专题01 三角形34大题型102题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题01 三角形 基础·固本强基 题型1 三角形的基本概念 题型2 三角形的三边关系 题型3 三角形的中线 题型4 画三角形的高 题型5 全等三角形的相关概念 题型6全等三角形的性质（重点） 题型7 全等三角形的基本判定（重点） 题型8 尺规作图（重点） 题型9 垂直平分线的性质与判定（重点） 题型10 角平分线的性质与判定（重点） 题型11 等腰三角形的相关概念 题型12 等腰三角形的性质（重点） 题型13 等边三角形的性质（重点） 提升·进阶突破 题型14 确定第三边的取值范围 题型15 根据三角形的中线求解（重点） 题型16 与三角形的高有关的计算问题（重点） 题型17 全等三角形的性质问题（重点） 题型18 全等三角形的动点问题 题型19 全等三角形的判定与性质综合 题型20 倍长中线模型（难点） 题型21 手拉手模型（难点） 题型22 一线三等角模型（难点） 题型23 垂直平分线的判定与性质综合（重点） 题型24 角平分线的判定与性质综合（重点） 题型25 等腰三角形的判定与性质（难点） 题型26 含30度角的直角三角形（重点） 题型27 斜边的中线定理（重点） 题型28 直角三角形的性质（重点） 拔高·压轴破难 题型29 与三角形有关的线段压轴（难点） 题型30 全等三角形的动点压轴（难点） 题型31 全等三角形的综合问题（难点） 题型32 全等三角形的模型综合（难点） 题型33 等腰三角形的存在性问题（难点） 题型34 等腰三角形的最值问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 三角形的基本概念（共3小题） 【易错】忽略三边关系，外角定理用错，混淆内外角，模型直接套用缺证明。 1．（24-25七年级下·江苏·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 3．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 题型2 三角形的三边关系（共3小题） 【模型】已知两边求第三边取值范围；等腰三角形分类讨论边长，结合三边关系取舍。 【步骤】列出不等式组求范围；等腰先分情况，再检验三边能否构成三角形。 【易错】只验证一组两边和；等腰不检验直接取值；忽略边长正数限制。 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可） 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 题型3 三角形的中线（共6小题） 【模型】三角形中线是顶点到对边中点线段，平分对边，分三角形为面积相等两部分。 7．（26-27八年级上·北京·期中）如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 8．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 9．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为______． 题型4 画三角形的高（共3小题） 10．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）下列四个图形中，线段是的高的是（     ）． A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，画出的平分线、边上的中线及边上的高． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题： (1)画出； (2)画出的高； (3)连接、，则与的关系是______． 题型5 全等三角形的相关概念（共3小题） 13．（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）下列几种说法：全等三角形的对应边相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是______． 14．（25-26八年级上·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列几种说法：全等三角形的对应边和对应角相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型6 全等三角形的性质（共3小题） 【模型】平移、翻折、旋转模型；利用全等转移线段、角，解决线段相等、角度推导问题。 【步骤】先确定全等三角形，找准对应顶点，再套用性质，推导边、角、线段等量关系。 【易错】找错对应边与对应角；把非对应线段当成相等；混淆全等性质与判定定理。 16．（26-27八年级上·江苏徐州·期中）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则__________ 17．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，，点、、、在同一条直线上，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在与中，．若，，则的长为___________． 题型7 全等三角形的基本判定（共3小题） 【模型】平移、翻折、旋转；手拉手、一线三等角，构造边角条件证三角形全等。 【步骤】标记已知等边角，寻找隐含条件，匹配判定定理，规范书写证明过程。 【易错】误用 SSA 判定；顶点不对应；HL 仅直角三角形可用，普通三角形不能用。 19．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，平分，延长至点，使得，连接，．求证：． 20．（2025九年级·广东·专题练习）已知，如图，，,，求证：．    21．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，已知平分，点D、E分别在上，，求证：． 题型8 尺规作图（共3小题） 22．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，．用直尺和圆规作，使得．（要求：①用两种不同的方法作图；②不写作法，保留作图痕迹）    23．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹． 已知：与射线． 求作：，使得． 24．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 题型9 垂直平分线的性质与判定（共3小题） 【模型】垂直平分线遇等腰三角形；两点确定垂直平分线，用于转化线段长度。 【步骤】找到垂直平分线上的点，直接写出两段距离相等；判定需证两组线段相等。 【易错】混淆性质与判定；误把垂直就当成平分；忽略点在线段上的前提。 25．（26-27八年级上·江苏·期中）某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（     ） A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处 26．（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 27．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型10 角平分线的性质与判定（共3小题） 【模型】角平分线作双垂线；角平分线 + 平行线出等腰；截长补短构造全等。 【步骤】见角平分线作两边垂线；判定先找垂直，再证距离相等，得出平分。 【易错】忘记 “垂直” 条件；忽略点在角内部；混淆角平分线性质与判定。 28．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，是的角平分线，，，则点D到的距离是______． 29．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 30．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 题型11 等腰三角形的相关概念（共3小题） 31．（2026·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的周长为10，腰长为3，则它的底边长为__________． 32．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 33．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知：等腰三角形的周长为24． (1)若已知一边长为6，求其他两边长； (2)若设腰长为，求腰长的取值范围． 题型12 等腰三角形的性质（共3小题） 【模型】等腰分类讨论边长角度；等腰 + 平行线构新等腰；三线合一转化边角。 【步骤】识别等腰，利用等边对等角求角度；借助三线合一找垂直、线段相等。 【易错】分类漏情况；三线合一只针对底边；外角计算易出错，忽略三角形内角和。 34．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若的周长为7，且，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 35．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，动点P在边上，从点A向点B运动，且速度为，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值为_____． 36．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求 题型13 等边三角形的性质（共3小题） 【模型】多个等边手拉手全等；直角三角形含 30°，短直角边为斜边一半。 【步骤】判定等边后直接用 60° 角、等边条件，结合全等推导边角数量关系。 【易错】默认所有三角形有 60°；混淆等边与等腰性质；忽略内角 60° 的前提条件。 37．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 38．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为_______． 39．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 提升·进阶突破 题型14 确定第三边的取值范围（共3小题） 【模型】已知两边长，求第三边范围；等腰三角形边长需分类讨论，再检验三边关系。 【步骤】两边之差＜第三边＜两边之和；等腰分情况，代入不等式验证能否构成三角形。 【易错】不等号方向写错；忽略边长大于 0；等腰不检验直接取值，出现无效解。 40．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）在中，三边长分别为a，b，c，且都是整数，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 41．（25-26七年级下·河南南阳·期中）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是______． 题型15 根据三角形的中线求解（共3小题） 43．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 44．（24-25八年级上·江苏·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 45．（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，点，分别在，边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型16 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 【模型】等面积法求高；钝角三角形高在外部；高 + 直角，构造直角三角形解题。 【步骤】找准对应底边与高；利用面积相等列等式；钝角三角形注意外部高的长度。 【易错】找错底边对应的高；钝角三角形漏外部高；计算面积忘记乘二分之一。 46．（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 47．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 48．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，与中，与相交于． (1)△的边上的高是 (2)若，，，求的面积及的长． 题型17 全等三角形的性质问题（共3小题） 49．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，已知线段米，于点，米，线段上有一点，射线于点，点从向运动，每秒走米，点从向运动，每秒走米，、同时从出发，当出发秒后，使以点、、为顶点的与全等，则的值为(   ) A．6或10 B．10 C．5或10 D．5 50．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）已知的三边长分别为3，6，8，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，则x为（   ） A．2 B．2或 C．1或 D．2或1或 51．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图所示，已知于 D． (1)已知，求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 题型18 全等三角形的动点问题（共3小题） 52．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 53．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为． (1)如图1，当时，___________，当时，___________（用含的式子表示）； (2)如图1，当___________s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和可以完全重合，直接写出点的运动速度． 54．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 题型19 全等三角形的判定与性质综合（共3小题） 55．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 56．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 57．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 题型20 倍长中线模型（共3小题） 【模型】倍长中线、倍长类中线；构造 SAS 全等，将分散线段集中到同一个三角形。 【步骤】延长中线使延长段等于中线，标记等线段，证全等，转化边角再求解。 【易错】延长后未证全等；混淆倍长中线适用条件；找错对应边角关系。 58．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）阅读：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当______时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为______°； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 59．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 60．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 题型21 手拉手模型（共3小题） 【模型】等边、等腰直角、普通等腰手拉手；拉手线相等，夹角等于顶角。 【步骤】先找公共顶点，列出两组等边，推导等角，用 SAS 证明三角形全等。 【易错】找错拉手对应边；忽略顶角相等条件；误把旋转角直接当成所求角。 61．（25-26八年级上·广东惠州·期中）综合探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接并延长交于点P；    (1)求证：； (2)求证：． (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，是否还与全等？那么与的位置关系是否发生变化？说明理由． 62．（25-26七年级下·山西晋中·期末）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接． (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长． 63．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）（1）如图1，ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在CA上，点E在CB上，且CD=CE，则易证得AD与BE的数量关系是 ． （2）如图2，若把DCE绕点C顺时针旋转一定角度，连接AD、BE，判断AD与BE是否相等？若相等请证明；若不相等，说明理由． （3）如图3，若把ACB和CDE都改为一般的等腰三角形，且∠ACB=∠DCE，则AD=BE还成立吗？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由． 题型22 一线三等角模型（共3小题） 【模型】锐角、直角、钝角一线三等角；常出现在长方形、等腰直角三角形，用来转化边角。 【步骤】先找到共线三等角，利用外角推导等角，匹配条件证明全等 【易错】误判角的位置；不会利用外角证等角；分不清全等的适用场景。 64．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 65．（26-27八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 66．（26-27八年级上·浙江宁波·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 题型23 垂直平分线的判定与性质综合（共3小题） 67．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 68．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 69．（25-26八年级下·江西九江·期中）解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 题型24 角平分线的判定与性质综合（共3小题） 70．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，是边上一点，连接，若是的平分线，且． (1)若，求的面积； (2)试说明：． 71．（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知是的平分线，点是射线上一点，点，分别在射线，上，连接，． 【发现问题】 (1)如图①，当，时，则与的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 (2)如图②，点，在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由． 72．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 题型25 等腰三角形的判定与性质（共3小题） 73．（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 74．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 75．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知：在中，，，于D． (1)求的度数； (2)求证：． 题型26 含30度角的直角三角形（共3小题） 【模型】30° 直角三角形求边长；作垂线构造 30° 角，用于线段倍半转化。 【步骤】识别直角与 30° 角，确定对边，利用倍半关系列式计算边长。 【易错】记错对应边；无直角直接套用；忽略斜边才是最长边的条件。 76．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 77．（25-26八年级上·江苏南通·期中）在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)若是的角平分线，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点为直线上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为__________． 78．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，，若是边上的中点，则_____；若是边上的动点，则的最小值是_____． 题型27 斜边的中线定理（共3小题） 【模型】直角三角形取斜边中点连线；遇中点构造斜边中线，得到等腰三角形。 【步骤】先确定直角三角形，找到斜边中点，直接得到中线长为斜边的二分之一。 【易错】定理只适用于直角三角形；错把普通三角形中线套用；分不清斜边。 79．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为_______． 80．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）已知：如图，，是的中点． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 81．（24-25七年级下·山西长治·期末）阅读与思考． 请认真阅读并完成相应的问题： “友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． (1)如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，．则____________； (2)如图在（1）基础上，作中边上的高，请判断和是不是“友爱三角形”，并说明理由． 题型28 直角三角形的性质（共3小题） 【步骤】识别直角，利用两角互余求角； 【易错】普通三角形乱用斜边中线定理；分不清 30° 角对边； 82．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 83．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 84．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 拔高·压轴破难 题型29 与三角形有关的线段压轴（共3小题） 85．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 86．（25-26七年级下·江苏南通·期中）综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数a，b，c，d，其中，”为条件进行了延伸探究． (1)小明发现，并给出了如下说理过程． ∵， ∴， ∴， ∴． 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 (2)小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点B落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点D落在线段上； ③由图1可知，，，点D在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点A，B；作射线，…．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 (3)请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 (4)如图3，四边形中，，垂足为O，判断与的大小关系并说明理由． 87．（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 题型30 全等三角形的动点压轴（共3小题） 88．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，则点的运动速度为（   ），使得、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等． A． B． C．或 D．或 89．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，直线l经过点C．若，，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．当____时，与全等． 90．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）将两个全等的和按图①方式摆放（点E恰好落在边上），所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图①，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由；将图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置，线段，，之间的数量关系是否仍然成立？（图②结论无需证明，只要判断即可） (2)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图④中的位置，连接交于点M，求证：M是的中点． 题型31 全等三角形的综合问题（共3小题） 91．（2026·广东揭阳·二模）如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 92．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 93．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 题型32 全等三角形的模型综合（共3小题） 94．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）【观察】（1）如图1，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】（2）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为_____． （3）如图3，点，在上，为的中点，平分，．求证：． 【拓展】（4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 95．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 96．（2026八年级上·江苏徐州·竞赛）如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 题型33 等腰三角形的存在性问题（共3小题） 97．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知与等腰如图摆放，、、、四点在同一直线上，点与点重合．，，，．如图，点从点出发沿着边向点匀速运动，速度为；从点出发沿着向点匀速运动，速度为，当点到达点时，整个运动停止．在运动过程中，与的交点是．设运动时间为，解答下列问题： (1)用含的代数式表示______ (2)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (3)当为何值时，为直角三角形？ (4)当为何值时，？ 98．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 99．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型34 等腰三角形的最值问题（共3小题） 100．（26-27八年级上·江苏·期中）如图，在中，，点D是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为__________________ ． 101．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为3的等边三角形中，点E、B分别在边上，以为边作等边三角形，且，点M在边上，，则的最小值为______． 102．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）是等边三角形，是边（端点除外）上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长； (2)如图2，是延长线上的点，，为的中点，连接，．求证：． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 基础·固本强基 题型1 三角形的基本概念 题型2 三角形的三边关系 题型3 三角形的中线 题型4 画三角形的高 题型5 全等三角形的相关概念 题型6全等三角形的性质（重点） 题型7 全等三角形的基本判定（重点） 题型8 尺规作图（重点） 题型9 垂直平分线的性质与判定（重点） 题型10 角平分线的性质与判定（重点） 题型11 等腰三角形的相关概念 题型12 等腰三角形的性质（重点） 题型13 等边三角形的性质（重点） 提升·进阶突破 题型14 确定第三边的取值范围 题型15 根据三角形的中线求解（重点） 题型16 与三角形的高有关的计算问题（重点） 题型17 全等三角形的性质问题（重点） 题型18 全等三角形的动点问题 题型19 全等三角形的判定与性质综合 题型20 倍长中线模型（难点） 题型21 手拉手模型（难点） 题型22 一线三等角模型（难点） 题型23 垂直平分线的判定与性质综合（重点） 题型24 角平分线的判定与性质综合（重点） 题型25 等腰三角形的判定与性质（难点） 题型26 含30度角的直角三角形（重点） 题型27 斜边的中线定理（重点） 题型28 直角三角形的性质（重点） 拔高·压轴破难 题型29 与三角形有关的线段压轴（难点） 题型30 全等三角形的动点压轴（难点） 题型31 全等三角形的综合问题（难点） 题型32 全等三角形的模型综合（难点） 题型33 等腰三角形的存在性问题（难点） 题型34 等腰三角形的最值问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 三角形的基本概念（共3小题） 【易错】忽略三边关系，外角定理用错，混淆内外角，模型直接套用缺证明。 1．（24-25七年级下·江苏·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 3．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 题型2 三角形的三边关系（共3小题） 【模型】已知两边求第三边取值范围；等腰三角形分类讨论边长，结合三边关系取舍。 【步骤】列出不等式组求范围；等腰先分情况，再检验三边能否构成三角形。 【易错】只验证一组两边和；等腰不检验直接取值；忽略边长正数限制。 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 5．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可） 【答案】（或，写出任意一个即可） 【分析】先利用三角形三边关系确定的取值范围，再根据为偶数的条件确定符合要求的的值． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为2，3，， ∴ ∴， ∵为偶数， ∴的值为或． 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 题型3 三角形的中线（共6小题） 【模型】三角形中线是顶点到对边中点线段，平分对边，分三角形为面积相等两部分。 7．（26-27八年级上·北京·期中）如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 【答案】21 【分析】先由三角形的中线得到，再得到和周长的差，进而由已知求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为，比长， ∴周长为：． 8．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 9．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，逐步推导各三角形的面积关系即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴． 题型4 画三角形的高（共3小题） 10．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）下列四个图形中，线段是的高的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵线段是的高， ∴就是过点，向对边（或的延长线）作垂线，垂足在直线上， ∴选项：和不垂直，不是高； 选项：，垂足为，是从顶点向对边所作的垂线段，符合高的定义． 11．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，画出的平分线、边上的中线及边上的高． 【答案】如图，即为所求的平分线，即为所求边上的中线，即为所求边上的高． 【分析】根据角平分线的定义、中线的定义、三角形的高的定义作图即可． 【详解】略． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题： (1)画出； (2)画出的高； (3)连接、，则与的关系是______． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2)如图，线段即为所求； (3)平行且相等 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，根据平移性质，与的关系是平行且相等． 题型5 全等三角形的相关概念（共3小题） 13．（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）下列几种说法：全等三角形的对应边相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的概念和性质，逐个判断各说法的正误． 【详解】解：全等三角形能够完全重合，对应边相等，说法正确； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法错误，例如底为高为的三角形和底为高为的三角形面积相等，但不全等； 周长相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法错误，例如边长为的三角形和边长为的三角形周长均为，但不全等； 全等三角形能够完全重合，因此全等的两个三角形面积相等，说法正确； 综上，正确的是． 14．（25-26八年级上·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键． 利用“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”解题即可． 【详解】解：A．形状相同的两个三角形不一定全等，例如两个不一样大小的两个等边三角形不全等，故本选项错误； B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C．完全重合的两个三角形全等，正确； D．两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； 故选：C． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列几种说法：全等三角形的对应边和对应角相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的定义，全等是指形状相同，大小相同，两个方面必须同时满足． 本题主要考查全等三角形的定义，根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，全等三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，①正确； ②、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故②错误； ③、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形，故③错误； ④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故④正确； 故正确的是①④． 故选：D． 题型6 全等三角形的性质（共3小题） 【模型】平移、翻折、旋转模型；利用全等转移线段、角，解决线段相等、角度推导问题。 【步骤】先确定全等三角形，找准对应顶点，再套用性质，推导边、角、线段等量关系。 【易错】找错对应边与对应角；把非对应线段当成相等；混淆全等性质与判定定理。 16．（26-27八年级上·江苏徐州·期中）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则__________ 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边相等确定和的取值，结合三角形三边关系即可计算结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，对应边相等， ∴两个三角形的三边长对应相等． 已知第一个三角形三边为、、，第二个三角形三边为、、， 则，，且，即满足三角形三边关系， ∴． 17．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，，点、、、在同一条直线上，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据得，继而由可得答案．解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等． 【详解】解：∵，点、、、在同一条直线上，，， ∴， ∴， 即的长是． 故选：B． 18．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在与中，．若，，则的长为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型7 全等三角形的基本判定（共3小题） 【模型】平移、翻折、旋转；手拉手、一线三等角，构造边角条件证三角形全等。 【步骤】标记已知等边角，寻找隐含条件，匹配判定定理，规范书写证明过程。 【易错】误用 SSA 判定；顶点不对应；HL 仅直角三角形可用，普通三角形不能用。 19．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，平分，延长至点，使得，连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∴． 20．（2025九年级·广东·专题练习）已知，如图，，,，求证：．    【答案】 证明：∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据，可得，然后结合，利用可证明． 【详解】略 21．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，已知平分，点D、E分别在上，，求证：． 【答案】 证明：∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，根据角平分线的定义得到，由平角的定义和已知条件可证明，再利用证明，由全等三角形的性质即可得到． 【详解】略 题型8 尺规作图（共3小题） 22．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，．用直尺和圆规作，使得．（要求：①用两种不同的方法作图；②不写作法，保留作图痕迹）    【答案】 如图所示，就是所求作的三角形．    【分析】本题主要考查了作一个三角形的全等三角形，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：略． 23．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹． 已知：与射线． 求作：，使得． 【答案】 解：如图，为所作． 【分析】先在射线上截取，再分别以点、为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 24．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1) 即为所求作（答案不唯一）； (2) 即为所求作（答案不唯一）． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）略 （2）略 题型9 垂直平分线的性质与判定（共3小题） 【模型】垂直平分线遇等腰三角形；两点确定垂直平分线，用于转化线段长度。 【步骤】找到垂直平分线上的点，直接写出两段距离相等；判定需证两组线段相等。 【易错】混淆性质与判定；误把垂直就当成平分；忽略点在线段上的前提。 25．（26-27八年级上·江苏·期中）某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（     ） A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处 【答案】A 【分析】根据到三角形三个顶点距离相等这个条件，匹配三角形各线交点的性质判断选项． 【详解】解：∵充电桩到三个出口、、的距离都相等， ∴该点到 三个顶点的距离相等， ∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴该点是 三条边的垂直平分线的交点． 26．（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 【答案】8 【分析】证明，得到，，然后利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 27．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理求解． 【详解】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴． 题型10 角平分线的性质与判定（共3小题） 【模型】角平分线作双垂线；角平分线 + 平行线出等腰；截长补短构造全等。 【步骤】见角平分线作两边垂线；判定先找垂直，再证距离相等，得出平分。 【易错】忘记 “垂直” 条件；忽略点在角内部；混淆角平分线性质与判定。 28．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，是的角平分线，，，则点D到的距离是______． 【答案】6 【分析】过点作于点，求得，根据角平分线的性质可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，是的角平分线，， ，即点D到的距离是． 29．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； (2) 证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）略 （2）略 30．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 【答案】(1) 证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 题型11 等腰三角形的相关概念（共3小题） 31．（2026·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的周长为10，腰长为3，则它的底边长为__________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形两腰相等，求出底边，再验证即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等，周长为，腰长为， ∴底边长为 ， 则底边长为4. 32．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 33．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知：等腰三角形的周长为24． (1)若已知一边长为6，求其他两边长； (2)若设腰长为，求腰长的取值范围． 【答案】(1)其他两边长均为9 (2)腰长x的取值范围为 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系以及一元一次不等式组的求解，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确列出不等式． （1）分为两种情况，当腰长为6或者底边长为6时，分别求解； （2）根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，求解即可． 【详解】（1）解：当腰长为6时，另一腰长也为6，此时底边长为， 因为， 所以不符合三角形三边关系，不符合题意； 当底边长为6时，腰长为， 因为， 所以符合三角形三边关系，符合题意； 综上分析可知，另外两边长均为9； （2）解：腰长为，则底边长为， 由三角形三边关系可得：， 解得：． 题型12 等腰三角形的性质（共3小题） 【模型】等腰分类讨论边长角度；等腰 + 平行线构新等腰；三线合一转化边角。 【步骤】识别等腰，利用等边对等角求角度；借助三线合一找垂直、线段相等。 【易错】分类漏情况；三线合一只针对底边；外角计算易出错，忽略三角形内角和。 34．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若的周长为7，且，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是转化的周长． 根据垂直平分线的性质可得，则的周长为，再由，求解与的长即可． 【详解】解：∵的中垂线交于点D， ∴， ∴的周长为①， ∵②， ∴①②可得，，解得， ∴， ∵在中，， ∴， 则的周长为． 故选：C ． 35．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，动点P在边上，从点A向点B运动，且速度为，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：①当时，如图1， 过点C作于点D， ∵， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 此时； ∴， ∴； ②当时，， ∴； ③当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，t的值为或或． 故答案为：或或 36．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求 【答案】(1) 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形． (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵在等腰中，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 题型13 等边三角形的性质（共3小题） 【模型】多个等边手拉手全等；直角三角形含 30°，短直角边为斜边一半。 【步骤】判定等边后直接用 60° 角、等边条件，结合全等推导边角数量关系。 【易错】默认所有三角形有 60°；混淆等边与等腰性质；忽略内角 60° 的前提条件。 37．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 38．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故答案为：． 39．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 提升·进阶突破 题型14 确定第三边的取值范围（共3小题） 【模型】已知两边长，求第三边范围；等腰三角形边长需分类讨论，再检验三边关系。 【步骤】两边之差＜第三边＜两边之和；等腰分情况，代入不等式验证能否构成三角形。 【易错】不等号方向写错；忽略边长大于 0；等腰不检验直接取值，出现无效解。 40．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）在中，三边长分别为a，b，c，且都是整数，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，结合已知边长的大小关系和整数条件，枚举所有可能的边长即可得到结果． 【详解】解：∵，，且为整数， ∴，的可能取值为． ∵是最长边，因此只需满足即可构成三角形， 当时，得，结合，可得整数，共2种， 当时，得，结合，没有符合条件的整数， 当时，得，结合，没有符合条件的， 综上，满足条件的三角形共2个． 41．（25-26七年级下·河南南阳·期中）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【答案】(1)①不一定；②；③大于；小于 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得答案； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出，结合进一步求解即可； （3）由的周长为12，，可得，解方程得出答案即可． 【详解】（1）解：①任意三条线段不一定能组成三角形； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和最长线段，就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和大于第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差小于第三边； （2）解：、、分别为的三边长，，， ∴． 解得． ∵，即， ∴， ∴， 综上：. （3）解：的周长为12，， ． 解得． 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是______． 【答案】7或9/9或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系和三角形的周长，根据三角形的三边关系得到，由第三边长是偶数得到或4，即可求出这个三角形的周长． 【详解】解：设第三边长为， 则，即． 又为偶数，因此或4， 故这个三角形的周长是：或． 故答案为：7或9． 题型15 根据三角形的中线求解（共3小题） 43．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 44．（24-25八年级上·江苏·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 45．（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，点，分别在，边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，由是的中点，，则有，从而得，然后通过，得，则，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型16 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 【模型】等面积法求高；钝角三角形高在外部；高 + 直角，构造直角三角形解题。 【步骤】找准对应底边与高；利用面积相等列等式；钝角三角形注意外部高的长度。 【易错】找错底边对应的高；钝角三角形漏外部高；计算面积忘记乘二分之一。 46．（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 47．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【答案】9 【分析】连接，由得到，得出，，由D是的中点推导得出，得出的面积，从而求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， D是的中点， ，， ， ∴， ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 48．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，与中，与相交于． (1)△的边上的高是 (2)若，，，求的面积及的长． 【答案】(1) (2)的面积为8， 【分析】此题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出的面积；然后利用的面积还等于，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵在中， ∴的边上的高是； （2）∵在中，，，， ∴的面积； ∵ ∴，即 ∴． 题型17 全等三角形的性质问题（共3小题） 49．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，已知线段米，于点，米，线段上有一点，射线于点，点从向运动，每秒走米，点从向运动，每秒走米，、同时从出发，当出发秒后，使以点、、为顶点的与全等，则的值为(   ) A．6或10 B．10 C．5或10 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．分和两种情况，分别根据全等三角形的性质确定出时间即可． 【详解】解：设出发时间为x秒，由题意得：， 当时，，即，解得：； 当时，米， 此时所用时间为10秒，，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，在线段上有一点C，使与全等． 故选：D． 50．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）已知的三边长分别为3，6，8，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，则x为（   ） A．2 B．2或 C．1或 D．2或1或 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，需要分情况讨论和的对应边关系，进而求出x的值． 【详解】解：∵的三边长分别为3，6，8，的三边长分别为3，，，且两个三角形全等， ∴存在两种对应情况： ①，②， 情况①：对于，解得，将代入，可得，满足全等三角形对应边相等的条件； 情况②：对于，解得，将代入，可得，不满足全等三角形对应边相等的条件，该情况舍去， 综上所述，x的值为2． 故选：A． 51．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图所示，已知于 D． (1)已知，求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3 (2) ；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 题型18 全等三角形的动点问题（共3小题） 52．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，， ， ， ∵四边形是矩形， ， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当时，， ， ； ②当时，， ，， ，， 的值为2或， 故选：D． 53．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为． (1)如图1，当时，___________，当时，___________（用含的式子表示）； (2)如图1，当___________s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和可以完全重合，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)6， (2)6 (3)5.5或9.5 (4)或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； ， 当时，此时点在边上，； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 54．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 题型19 全等三角形的判定与性质综合（共3小题） 55．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 56．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 57．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ， ； (2) ，证明如下： ∵， ∴， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明全等三角形． （1）利用垂直得直角，结合对顶角和，证明，得； （2）证明，得． 【详解】（1）略 （2）略 题型20 倍长中线模型（共3小题） 【模型】倍长中线、倍长类中线；构造 SAS 全等，将分散线段集中到同一个三角形。 【步骤】延长中线使延长段等于中线，标记等线段，证全等，转化边角再求解。 【易错】延长后未证全等；混淆倍长中线适用条件；找错对应边角关系。 58．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）阅读：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当______时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为______°； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】(1) (2)2或3 (3)①180；②， 理由如下：延长至G，使，连接，如图3所示： ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）求出，根据新定义“积等三角形”可得出答案； （2）延长至E，使，连接，证明，得出，根据三角形三边关系可得出答案． （3）①由周角的定义可得出答案；②延长至G，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：如图1中，在上截取， 在中，， ∵， ∴， ∵与不全等， ∴与为积等三角形， 当时，与为积等三角形； 故答案为：； （2）解：如图2，延长至E，使，连接， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或3， ∴的长为2或3． （3）解：①∵， ∴， 故答案为：180； ② 略 59．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 【答案】（1）B； （2）C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：（1）在和中 ， ， 故选B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴ ， 故选C； （3）略 60．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 【答案】（1）①A，②；（2）40； （3）证明：延长交于， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）①先根据三角形的中线定义得到，可根据“”可证明； ②先根据全等三角形的性质得到，利用三角形的三边关系求得，结合即可求解； （2）延长至，使得，可证明，得，，，可得，根据平行线的性质和已知可证明，即可证明，进而有即可求解； （3）延长交于，证明得到，则，结合可证得结论． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A； ②解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）略． 题型21 手拉手模型（共3小题） 【模型】等边、等腰直角、普通等腰手拉手；拉手线相等，夹角等于顶角。 【步骤】先找公共顶点，列出两组等边，推导等角，用 SAS 证明三角形全等。 【易错】找错拉手对应边；忽略顶角相等条件；误把旋转角直接当成所求角。 61．（25-26八年级上·广东惠州·期中）综合探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接并延长交于点P；    (1)求证：； (2)求证：． (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，是否还与全等？那么与的位置关系是否发生变化？说明理由． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴ (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ (3)解：，不发生变化， 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定定理内容是解题关键． （1）由条件推出，即可求证； （2）由推出，即可求证； （3）根据证即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 62．（25-26七年级下·山西晋中·期末）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接． (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) 解：成立． 理由如下： 因为， ． ．   在和中， ．   所以．    因为在中，， 所以． 所以，即． 所以． (3)3或7 【分析】（1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况可求出的长． 【详解】（1）解：    在与中 故答案为： （2）略 （3）当点在上时，如图， 由（1）可知 ； 当点在延长线上时，如图， 由（2）可知， 综上所述，3或7． 【点睛】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 63．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）（1）如图1，ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在CA上，点E在CB上，且CD=CE，则易证得AD与BE的数量关系是 ． （2）如图2，若把DCE绕点C顺时针旋转一定角度，连接AD、BE，判断AD与BE是否相等？若相等请证明；若不相等，说明理由． （3）如图3，若把ACB和CDE都改为一般的等腰三角形，且∠ACB=∠DCE，则AD=BE还成立吗？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）AD=BE； （2）AD=BE，理由： ∵∠ACB=∠DCE=90° ∠ACD=∠ACB-∠DCB， ∠BCE=∠DCE-∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， CA=CB， ∠ACD=∠BCE，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE； （3）AD=BE还成立，理由： ∵∠ACB=∠DCE， ∠ACD=∠ACB-∠DCB， ∠BCE=∠DCE-∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE 在△ACD 和△BCE中 CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE． ∴AD=BE． 【分析】（1）根据CA=CB，CD=CE，即可得出结果； （2）根据题意证明△ACD≌△BCE，即可得出结果； （3）证明△ACD≌△BCE即可． 【详解】解：（1）∵CA=CB，CD=CE， ∴， 即AD=BE； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 题型22 一线三等角模型（共3小题） 【模型】锐角、直角、钝角一线三等角；常出现在长方形、等腰直角三角形，用来转化边角。 【步骤】先找到共线三等角，利用外角推导等角，匹配条件证明全等 【易错】误判角的位置；不会利用外角证等角；分不清全等的适用场景。 64．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 65．（26-27八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． (2)①证明：如图2， 过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵，， ． ② 【分析】（1）根据， ，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明． （2）①过作于，根据条件，结合“一线三垂直模型”即可证明，进而可证明，再根据全等三角形性质得，由（1）得，即可得，再根据，，即可证明． ②过作于，根据（1）得，，即可得，，根据（2）①得：，即可得，，进而得，，结合条件即可证明，根据全等三角形的性质得，再根据，等量代换得，进一步代换推理得，代入数据求解即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图2，     由（1）得： ，， ∴，， 由（2）①得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 66．（26-27八年级上·浙江宁波·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】(1)， (2) (3)证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； （3）略 题型23 垂直平分线的判定与性质综合（共3小题） 67．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵是的平分线，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质得，由角平分线的性质得，证明即可； （2）证明，得，由（1）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵是的平分线，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴，， 上两式相加得， ∴． 68．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 【答案】(1)垂直，理由如下： ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵是的一条角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2)8 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质结合得到，再证明即可； （2）由全等三角形可得，而，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 由题意得，， 由（1）可得， ∵的周长为26 ∴ ∴ ∴． 69．（25-26八年级下·江西九江·期中）解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【答案】(1) (2)7 (3)证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，再求出梯形的面积即为阴影部分的面积． （2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解． （3）连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 【详解】（1）解：把向下平移至， ，， ， ， 阴影部分面积梯形的面积，． （2）垂直平分 ， ． （3）略 题型24 角平分线的判定与性质综合（共3小题） 70．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，是边上一点，连接，若是的平分线，且． (1)若，求的面积； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)证明：过作交于点，如图， 由（1）知， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【分析】（1）过作交于点，利用角平分线的性质定理以及三角形面积公式求解即可； （2）过作交于点，先证明，然后证明，再由全等三角形的性质以及线段和差证明即可． 【详解】（1）解：过作交于点，如图， 因为平分， 所以， 所以； （2）略 71．（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知是的平分线，点是射线上一点，点，分别在射线，上，连接，． 【发现问题】 (1)如图①，当，时，则与的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 (2)如图②，点，在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】(1)解：，理由： 是的平分线，， ； (2)解：成立，理由： 如图，过点作于，于， ， 是的平分线， ． ，， ． ， ． 在和中， ， ． 【分析】（1）根据“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”即可判断； （2）根据（1）的解题方法，首先过点作于，于，进而有，再证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 72．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ． (2)证明：如图，作于，作于． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴平分． (3)，证明如下： 如图，设与交于点， 设， ∵平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）先证明，再根据证明结论即可； （2）作于，作于，由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可证明； （3）设与交于点，，由角平分线的定义、全等三角形的性质、等边对等角可得，，，由（2）可得，证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型25 等腰三角形的判定与性质（共3小题） 73．（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； (2)证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由，是的平分线，可得，即得，根据点A与点E关于直线对称，可得，故，从而是等腰三角形； （2）过D作于K，证明，得，又，可得是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 【详解】（1）略 （2）略 74．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)12 【分析】（）由平分，得，再根据，，证出则可得出结论； （）延长交于点，由（）可得，，证明 ，进而可以解决问题； （3）延长，交于点G，证明，得出，，即可得出，根据为的中点，得出，求出，从而得出当的面积最大时，最大，求出的面积的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． 75．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知：在中，，，于D． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴ ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等证明求解即可； （2）根据30度直角三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 题型26 含30度角的直角三角形（共3小题） 【模型】30° 直角三角形求边长；作垂线构造 30° 角，用于线段倍半转化。 【步骤】识别直角与 30° 角，确定对边，利用倍半关系列式计算边长。 【易错】记错对应边；无直角直接套用；忽略斜边才是最长边的条件。 76．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)4 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 77．（25-26八年级上·江苏南通·期中）在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)若是的角平分线，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点为直线上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为__________． 【答案】(1) 证明：在中，，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． (2)或； ①当点N在线段上，结论：，理由如下： 如图2所示：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当点N在边上时，如图3，结论：，理由如下： 如图3，延长至H，使得， 由①得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与数量之间的关系为：或； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质． （1）先证，再证，然后由等边三角形的判定即可得出结论； （2）分两种情况讨论，当点N在线段上时，延长至点H，使得，连接，根据角平分线的概念和等边三角形的判定，证出是等边三角形，再得出，由此得出，当点N在边上时，同理得出即可； （3）过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M，根据等边三角形的性质得出，再由全等三角形的判定得出，得出是的垂直平分线，的最小值就是的长，再由含度角的直角三角形的性质得出，即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， 如图4，过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴P是的中点， ∵， ∴是的垂直平分线，即点G在直线上，的最小值就是的长， ∴， ∴， ∴， 中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 78．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，，若是边上的中点，则_____；若是边上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 4 12 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会用转化的思想思考问题． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长，过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，，，，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴若是边上的中点，则； 过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12． 故答案为：4；12． 题型27 斜边的中线定理（共3小题） 【模型】直角三角形取斜边中点连线；遇中点构造斜边中线，得到等腰三角形。 【步骤】先确定直角三角形，找到斜边中点，直接得到中线长为斜边的二分之一。 【易错】定理只适用于直角三角形；错把普通三角形中线套用；分不清斜边。 79．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为_______． 【答案】3.5 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，根据三角形斜边中线的性质求得，，由C、M、N在同一直线上时，取最小值，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 在中，，，， ∴， ∵，点M、N分别是、的中点， ∴，， 当C、M、N在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为：． 故答案为：3.5． 80．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）已知：如图，，是的中点． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 【答案】(1)证明：∵，是的中点， ∴分别是斜边上的中线， ∴， ∴； (2)证明：由（1）得， 又∵为中点， ∴； (3)， 理由：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴ ： 的长为． 【分析】（1）利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明； （2）利用等腰三角形“三线合一”证明； （3）利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等，然后利用“等边对等角”得到，再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”得到，，进而完成证明；第二个问题利用前面的结论可以得到的长，再利用可证得是等边三角形，于是得到答案． 【详解】（1）略． （2）略． （3）， 理由：略； ∵， ∴由（1）知， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 81．（24-25七年级下·山西长治·期末）阅读与思考． 请认真阅读并完成相应的问题： “友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． (1)如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，．则____________； (2)如图在（1）基础上，作中边上的高，请判断和是不是“友爱三角形”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)和是“友爱三角形”， 理由如下： 由知 和是“友爱三角形”． 【分析】（1）由“友爱三角形”的定义得到由直角三角形的性质得到即可求出； （2）由直角三角形的性质得到判定和是“友爱三角形”． 【详解】（1）解：如图是“友爱三角形与互为“友爱角 ； （2）略 题型28 直角三角形的性质（共3小题） 【步骤】识别直角，利用两角互余求角； 【易错】普通三角形乱用斜边中线定理；分不清 30° 角对边； 82．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1) 证明：，， ， ， 平分， ， ， 即， ． (2)8 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）依据，，即可得到，再根据平分，可得，进而得出，根据等腰三角形的性质即可得到结论． （2）根据含的直角三角形的性质可求得长，根据已知条件可证明为等边三角形，则可求长，则可求． 【详解】（1）略 （2）解：，， ，， 中，， 中，， ，， ∴为等边三角形， ∴ ． 83．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (2) ∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 84．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 【答案】 【分析】根据，利用等底同高三角形面积相等，可得，再由等高三角形面积比等于底之比，得到，设，，用、表示图中各个小三角形面积，利用面积比例关系推导出y与x的数量关系，利用的面积为列方程求出x的值，接着利用面积关系得到，求出，最后将与相加即可得到四边形的面积． 【详解】解：， ，， ，即， ， ， 设，，则，， ，， ，， ，即，化简得， ， ，把代入得，解得， ， ，， ，即， ， ， ， 四边形的面积． 拔高·压轴破难 题型29 与三角形有关的线段压轴（共3小题） 85．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 86．（25-26七年级下·江苏南通·期中）综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数a，b，c，d，其中，”为条件进行了延伸探究． (1)小明发现，并给出了如下说理过程． ∵， ∴， ∴， ∴． 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 (2)小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点B落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点D落在线段上； ③由图1可知，，，点D在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点A，B；作射线，…．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 (3)请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 (4)如图3，四边形中，，垂足为O，判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1)解：．理由如下： ，四个正数， ， ． (2)解：①如图，作出点；作射线，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②作出点；在射线截取，，则点落在线段上； ③过点A作，过点C作，二线交于点E,同理作出交点F，④根据作图，得到四边形都是长方形，且；； ⑤根据长方形在长方形内部，得到， ⑥故． (3) (4)解：．理由如下： 如图，四边形中，，垂足为， 根据（3）中的结论，得， 故， 故， 故． 【分析】（1）仿照题干给出的解法，利用不等式的性质即可作答． （2）仿照小丽的方法，构造一大一小两个长方形，根据大长方形的面积大于小长方形的面积即可得出结论． （3）过点B作于点E，得，故，利用不等式的性质，三角形的面积解答即可． （4）根据（3）的结论，解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 过点B作于点E，则，故 ∵为的高， ∴， ∴， ∴． （4）略 87．（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 题型30 全等三角形的动点压轴（共3小题） 88．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，则点的运动速度为（   ），使得、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用．设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可． 【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为， ， A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则，， 解得：， ； ②，， 则，， 解得：，， 故选：D． 89．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，直线l经过点C．若，，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．当____时，与全等． 【答案】秒或5秒或6.5秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，分点N沿F→C路径运动，点N沿C→B路径运动，点N沿B→C路径运动，点N沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． 【详解】解：由题意得，，， 则， 由轴对称的性质可知直线l垂直平分， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴当时，与全等， 当点N沿F→C路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点N沿C→B路径运动时，， 解得，， 当点N沿B→C路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点N沿C→F路径运动时，由题意得，， 解得，， 综上所述，当秒或5秒或6.5秒时，与全等． 故答案为：秒或5秒或6.5秒 90．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）将两个全等的和按图①方式摆放（点E恰好落在边上），所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图①，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由；将图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置，线段，，之间的数量关系是否仍然成立？（图②结论无需证明，只要判断即可） (2)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图④中的位置，连接交于点M，求证：M是的中点． 【答案】(1)，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 线段，，之间的数量关系依然成立，证明如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)证明：如图，过点A作于点H，过点D作交的延长线于点N， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴M是的中点． 【分析】（1）证明，得到，然后等量代换即可求解；当图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置时，同上证明即可； （2）证明，得到，然后等量代换即可求解； （3）过点A作于点H，过点D作交的延长线于点N，证明，得到，然后证明，得到，即可证明M是的中点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型31 全等三角形的综合问题（共3小题） 91．（2026·广东揭阳·二模）如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可证，又因为，可得；利用可证，根据全等三角形的性质可证，证明，根据全等三角形的性质可证，根据可证结论成立；根据全等三角形的性质可证，根据可知，；过点作，可知四边形是矩形，证明，根据全等三角形的性质可证，，根据可证结论成立． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 且， ， 在和中，， ， ， 故②正确； 由②可知， ， 由②可知， ， ， ， ， ， 故③不成立； 如下图所示，过点作， 则四边形是矩形， 由②可知， ， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ， 由②可知， ， ， ； 综上所述，结论正确的有①②④． 92．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 93．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 题型32 全等三角形的模型综合（共3小题） 94．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）【观察】（1）如图1，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】（2）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为_____． （3）如图3，点，在上，为的中点，平分，．求证：． 【拓展】（4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （4）或 【分析】（1）利用线段互相平分的性质，结合全等三角形判定证明三角形全等，进而得到线段平行且相等； （2）利用与互相平分得出相等线段，再通过判定，由全等得对应角相等，结合的内错角关系，得到，最终计算出的度数； （3）先通过延长到点，使得，连接，结合是中点， 利用证明，得到且；再由平分推出，结合已知，利用证明，最终证得； （4）利用中线定义和的条件，结合三角形三边关系确定的取值范围，进而得到整数的值． 【详解】（）解：∵和互相平分， ∴，， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴且， 故答案为：． （）∵和互相平分， ∴， 在和中 ∴ ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）略 （）如图，过点作，且，在上截取，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，此时可得， ∴， ∴是的中点，此时的值最小，最小值为． ∴， ∴， ∴整数的值为或． 【点睛】本题综合考察了线段互相平分的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定(、)与性质、角平分线的定义、三角形三边关系以及角的和差计算等知识点，核心通过构造或证明全等三角形实现线段与角的等量转化，同时结合平行四边形性质和三角形三边关系解决线段长度与取值范围问题，是对平面几何中三角形与四边形基础性质的综合应用． 95．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 【答案】(1) 解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； (2) (3)16或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， 由（2）得， ∴， 的周长为：， 故答案为：或 ． 96．（2026八年级上·江苏徐州·竞赛）如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)的值为或 (2)的值为5或20 【分析】（1）先由等边三角形性质得，结合动点速度写出，的线段表达式；分两种直角情况讨论，套用含直角三角形边长规律列一元一次方程，求解并验证符合范围； （2）按动点两段运动区间分类：第一段利用“有一个角、邻边相等可判定等边三角形”列方程求值；第二段分析端点重合的特殊情况算出，汇总所有符合条件的结果． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 当时，点在线段上（不含端点）， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴当，且为直角三角形时，的值为或； （2）当时，即在线段上（不含端点）， ∵，，， ∴当时，为等边三角形， ∴， 解得， 当时，即在线段上（含端点）， ∵为等边三角形， ∴， ∵在线段上（含端点）且，， ∴点与点重合， ∴， 综上所述，当为等边三角形时，的值为5或20． 题型33 等腰三角形的存在性问题（共3小题） 97．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知与等腰如图摆放，、、、四点在同一直线上，点与点重合．，，，．如图，点从点出发沿着边向点匀速运动，速度为；从点出发沿着向点匀速运动，速度为，当点到达点时，整个运动停止．在运动过程中，与的交点是．设运动时间为，解答下列问题： (1)用含的代数式表示______ (2)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (3)当为何值时，为直角三角形？ (4)当为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）先判断当时，点在的右侧，再根据列式即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，从而可表示出、，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当时和当时，根据含角的直角三角形的性质列式计算即可； （4）根据等腰三角形三线合一可得，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，点在的右侧，此时； （2）解：点在的垂直平分线上， ， 在中，，，， ， ， 由题意得，，， ，解得， 当点到达点时，整个运动停止，此时， ； 满足题意， 即当时，点在的垂直平分线上； （3）解：如图，当时， ， ， ， ，解得， 如图，当时， ， ， ， ，解得， 综上，当或时，为直角三角形； （4）解：当时，点在的右侧，此时，不符合题意； 当时，此时， ，， ， ，解得， 即当时，． 98．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即10秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况二： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 99．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，． 是的角平分线，，， ． 是的垂直平分线， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ． (2)36 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接，．根据角平分线的性质定理得出，，根据是的垂直平分线，得出．证明，即可得． （2）根据全等三角形的性质得出，结合，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ． ． 的长为36． 题型34 等腰三角形的最值问题（共3小题） 100．（26-27八年级上·江苏·期中）如图，在中，，点D是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为__________________ ． 【答案】 【分析】设的中点为点F，连接，证明，得，当时，取最小值，求得此时的，便是的最小值． 【详解】解：如图，设的中点为点F，连接，则， ∵， ∴， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，取最小值，为， ∴长的最小值为． 101．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为3的等边三角形中，点E、B分别在边上，以为边作等边三角形，且，点M在边上，，则的最小值为______． 【答案】 1 【分析】根据题意设，则，如图所示，将绕点B顺时针旋转，则与重合，得到，延长交于点H，连接，得到是等边三角形，，即，是等边三角形，是角平分线，根据题意，当时，的值最小，由含30度角的三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 如图所示，将绕点B顺时针旋转，则与重合，得到，延长交于点H，连接， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴，，即点在线段上， ∴，即， ∴，即是等边三角形， ∴，则， ∴， ∴，则， ∵， ∴，即是角平分线， 根据题意，当时，的值最小， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为1． 102．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）是等边三角形，是边（端点除外）上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长； (2)如图2，是延长线上的点，，为的中点，连接，．求证：． 【答案】(1) ①证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ② (2) 证明：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，连接、， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，，，通过等量代换可得，进而可证明，命题得证； ②作于点，由全等的性质可得，结合含角的直角三角形的性质和勾股定理可计算得，．根据垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，此时，则，最后利用求出； （2）过点作的平行线，交的延长线于点，连接、，容易证明，则，．结合平行与等边三角形的性质可证明，容易判断是等边三角形，由三线合一可证明． 【详解】（1）解：①略 ②解：如图，作于点， 由①可得， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴当点与点重合时，取得最小值，此时， ∵， ∴， ∴； （2）略 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $