专题04 实数25大题型75题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题04 实数 基础·固本强基 题型1 平方根、算数平方根的概念理解 题型2 求平方根、算术平方根 题型3 利用平方根解方程 题型4 立方根的概念理解 题型5 求一个数的立方根 题型6 平方根、立方根的简单应用（重点） 题型7实数的概念与分类 题型8 实数的大小比较 题型9 实数与数轴（重点） 题型10 近似数的相关概念 提升·进阶突破 题型11 利用算术平方根的非负性解题（重点） 题型12 估计算术平方根的取值范围（重点） 题型13 与算术平方根有关的规律探索题（重点） 题型14 算术平方根的实际应用（重点） 题型15 与立方根有关的规律探索题（重点） 题型16 算术平方根和立方根的综合（重点） 题型17 无理数整数部分的有关计算（重点） 题型18 实数的性质与数轴有关计算（重点） 题型19 实数大小比较综合（重点） 题型20 程序设计与实数运算 题型21 实数的新定义运算问题（难点） 题型22 近似值的辨析 拔高·压轴破难 题型23 平方根、立方根的规律探索题综合（难点） 题型24 实数的新定义问题综合（难点） 题型25 实数的实际应用综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平方根、算数平方根的概念理解（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了方程解的定义，算术平方根的定义，熟记定义，灵活运用定义是解题的关键．根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可． 【详解】解：∵ 方程 的解分别为 ，且， ∴ ，， ∴ 和是3的平方根， ∵ ， ∴ ， ∴ 是3的算术平方根（非负的平方根）． 故选：D． 3．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列说法错误的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根、平方根，根据算术平方根、平方根的定义解答即可． 【详解】A、4是16的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； B、2是4的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，故此选项符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型2 求平方根、算术平方根（共3小题） 【步骤】找到平方等于该数的数，算术平方根只取正值，先保证被开方数非负。 4．（26-27八年级上·江苏·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 5．（26-27八年级上·江苏·期中）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．原式，该项错误； B．原式，该项错误； C．原式，该项错误； D．原式，该项正确． 6．（26-27八年级上·江苏·期中）说出下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：的平方根是； （2）的平方根是； （3）的平方根是． 题型3 利用平方根解方程（共3小题） 【步骤】整理成平方等于常数形式，判断常数正负，非负则开平方写出两个根。 【易错】a>0时有两解，不要漏掉负根；负数不能开平方，此时方程无实数解。 7．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】先将原方程整理为平方项等于非负常数的形式，再根据平方根的定义开平方，即可求出x的值． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 或． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了平方根解方程． （1）先移项合并同类项，再两边同时除以2，开平方求解即可； （2）先计算算术平方根，再开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）方程两边同时乘以2，再同时开平方，即可作答． （2）方程两边同时开平方，再分别算出，，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，． 题型4 立方根的概念理解（共3小题） 10．（26-27八年级上·江苏南京·期中）下列关于平方根、算术平方根和立方根的说法正确的是（     ） A．任何实数都有且只有1个立方根 B．任意一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 【答案】A 【分析】结合立方根、平方根、算术平方根的性质验证各选项． 【详解】解：A、任意实数都有且只有1个立方根， 原说法正确，符合题意； B、负数没有算术平方根和平方根；0的算术平方根与平方根都只有1个；正数有2个平方根，1个算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、0的算术平方根是0，即0也有算术平方根，原说法错误，不符合题意； D、正数的平方根有2个，其中负平方根小于其立方根， 原说法错误，不符合题意． 11．（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 12．（25-26七年级下·江苏·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误； ∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误； ∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误； ∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确． 题型5 求一个数的立方根（共3小题） 13．（26-27八年级上·江苏·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 14．（26-27八年级上·江苏·期中）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 15．（26-27八年级·上海·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 题型6 平方根、立方根的简单应用（共3小题） 16．（25-26七年级下·广东东莞·期中）为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：能将明信片不折叠就放入此信封，理由如下： ∵信封的长、宽之比为， ∴设信封的长是，则宽是， ∵信封的面积是， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴信封的长是cm，宽是cm． ∵， ∴能将明信片不折叠就放入此信封． 【分析】（1）根据正方形面积公式，求的算术平方根即可； （2）设信封的长是，则宽是，根据面积为，列方程，利用平方根的性质求出的值，即可求出信封的长和宽，比较宽与（1）中所求明信片的边长即可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形感恩明信片的面积为， ∴该明信片的边长为． （2）略 17．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）根据拼接前后的面积相等建立方程求解可得答案． （2）设小长方形的对角线的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：（1）设大正方形的边长为x， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：大正方形的边长为4； （2）设小长方形的对角线的长度为m， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小长方形的对角线的长度为． 18．（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用．根据题意求作的这个正方体的体积为2，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵已知正方体的棱长是1， ∴已知正方体的体积是， ∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍， ∴求作的这个正方体的体积为， ∴求作的这个正方体的棱长为． 故答案为：． 题型7 实数的概念与分类（共3小题） 19．（25-26七年级下·江苏南通·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：是分数、是有限小数、是整数；由于开不尽立方，则是无理数． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在下列各数，0，0.2，，6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，3.14中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念.无理数是无限不循环小数，包括含的数、开方开不尽的数（但需注意开方后是否为整数）、以及有规律但无限不循环的小数． 【详解】∵ 含，是无理数； 0是整数，是有理数； 0.2是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 3.14是有限小数，是有理数， ∴ 无理数有和 6.1010010001…，共2个． 故选：B． 21．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 【答案】，，；，，，， 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念，解题的关键是熟知：有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称；无理数，也称为无限不循环小数．判断一个数是有理数还是无理数，关键看它能否化为有限小数或无限循环小数，能则为有理数，不能则为无理数． 【详解】解：是整数，是分数，是分数，均属于有理数， ，，，，均属于无理数， 即有理数：，，； 无理数：，，，，， 故答案为：，，；，，，，． 题型8 实数的大小比较（共3小题） 【步骤】先判断正负，估算无理数近似值，或平方转化，再比较数的大小。 【易错】负数比较，绝对值大的数反而小；平方比较仅限两个非负数使用。 22．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 23．（26-27八年级上·江苏·期中）完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 【答案】(1)； (2) (3)证明：∵， ∴， ∴． 【详解】（1）解：；； （2）解：当时，， ∴； （3）略 24．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型9 实数与数轴（共3小题） 【步骤】看数轴确定字母正负，判断绝对值内式子符号，去掉绝对值再化简计算。 【易错】区分点到原点距离与数值本身，去绝对值符号时注意变号问题。 25．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 26．（25-26七年级下·天津和平·期末）如图，一个面积为17的正方形，点落在数轴上对应实数2，将正方形绕点顺时针旋转，点落在轴上的点处，点对应的实数在哪两个整数之间（     ） A．4至5 B．5至6 C．6至7 D．7至8 【答案】C 【分析】根据正方形的面积计算边长，进而表示出对应的数值，再估计无理数取值范围即可． 【详解】解：由题意得，则点对应的实数为， ， ， ， 则点对应的实数在6至7之间． 27．（25-26七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． ②略 题型10 近似数的相关概念（共3小题） 【步骤】找准精确数位，观察后一位数字，四舍五入，大数先还原再判断精确度。 【易错】科学记数法近似数，判断精确度要还原原数，不要只看指数部分。 28．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度概念，根据精确度定义逐一判断选项即可，带计数单位的近似数需要还原后判断精确度． 【详解】解：A、的末位是十分位，即精确到十分位，结论正确，不符合题意； B、万，末位数字6在百位，因此万精确到百位，不是百分位，结论错误，符合题意； C、的末位数字在百分位，因此精确到百分位，结论正确，不符合题意； D、的末位数字在千分位，因此精确到千分位，结论正确，不符合题意． 29．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）2025年8月17日，苏超第九轮扬州主场对战淮安，共有26798名球迷到达现场加油助威，请将数据26798用四舍五入法精确到千位，并用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：精确到千位为． 把转变为的形式，其中，小数点向左移动了4位，故， ∴． 综上，最终结果为． 30．（25-26七年级上·河南商丘·期末）用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到0.01） D．（精确到百位） 【答案】C 【分析】本题考查近似数的四舍五入取法，关键是明确精确到某一位时，需观察该位的下一位数字，小于5则舍去，大于等于5则向该位进1，据此判断各选项的正误． 【详解】解：A选项中，304.25精确到个位，十分位数字2，，舍去，∴，正确． B选项中，1.804精确到十分位，百分位数0，，舍去，∴，正确． C选项中，0.0158精确到0.01（百分位），千分位数字5，需向百分位进位，百分位1进1变为2，∴，而选项中结果为0.016，错误． D选项中，1205精确到百位，看十位数字0，，舍去，∴，正确． 故选C． 提升·进阶突破 题型11 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 【步骤】根据非负性列出方程，分别令每个非负式子等于 0，联立求解未知数。 【易错】只有相加等于 0 时才全为 0，不要看到非负式就直接令式子等于 0。 31．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】∵，，且， ∴，， 解得：，， 故． 32．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，求一个数的平方根，解二元一次方程组等知识点． （1）先根据算术平方根和绝对值的非负性得到方程组，再解二元一次方程组即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ 由①②得，， 解得， 将代入①得，， 解得 ∴； （2）解：∵ ∴， ∴的平方根为． 33．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及有意义的条件、求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则原式， 解得， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故选：D． 题型12 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 【步骤】找出相邻平方数，确定范围，逐步缩小区间，估算无理数近似大小。 【易错】看清是算术平方根，不要带上负根；比较时注意平方后大小关系。 34．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 35．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 36．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【答案】4 【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值． 【详解】解：， ，即， ，且为整数， ． 题型13 与算术平方根有关的规律探索题（共3小题） 【步骤】列举几组算式，对比前后数字变化，总结规律，代入求值检验。 【易错】归纳规律不能仅凭前两项，注意符号与被开方数取值，不要以偏概全。 37．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 38．（25-26七年级下·山东滨州·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知算式推导通用规律，再将原式按规律化简后分组计算，即可得到结果． 【详解】解：∵观察已知算式可得规律：（为正整数）， ∴，，…，， ∴原式， ， 从3到2028共2026个数，可分为组，每组结果为， ∴原式． 39．（26-27八年级上·四川成都·期中）在草稿纸上计算：①；②；③，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值_________；_________． 【答案】 【分析】先计算给出的前三个式子，归纳得到运算规律，再利用规律求解结果. 【详解】解：， ， ， 观察可得规律：. ∴. ， . 题型14 算术平方根的实际应用（共3小题） 40．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图①是一张面积为400平方厘米的正方形纸片，小丽想沿着边的方向裁出一块面积为300平方厘米的长方形纸片． (1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案，并在图①的正方形中画出剪裁方案并标出相应数据． (2)若使长方形（长方形的边和原正方形的边平行或重合）的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． (3)小丽做了如下探究活动： 【活动1】在学习实数与数轴时，我们学习了将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形（如图②所示），通过等面积的变形我们知道，这个正方形的面积为2． 我们可以得出图②中拼成后的正方形的边长为________． 【活动2】下图中阴影所示的两个图形（每个小方格的边长为1），如果它们都可以重新剪开，重新拼成正方形，请参照示例图形，在两个图形中（图③、图④）分别画出裁剪的痕迹，并在空白的网格中画出拼接后的图形． 拼成的两个正方形边长相等吗？如果相等，边长是多少；如果不相等，请分别写出每个拼成后的正方形的边长． 【答案】(1)裁剪方案和数据如图所示： (2)不能，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴长方形的长为， ∵，超过了原正方形纸片的边长， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． (3)活动1：； 活动2：裁剪痕迹和拼接图，如图所示： 拼成的两个正方形边长相等，边长是 【分析】（1）将正方形纸片对折两次后展开，正方形纸片被平均分成了4个面积相等的长方形，每个小长方形的宽度为5厘米，只需裁掉最右边的小长方形，即可得到一个面积是300平方厘米的长方形纸片； （2）通过计算长方形纸片的长，得出长超过了原正方形纸片的边长，从而得出小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （3）设拼成后的正方形的边长为，利用拼成正方形的面积来建立方程求出结果． 【详解】（1）解：如图所示： ∵正方形纸片的面积为400平方厘米， ∴正方形纸片的边长为20厘米， 将正方形纸片对折两次后展开，正方形纸片被平均分成了4个面积相等的长方形，每个小长方形的宽度为5厘米，只需裁掉最右边的小长方形，即可得到一个面积是300平方厘米的长方形纸片，如图所示： （2）略 （3）解：活动1：设拼成后的正方形的边长为， ∴， ∴（负值舍去）； 活动2：裁剪图略； 由等面积的变形可得：这两个正方形的面积都为5， 设正方形的边长为， ∴， ∴（负值舍去）． 41．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 【详解】（1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去）， 42．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 题型15 与立方根有关的规律探索题（共3小题） 【步骤】列出多组式子对比数字变化，归纳规律，代入数值检验规律是否成立。 【易错】立方根正负与被开方数一致，不要套用平方根规律，忽略负数情况。 43．（26-27八年级上·河南周口·期中）已知，，，则___________． 【答案】 【分析】根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， . 44．（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 45．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 题型16 算术平方根和立方根的综合（共3小题） 46．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 47．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根定义列方程求解即可； （2）将a、b代入中求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， 解得， 的立方根是2， ，即， 解得； （2）解：由（1）知，， ， 的平方根是． 48．（25-26七年级下·云南昭通·期中）已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】 【分析】先从“平方根是它本身”确定为零，再根据立方根和算术平方根的定义分别列出关于和的方程并求解，最后将的值代入目标代数式，求其平方根． 【详解】解：的平方根是它本身， ． 的立方根是3， ，解得． 的算术平方根是5， ，解得． ． 题型17 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 【步骤】找出相邻完全平方数，锁定范围，分离整数、小数部分，代入式子计算。 【易错】负数无理数整数部分要向下取整，勿直接截断小数部分，区分整数小数部分。 49．（26-27八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 【答案】(1) ，， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根、立方根定义列等式求、，估算的取值范围得整数部分； （2）先表示的小数部分，代入式子计算后求其算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∵，即， ∴的整数部分． （2）解：∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 50．（25-26七年级下·河南信阳·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 51．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 题型18 实数的性质与数轴有关计算（共3小题） 52．（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 【详解】解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 53．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由图可知，则，，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其立方根． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点表示，点所表示的实数为， ∴； （2）解：由图可知，， ∴，， ∴； （3）解：与互为相反数， ， 又， ， 解得，， ， 的立方根为． 54．（25-26七年级下·山东滨州·期末）【教材再现】 如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为________，它的边长为________； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________； 【纵向探变】 (3)如图，把个边长为的正方形排成一个长方形，将图的长方形进行剪裁，拼成一个大正方形．直接写出大正方形边长的值，在图中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙）． (4)若点表示实数，借助问题（3）作图，在数轴上，用圆规和无刻度直尺确定点（保留作图痕迹，不写作法）． 【横向应用】 (5)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．他能否直接裁出这样的纸片？如果能，画出示意图，如果不能，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，在图中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形如图 (4)点如图所示： (5)不能裁出这样的长方形纸片，理由如下： ∵长方形纸片的长与宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，则宽为， 由题意可得， 解得， ∴长方形纸片的长为， ∵正方形纸片的面积为， ∴正方形纸片的边长为， ∵， ∴不能裁出这样的长方形纸片． 【分析】（1）根据网格特点并结合题意即可得出结果； （2）结合数轴即可得出结果； （3）由题意可得，长方形的面积为，故拼成的正方形的面积也为，从而得出正方形的边长为，即，再画出图形即可； （4）由（3）可得，以所在位置为圆心，为半径画弧交数轴于点，点即为所求； （5）设长方形纸片的长为，则宽为，由题意可得，求出长方形纸片的长为，再求出正方形纸片的边长为，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：所得到的大正方形面积为，它的边长； （2）解：由题意可得，小正方形的边长为，故对角线长为， 由图形可得，点表示的数为； （3）解：由题意可得，长方形的面积为， 故拼成的正方形的面积也为， ∴正方形的边长为，即； 图略； （4）解：由（3）可得， 以所在位置为圆心，为半径画弧交数轴于点， 图略； （5）略． 题型19 实数大小比较综合（共3小题） 55．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 【答案】(1)①  ②③ (2)证明：，且， ； ； (3)，，或，，； 【分析】（1）①根据，利用结论，求解即可； ②根据，解答即可； ③，求解即可． （2）根据分母最大为10，结合性质，证明即可． （3）根据结论，转化成不等式，求整数解，解答即可； 【详解】（1）①解：，； ②解：， ； ③解：分母最大为19，最小为10， ． （2）略 （3）解：， ， ， ， ， 根据题意，得，，是三个正整数， 或； 当时，则， ， ， 或或， 当时，，不成立，舍去； 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， 解得；满足且都是正整数； 当时，则， 故， ， 或， 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， ， 解得；满足且都是正整数； 故，，或，，； 56．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）①可得，根据a、b都是正实数建立不等式组求解即可；②用含a的式子表示出b，进而用含a的式子表示出s，根据a的取值范围即可求出s的取值范围； （2）①根据，得到，再根据a、b、c都是正实数得到a的取值范围，利用作差法求出的符号即可得到答案；②同理可得，，则，据此可得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵a、b都是正实数， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵、、是正实数， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②，理由如下： 同理可得，， ∴， ∵， ∴． 57．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件.北师大版八年级上学期数学教材第29页“阅读•思考”部分，为我们讲述了这段精彩的历史． 【经典回顾】 假设是有理数，那么可以写成两个整数p,q的比，即互质)．两边平方得，即①__________． 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入得，②_____________． 所以是偶数，也是偶数.因为和都是偶数，所以有公因数2. 这与“和互质“矛盾.这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （1）请在上面划线处填写相应内容：①_______________，②_____________； 【类比推理】 （2）类比上述证明不是有理数的方法，推理说明不是有理数． 【实际应用】 （3）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，能否从中裁出半径为的圆形画纸？请说明理由． 【答案】（1）①； ②； （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （3）她的想法不能，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴她的想法不能． 【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． （3）求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（是正整数），代入①得，． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）略 （3）略 题型20 程序设计与实数运算（共3小题） 58．（25-26七年级下·河北保定·期中）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：略； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 59．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2) 解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）略 （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 60．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 题型21 实数的新定义运算问题（共3小题） 61．（25-26八年级上·河北保定·期中）定义一种新运算“”：对于有理数和，．例：；． (1)计算：__________，________； (2)若，，求和的值． 【答案】(1)2；3 (2)，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，算术平方根以及立方根，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）利用题中的新定义结合算术平方根以及立方根的定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 故答案为：2；3； （2）解：由题意得， 整理得， 得， 将代入②，得， 解得． 62．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 【答案】(1) 证明：因为，，， 所以2，18，8这三个数是“老根数”； 其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； (2)或64 【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． （1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可； （2）分三种情况进行解答即可，即，，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则， 解得， 当时，则，解得，不合题意，舍去； 当时，则， 解得， 综上所述，或64． 63．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为 ； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，求出，进而得到，两式相减，得，求出m的算术平方根为，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“共同体区间”是． 题型22 近似值的辨析（共3小题） 64．（25-26九年级下·浙江温州·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值．因为，所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以．即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】（1）用②的形式求的近似值．（结果保留2位小数） 【比较分析】（2）用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】 （1） （2）因为，，且， 所以， 所以①得出近似值的精确度更高． 【分析】对于（1），根据，其中忽略不计，可得答案； 对于（2），先确定，可得答案． 【详解】解：（1）因为， 所以， 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以， 即， 所以； （2）略 65．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【答案】(1)小强的近似值为10.18，小丽的近似值精确度更高 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及完全平方公式是正确解答的关键． （1）利用题目所提供的方法进行计算即可； （2）估算无理数的大小，设，得到，忽略，求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， 即， ， ． 比较小可以忽略不计， ，解得． 即的近似值为． ∴小丽的精确度较高． （2）由于，可设， ， 即， 由于，， 由于较小，忽略不计， ，解得， ∴． 66．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题： (1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）； (2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）； (3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小即可； （3）估算无理数的大小即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为1， 又，而， ， ； （2），即， 的整数部分为3， 又，， ，即的十分位上数字是6， ； ； （3） 的整数部分是2， 又，， （精确到十分位）； 的整数部分为，小数部分为， ，其中m为正整数，， ， ， ， ． 拔高·压轴破难 题型23 平方根、立方根的规律探索题综合（共3小题） 67．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 68．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 69．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 题型24 实数的新定义问题综合（共3小题） 70．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为______和______； (2)若数对的一个开方对称数对是，则_______； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据“开方对称数对”的定义解答即可； （2）根据“开方对称数对”的定义解答即可； （3）根据“开方对称数对”的定义分两种情况解答即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴数对的开方对称数对为和； （2）解：∵，，数对的一个开方对称数对是， ∴； （3）解：∵数对的一个开方对称数对是， ∴根据“开方对称数对”的定义，需要分两种情况讨论： 当，时，，，此时； 当，时，，，此时； ∴的值为或． 71．（25-26八年级上·山西临汾·期中）综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】(1)4，16，25这三个数是“漂亮数” (2)1，9，16；4，25，64（答案不唯一） (3)81 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【详解】（1）解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； （2）1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； （3）∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 72．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ∵ ∴， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 题型25 实数的实际应用综合（共3小题） 73．（25-26七年级下·河北邢台·期末）[综合与实践]实数与数轴上的点是一一对应的． 素材1：用面积为1的两个小正方形按如图1所示的方式可以拼成一个面积为2的大正方形； 素材2：如图2，以单位长度为边长画正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，若点是原点，与正半轴的交点为，与负半轴的交点为． 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点! 已知网格中的小正方形的边长为1个单位长度，类比上面解决问题的思路，回答下列问题． (1)如图2，若点表示的数为，求点表示的数，并说明点在哪两个连续的整数之间？ (2)如图3，甲、乙两位同学通过剪拼得到了正方形，分别求出他们剪拼出的正方形的边长，并借鉴素材中的方法在如图4所示的数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】(1)表示的数为：，点在0和1两个连续整数之间． (2)，，表示的点如下图所示： 【分析】（1）先利用勾股定理求出半径长度，因为点A表示-1且E在A右侧，所以点E的数为A表示的数加半径长；再通过估算无理数的大小，判断该数所在的连续整数区间。 （2）先数出剪拼前图形的面积，因为剪拼前后面积不变，所以正方形边长为面积的算术平方根，先构造长度为的线段，以数轴上表示的点为圆心、为半径画弧，因为，所以弧与数轴正半轴的交点即为表示的点． 【详解】（1）解：边长为1的正方形，由图1可得对角线长为，即， 已知点表示，点在点右侧，因此点表示的数为：， 估算：，则，因此点在0和1两个连续整数之间． （2）解：因为剪拼前后面积不变，每个小正方形面积为， 甲剪拼的正方形：原图形共5个小正方形，总面积为5，因此边长为， 乙剪拼的正方形：原图形共5个小正方形，总面积为，因此边长为， 由图3可知，构造直角边为1和2的直角三角形，得到斜边长， 以这个点为圆心、为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为点． 74．（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3) 不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 【分析】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【详解】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）略． 75．（25-26七年级下·福建厦门·期中）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)11，12，11，； (2) 【分析】（1）根据题目提供的示例解答即可； （2）设，两边平方得，，依照示例得，可得结论． 【详解】（1）解：步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵， ∴． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． （2）解：∵，且， ∴设， 两边平方得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实数 基础·固本强基 题型1 平方根、算数平方根的概念理解 题型2 求平方根、算术平方根 题型3 利用平方根解方程 题型4 立方根的概念理解 题型5 求一个数的立方根 题型6 平方根、立方根的简单应用（重点） 题型7实数的概念与分类 题型8 实数的大小比较 题型9 实数与数轴（重点） 题型10 近似数的相关概念 提升·进阶突破 题型11 利用算术平方根的非负性解题（重点） 题型12 估计算术平方根的取值范围（重点） 题型13 与算术平方根有关的规律探索题（重点） 题型14 算术平方根的实际应用（重点） 题型15 与立方根有关的规律探索题（重点） 题型16 算术平方根和立方根的综合（重点） 题型17 无理数整数部分的有关计算（重点） 题型18 实数的性质与数轴有关计算（重点） 题型19 实数大小比较综合（重点） 题型20 程序设计与实数运算 题型21 实数的新定义运算问题（难点） 题型22 近似值的辨析 拔高·压轴破难 题型23 平方根、立方根的规律探索题综合（难点） 题型24 实数的新定义问题综合（难点） 题型25 实数的实际应用综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平方根、算数平方根的概念理解（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 3．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列说法错误的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 题型2 求平方根、算术平方根（共3小题） 【步骤】找到平方等于该数的数，算术平方根只取正值，先保证被开方数非负。 4．（26-27八年级上·江苏·期中）计算：________． 5．（26-27八年级上·江苏·期中）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·江苏·期中）说出下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)． 题型3 利用平方根解方程（共3小题） 【步骤】整理成平方等于常数形式，判断常数正负，非负则开平方写出两个根。 【易错】a>0时有两解，不要漏掉负根；负数不能开平方，此时方程无实数解。 7．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期中）解方程 (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型4 立方根的概念理解（共3小题） 10．（26-27八年级上·江苏南京·期中）下列关于平方根、算术平方根和立方根的说法正确的是（     ） A．任何实数都有且只有1个立方根 B．任意一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 11．（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 12．（25-26七年级下·江苏·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 题型5 求一个数的立方根（共3小题） 13．（26-27八年级上·江苏·期中）计算：______． 14．（26-27八年级上·江苏·期中）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 15．（26-27八年级·上海·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6 平方根、立方根的简单应用（共3小题） 16．（25-26七年级下·广东东莞·期中）为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 17．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 18．（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 题型7 实数的概念与分类（共3小题） 19．（25-26七年级下·江苏南通·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在下列各数，0，0.2，，6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，3.14中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 题型8 实数的大小比较（共3小题） 【步骤】先判断正负，估算无理数近似值，或平方转化，再比较数的大小。 【易错】负数比较，绝对值大的数反而小；平方比较仅限两个非负数使用。 22．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 23．（26-27八年级上·江苏·期中）完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 24．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 题型9 实数与数轴（共3小题） 【步骤】看数轴确定字母正负，判断绝对值内式子符号，去掉绝对值再化简计算。 【易错】区分点到原点距离与数值本身，去绝对值符号时注意变号问题。 25．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·天津和平·期末）如图，一个面积为17的正方形，点落在数轴上对应实数2，将正方形绕点顺时针旋转，点落在轴上的点处，点对应的实数在哪两个整数之间（     ） A．4至5 B．5至6 C．6至7 D．7至8 27．（25-26七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 题型10 近似数的相关概念（共3小题） 【步骤】找准精确数位，观察后一位数字，四舍五入，大数先还原再判断精确度。 【易错】科学记数法近似数，判断精确度要还原原数，不要只看指数部分。 28．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 29．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）2025年8月17日，苏超第九轮扬州主场对战淮安，共有26798名球迷到达现场加油助威，请将数据26798用四舍五入法精确到千位，并用科学记数法表示为________． 30．（25-26七年级上·河南商丘·期末）用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到0.01） D．（精确到百位） 提升·进阶突破 题型11 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 【步骤】根据非负性列出方程，分别令每个非负式子等于 0，联立求解未知数。 【易错】只有相加等于 0 时才全为 0，不要看到非负式就直接令式子等于 0。 31．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 32．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 33．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 题型12 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 【步骤】找出相邻平方数，确定范围，逐步缩小区间，估算无理数近似大小。 【易错】看清是算术平方根，不要带上负根；比较时注意平方后大小关系。 34．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 35．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 36．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 题型13 与算术平方根有关的规律探索题（共3小题） 【步骤】列举几组算式，对比前后数字变化，总结规律，代入求值检验。 【易错】归纳规律不能仅凭前两项，注意符号与被开方数取值，不要以偏概全。 37．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 38．（25-26七年级下·山东滨州·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 39．（26-27八年级上·四川成都·期中）在草稿纸上计算：①；②；③，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值_________；_________． 题型14 算术平方根的实际应用（共3小题） 40．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图①是一张面积为400平方厘米的正方形纸片，小丽想沿着边的方向裁出一块面积为300平方厘米的长方形纸片． (1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案，并在图①的正方形中画出剪裁方案并标出相应数据． (2)若使长方形（长方形的边和原正方形的边平行或重合）的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． (3)小丽做了如下探究活动： 【活动1】在学习实数与数轴时，我们学习了将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形（如图②所示），通过等面积的变形我们知道，这个正方形的面积为2． 我们可以得出图②中拼成后的正方形的边长为________． 【活动2】下图中阴影所示的两个图形（每个小方格的边长为1），如果它们都可以重新剪开，重新拼成正方形，请参照示例图形，在两个图形中（图③、图④）分别画出裁剪的痕迹，并在空白的网格中画出拼接后的图形． 拼成的两个正方形边长相等吗？如果相等，边长是多少；如果不相等，请分别写出每个拼成后的正方形的边长． 41．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 42．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 题型15 与立方根有关的规律探索题（共3小题） 【步骤】列出多组式子对比数字变化，归纳规律，代入数值检验规律是否成立。 【易错】立方根正负与被开方数一致，不要套用平方根规律，忽略负数情况。 43．（26-27八年级上·河南周口·期中）已知，，，则___________． 44．（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 45．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 题型16 算术平方根和立方根的综合（共3小题） 46．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 47．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 48．（25-26七年级下·云南昭通·期中）已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 题型17 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 【步骤】找出相邻完全平方数，锁定范围，分离整数、小数部分，代入式子计算。 【易错】负数无理数整数部分要向下取整，勿直接截断小数部分，区分整数小数部分。 49．（26-27八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 50．（25-26七年级下·河南信阳·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 51．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 题型18 实数的性质与数轴有关计算（共3小题） 52．（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 53．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 54．（25-26七年级下·山东滨州·期末）【教材再现】 如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为________，它的边长为________； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________； 【纵向探变】 (3)如图，把个边长为的正方形排成一个长方形，将图的长方形进行剪裁，拼成一个大正方形．直接写出大正方形边长的值，在图中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙）． (4)若点表示实数，借助问题（3）作图，在数轴上，用圆规和无刻度直尺确定点（保留作图痕迹，不写作法）． 【横向应用】 (5)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．他能否直接裁出这样的纸片？如果能，画出示意图，如果不能，说明理由． 题型19 实数大小比较综合（共3小题） 55．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 56．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 57．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件.北师大版八年级上学期数学教材第29页“阅读•思考”部分，为我们讲述了这段精彩的历史． 【经典回顾】 假设是有理数，那么可以写成两个整数p,q的比，即互质)．两边平方得，即①__________． 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入得，②_____________． 所以是偶数，也是偶数.因为和都是偶数，所以有公因数2. 这与“和互质“矛盾.这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （1）请在上面划线处填写相应内容：①_______________，②_____________； 【类比推理】 （2）类比上述证明不是有理数的方法，推理说明不是有理数． 【实际应用】 （3）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，能否从中裁出半径为的圆形画纸？请说明理由． 题型20 程序设计与实数运算（共3小题） 58．（25-26七年级下·河北保定·期中）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 59．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 60．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 题型21 实数的新定义运算问题（共3小题） 61．（25-26八年级上·河北保定·期中）定义一种新运算“”：对于有理数和，．例：；． (1)计算：__________，________； (2)若，，求和的值． 62．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 63．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为 ； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“共同体区间”． 题型22 近似值的辨析（共3小题） 64．（25-26九年级下·浙江温州·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值．因为，所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以．即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】（1）用②的形式求的近似值．（结果保留2位小数） 【比较分析】（2）用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 65．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 66．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题： (1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）； (2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）； (3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值． 拔高·压轴破难 题型23 平方根、立方根的规律探索题综合（共3小题） 67．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 68．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 69．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 题型24 实数的新定义问题综合（共3小题） 70．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为______和______； (2)若数对的一个开方对称数对是，则_______； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 71．（25-26八年级上·山西临汾·期中）综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 72．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 题型25 实数的实际应用综合（共3小题） 73．（25-26七年级下·河北邢台·期末）[综合与实践]实数与数轴上的点是一一对应的． 素材1：用面积为1的两个小正方形按如图1所示的方式可以拼成一个面积为2的大正方形； 素材2：如图2，以单位长度为边长画正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，若点是原点，与正半轴的交点为，与负半轴的交点为． 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点! 已知网格中的小正方形的边长为1个单位长度，类比上面解决问题的思路，回答下列问题． (1)如图2，若点表示的数为，求点表示的数，并说明点在哪两个连续的整数之间？ (2)如图3，甲、乙两位同学通过剪拼得到了正方形，分别求出他们剪拼出的正方形的边长，并借鉴素材中的方法在如图4所示的数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不必写作法） 74．（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 75．（25-26七年级下·福建厦门·期中）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $