九年级数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（新教材苏科版）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学上册第1~5章。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）已知点，，在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（3分）中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好是《周髀算经》的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（3分）如图，是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，根据图中信息，能确定这组数据的上四分位数为（     ） A．200 B．170 C．160 D．120 5．（3分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（3分）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 8．（3分）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 10．（3分）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 11．（3分）为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：），计算出样本方差分别为，，由此可推断__________种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 12．（3分）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 13．（3分）一元二次方程（）两根分别为1，，则方程（）的两根分别为_________． 14．（3分）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 16．（3分）如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解方程： (1)． (2) 18．（5分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 19．（6分）为了解学生科学素养情况，随机抽取，班各名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制，单位：分）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）班成绩如下：、 、 、、、、、、、； （Ⅱ）部分数据如下表： 班级 平均数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 (1)请计算： ； ； (2)请补全箱线图； (3)小华计算了两个班分数的平均数，发现，得出结论：801班学生科学素养情况要优于802班．你认为合理吗？请结合箱线图，说明理由． 20．（6分）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 21．（6分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 22．（8分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 23．（8分）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 24．（8分）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 25．（10分）如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 (1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 26．（10分）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 27．（10分）【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2．（3分）已知点，，在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点分别代入反比例函数中，求解出a、b、c的值判断大小即可． 【详解】解：∵反比例函数，且点，，， ∴，，， ∴． 3．（3分）中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好是《周髀算经》的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定所有等可能结果总数和所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从4部不同的名著中任选1部，共有种等可能的结果，其中恰好选中《周髀算经》的结果只有种， ∴根据概率公式可得，恰好选中《周髀算经》的概率为． 4．（3分）如图，是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，根据图中信息，能确定这组数据的上四分位数为（     ） A．200 B．170 C．160 D．120 【答案】B 【分析】箱线图由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个统计量组成，其中箱体的上边缘表示上四分位数． 【详解】解：观察箱线图可知，最下方的实线对应最小值80，箱体下边缘对应下四分位数120，箱体中间实线对应中位数160，箱体上边缘对应上四分位数170，最上方的实线对应最大值200，故上四分位数为170． 5．（3分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 6．（3分）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵点、， ∴的中点坐标为：， 反比例函数的图象经过的中点，可得， ． 8．（3分）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的值为． 10．（3分）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 11．（3分）为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：），计算出样本方差分别为，，由此可推断__________种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】 乙 【分析】方差反映数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，质量越稳定，只需比较两种水稻样本方差的大小即可判断． 【详解】解：∵方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，稳定性越好， 又∵，， ∴乙种水稻的质量更稳定． 12．（3分）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据组内离差平方和的定义，分别计算两组的离差平方和，再求和得到结果． 【详解】解：第一组数据为，，，， 计算第一组平均值：， 第一组离差平方和：； 第二组数据为，，，，， 计算第二组平均值：， 第二组离差平方和：； 总组内离差平方和为：． 13．（3分）一元二次方程（）两根分别为1，，则方程（）的两根分别为_________． 【答案】 ， 【分析】将新方程中的看作整体，对应原一元二次方程中的，根据原方程的根即可求出新方程的根． 【详解】解： 一元二次方程的两根分别为和， 方程中，或， 解得或． 14．（3分）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 16．（3分）如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 【答案】4 【分析】过A作于E，作轴于F，延长交x轴于G，根据三角形的面积可求出，根据三角形内角和定理、等角对等边等得出，根据平行四边形的性质、平行线的性质以及可证明，得出，则可设，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：过A作交的延长线于E，作轴于F，延长交x轴于G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵与x轴平行， ∴， ∴， ∵与y轴平行，x轴轴， ∴轴， 又与x轴平行， ∴， 又轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， 设，则， ∵反比例函数的图像经过A、D两点， ∴， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程移项得， 因式分解得， 则或， 解得，；······························2分 （2）解：原方程因式分解得， 整理得， 则或， 解得，．······························5分 18．（5分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得；······························2分 （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴．······························5分 19．（6分）为了解学生科学素养情况，随机抽取，班各名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制，单位：分）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）班成绩如下：、 、 、、、、、、、； （Ⅱ）部分数据如下表： 班级 平均数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 (1)请计算： ； ； (2)请补全箱线图； (3)小华计算了两个班分数的平均数，发现，得出结论：801班学生科学素养情况要优于802班．你认为合理吗？请结合箱线图，说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不合理，理由如下：平均数，只能说明班学生科学素养平均成绩大于班，不能表明班学生科学素养情况要优于班， 由箱线图可得，班的科学素养成绩更集中，波动更小，说明班的科学素养情况要优于班． 【分析】（1）把班的成绩从小到大排序，中位数为第五位，第六位数和的一半，得到前半段的数据，即可得到，； （2）由题意可得，最大值为，最小值为，，，的值，补全箱线图，即可； （3）根据箱线图，进行解答，即可． 【详解】（1）解：把班成绩的成绩从小到大排序：、 、 、、、、、、、； ∴中位数为：； ∴前半段的数据为：、 、 、、； ∴．·····························2分 （2）·····························4分 （3）不合理，理由如下：平均数，只能说明班学生科学素养平均成绩大于班，不能表明班学生科学素养情况要优于班， 由箱线图可得，班的科学素养成绩更集中，波动更小，说明班的科学素养情况要优于班．·····························6分 20．（6分）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）等可能事件概率，所求区域份数÷总份数． （2）用列表列出全部等可能情况，数出符合条件的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份， 所以指针落在A区域的概率：．·····························2分 （2）解：用列表法： 音符音名 A B 所有等可能结果共6种， 满足B且的结果只有1种． 答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为．······················6分 21．（6分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为；·····························2分 （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元．·····························6分 22．（8分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 【答案】(1)， (2)15 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴；·····························1分 ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴；·····························2分 （2）解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 ；·····························4分 （3）解：∵， ∴， 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点， 则当时，或， 即结合图象当时的取值范围为或，·····························8分 23．（8分）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． (2)． 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分．·····························3分 （2）∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长．·····························8分 24．（8分）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）先求解，再进一步求解即可； （2）作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点，再进一步求解即可． （3）利用，进一步计算即可． 【详解】（1）解：依题意，在矩形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴ 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的表达式为．·····························2分 （2）解：连接，作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点． ∴， 把代入， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得： ， 解这个方程组，得， 当时，，， ．·····························5分 （3）解：如图，∵，，， ．·····························8分 25．（10分）如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 (1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 【答案】(1)条件①②结论③ 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线； 条件①③结论② 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∵， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴； 条件②③结论① 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴； (2)3 【分析】（1）选择条件①②，证明结论③，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据垂直定义得出，进而得出，即可得证； 选择条件①③，证明结论②，连接，根据半径相等得出，根据切线的性质得出，进而得出，根据垂直定义得出，进而得出，根据余角的性质和对顶角的性质即可得证； 选择条件②③，证明结论①，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据切线的性质得出，进而得出，进而得出，即可得证； （2）设，则，，由（1）知：，，在中，根据勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【详解】（1）条件①②结论③ 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线； 条件①③结论② 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∵， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴； 条件②③结论① 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴；·····························4分 （2）解：设，则， ∵B为的中点， ∴， 由（1）知：，， ∴在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为．·····························10分 26．（10分）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1）在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积的面积；·····························3分 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ．·····························6分 （2）存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ．·····························10分 27．（10分）【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再进一步求解即可； （2）如图，作以为直径的圆，连接，交于点O，证明，可得， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧，再进一步求解即可； （3）如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，，证明四边形是矩形，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作以为直径的， ， ． ， ． ， 点P在以为直径的上． ∴连接交于点P，此时最小． 点O是的中点，， ， 在中，，，， ， 的最小值为；·····························3分 （2）解：如图，作以为直径的圆，连接，交于点O， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧， 点P的运动路径长为．·····························6分 （3）解：如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ． 在中，， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ．·····························10分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D B C C A C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9． 10． 11．乙 12． 13．， 14． 15． 16．4 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程移项得， 因式分解得， 则或， 解得，；······························2分 （2）解：原方程因式分解得， 整理得， 则或， 解得，．······························5分 18．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得；······························2分 （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴．······························5分 19．（6分） 【答案】(1)； (2) (3)不合理，理由如下：平均数，只能说明班学生科学素养平均成绩大于班，不能表明班学生科学素养情况要优于班， 由箱线图可得，班的科学素养成绩更集中，波动更小，说明班的科学素养情况要优于班． 【分析】（1）把班的成绩从小到大排序，中位数为第五位，第六位数和的一半，得到前半段的数据，即可得到，； （2）由题意可得，最大值为，最小值为，，，的值，补全箱线图，即可； （3）根据箱线图，进行解答，即可． 【详解】（1）解：把班成绩的成绩从小到大排序：、 、 、、、、、、、； ∴中位数为：； ∴前半段的数据为：、 、 、、； ∴．·····························2分 （2）·····························4分 （3）不合理，理由如下：平均数，只能说明班学生科学素养平均成绩大于班，不能表明班学生科学素养情况要优于班， 由箱线图可得，班的科学素养成绩更集中，波动更小，说明班的科学素养情况要优于班．·····························6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）等可能事件概率，所求区域份数÷总份数． （2）用列表列出全部等可能情况，数出符合条件的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份， 所以指针落在A区域的概率：．·····························2分 （2）解：用列表法： 音符音名 A B 所有等可能结果共6种， 满足B且的结果只有1种． 答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为．······················6分 21．（6分） 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为；·····························2分 （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元．·····························6分 22．（8分） 【答案】(1)， (2)15 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴；·····························1分 ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴；·····························2分 （2）解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 ；·····························4分 （3）解：∵， ∴， 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点， 则当时，或， 即结合图象当时的取值范围为或，·····························8分 23．（8分） 【答案】(1)证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． (2)． 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分．·····························3分 （2）∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长．·····························8分 24．（8分） 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）先求解，再进一步求解即可； （2）作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点，再进一步求解即可． （3）利用，进一步计算即可． 【详解】（1）解：依题意，在矩形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴ 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的表达式为．·····························2分 （2）解：连接，作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点． ∴， 把代入， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得： ， 解这个方程组，得， 当时，，， ．·····························5分 （3）解：如图，∵，，， ．·····························8分 25．（10分） 【答案】(1)条件①②结论③ 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线； 条件①③结论② 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∵， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴； 条件②③结论① 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴； (2)3 【分析】（1）选择条件①②，证明结论③，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据垂直定义得出，进而得出，即可得证； 选择条件①③，证明结论②，连接，根据半径相等得出，根据切线的性质得出，进而得出，根据垂直定义得出，进而得出，根据余角的性质和对顶角的性质即可得证； 选择条件②③，证明结论①，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据切线的性质得出，进而得出，进而得出，即可得证； （2）设，则，，由（1）知：，，在中，根据勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【详解】（1）条件①②结论③ 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线； 条件①③结论② 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∵， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴； 条件②③结论① 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴；·····························4分 （2）解：设，则， ∵B为的中点， ∴， 由（1）知：，， ∴在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为．·····························10分 26．（10分） 【答案】(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1）在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积的面积；·····························3分 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ．·····························6分 （2）存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ．·····························10分 27．（10分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再进一步求解即可； （2）如图，作以为直径的圆，连接，交于点O，证明，可得， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧，再进一步求解即可； （3）如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，，证明四边形是矩形，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作以为直径的， ， ． ， ． ， 点P在以为直径的上． ∴连接交于点P，此时最小． 点O是的中点，， ， 在中，，，， ， 的最小值为；·····························3分 （2）解：如图，作以为直径的圆，连接，交于点O， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧， 点P的运动路径长为．·····························6分 （3）解：如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ． 在中，， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ．·····························10分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学上册第1~5章。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）已知点，，在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（3分）中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好是《周髀算经》的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（3分）如图，是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，根据图中信息，能确定这组数据的上四分位数为（     ） A．200 B．170 C．160 D．120 5．（3分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（3分）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 8．（3分）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 10．（3分）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 11．（3分）为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：），计算出样本方差分别为，，由此可推断__________种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 12．（3分）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 13．（3分）一元二次方程（）两根分别为1，，则方程（）的两根分别为_________． 14．（3分）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 16．（3分）如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解方程： (1)． (2) 18．（5分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 19．（6分）为了解学生科学素养情况，随机抽取，班各名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制，单位：分）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）班成绩如下：、 、 、、、、、、、； （Ⅱ）部分数据如下表： 班级 平均数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 (1)请计算： ； ； (2)请补全箱线图； (3)小华计算了两个班分数的平均数，发现，得出结论：801班学生科学素养情况要优于802班．你认为合理吗？请结合箱线图，说明理由． 20．（6分）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 21．（6分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 22．（8分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 23．（8分）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 24．（8分）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 25．（10分）如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 (1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 26．（10分）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 27．（10分）【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $