精品解析：江苏省南通市海门区海南中学2025-2026学年第一学期期中考试八年级数学试卷

江苏省南通市海门区海南中学2025-2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图案中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A B. C. D. 4. 如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A B. C. D. 5. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如果与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 如图，点在的边上．小林同学进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②点是边上一点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点（不与点重合），连接．下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. 是等边三角形 D. 8. 如图，中，，，D，E，F分别在上，且，．若，，则AC的长度为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 9. 图，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点C为线段上一点，且，以为边在的同侧作等边和等边，连接交于点F，连接，若，设，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本小题共6小题，11-12每小题3分，13-16每小题4分，满分22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算__________． 12. 因式分解：=_____． 13. 如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为8，那么的周长为________． 14. 如图，在中，，点D在AC上，且，则的度数为______度． 15. 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．如：因为，所以，若，，，则_____． 16. 如图，在四边形中，平分，于点D，，，延长、交于点，则的值为__________，面积的最大值为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知，求的值． 20. 如图，已知的顶点都在图中方格的格点上． （1）画出关于轴对称的，并直接写出、、三点的坐标． （2）在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． 21. 如图，在四边形中，是对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图1，将边长为的两个正方形和两个边长分别为的长方形拼凑成如图2所示的大正方形．记四边形的面积分别为． （1）若，则；若，则； （2）如图3，连接交于点．若四边形的面积与三角形面积之差是的2倍，求的值． 23. 如图，，E是的中点，连接． （1）若平分，求证：是的平分线； （2）在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________； （3）若，求证：是的平分线． 24. 在整数中，很多整数都能表示成（是整数）的形式．例如可以表示成的形式． （1）请将写成（是整数）的形式； （2）已知（其中是整数，是一个确定的数），若能表示成（是整数）的形式，请找出一个符合条件的的值，并说明理由． （3）已知整数满足，求的最小值． 25. 如图1，等腰直角三角形中，,点在边上，连接，连接 （1）求证： （2）点关于直线的对称点为，连接 ①补全图形并证明 ②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当三点恰好共线时点的位置，请直接写出此时的度数，并画出相应的图形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区海南中学2025-2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】A、B、D选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； C选项，沿着如图所示的虚线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形． 故选：C 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除、幂的乘方． 根据合并同类项，同底数幂的乘除、幂的乘方逐一计算后判断即可． 【详解】选项A：a和不是同类项，不能合并，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：B． 4. 如图，为了测量出池塘、两点之间距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“” 证明，即可获得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，，此时最小， ， 在中，， 则的长不可能是， 故选：A． 6. 如果与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据多项式乘多项式的法则，可表示为，计算即可． 【详解】根据题意得：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴ ∴． 故选B． 7. 如图，点在的边上．小林同学进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②点是边上一点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点（不与点重合），连接．下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. 是等边三角形 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；根据作图可得，根据等边对等角可得，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】根据作图可得 ∴ ∴ ∴ ∴ 不能判断是等边三角形 故选：C． 8. 如图，中，，，D，E，F分别在上，且，．若，，则AC长度为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，过点F作，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，由此求出AC的长度． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：C． 9. 图，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是理解阴影部分的面积大正方形的面积四个小长方形的面积． 阴影部分的面积大正方形的面积四个小长方形的面积，四个小长方形的面积图中的长、宽的长方形的面积，图中的大正方形的面积，化简后求得阴影的面积． 【详解】解：方法一： 图中四个长方形的面积的和图的长方形的面积， 图的大正方形的面积， 图中阴影部分的面积＝图的大正方形的面积﹣图中四个长方形的面积的和， 即， ， ， ； 方法二： 图中阴影部分是正方形，且四个边长都是， 阴影部分的面积． 故选：． 10. 如图，点C为线段上一点，且，以为边在的同侧作等边和等边，连接交于点F，连接，若，设，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形面积等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 作，垂足为，，垂足为，在上取一点，使，先证明，，再根据三角形面积之比推出，列出关系式即可解决问题． 【详解】解：如图，作，垂足为，，垂足为，在上取一点，使， △，△是等边三角形， ，，， ， ， ，，， ， ， ，垂足为，，垂足为， ， ，， ∴， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ，同理可得：， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题（本小题共6小题，11-12每小题3分，13-16每小题4分，满分22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断底数是否为非零数，再依据零指数幂的运算法则计算． 【详解】解：根据零指数幂的运算法则：任何不等于的数的次幂都等于， ∵， ∴， ∴． 12. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 13. 如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为8，那么的周长为________． 【答案】14 【解析】 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，利用的周长为8得到，由此求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的周长， 故答案为：14． 14. 如图，在中，，点D在AC上，且，则的度数为______度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设，根据等边对等角的性质求出，再利用三角形的内角和定理列方程求得x，进而求得的度数． 详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据三角形的外角性质，， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：72． 15. 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．如：因为，所以，若，，，则_____． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据新定义的运算，结合幂的乘方的法则可表示出m与n，再代入所求式子运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：1000． 16. 如图，在四边形中，平分，于点D，，，延长、交于点，则的值为__________，面积的最大值为__________． 【答案】 ①. 4 ②. 10 【解析】 【分析】过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定，推出，，得到，根据，即可求出；当的面积最大时，的面积最大，根据可求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 【详解】解：延长、交于E，过C作于H， ∵平分， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵， ∴； ∵的面积，， ∴面积的最大值， ∴面积的最大值为． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算； （3）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算； （4）根据完全平方公式进行计算． 小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先算整式除法及平方差公式，再代入计算． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，掌握的变形是解题关键. 【详解】解：∵ ∴. 20. 如图，已知的顶点都在图中方格的格点上． （1）画出关于轴对称的，并直接写出、、三点的坐标． （2）在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、两点之间线段最短、轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的画法和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点、、，再顺次连接即可得，然后据此写出、、三点的坐标即可得； （2）先作点关于轴的对称点，再连接，交轴于点，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 则． 【小问2详解】 解：如图，点即为所求． ． 21. 如图，在四边形中，是对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质， （1）根据已知有，即可利用判定结论； （2）根据全等的性质得，即可求得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中 ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，，则， ∵， ∴． 22. 如图1，将边长为的两个正方形和两个边长分别为的长方形拼凑成如图2所示的大正方形．记四边形的面积分别为． （1）若，则；若，则； （2）如图3，连接交于点．若四边形的面积与三角形面积之差是的2倍，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何证明，通过完全平方公公式进行计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式． （1）根据正方形与长方形的面积公式可得，进而得出；根据完全平方公式变形可得，进而即可求解． （2）根据题意可得即化简，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴， 若， ∴ ∴ 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵四边形的面积， 三角形面积 依题意， 即 ∴， ∴ ∴ 23. 如图，，E是的中点，连接． （1）若平分，求证：是的平分线； （2）在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________； （3）若，求证：是的平分线． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）如图：过E作，由角平分线的性质定理可得，再结合已知条件可得，进而得到，最后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明可得，同理可得，最后根据线段的和差即可解答； （3）如图：延长交于点N，再证明可得，进而得到是线段的垂直平分线，即；最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【小问1详解】 证明：如图：过E作， ∵平分，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 同理可得：， ∴． 故答案为：5． 【小问3详解】 证明：如图：延长交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是的平分线（三线合一）． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 24. 在整数中，很多整数都能表示成（是整数）的形式．例如可以表示成的形式． （1）请将写成（是整数）的形式； （2）已知（其中是整数，是一个确定的数），若能表示成（是整数）的形式，请找出一个符合条件的的值，并说明理由． （3）已知整数满足，求的最小值． 【答案】（1） （2），此时满足的形式；理由见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （）找到两个平方数之和等于的组合，即可得到的形式； （）先对的表达式进行配方，将其整理为两个完全平方式加常数项的形式，再让常数项为，即可确定的值，使符合的形式； （）先从已知等式中用含的代数式表示，再代入得到关于的表达式，再通过配方得到，再由完全平方的非负性求解最值． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：，此时满足的形式， 理由如下： ∵若能表示成（是整数）的形式，需要消去常数项， ∴，即， 此时满足的形式； 【小问3详解】 解：， 整理得： 则 将其配方： ∵， ∴当，即时， ∴取得最小值：． 25. 如图1，在等腰直角三角形中，,点在边上，连接，连接 （1）求证： （2）点关于直线的对称点为，连接 ①补全图形并证明 ②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当三点恰好共线时点的位置，请直接写出此时的度数，并画出相应的图形 【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析；②画图见解析，. 【解析】 【分析】（1）先根据同角的余角相等推出∠BAD=∠CAE，再根据SAS证得△BAD≌△CAE，进而可得结论； （2）①根据题意作图即可补全图形；利用轴对称的性质可得ME=AE，CM=CA，然后根据SSS可推出△CME≌△CAE，再利用全等三角形的性质和（1）题的∠BAD=∠CAE即可证得结论； ②当三点恰好共线时，设AC、DM交于点H，如图3，由前面两题的结论和等腰直角三角形的性质可求得∠DCM=135°，然后在△AEH和△DCH中利用三角形的内角和可得∠HAE=∠HDC，进而可得，接着在△CDM中利用三角形的内角和定理求出∠CMD的度数，再利用①的结论即得答案. 【详解】解：（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE=90°，∴∠CAE+∠DAC=90°， ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵BA=CA，DA=EA， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴； （2）①补全图形如图2所示，∵点关于直线的对称点为，∴ME=AE，CM=CA， ∵CE=CE，∴△CME≌△CAE（SSS）， ∴， ∵∠BAD=∠CAE， ∴； ②当三点恰好共线时，设AC、DM交于点H，如图3，由（1）题知：， ∵△CME≌△CAE，∴，∴∠DCM=135°， 在△AEH和△DCH中，∵∠AEH=∠ACD=45°，∠AHE=∠DHC，∴∠HAE=∠HDC， ∵，∴， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查了依题意作图、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，综合性较强，熟练掌握上述知识是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $