北京师范大学附属实验中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

2026北京北师大附中高三9月月考 数 学 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 1.已知全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,3},集合B={-2,0,1},则(C,4)UB=() A.{-2} B.{-2,2} C.{0,12} D.{-2,0,1,2} 2.(1-3i)2=() A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i D.8-6i 3.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为() A.x+sin x B.x-sin x C.-x+sin x D.xsin x 4.正方体ABCD-ABCD,中,错误的是() A.ACI∥AC B.CC⊥平面ABC C.平面ACD∥平面ACBD.平面ADD⊥平面 ACD 5.已知向量a,b满足a+=1,a-b=5,则a.6=( ) A. D、 2 6.己知抛物线C与抛物线y2=4x关于直线y=x对称,则C的准线方程是() A.x=-1 B.x=-2 C.y=-1 D.y=-2 7.已知无穷等比数列{an}的公比为9,则“a>0且9>1"是“数列{an}为递增数列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 第1页/共17页 8.己知Sn是数列{an}的前n项的和,且S2n-Sn=n,a3=6,则a,+a=() A.68 B.56 C.-3 D.-4 9.2023年,深度求索(DeepSeek)公司推出了新一代人工智能大模型,其训练算力需求为1O00 PetaFLOPS (千亿亿次浮点运算/秒).根据技术规划,DeepSeek的算力每年增长50%.截止2025年,其算力已提升 至2250 PetaFLOPS,并计划继续保持这一增长率.问:DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破 7500 PetaFLOPS?() A.2026年 B.2027年 C.2028年 D.2029年 10.已知f(x)为定义在R上的偶函数,且f(x)+f(x-2)=0,当x∈ 23时,f)=2+m+h, 则() A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(x+2y)4展开式中x3y的系数为 12.在 ABC中,BC=4,AC=3,cosA= 4,则sinB= 13.双曲线M:x-上=1的渐近线方程为 ;若M与圆O:x2+y2=r2(r>0)交于A,B,C,D 3 四点,且这四个点恰为正方形的四个顶点,则”= 14.箱子里有一个红球,两个黄球,三个白球,有放回的取三次,三次都没取到黄球的概率是 在三次都没取到黄球的条件下,至少取到一次红球的概率是 sin x,x∈[0,2] 15.对于函数f(x)= 2fx-2),x∈(2,t0) 现有下列结论: ①任取x,x2∈[2,+o),都有f(x)-f(x2≤1; ②函数y=f(x)在[4,5]上先增后减 ③函数y=f(x)-ln(x-1)有3个零点: ④若关于x的方程f(x)=m(m<0)有且只有两个不同的实根x,x2,则x+x2=3 其中正确结论的序号为 (写出所有正确命题的序号) 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第2页/共17页 16已知f)=sn(2x+爱 (1)求最小正周期; (2)若x∈ 6’12 求f(x)的最大值和最小值: (3)若a∈(0,), 求f(a: 2 sina= 3 4 17.在 ABC中,∠A为锐角,且sin2A=。cosA. 3 (1)求cosA的值; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知,使 ABC存在且唯一确定,求C. 3 条件①:c0sB= 条件②:a=4: 条件③:b=7. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分 18.为评估国内AI大模型的使用效果,某评测机构从国内众多AI大模型中随机抽取9个AI大模型,并从 基础能力、中文特性和专业能力三个维度对这9个A江大模型进行评测,评测结果如下表所示 大模型 大模型 大模型 大模型 大模型 大模型 大模型 大模型 大模型 AI大模型 a b d g 基础能力得分 65 67 70 58 66 53 49 64 m 中文特性得分 74 76 80 68 75 63 59 77 n 专业能力得分 56 60 73 63 70 59 54 66 66 综合得分 65.0 67.7 74.3 63.0 70.3 58.3 54.0 69.0 70.0 综合得分是基础能力得分、中文特性得分和专业能力得分的算术平均数(精确到0.1).其中m和n都是正整 数 (1)若n=76,从这9个AI大模型中随机取1个大模型,求这个大模型的专业能力得分大于基础能力得 分的概率; (2)从大模型a,b,c,d中随机取2个大模型,从大模型e,f,g,h中随机取2个大模型,记这 4个大模型中“综合得分超过65分”的大模型的个数为X,求X的分布列: 第3页/共17页 (3)记这9个大模型的基础能力得分和中文特性得分的方差分别为s,s,若s=s子,写出m的 值.(结论不要求证明) l9.已知函数f(x)=(x+1)lnx. (1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)设g(x)=f'(x),求函数g(x)的最小值: (3)若f(因≥1在x∈(山,+切)上成立,求实数a的值. x-a 20.已知函数f(x)=xe+ax+b,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=-2x+1. (1)求a,b: (2)当x>0时,f(x+m)-f(x)>m,求m的取值范围; (3)当x>0时,f(k+x)+f(k-x)>2f(k),求k的最小值. 21.已知椭圆C:x2+2y2=2,点A,B在椭圆C上,且OA⊥OB(O为原点).设AB的中点为M,射 线OM交椭圆C于点N. (1)当直线AB与x轴垂直时,求直线AB的方程: ONI (2)求 的取值范围. OMI 第4页/共17页 参考答案 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 题号 1 2 3 4 7 6 10 答案 D B C D D C C C D 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11.【答案】8 【详解】根据二项式定理,(x+2y)展开式的通项公式为T,1=C4x4(2y)'=C42'xy, 当r=1时,D2=C4x4H(2y)=C42x3y,因此x3y的系数为C42=4 2=8. 12. 【答案】 315#35 1616 【详解】在aABC中,osA=子所以sinA=V-cosA=-164 15 15 由正弦定理可 sinB=AC sinA3x 1=4_3W15 BC 4 16 13.【答案】 ①.y= 5x②.V5 【详解】由M:￥-”=1,故其渐近线方程为y=士5, 3 x=tv3x: 令A(m,),由题意可得m=M,即有㎡2_T=1,解得m2=3 3 2 故r2=m2+n2=2m2=3,即r=V3 故答案为:y= V3x;√3 第5页/共17页 14.【答案】 ②. 64 【详解】由题意, 第一空: 箱子里总共有6个球,其中黄球2个,非黄球共4个。 设事件A表示没取到黄球,事件A表示三次都没取到黄球, 有放回抽取,每次取到非黄球的概率为P(4))= 三次都没取到黄球的概率:P(4,) 2 8 3 第二空: 设事件B,表示至少取到一次红球,事件B2表示三次都取到白球, Pa)-( :三次都没取到黄球的条件下,至少取到一次红球的概率:P(B引A)= P(4B) P(A4) P(4B,)=P(4)-P(B,)= 8137 78216 37 .P(B14) P(4B)_216-37 P(4)864 27 小在三次都没取到黄球的条件下,至少取到一次红球的概率是37 64 15.【答案】①②③④ sin x,x∈[0,2] 【详解】函数f(x)= }f-2.xe2+o) 当xG2+o)时,画数()的景大值为号,最小值为弓所以任取:飞∈2+四,都有 f(x)-f(:)≤1恒成立,①正确: 当xe4,.x-4e0小,故f)=fc-4到=sna(x-4到=n 函数先增后减,②正确: 第6页/共17页 取y=f(x)-ln(x-1)=0,即f(x)=ln(x-I) sin x,x∈[0,2] 同②,计算得到f(x)= 2sinx,x∈(2,4],画出函数图象,如图所示: sin x,x∈(4,6] 根据图象知,函数有3个零点,故③正确: f(x)=m(m<0)有且只有两个不同的实根x,x2,根据图象知-1<m< 2’根据对称性知 x+x2=3,故④正确: 故答案为:①②③④ 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16.【答案】(1) (2)最大值为V3 最卧他为月 (3) 2V6+1 6 【小问1详解】 T= 2元_2m=元 2 【小问2详解】 第7页/共17页 [引州2+[引 由正弦函数性质可知,当2x+工=-工,即x=-”时,函数f()有最小值,即 66 6 当2+信子=时面数辰大价,即/心=()5 6-3 所藏了问的量大超为液小流为 2 【小问3详解】 通a-9似ema-va 3 2√2 则sin2a=2 sina cosa= 3 cos2a=1-2sin2a={ 则fa)-如2a+ =sin 2a cos+cos2a sin _22xV51x126+1 6 632326 17.【答案】(1) 3 (2)若选条件①②,c= -12+8V5 5 者选条件D0,c21+45.若诞条件28. 1Bc不存 6 【小问1详解】 因为sin2A-号cos4,则2sin4cosA-4cos4, 3 3 ∠A为锐角,得cosA>0,可得sinA= 3 所以cosA=V1-sin2看=5 【小问2详解】 若选条件0@:因为cocB=}且Be@,则5如B=-cosB-4 可知角A,B确定,且己知a=4,所以 ABC存在且唯一确定, 第8页/共17页 sin C-sin(+B)=sin 4cos B+cos 4sinBx545 353515 6+4V5 由正弦定理可知a=c sin4 sinC'所以c= =asinc 4x =15-12+85 sin A 2 5 3 若达条作09:因为cosB=子且B∈@,).则si血B==4 可知角A,B确定,且已知b=7,所以 ABC存在且唯一确定, 23,V5、46+45 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=x+ -X- 353515 由正弦定理可知 inBsin,所以c=bsinC7x6+45 b =15=21+14V5 sin B 4 6 5 若选条件②③:由余弦定理可得:a2=b2+c2-2 bccos A, 16=49+c2-2x7xcx5 整理可得c2_14W5 3 3c+33=0, 4W5 因为 3 4x1x33=-208<0,可知方程c2_145c 9 3c+33=0无实数解, 所以 ABC不存在, 18.【答案】(1) 3 (2) X 0 3 4 P 2 2 1 36 9 2 9 36 (3)67 【小问1详解】 由题意可知: m+n+66 ∈[69.95,70.05),则m+n∈[143.85,144.15), 3 且m和n都是正整数,则m+n是正整数,所以m+n=144, 第9页/共17页 若n=76,所以m=144-n=68 设这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分为事件A, 则样本空间2={a,b,c,d,e,f,g,h,},A={c,d,e,f,g,},可得n(2)=9,n(A)=6, 所以这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分的概率为P= n(4)_6_2 n②)-g=3 【小问2详解】 大模型a,b,C,d中综合得分超过65分有b,C, 大模型e,f,g,h中综合得分超过65分有e,h, 可知随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,则有: P(X=0)-CCCC_1 C2.C2 36 P(x=)=CC CC+cgC CC_8_2 CC 3691 (x-2)-GCcc+cqc.c+cc.cc181 C2C2 362 p(x=3)-c:Cg CgC+.cc cg-8-2」 C2.C2 3691 p(x=4)=C CgCC-1 C2-C2 36 所以X的分布列为 X 0 3 4 1 2 1 2 1 36 9 2 9 36 【小问3详解】因为基础能力得分的平均数为 x= 65+67+70+58+66+53+49+64+m_492+m 9 9 方若-号652+672+702+582+62+582+492+64+m)-于2_3696-984m+8m 81 中文特性得分的平均数为x2= 74+76+80+68+75+63+59+77+n_572+n 9 9 第10页/共17页 方若号-写74+76+802+68+752+682+592+72+2)写2_436-4n+80。 81 若号=号,即33696-984m+8m_4336-1144n+8m2 81 81 整理可得(m+n-133)(m-n+10)=0, 又因为m+n=144,即m+n-133≠0,可得m-n+10=0,即n-m=10, m+n=144 m=67 联立方程 (n-m=10’解得 n=77 所以m的值为67. 19.【答案】(1)y=2x-2 (2)2 (3)a=1 【小问1详解】 因为f()=(x+1)lnr,所以f=1mr+x+1,又因为f0=0,f0=2, 所以切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2, 【小问2详解】 由愿意知g()=f()-hx++(x>0,所以g')=!=X-一 x xx2=x2, 当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 故g(x)在x=1取到最小值为g()=n1+1+1=2 【小问3详解】 x-a>0 因为当x∈(l,+o)时,lnx>0,所以原不等式等价于 (x+l)lnx≥x-a a<x 即 a≥x-(x+1)nx 对所有x>1恒成立. 设h()=x-(x+)nx,x>1,所以n)=1-nx++马=-nx-1<0, 故h(x)在(L,+oo)上单调递减,所以h(x)<h()=1,因此a≥1; 又a<x对所有x>1恒成立,故a≤1, 因此a=1 第11页/共17页 20.【答案】(1)a=-3,b=1 (2)[2n2,+o) (3)-2 【小问1详解】 f(x)=xe+ax+b,x∈R, 由切点(0,f(O)在直线y=-2x+1上,也在函数f(x)图象上, 可知f(0)=-2 0+1=1且f(0)=0e +a-0+b=b,可得b=1; 由f'(x)=(x+1)e+a,则切线的斜率为f'(0)=1+a=-2, 解得a=-3; 故a=-3,b=1. 【小问2详解】 由(1)知,f(x)=xe-3x+1, f(x+m)-f(x)-m=(x+m)e*m-xe*-3(x+m)+3x-m =(x+m)e*tm-xe*-4m, 故题意可转化为(x+m)ex+m-xe*-4m>0对任意x∈R+恒成立, 法一:令g(x)=(x+m)e+m-xe-4m,x>0, 则g'(x)=(x+m+l)e+m-(x+1)e=e[(x+m+1)e-(x+)] 当m>0时,由x+m+1>x+1>0且em>1>0, 则(x+m+1)e"-(x+1)>0,即g'(x)>0, 则g(x)在(0,+oo)上单调递增,又g(0)=me"-4m, 要使g(x)>0对任意x∈R+恒成立, 则mem-4m≥0,解得m≥2ln2; 当m=0时,f(x+m)-f(x)=0>0不成立: 当m<0时,0<em<1,x+m+1<x+1,且x+1>0, 第12页/共17页 则(x+m+1)e"-(x+1)<(x+1)e"-(x+1)=(x+)(e"-l)<0, 即g'(x)<0,则g(x)在(0,+∞)上单调递减, 又当x 十0时,g(x) -0,不满足题意: 综上所述,m的取值范围为2ln2,+oo) 法二: 不等式G+mem-e-4m>0可转化为+me"-心-4m>0, e 即(x+m)e”-x-4 + >0对任意x∈R+恒成立, 当m=0时,f(x+m)-f(x)=0>0不成立: 当m<0时,设h(x)=(x+m)e"-x- 4m e2,x>0, 当x +0时,由m<0,可知em-1<0, h(x)=(e"-1)x+me"_4m 00, 这与h(x)>0对任意x∈R+恒成立矛盾: 当0<m<2ln2时,h(0)=me"-4m=m(em-4)<0, h(2In 2)=h(In 4)=(m+In 4)e"-In 4-m (m+In 4).1-In4-m=0, 由)=e”-1+4m>0,故h()在(0,+o)上单调递增, er 故h(x)在(0,+o)上存在唯一零点,设为,, 且当0<x<时,hM<hlx)=0,即c+me"-e-4m<0, e 此时不等式f(x+m)-f(x)>m不成立: 当m≥2n2时,h(x)=e"-1+ 4m>0, er 则h(x)在(0,+oo)上单调递增, 第13页/共17页 由x>0,故h(x)>h(0)=me"-4m≥0, 故不等式c+me”-x-4m>0,即fx+m-fd>m恒成立 e 综上所述,m的取值范围为2n2,+oo): 【小问3详解】 法一:设F(x)=f(x+k)+fk-x)-2f(k),x>0, 则F'(x)=f'(x+k)-f'(k-x)=(x+k+1)e+*-(k-x+1)e- =(x+k+1)ex+k+(x-k-1)e-x, 令x(x)=(x+k+1)e+k+(x-k-1)e-x, 则t'(x)=(x+k+2)e++(2+k-x)e-x, 其中F(0)=0,F'(0)=0,x'(0)=2(k+2)e. 当k=-2时,x'(x)=xe-2+(-x)e2-x=xe2(e-e)>0, 则F'(x)在(0,+o)上单调递增,故F'(x)>F'(O)=0, 故F(x)在(0,+o)上单调递增,故F(x)>F(O)=0, 即当x>0时,f(x+k)+f(k-x)>2f(k)恒成立,满足题意: 当k>-2时,设p(K)=(x+k+2)e++(2+k-x)e- =[ek+x+2)+e*(k-x+2)]e =(e+e)k+2)+x(e-e)e, 由x>0,k>-2,可知e+ex>0且k+2>0, 则(e+e)k+2)+x(e-e)>0,可知p()在(-2,+oo)上单调递增, 故p(k)>p(-2)=xe-2+(-x)e2-=xe2(e-e)>0,即x'(x)>0, 故F'(x)在(0,+o)上单调递增,故F'(x)>F'(O)=0, 故F(x)在(0,+o)上单调递增,故F(x)>F(O)=0, 即当x>0时,f(x+k)+f(k-x)>2f(k)恒成立,满足题意: 第14页/共17页 当k<-2时,此时x'(0)=2(k+2)e<0,又F(0)=0, 则存在正实数x,使得x∈(0,x),F'(x)<0, 则F(x)在(0,x)上单调递减,则F(x)<F(O)=0, 即当0<x<x,f(x+k)+f(k-x)<2f(k),不满足题意: 综上所述,k≥-2,即k的最小值为-2 法二:由f(x+k)+f(k-x)>2f(k)可得 (k+x)e+-3k+x)+1+(k-x)e-x-3k-x)+1>2(ke-3k+1: 则(k+x)e*+(k-x)e->2ke,即(k+x)e+(k-x)e>2k, 则k(e+e-2)>x(ex-e), 由x>0,可知e+ex>2,则e+ex-2>0, 故原不等式可转化为k>te-e), ertex-2 x(e-e) ici-i x(e"+1) etex-2 x oi-o e'-1 e2-e2 设G=-e+ e*-l ,x>0 WG-G)e+ile-)-xe+)-2 (e- (e-12 设M(x)=e2x-2xe*-1,x>0,令t=e*, 则H)=2-2tlnt-1,t>1, 由'(t)=2t-21+lnt)=2t-1-lnt), 再令P(t)=t-1-lnt,t>1, P0=1-二1>0,故P0在L,∞)上单调递增, 第15页/共17页 故P(t)>P(I)=0,则H'(t)>0,故H(t)在(L,+∞)上单调递增, 所以H()>H⑩=0,即M(x)>0,G(x)<0, 故G(x)在(0,+o)上单调递减, 又由洛必达法则可知limG(x)=-lim x+10e+1=-2, x 0 x0 e* 故要使当x>0时,k>G(x)恒成立,则k≥-2, 即k的最小值为-2 21【答案】1)x= 6 2) [ 【小问1详解】 当直线AB与x轴垂直时,设其方程为x=t(-√2<t<√2), 由点A,B关于x轴对称,且OA⊥OB,由勾股定理可知不妨设A(t,), 将点A的坐标代入椭圆C的方程,得?+22=2,解得1=士V6 3 所以直线AB的方程为x=士V6 【小问2详解】 1ONI-5-5 当直线AB的斜率不存在时,由(I)知|OM|√6 3 当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=c+m. 由 y=+m,得(2k2+1x2+4mx+2m-2=0. x2+2y2=2, 由 =8(2k2-m2+1)>0,得m2<1+2k2. 4km 2m2-2 设4,y),B(,),则+%=2R+=2R+1 因为OA⊥OB,所以OAOB=0. 第16页/共17页 所以xx2+y2=xx2+(c+m)(c2+m)=0. 整理得(K2+1)x2+km(x+x2)+m2=0. 所以(k2+10(2m2-2)+km(-4km)+m2(2k2+1)=0. 解得3m2-22+2,从而m2 3 设0N=0M,其中1>0. 则oN-oi+0网-+4+%)-(G2. 2k2+1'2k2+1 将w2Am2 2k2+122+代入椭圆C的方程,得㎡2=2K2+1. 所以m22=3m2-1,即2=32 因为m2≥ 所以3.甲5 2 综上ION |OM 的取值范围是 第17页/共17页