2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中模拟卷 （苏州卷）

【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （苏州专用）2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级第1章~第3章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足：①整式方程；②只含有一个未知数x；③未知数的最高次数为2；逐一分析选项即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程， B、是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，是一元二次方程， C、分母含未知数，不是一元二次方程， D、分母含未知数，不是一元二次方程． 2．已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 3．双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵点，在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．若函数的图象上有点，点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数解析式可以求出，的值，再比较大小即可． 【详解】解：将点代入中，得， 将点代入中，得， ∵， ∴． 5．如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理求出的度数，根据切线的性质得出，，然后根据四边形的内角和为求解即可． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴． 6．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等腰直角三角形．设，则，根据勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ． 又， ， 为等腰直角三角形． 设，则， 根据题意得：， 即， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴． 7．如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（　　） A．s B．2s C．10s D．10s或2s 【答案】B 【分析】设点P运动的时间为ts,根据题意得：,然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为ts, 根据题意得：, ∴ ∵ ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴点P运动的时间为2s, 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 8．如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】连接，根据点是的中点，利用三角形中线平分三角形面积的性质，推导出，再根据反比例函数的几何意义及三角形面积公式求得的值. 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∴点到的距离等于的长， ∵点为中点， ∴、分别是、的边上的中线， ∴，， ∴ 即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 设点的坐标为，则，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴. 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．方程的根是_______． 【答案】 ， 【详解】解：对方程两边直接开平方，得， 当时，解得； 当时，解得； 故原方程的根为，. 10．已知的两个根分别为、，则______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 方程的两个根分别为、， ∴ 由韦达定理可得，， ∴． 11．反比例函数的图象位于第______象限． 【答案】三 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号确定图象的所有可能象限，再结合的限定判断最终位置． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 反比例函数的图象整体位于第一、三象限， 时，， 该函数的图象位于第三象限． 12．如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为___． 【答案】5 【分析】根据圆锥的底面直径求出底面半径，进而得到底面周长，利用圆锥的侧面积公式列出方程求解母线长即可． 【详解】解：为底面直径， 圆锥的底面半径为 圆锥的底面周长 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 设母线的长为 解得 ． 13．如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，若，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求出，利用补角求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是361万元，假设每月生产成本的下降率相同，则每月生产成本的下降率是__________． 【答案】 【分析】设每月生产成本的下降率为，根据一月份和三月份的生产成本列出一元二次方程，舍去不符合实际意义的根即可求解． 【详解】解：设每月生产成本的下降率为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴每月生产成本的下降率是． 15．如图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，若，则的值是________ ． 【答案】 【分析】先作水平、垂直辅助线构造直角三角形，利用矩形直角推导出两组角相等证明三角形相似，结合边长比例得到线段等量关系，设点坐标并代入相似比例式列方程求解出坐标，最后根据反比例函数坐标乘积等于算出值． 【详解】解：如图，过点作轴于点E，过点作轴交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 16．如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 三、解答题：本题共11小题，共82分。 17．用合适的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）提取公因式，因式分解求解． （2）十字相乘法因式分解或公式法解方程． 【详解】（1）因式分解法： ， ， ∴或， 、． （2）因式分解法： ， ， ∴或， 、． 公式法： 在中、、， 判别式：， ∴， 、． 18．已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在这个函数图象上，不在这个函数图象上， 理由：， ． 这个函数的表达式为， ∵， 点在这个函数图象上， 当时，， 点不在这个函数图象上． 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，得到，进行求解即可； （2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：在函数的每一支上，随的增大而增大， ， ． （2）略 19．如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此求解即可； （2）先求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，设与x轴交于D，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，，且点A在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，. 设与x轴交于D，则， ∴，, ∴． 20．如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【答案】(1) 如图，为所作； (2) 如图， 【分析】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系： （1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形； （2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】（1）解：略． （2）解：作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则 21．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， (1)求证：平分； (2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 【答案】(1) 证明：连结，如图所示， 切与点， ， ， ， ， ， 平分． (2)． 【分析】（1）连结,由切线的性质得出,证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，即可证明． （2）由圆周角定理得出,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）如图，过作与点 点是弦所对的优弧上一点，且， , ， ， ， ， ， 阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 22．一组关于近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数（度） 200 500 800 1000 镜片焦距（米） 0.50 0.20 0.125 0.10 (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片的焦距为0.25米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 【答案】(1)猜想函数模型是反比例函数， (2)上升了，上升了150度 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据每组与的乘积都相等猜想函数模型是反比例函数，再利用待定系数法求解即可得； （2）分别求出当时和当时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：观察表格数据可知，每组与的乘积都相等， 则猜想函数模型是反比例函数． 设关于的函数表达式为， 将点代入得：， 所以关于的函数表达式为． （2）解：当时，， 当时，， 因为（度）， 所以小苍同学的眼镜度数是上升了，上升了150度． 23．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，； 当时，； 原方程有四个根：． 这一方法利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为___________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1) (2) 原方程的根为，，， 【分析】（1）将看作整体，结合已知方程的根推导所求方程的根； （2）通过换元法把四次方程转化为二次方程，求解后回代得原方程的根； 【详解】（1）解：设， 则方程变形为， ∵一元二次方程有一根为， ∴是方程的一个根， 即， 解得； （2）解：设，则， 原方程可化为， 解得，， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 综上所述，原方程的根为，，，． 24．人工智能近年来市场逐渐火热．某公司2023年在人工智能方向的投入约为10亿元，到2025年增长至约14.4亿元． (1)求这两年该公司人工智能投入的年平均增长率； (2)在（1）的基础上，该公司在2026年人工智能投入能否超过17亿元？ 【答案】(1)这两年该公司人工智能投入的年平均增长率为． (2)该公司在2026年人工智能投入能超过17亿元． 【分析】（1）设这两年该公司人工智能投入的年平均增长率为，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； （2）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设这两年该公司人工智能投入的年平均增长率为， 由题意得：， 解得，（舍去）． 答：这两年该公司人工智能投入的年平均增长率为； （2）解：（亿元）， 因为， 所以该公司在2026年人工智能投入能超过17亿元． 25．如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； (2)8 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线的性质，可得， 根据垂径定理，即可得答案； （2）根据三角形的中位线，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ，     ， 在中，， ． 26．如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 27．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点． (1)与的数量关系是　　　　　； A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合，求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得的值最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A (2)， (3)存在， 【分析】（1）将点，分别代入，即可求得m，n的数量关系； （2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证得，得到，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式； （3）作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点Q，则的最小值等于的长，由，，求出直线的解析式，即得． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得，． ∴． ∴． 故选：A． （2）解：①由（1）得：，， 设，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则． ∴． 由旋转知，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （3）解：存在，，理由如下： 如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点Q， 则． ∴． ∴的最小值等于的长． 由（2）知，，， ∴． ∴． 设直线的解析式为， 则． 解得． ∴． 当时，． ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与几何重合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像及性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （苏州专用）2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级第1章~第3章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 3．双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．若函数的图象上有点，点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（　　） A．s B．2s C．10s D．10s或2s 8．如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．方程的根是_______． 10．已知的两个根分别为、，则______． 11．反比例函数的图象位于第______象限． 12．如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为___． 13．如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，若，则______． 14．某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是361万元，假设每月生产成本的下降率相同，则每月生产成本的下降率是__________． 15．如图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，若，则的值是________ ． 16．如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 三、解答题：本题共11小题，共82分。 17．用合适的方法解下列方程： (1) (2) 18．已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 19．如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 20．如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 21．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， (1)求证：平分； (2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 22．一组关于近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数（度） 200 500 800 1000 镜片焦距（米） 0.50 0.20 0.125 0.10 (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片的焦距为0.25米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 23．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，； 当时，； 原方程有四个根：． 这一方法利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为___________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 24．人工智能近年来市场逐渐火热．某公司2023年在人工智能方向的投入约为10亿元，到2025年增长至约14.4亿元． (1)求这两年该公司人工智能投入的年平均增长率； (2)在（1）的基础上，该公司在2026年人工智能投入能否超过17亿元？ 25．如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 26．如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 27．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点． (1)与的数量关系是　　　　　； A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合，求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得的值最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $