专题02 反比例函数22大题型66题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题02 反比例函数 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义 题型2 用反比例函数描述数量关系 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值 题型4 画反比例函数的图象 题型5 求反比例函数的解析式（重点） 题型6 判断反比例函数的增减性 题型7 反比例函数的k值意义（重点） 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（重点） 题型9 反比例函数图象的对称性 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（重点） 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（重点） 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（重点） 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（重点） 题型14 根据图形面积求比例系数（重点） 题型15 反比例函数的实际应用（重点） 题型16 反比例函数与一次函数结合 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（难点） 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（难点） 题型19 反比例函数的几何模型（难点） 题型20 反比例函数的存在性问题（难点） 题型21 反比例函数选填压轴（难点） 题型22 反比例函数的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义（共3小题） 【步骤】先对照定义列条件，保证自变量次数为 - 1，系数不为 0，解方程后代入检验。 【易错】容易忽略系数不等于 0；误把指数看成 1，忘记检验参数是否符合题意。 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过判断与的乘积是否为非零常数，快速验证反比例函数． 【详解】解：A，由得，与的乘积不是定值，不符合； B，由得，是正比例函数，不符合； C，由得，与的乘积不是定值，不符合； D，，即与的乘积为非零定值，符合反比例函数形式． 2．（26-27九年级·江苏·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】根据反比例函数的定义，若两个变量与的关系可以表示为（为常数，）的形式，则是的反比例函数，据此对各函数逐一判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数． ②符合反比例函数定义，是反比例函数． ③是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数． ④分母为，不符合的形式，不是反比例函数． ⑤，符合反比例函数定义，是反比例函数． 符合题意的有②⑤． 题型2 用反比例函数描述数量关系（共3小题） 【步骤】分析变量，确定乘积为定值，列出反比例关系式，代入数值求解并检验实际意义。 【易错】混淆正反比例；误将和为定值当作反比例，忽略变量取值限制条件。 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，根据面积公式列出方程，解出y关于x的关系式解答即可． 【详解】解：∵ 菱形的面积 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值（共6小题） 【步骤】将自变量代入解析式，求出对应函数值；已知函数值，解方程求自变量并检验。 【易错】忽略自变量不能为 0；求自变量时漏检验，易出现无意义的增根。 7．（2026·江苏南京·二模）将点向上平移个单位长度落到函数的图象上，则的值为__． 【答案】 【分析】先根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式求解的值即可． 【详解】解：根据点平移的坐标变化规律，向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加，可得平移后点的坐标为， 平移后的点落在函数的图象上， 将代入得 ，即 ， 解得． 8．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入已知反比例函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， 将，代入得： ， 等式两边同乘得： ， 等式两边同除以得：， 移项得：． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 题型4 画反比例函数的图象（共3小题） 10．（26-27九年级上·全国·期中）反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数中， 该反比例函数的图象在二、四象限， 故选：C． 11．（25-26九年级下·河北廊坊·期中）下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，分别得到表达式即可求解． 【详解】解：当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第三象限； ∴与函数图象相符的是： ． 12．（25-26九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象，当时，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2) 该函数的图象如下， ； (3)． 【分析】本题考查反比例函数的图象． （1）利用待定系数法把代入反比例函数即可得到m的值； （2）根据反比例函数解析式，计算出反比例函数所经过的点，再画出图象即可； （3）根据函数的图象即可求得． 【详解】（1）解：把点代入，得 ， 解得； （2）解：由（1）反比例函数的解析式为， 列表如下， x … 1 2 4 … y … 1 2 4 … 描点，连线 （3）解：由图象可知，当时，则． 题型5 求反比例函数的解析式（共3小题） 【步骤】设反比例函数解析式，代入图像上一点坐标求出 k，回代写出完整解析式。 【易错】忘记 k≠0；坐标代入时符号出错，遗漏自变量 x 不等于 0 的限制。 13．（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 14．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为________． 【答案】 【分析】先将交点的横坐标代入已知一次函数，求出交点的纵坐标，得到交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数求出的值，即可得到反比例函数的表达式． 【详解】解：把代入中得，则交点坐标为， 将代入反比例函数中，得， 则反比例函数表达式为． 15．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知 与x成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)23 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据与x成反比例，设，再代入，进行计算，即可作答． （2）由（1）得，整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵与x成反比例， ∴设， ∵当时， ∴， 解得； ∴； （2）解：由（1）得， ∴当时，， 则， ∴， 则， ∴， 题型6 判断反比例函数的增减性（共3小题） 16．（26-27九年级上·山东滨州·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点； A、当时，，该项正确； B、由于，图象仅位于第四象限，不涉及第一、三象限，该项错误； C、当时，随增大而增大，该项错误； D、反比例函数图象不与轴相交，该项错误． 17．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 18．（2026·四川成都·模拟预测）已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】根据点在反比例函数图象上确定的符号，再结合反比例函数的性质判断随的变化规律． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 根据反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大． 题型7 反比例函数的k值意义（共3小题） 【步骤】过双曲线上点作坐标轴垂线，利用S=，结合图形面积列式求 k 并判断符号。 【易错】忘记 k 要加绝对值；图形跨象限时符号判断错误，面积直接等同于 k。 19．（2026·湖南长沙·一模）如图，为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为．若四边形的面积为6，则的值为______． 【答案】 【分析】反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为，从而可求解． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴. 20．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在平面直角坐标系中，是轴上任意一点，轴，分别交反比例函数、的图像于，两点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数中的面积问题，掌握的值和面积的关系是解题的关键． 连接、，反比例函数上的点与坐标轴垂足以及原点组成的三角形面积为，根据面积与的关系得出对应方程，解出的值． 【详解】解：连接、，如下图： 可知，且， 解得， 故选B． 21．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，反比例函数的图象与性质；过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．设，根据题意则，根据系数的几何意义，，面积为，即可得到，即可得到，解得． 【详解】解：设， 轴，垂足为，， ， 点，在双曲线上， ， ， 的面积为，面积为， ， 解得， 故答案为：． 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（共3小题） 【步骤】依据定义列次数等于 - 1、系数不为 0 两个条件，联立求解参数，再代入检验。 【易错】只考虑次数，漏掉系数不为 0 条件；求出参数后不验证，忽略分母不能为零。 22．（25-26九年级上·全国·期中）已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 23．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）已知函数是反比例函数，求的值． 【答案】． 【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点，指数特点是解题的关键． 24．（25-26九年级下·全国·期中）若函数y=（3﹣k）是反比例函数，那么k的值是（　　） A．0 B．3 C．0或3 D．不能确定 【答案】A 【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出答案． 【详解】解：∵函数y=（3﹣k）是反比例函数， ∴k2﹣3k﹣1=﹣1，3﹣k≠0， 解得：k1=0，k2=3，（不合题意舍去） 那么k的值是：0． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题的关键． 题型9 反比例函数图象的对称性（共3小题） 25．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两交点关于原点对称，得到两点坐标的关系，再结合交点在反比例函数上得到的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象均关于原点中心对称， ∴两交点，关于原点对称， ∴，， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ， ． 26．（2026·江苏盐城·二模）已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象关于原点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 【答案】D 【分析】利用反比例函数的平移与对称性，结合图象判断即可． 【详解】解：如图，是反比例函数向上平移1个单位得到的，对各选项逐一判断： 由图象可得：函数图象关于对称，函数图象关于直线对称， ∴A错误，B错误，C错误，D正确． 27．（2025·北京·模拟预测）已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是_______． 【答案】0 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，利用中心对称性质是解题的关键． 根据正比例函数与反比例函数均是中心对称图形即可得到． 【详解】解：∵点是反比例函数与正比例函数的两个交点，且正比例函数与反比例函数均是中心对称图形， ∴， 故答案为：0． 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（共3小题） 【步骤】根据双曲线所在象限判断 k 正负，列出不等式求解参数，兼顾解析式隐含限制条件。 【易错】只看象限符号，忽略反比例系数不为 0；解不等式时不等号方向发生错误。 28．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数的性质得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小得到，进而解不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴，解得， 即k的取值范围是； （2）解：∵反比例函数图象经过第一象限的两点，，且， ∴，解得， 又∵， ∴a的取值范围是． 29．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知反比例函数（为常数，且） (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据反比例函数的增减性即可求出的取值范围； （2）用待定系数法即可求出的值． 【详解】（1）∵图象的每一个分支上，随增大而减小， ∴ 解得： （2）把代入 中， ∴， 解得：， 【点睛】此题考查了反比例函数图象的性质和待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 30．（2025·浙江杭州·一模）已知反比例函数的表达式为，和是反比例函数图象上两点，若 时，，则的取值范围是________． 【答案】/m＞-0.5 【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)为反比例函数图象上两点，当 时，， ∴该反比例函数的图象的两个分支分别在第一、第三象限 ∴1+2m>0， 解得， 故m的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 【步骤】依据增减性判断 k 正负，列出不等式，结合 k≠0 求解参数，再核对自变量取值范围。 【易错】忽略 “同一象限” 前提；混淆增减性与 k 的关系，遗漏系数不能等于 0。 31．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知点，均在反比例函数（为常数）的图像上，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】两个点的横坐标均为负数，已知两点纵坐标的大小关系，可通过代入解析式列不等式，结合反比例函数的增减性求解的范围． 【详解】解：点，都在的图像上， 将两点坐标代入解析式得，， ， ，不等式两边同乘得， 移项合并同类项得，解得． 32．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知在反比例函数的图像上，且时，则常数k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意得到该函数在第二象限时，y随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，且当时，， ∴该函数图像在第二象限时，y随x的增大而增大， ∴． 33．（2025·广东深圳·二模）已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，求反比例函数解析式和反比例函数的函数值，根据题意可得反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，再由当时，y的最大值是，可得当时，，据此利用待定系数法求出函数解析式，进而求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是， ∴反比例函数的图象经过第三象限， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴当时，y的最小值为， 故答案为：． 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 【步骤】先判断点是否在同一象限，结合 k 的正负，利用增减性或代入坐标比较大小。 【易错】跨象限直接用增减性比较；忽略自变量正负，直接套用函数增减规律。 34．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知，，是反比例函数图象上的三个点，若，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数小于0，判断函数图象所在象限和增减性，再结合三个点横坐标的范围，判断每个点所在象限，进而比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 又∵， ∴和在第二象限，在第四象限， ∴ ，即． 35．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值． 【详解】解：∵当时，的最大值为， ∴， ∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小， ∴在中，取最小值时，取得最大值， 将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵当时，，随的增大而减小， ∴取最小值3时，取得最大值，为． 36．（2026·浙江杭州·一模）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值． 【详解】解：当时，y的最大值为， ，， ， 对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小， 在区间，x取最小值时y取得最大值， 将代入，得，即反比例函数为， 在区间中，x取最小值2时y取最大值． 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 37．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 【答案】 【分析】设点，，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设点，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，， ∴且， ∴， ∴， ∵点在第一象限，点在第二象限， ∴ ∴， 同理， ∵轴，轴， ∴， ∴， ， ∴ ． 38．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【答案】 【分析】先根据求出的值，即可确定点的坐标，进而求出的值，再由求出的长，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 39．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形与反比例函数图象交于，，与反比例函数的图象交于点，连接，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形性质、反比例函数()中的几何意义，解题的关键是用的几何意义求相关三角形面积，再通过矩形与三角形面积关系算四边形面积．根据的几何意义得、面积均为；矩形的面积为，根据矩形面积减两三角形面积和即得四边形面积． 【详解】解：∵矩形与反比例函数图象交于，，与反比例函数的图象交于点， ∴和面积各为，矩形的面积为， ∴四边形面积． 故答案为：． 题型14 根据图形面积求比例系数（共3小题） 【步骤】利用 k 的几何意义，写出面积与|k|关系式，算出绝对值，结合图像象限确定 k 符号。 【易错】面积直接等于 k，漏掉绝对值；跨象限解题时，容易搞错 k 的正负符号。 40．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 41．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 42．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 题型15 反比例函数的实际应用（共3小题） 43．（26-27九年级上·全国·期中）如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 【答案】(1) (2)当一条边长为时，另一条边的长度为 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出，进而可得出y； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴． （2）解：当时，； 当时，， 解得． ∴当一条边长为时，另一条边的长度为． 44．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 45．（2026·河南洛阳·三模）如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 【答案】(1) (2) (3)水温共有次达到 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的实际应用与周期规律探究，熟练运用待定系数法求函数解析式、结合周期计算次数是解答本题的关键． （1）利用一次函数待定系数法，代入图像已知两点坐标、，求解，确定时的一次函数解析式； （2）水温下降阶段为反比例函数变化，先用定点求出反比例函数表达式，再代入，算出对应的自变量数值即为t； （3）先算出单次循环周期时长，再计算到的总时长，通过除法求周期个数与剩余时间，结合周期规律统计水温达到的总次数． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间时，；当时间时，， 当时，设， 将、分别代入， 得， 解得， 所以温度关于开机时间（分）的函数关系式为； （2）解：由图象知当时，在水温下降过程中，水温是关于开机时间（分）的反比例函数， 设， 把点代入，得 解得， ， 当时，， 解得， ∴； （3）解：结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，到经历分钟， ， 共经历了个周期余分钟， 所以水温共有次达到． 题型16 反比例函数与一次函数结合（共3小题） 46．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点D的坐标，再根据，列方程求出的值，进一步求出点P坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可得：当或时，； （3）解：如图， 点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为8，可得： ， ∴，即， 解得：或， 点的坐标为或． 47．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是_______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求出点的坐标，再进一步求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再结合三角形的面积公式进行计算即可； （3）根据反比例函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入得，， ∴点的坐标为． 将点代入得，； （2）解：对于， 令，得，解得， ∴点的坐标为， ∴； （3）解：由（1）知，反比例函数的解析式为， 将代入得，， ∴当时，的取值范围是． 48．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)①b的值为 ； ②关于x的不等式的解集为 ； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； (3)如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②观察图象即可求解； （2）先求得直线与轴的交点的坐标，再利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和，由旋转的性质证得，求得，同理，据此求解即可． 【详解】（1）解：①将代入中，得， ∴， 将代入中，得， 解得； ②令， 解得：，， 把代入得， ∴点，点， 由图象得，关于的不等式的解集为或； （2）解：由（1）得， 记直线交轴于点， 令，则， ∴， ∵的面积为5， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和， 根据（1）可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 同理：， ∵线段与反比例函数的图象有交点， ∴将，分别代入中， ∴或， ∴或， ∴或， ∵交点在第三象限， ∴． 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（共3小题） 49．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 50．（2026·湖南长沙·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 【答案】4 【分析】过点作轴于点，利用反比例函数系数的几何意义可知，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 四边形是平行四边形， 点到的距离相等， ． 51．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则_____． （2）若，且的面积是12，则的值为_____． 【答案】 5 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． （1）设，先求出，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，由此即可得； （2）设，先求出，，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，，最后根据可得的值，由此即可得． 【详解】解：（1）设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的纵坐标为， ∵点为的中点， ∴， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为， ∵，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（共3小题） 52．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 53．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据点A和点B关于原点对称，则，据此可得；过点A作轴于点E，则，据此可得，进而可得，即可求出． 【详解】解：∵函数与函数交于、两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴． 54．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式：；反比例函数的解析式： (2) (3) (4)或2 【分析】（1）先求一次函数解析式：先求B点坐标，由求出长度得到A点坐标，代入求出k，再将C点横坐标代入一次函数求出a，得到C点坐标后代入反比例函数求出m． （2）比较a和b：如果反比例函数时的增减性已知，那么通过比较C、D两点横坐标大小即可判断纵坐标大小． （3）求不等式（）的解集：因为不等式的几何意义是时一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的范围，所以结合两函数交点C的横坐标即可得到解集． （4）求等腰的面积：先设P点坐标，分两种情况：如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标；如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标，再分别用三角形面积公式计算对应面积． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， 因此，． 由，得， 又∵在轴正半轴， ∴． 把代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为． 把代入，得， 即． 把代入，得， 因此反比例函数解析式为． （2）解：把代入，得． 已知，， 因此． （3）解：不等式表示时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）． 两个函数交点为， 结合图象可得解集为． （4）解：设， 已知，， 计算得， 以为腰，分两种情况： ：​， 即， ∵， 得（负根舍去）， ∴． 的高为到轴的距离， 面积． ：， 即， 解得（与重合，舍去）， ∴． 面积． 因此的面积为或． 题型19 反比例函数的几何模型（共3小题） 55．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 【答案】4 【分析】过A作于E，作轴于F，延长交x轴于G，根据三角形的面积可求出，根据三角形内角和定理、等角对等边等得出，根据平行四边形的性质、平行线的性质以及可证明，得出，则可设，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：过A作交的延长线于E，作轴于F，延长交x轴于G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵与x轴平行， ∴， ∴， ∵与y轴平行，x轴轴， ∴轴， 又与x轴平行， ∴， 又轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， 设，则， ∵反比例函数的图像经过A、D两点， ∴， 解得， ∴． 56．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，点在轴正半轴上，点的坐标为，点在第一象限，若反比例函数的图像经过点，，平分．当最小时，的值为_____________． 【答案】8 【分析】如图，过点C作轴于点D，延长交x轴于点E，首先求出，证明，得到，然后证明，得到，求出点C的纵坐标是4，点C在第一象限内的直线上运动，然后求出，代入求解即可． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D，延长交x轴于点E， ∵点的坐标为， ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵轴 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即 ∵轴 ∴点C的纵坐标是4， ∴点C在第一象限内的直线上运动， 当轴时，最小，如图， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴将代入得， 解得． 57．（2026·江苏宿迁·三模）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是________． 【答案】 【分析】延长，交于点，设，则，把、、的面积用含的代数式表示出来，根据列方程求出的值． 【详解】解：如下图所示，延长，交于点， 设，则， 轴，轴， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， ，， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 得：， ． 题型20 反比例函数的存在性问题（共3小题） 58．（2026·山东临沂·一模）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，结合等腰三角形的性质确定点的坐标，再利用函数交点关系求解参数． （1）利用一次函数图象经过的两点、，代入列方程组，求解、得到一次函数解析式； （2）先根据轴求出点的坐标，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，确定点的纵坐标，将点代入一次函数求出其横坐标，最后代入反比例函数解析式求出的值． 【详解】（1）解：一次函数的图象过两点 ， ． （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 59．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或 (3)不变，的定值为 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为． 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出、的值，从而可得，，由题意可得点的横坐标为，设，结合平行四边形的性质求出，最后再利用反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）求出反比例函数的解析式为，分三种情况：当为边时，此时四边形为平行四边形；当为边时，此时四边形为平行四边形；当为对角线时，此时四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质计算即可得出结果； （3）连接、、，由线段垂直平分线的性质可得，证明，得出，求出，即可得出，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，， ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）略． 60．（25-26九年级下·山东济南·期中）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 题型21 反比例函数选填压轴（共3小题） 61．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 62．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 63．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 【答案】6 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，利用平行四边形性质表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到的关系，再结合建立关于的方程求解． 【详解】解：设，其中 ， 边经过原点，且在反比例函数图象上 ， 点与点关于原点对称 ， ，且为中点 ． 四边形是平行四边形， ∴， 设，其中， ∴， ∴， ∴，， ． 点在反比例函数图象上， ， ， ， ，即 ． 连接， 四边形是平行四边形 ， 点到的距离等于平行四边形边上的高，设为， 又 将代入上式得 ． 题型22 反比例函数的新定义问题（共3小题） 64．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______； A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4； （2）①18；②； （3）①（）； ②画出图如图所示：    ； ③AB； ④是为定值，定值为 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）①根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得， 直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ， ； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②画出草图如图所示：    该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A.图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B.由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C.随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D.当时，，所以图像经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图像上任意一点，代数式是为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 65．（24-25九年级上·山东淄博·期中）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①20，28； ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，， 则存在方程：， ， ∴方程无解， 故不存在矩形； （3）存在，或或 【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解； （2）①由题意得：且，即可求解； ②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28； ②略 （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，中点坐标公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会． 66．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形是半对角四边形．    (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求的长； (2)如图3，以平行四边形的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移a（）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值． 【答案】(1)6 (2) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，又， ∴四边形是半对角四边形； (3)或 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，， ，再根据题中定义得到，进而有，根据等角对等边求得即可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到，，进而得到，利用等腰三角形的性质得到，利用三角形的外角性质推导出，根据题中定义可证得结论； （3）先求得点A、B、E及其平移后对应点的坐标，再分点和落在反比例函数的图像上和点和落在反比例函数的图像上两种情况，利用反比例函数图像上点的坐标特征得到a和k的方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形平行四边形，，， ∴，，，， ∴， ∵四边形为半对角四边形， ∴， ∴，则， ∵， ∴； （2）略． （3）解：由（2）知，， ∵， ∴是等边三角形，则，， 过E作于H，    ∴则，， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 将四边形向左平移a（）个单位后，点A的对应点坐标为，点B的对应点坐标为，点E的对应点坐标为， ∵平移后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上， ∴分两种情况： 若点和落在反比例函数的图像上，则， 解得，此时； 若点和落在反比例函数的图像上，则， 解得，此时， 综上，满足条件的k值为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形、平移性质、求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义 题型2 用反比例函数描述数量关系 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值 题型4 画反比例函数的图象 题型5 求反比例函数的解析式（重点） 题型6 判断反比例函数的增减性 题型7 反比例函数的k值意义（重点） 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（重点） 题型9 反比例函数图象的对称性 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（重点） 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（重点） 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（重点） 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（重点） 题型14 根据图形面积求比例系数（重点） 题型15 反比例函数的实际应用（重点） 题型16 反比例函数与一次函数结合 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（难点） 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（难点） 题型19 反比例函数的几何模型（难点） 题型20 反比例函数的存在性问题（难点） 题型21 反比例函数选填压轴（难点） 题型22 反比例函数的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 反比例函数的定义（共3小题） 【步骤】先对照定义列条件，保证自变量次数为 - 1，系数不为 0，解方程后代入检验。 【易错】容易忽略系数不等于 0；误把指数看成 1，忘记检验参数是否符合题意。 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级·江苏·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 题型2 用反比例函数描述数量关系（共3小题） 【步骤】分析变量，确定乘积为定值，列出反比例关系式，代入数值求解并检验实际意义。 【易错】混淆正反比例；误将和为定值当作反比例，忽略变量取值限制条件。 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 题型3 反比例函数的自变量与反比例函数的值（共6小题） 【步骤】将自变量代入解析式，求出对应函数值；已知函数值，解方程求自变量并检验。 【易错】忽略自变量不能为 0；求自变量时漏检验，易出现无意义的增根。 7．（2026·江苏南京·二模）将点向上平移个单位长度落到函数的图象上，则的值为__． 8．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则______． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 题型4 画反比例函数的图象（共3小题） 10．（26-27九年级上·全国·期中）反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级下·河北廊坊·期中）下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象，当时，求y的取值范围． 题型5 求反比例函数的解析式（共3小题） 【步骤】设反比例函数解析式，代入图像上一点坐标求出 k，回代写出完整解析式。 【易错】忘记 k≠0；坐标代入时符号出错，遗漏自变量 x 不等于 0 的限制。 13．（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 14．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为________． 15．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知 与x成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，，求代数式的值． 题型6 判断反比例函数的增减性（共3小题） 16．（26-27九年级上·山东滨州·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 17．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 18．（2026·四川成都·模拟预测）已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 题型7 反比例函数的k值意义（共3小题） 【步骤】过双曲线上点作坐标轴垂线，利用S=，结合图形面积列式求 k 并判断符号。 【易错】忘记 k 要加绝对值；图形跨象限时符号判断错误，面积直接等同于 k。 19．（2026·湖南长沙·一模）如图，为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为．若四边形的面积为6，则的值为______． 20．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在平面直角坐标系中，是轴上任意一点，轴，分别交反比例函数、的图像于，两点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为_______． 提升·进阶突破 题型8 根据反比例函数的定义求参数（共3小题） 【步骤】依据定义列次数等于 - 1、系数不为 0 两个条件，联立求解参数，再代入检验。 【易错】只考虑次数，漏掉系数不为 0 条件；求出参数后不验证，忽略分母不能为零。 22．（25-26九年级上·全国·期中）已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 23．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）已知函数是反比例函数，求的值． 24．（25-26九年级下·全国·期中）若函数y=（3﹣k）是反比例函数，那么k的值是（　　） A．0 B．3 C．0或3 D．不能确定 题型9 反比例函数图象的对称性（共3小题） 25．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 26．（2026·江苏盐城·二模）已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象关于原点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 27．（2025·北京·模拟预测）已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是_______． 题型10 已知双曲线分布的象限求参数范围（共3小题） 【步骤】根据双曲线所在象限判断 k 正负，列出不等式求解参数，兼顾解析式隐含限制条件。 【易错】只看象限符号，忽略反比例系数不为 0；解不等式时不等号方向发生错误。 28．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 29．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知反比例函数（为常数，且） (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值； 30．（2025·浙江杭州·一模）已知反比例函数的表达式为，和是反比例函数图象上两点，若 时，，则的取值范围是________． 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 【步骤】依据增减性判断 k 正负，列出不等式，结合 k≠0 求解参数，再核对自变量取值范围。 【易错】忽略 “同一象限” 前提；混淆增减性与 k 的关系，遗漏系数不能等于 0。 31．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知点，均在反比例函数（为常数）的图像上，且，则的取值范围是________． 32．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知在反比例函数的图像上，且时，则常数k的取值范围是_________． 33．（2025·广东深圳·二模）已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为______． 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 【步骤】先判断点是否在同一象限，结合 k 的正负，利用增减性或代入坐标比较大小。 【易错】跨象限直接用增减性比较；忽略自变量正负，直接套用函数增减规律。 34．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知，，是反比例函数图象上的三个点，若，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 35．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 36．（2026·浙江杭州·一模）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 37．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 38．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 39．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形与反比例函数图象交于，，与反比例函数的图象交于点，连接，，则四边形的面积为______． 题型14 根据图形面积求比例系数（共3小题） 【步骤】利用 k 的几何意义，写出面积与|k|关系式，算出绝对值，结合图像象限确定 k 符号。 【易错】面积直接等于 k，漏掉绝对值；跨象限解题时，容易搞错 k 的正负符号。 40．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 41．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 42．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 题型15 反比例函数的实际应用（共3小题） 43．（26-27九年级上·全国·期中）如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 44．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 45．（2026·河南洛阳·三模）如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 题型16 反比例函数与一次函数结合（共3小题） 46．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 47．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是_______． 48．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)①b的值为 ； ②关于x的不等式的解集为 ； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； (3)如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 拔高·压轴破难 题型17 反比例函数k值的几何意义与面积计算（共3小题） 49．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 50．（2026·湖南长沙·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 51．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则_____． （2）若，且的面积是12，则的值为_____． 题型18 反比例函数与一次函数交点综合（共3小题） 52．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 53．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 54．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 题型19 反比例函数的几何模型（共3小题） 55．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 56．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，点在轴正半轴上，点的坐标为，点在第一象限，若反比例函数的图像经过点，，平分．当最小时，的值为_____________． 57．（2026·江苏宿迁·三模）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是________． 题型20 反比例函数的存在性问题（共3小题） 58．（2026·山东临沂·一模）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 59．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 60．（25-26九年级下·山东济南·期中）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型21 反比例函数选填压轴（共3小题） 61．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 62．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 63．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 题型22 反比例函数的新定义问题（共3小题） 64．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______； A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 65．（24-25九年级上·山东淄博·期中）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 66．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形是半对角四边形．    (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求的长； (2)如图3，以平行四边形的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移a（）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $