河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册23.4数据的方差）

冀教版九年级数学上册 第二十三章 数据分析与统计估计
23.4 数据的方差 分层作业

一、作品基础信息

项目	具体内容
学科	初中数学
教材版本	冀教版（新教材）九年级上册
所属章节	第二十三章 数据分析与统计估计
课题	23.4 数据的方差
课时安排	1课时（离差平方和、方差的概念、计算与意义）
作业类型	书面分层作业（A、B、C三级）
适用对象	九年级学生
建议用时	约30分钟（A组约12分钟，B组约12分钟，C组约6分钟）
设计理念	面向全体、分层递进、图文结合、减量提质
设计时间	2026年

二、设计背景与意图

（一）课标依据

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“统计与概率”领域，要求学生经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，体会刻画数据离散程度的意义，理解平均数、中位数、众数、方差等统计量的意义，能根据问题的背景选择合适的统计量分析数据、作出判断，逐步形成数据观念、推理意识和应用意识。本次作业以“数据的方差”为核心，引导学生从“集中趋势”走向“离散程度”，在真实情境中发展数据分析观念。

（二）教材分析

“23.4 数据的方差”是第二十三章“数据分析与统计估计”的第四节。在此之前的 23.1 至 23.3，学生已经学习了平均数、加权平均数、中位数、众数和四分位数、箱线图，会用这些统计量刻画数据的集中趋势和分布特征。但在分析实际问题时，仅凭集中趋势往往不够：两组数据的平均数、中位数可

能完全相同，波动情况却相差很大。为此，教材从“甲、乙两名射击选手的成绩谁更稳定”的问题出发，引导学生思考如何构造一个量来描述一组数据的波动大小。

教材的编排遵循“由直观到抽象”的顺序：先分别计算每个数据与平均数的偏差，发现“偏差之和恒为 0”，说明不能用偏差的和衡量波动；再比较“偏差绝对值的和”与“偏差平方的和”两种观点，明确平方既能消除正负抵消，又能放大较大偏差的影响；最后由“偏差平方的和”除以数据个数，得到“偏差平方的平均数”，引出方差的概念。

设 个数据 ，，， 的平均数为 ，则各个数据与平均数的偏差的平方和

叫作这组数据的离差平方和；偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用 表示，即

方差是刻画一组数据离散程度（或波动程度）的统计量。当一组数据分布比较分散时，方差较大；分布比较集中时，方差较小。因此，在平均数相同或相近的情况下，方差越大，说明数据的波动越大、越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小、越稳定。方差还具有两条常用性质：一组数据中的每个数据都加上（或减去）同一个常数，方差不变；每个数据都乘（或除以）同一个不为 0 的常数 ，方差变为原来的 倍。本节内容既是对平均数、中位数、四分位数等统计量的补充，也是后续“用样本推断总体”的重要基础，在本章中起着承上启下的作用。

（三）学情分析

九年级学生已经掌握了平均数、中位数、众数的意义与求法，能熟练进行平方运算，也具备一定的读图能力，为学习方差提供了知识与运算基础。但方差是一个综合性较强的统计量，学生学习时容易出现四方面的困难：一是不理解“为什么要平方”，习惯用“偏差的和”或“偏差绝对值的和”来衡量波动；二是计算时容易漏平方或漏除以数据个数 ，把“离差平方和”与“方差”混为一谈；三是能套用公式算出结果，却说不清“方差越小越稳定”的道理，难以把计算结果与数据的波动情况建立联系；四是不注意方差比较的前提，忽略“两组数据的平均数应相同或相近”。因此，作业设计应遵循“先计算、再理解、后应用”的顺序，通过“算一算、看一看、比一比、想一想”的真实任务，帮助学生逐步建立起方差与数据波动之间的联系。

（四）设计意图

本次作业分为 A、B、C 三个层级。A 组为基础巩固题，面向全体学生，指向平均数、离差平方和与方差的直接计算，以及从折线统计图中直观判断数据的波动大小，重在“保底”；B 组为能力提升题，指向利用方差比较两组数据的稳定性、由折线图计算方差并作出判断，以及方差性质的应用，重在“提质”；C 组为拓展创新题，指向方差性质与平均数、方差的综合运用，以及综合运用平均数和方差解决实际决策问题，重在“扬长”。三个层级按照“概念理解—计算应用—读图比较—决策应用”的路径设计，题量精简、图文结合，避免机械重复，使不同水平的学生都能获得成功的体验。

三、作业目标

（一）基础目标（必做）

（1）理解离差平方和、方差的意义，知道方差是刻画一组数据离散程度的统计量。

（2）会计算一组数据的平均数、离差平方和与方差。

（3）能结合折线统计图直观判断两组数据波动的大小，知道方差越大波动越大。

（二）提升目标（选做）

（4）会在平均数相同或相近的情况下，用方差比较两组数据的稳定性，并用方差对实际问题作出判断。

（5）能根据折线统计图提供的信息计算方差，理解方差的性质（加常数方差不变，乘常数方差变平方倍）。

（三）拓展目标（挑战）

（6）能综合运用平均数与方差解决实际决策问题，理解“平均数反映集中趋势、方差反映离散程度”的统计意义，体会用数据作出合理判断的过程。

四、作业内容与目标对应表

层级	题号	主要内容与考点	对应目标
A组（基础巩固，必做）	1	求平均数、离差平方和与方差	（1）（2）
	2	直接计算一组数据的方差	（1）（2）
	3	由折线统计图直观判断数据的波动大小	（3）