23.5 数据的分类-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦“数据的分类”，核心知识点为组内离差平方和与组间离差平方和的概念及应用。课堂导入先回顾方差、离差平方和，再结合国家分类、收入分组等生活实例引出课题，构建新旧知识的学习支架。 特色在于以真实情境（二氧化碳排放、人均GDP）驱动探究，引导学生用数学眼光观察数据分组需求，通过推导组内差与总体离差平方和关系培养推理意识，用温度、笔试成绩等数据实例训练数据观念。这种情境化、探究式教学提升学生知识应用能力，为教师提供可操作的教学流程和实例。

23.5 数据的分类 课题 数据的分类 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P32-36 教学目标 1.掌握组内离差平方和（组内差）、组间离差平方和（组间差）的概念. 2.能运用组内离差平方和对数据进行科学分组. 教学重难点 重点：组内离差平方和的计算及在数据分组中的应用； 难点：根据组内离差平方和最小原则进行分组. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 1.方差：s2=[²+²+…+²]. 离差平方和：²+²+…+². 2.在大数据分析中，对一组数据进行分类是重要的方法之一，例如，世界上的国家可以按某一指标分为发达国家与发展中国家，全体国民按人均收入分为高收入组、中等收入组与低收入组，初中生某项体能测试成绩分为优秀、合格与不合格，这些本质上都是按照某种原则对数据进行分类. 先回顾上节课所学重要知识，做好新旧知识的衔接，为本节课的学习做好铺垫，再通过生活实例引出本节课的课题. 2.实践探究，学习新知 【观察与思考】 问题 二氧化碳是一种温室气体，超量排放已对全球气候形成影响.我国已庄严承诺：力争在2035年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和.2019年全球人均二氧化碳排放量为6.6 t，我国人均排放量为7.1 t，世界不同地区人均二氧化碳排放量(单位：t)的数据如下表： 观察下图，如果把这8个地区的人均二氧化碳排放量分成两个层次，你认为应该如何划分? 师生活动：教师出示问题，学生分组交流、讨论，找到自己小组认为最合理的划分方法，学生代表口述自己小组的讨论结果，教师点评，并结合教材给出本节分组的规则，进而引出组内离差平方和与组间离差平方和的概念. 【总结归纳】 数据的分组可以有多种方法.例如，以中位数为分界点可以把一组数据分为两组，每组各有4个数据.但从图中看出，前7个数据的差异相对不大，而20.8是一个异常数据.如果将前7个数据分为一组，20.8单独作为一组，那么两组数据的组内离差平方和较小，两组间差异较大.按照“组内离差平方和最小”的原则分组是传统且合理的. 教师追问：前面已经学过了一组数据的离差平方和的计算，那么“组内离差平方和”又该如何计算呢？和方差有什么关系吗？ 师生活动：教师出示问题，学生分组交流、讨论，让学生仿照离差平方和的计算方法进行尝试，对于“组间离差平方和”，学生会有困难，教师可以提出问题后，和学生一起进行解答，让学生参与，加深对计算方法的理解. 【总结归纳】 设一组数据为x1，x2，…，xm，xm+1，xm+2，…，xn，将这组数据分成两组,第一组为x1，x2，…，xm，第二组为xm+1，xm+2，…，xn.两组数据的平均数分别为 则n个数据的平均数 设=(x1-a)2+…+(xm-a)2+(xm+1-b)2+…+(xn-b)2 =m2+(n-m)2. 则有S2=+. （*） 称为组内离差平方和(简称组内差)，为组间离差平方和(简称组间差). 一个合理的分组原则是使组内差达到最小，组间差达到最大.但根据*式，由于总体的离差平方和S2不变，则只需考虑使组内差 达到最小即可. 【上述问题的解答】 解：将8个数据按从小到大的顺序排列为1.6, 2.6, 4.8, 7.4, 8.6, 9.7, 9.9,20.8，所有可能的分组方案有7种，利用计算机软件计算组内离差平方和，结果如下表： 计算结果表明，前7个数据分为一组，第8个数据单独一组，此时组内离差平方和最小. 【例题】 例 国家统计局发布的数据显示，2022年全国31个省、自治区、直辖市(不含港澳台地区，简称31个省区市)的人均GDP数据(单位：万元)如下表： 按照组内离差平方和最小的原则，把这31个省区市的人均GDP分为两个层次. 分析：将31个省区市的人均GDP按从小到大的顺序排列后分成两组，共有30种可能分法，如果分别计算组内差，最后选择组内差最小的分组方案，那么计算量会很大. 如图，是31个省区市人均GDP的频数分布直方图. 观察图形，发现前25个数据分布于4.5~10.5万元的范围内，而后6个数据分布于10.5~19.5万元的范围内.因此，先以10.5万元为分界点将数据分为两组，计算组内差，然后每次将第一组的最后一个数据加入第二组（或将第二组的第一个数据加入第一组），重新计算组内差，最后进行比较. 解：将数据由小到大排列，利用统计软件计算组内离差平方和，结果如下表： 经比较，将排序后的前25个数据分为一组，后6个数据分为一组，可以使组内离差平方和达到最小，即人均GDP 小于 10.5万元的省区市为一个层次，人均GDP大于10.5万元的省区市为另一个层次. 【大家谈谈】 1.在例题中，用中位数7.09万元为分界点将数据分为两组，和利用组内离差平方和最小的原则将数据分为两组，哪种方法更合理？为什么？ 2.如果将31个省区市的人均GDP分为3个层次，应该如何划分？ 师生活动：教师出示问题，学生分组交流、讨论，学生代表口述答案，教师点评. 通过解决生活实际问题,引导学生思考分组的方式,在思考过程中,充分发挥学生的主观能动性,让学生积极发散思维,不断地提升学生知识应用的能力和解决问题的能力. 由已知推未知，锻炼学生思考能力. 理解组内差和组间差的推导过程，理解方差与组内差、组间差之间的关系，在推到过程中提高学生知识理解能力. 注意： 由于 20.8远离其他数据，直观判断每次将第一组的一个数据移到第二组时，组内离差平方和会增大，由此基本断定组内离差平方和最小的分组方案就是：第一组7个，第二组1个. 通过例题解答，让学生掌握计算数据分组时一般步骤，并强调在分组之前先观察数据特点，合理推断分组情况，再继续计算验证，减少计算量. 通过对例题的继续探究，让学生体会“利用组内离差平方和最小的原则”分组的合理性，熟练掌握数据分组的计算方法和步骤. 3.学以致用，应用新知 考点 数据的分类 练习 10个城市某月的每日最高温度的平均数(简称平均高温)如表所示. 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组. 解：按组内离差平方和最小的分法为 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}. 【变式训练】一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩(百分制)按从小到大的顺序排列如下: 58 64 68 75 76 83 85 90 92 按照组内离差平方和最小的原则，把这10名应聘者的笔试成绩分为两个层次. 解：按照组内离差平方和最小的原则分为{58,64,68,75,76}和{83,85,89,90,92}. 巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.在同等实验条件下，科研人员测得8株植物的光合作用速率（单位：μmol·m-2·s -1）分别为35，30，23，17，20，25，32，30. 若按“组内离差平方和最小”的原则将这些数据分成两组，应先将数据由小到大排列，再分组，则共有________种分法. 答案：7 2.按照“组内离差平方和达到最小”的方法，小明将一组数据分成了两组{80，82}和{87，86，90，85}，这两组数据组内离差平方和为 . 答案：16 3.一组数据的离差平方和为86，第一种分组的组间离差平方和为60，第二种分组的组内离差平方和为a.已知第二种分组比第一种更合理，则a 的取值范围是________. 答案：a＜26 4.某5家包田大户去年水稻产值如表． 根据去年水稻产值的组内离差平方和最小的原则，把这5家包田大户分为两组． 解：按组内离差平方和最小的分法为{C，D}和{A，B，E}． 5.国庆节10月1日至4日期间，某景区每天的游客人数如表所示： 根据组内离差平方和最小的原则，将这4天的数据分为两组应该如何分？ 解：按组内离差平方和最小原则，则分为{3}，{4，4，5}或{3，4，4}，{5}. 通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 组内离差平方和，简称组内差 数据的分类 组间离差平方和，简称组间差， 利用组内离差平方和最小的原则分组 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P36练习、习题A组、B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 23.5 数据的分类 1.组内离差平方和与组间离差平方和的概念 2.利用组内离差平方和最小的原则分组 例题 3.随堂练习 4.课堂小结 5.作业布置 提纲掣领，重点突出. 教后反思 通过教学，预定的目标已经达到．学生主动参与面广，学习兴趣浓，练习的达成度高，教师得到了解放，学生也得到了一次锻炼的机会，很多学生从自学中找到了自信，转变了自己的学习方式，从过度依赖老师转到了先自学再提问，培养了自己的自学能力与独立思考问题的能力． 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $