知，再根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为28． 4．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）某平板电脑支架如图所示，其中始终等于，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（　　） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，邻补角的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键， 由，推导出，则，可得，再根据增大代入于是得到问题的答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴当增大时，则， ∵， ∴减小， 故选：A． 5．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，是外角的平分线，且交的延长线于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角性质． （1）根据，即可求解； （2）由是的平分线可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：是的外角， ， ，， ； （2）平分， 是的外角， ． 6．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，按规定，，时才合格．而且为了舒适，可以根据需求调整大小，调整时，，保持不变．嘉琪躺在躺椅上时，测得，，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：该躺椅合格； 结论Ⅱ：若的度数减少，的度数会增加． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据三角形内角和定理和三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， 按规定，，， ， 该躺椅不合格， 故结论Ⅰ不正确； ， ， 若的度数减少，的度数也会减少， 故结论Ⅱ不正确； 综上，结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 故选：C ． 7．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，是内一点，延长交于点，连接． (1) 的大小关系是： ； (2)若，嘉嘉想求的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解． 思路一 先利用三角形内角和求出的度数，再利用三角形内角和求出的度数． 思路二 先利用三角形外角性质求出的度数，再利用三角形外角性质求出的度数． 【答案】(1) (2)选择思路一或思路二， 【分析】本题考查三角形中比较角的大小、求角度等知识，熟记三角形内角和定理、三角形外角性质是解决问题的关键． （1）由三角形外角性质逐个比较即可得到答案； （2）选择思路一，由三角形内角和定理求解即可得到答案；选择思路二，由三角形外角性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 则； 是的一个外角， ， 则； ， 故答案为：； （2）解：选择思路一：在中，，则， ， ， 在中，； 选择思路二：是的一个外角， ， 是的一个外角， ． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期中）根据图上标注的数据，的度数为__________． 【答案】##105度 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形外角性质、平角定义是解决问题的关键． 先由三角形外角的性质得到，再由平角定义得到，将代入解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是三角形的一个外角， ， 则， ， ， 解得， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河北唐山路南区·期中）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）    A．120° B．90° C．100° D．30° 【答案】C 【详解】∠A=∠ACD﹣∠B =120°﹣20° =100°， 故选C． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $