专题05 根式、指数、对数的运算（7大题型专项训练）高一数学沪教版必修第一册

专题05 根式、指数、对数的运算 常考题型·精准突破 考点一 根式与分数指数幂 题型1 根式化简与数值求解 题型2 根式与分数指数幂互化变形 题型3 指数幂综合化简计算（高频） 考点二 对数运算性质及换底公式 题型4 指数对数式等价转化（重） 题型5 对数运算性质化简求值（高频） 题型6 换底公式变形应用（重） 考点三 指数对数综合运算 题型7 指数对数运算与基本不等式的结合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 根式与分数指数幂 ◆题型1 根式化简与数值求解 1．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则，解得． 2．化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． 3．有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 【答案】②④⑤ 【详解】当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故，①错误； 16的4次方根有两个，为，②正确；，③错误； ，所以，④正确． 由题意知， 故,⑤正确． 4．求____________________． 【答案】 【详解】由题意得． 5．化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． ◆题型2 根式与分数指数幂互化变形 6．设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 7．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A.，故A错误；B.，故B错误； C.，故C错误；D. ，故D正确. 故选：D 8．下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 【答案】ACD 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：当时，，B选项不正确； 对于C：时，C选项正确； 对于D：时，D选项正确； 故选：ACD. 9．（3.1幂与指数）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； ◆题型3 指数幂综合化简计算 10．求值：_____． 【答案】 【详解】原式． 11．若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由，得. 故选：C 12．（专题17 方程与恒等变形（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）若实数满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】由于，故，则， 解得． 故答案为：. 13．若，，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 所以， 故答案为：． 14．计算： 【答案】 【详解】. 15．化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2) 【分析】 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 16．已知，求的值. 【答案】 【详解】 ， ， ， 所以. 考点二 对数运算性质及换底公式 ◆题型4 指数对数式等价转化 17．若，则（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴，，∴， 故选：A． 18．若，则__________. 【答案】 【详解】由 ，得： ， 于是， 因此 故答案为： 19．若，则_______． 【答案】15 【详解】由题意得，则，解得． 故答案为：15. 20．已知，则______． 【答案】 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 21．已知且，若，则__________． 【答案】/ 【详解】由已知且，， 得，则， 故， 故答案为： 22．若，则________． 【答案】2 【详解】因为，所以. 故答案为：2 ◆题型5 对数运算性质化简求值 23．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，由于指数函数是上的单调递增函数，因此可推出； 当时，与均无意义，无法推出，故充分性不成立； 若，根据对数函数的定义域要求，可得， 再由对数函数在上单调递增，可推出，因此，故必要性成立. 24．已知，，，下列等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，左边是，底数不一样，不能合并， 如，，此时，，式子不成立，A错误. 对于B，根据指数幂的运算法则知，，B正确. 对于C，根据对数的运算法则知，，C错误 对于D，根据对数的运算法则知，，D错误. 25．若__________. 【答案】 【详解】                                                                                           26．计算______． 【答案】 【详解】， 故． 27．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】 【详解】（1） （2）原式 ． 28．计算： (1) (2). 【答案】(1) (2)0 【详解】（1） . （2）. ◆题型6 换底公式变形应用 29．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 30．求值：__________． 【答案】 【详解】原式. 31．已知正数，，均不等于1，且，，则________． 【答案】6 【详解】方法一：，即． 方法二：由，，得，，则，所以． 32．已知，，则______（用，表示）． 【答案】 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 33．已知，，试用、表示______. 【答案】 【详解】由可得：，即，故 . 故答案为:. 34．若，且，，则__________. 【答案】 【详解】根据题意，由，可得， 又，所以， 令，，则，， 所以可得①，②， 将②式通分，可得，即③， 将③式代入①式，可得，解得，即. 考点三 指数对数综合运算 ◆题型7 指数对数运算与基本不等式的结合 35．若与互为相反数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与互为相反数， 所以有， 于是有，当且仅当时取等号， 即时取等号， 于是有，即，当且仅当时取等号， 故选：D 36．设，，，若，，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】设，，，，， ∴，， ∴，当且仅当时取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和对数的运算性质，属于基础题． 37．若，则错误的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】B 【详解】由得，得， 对于A，，当且仅当时等号成立，此时，， 所以，选项A正确； 对于B，由，得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，选项B错误； 对于C，由，得，所以， 所以 ， 当且仅当，时等号成立，选项C正确； 对于D，由，得， 所以， 当且仅当时，即，时等号成立，选项D正确． 故选：B． 38．（已知正实数，满足，则下列结论不正确的是（    ） A．的最小值为36 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最大值为 【答案】D 【详解】由可得，即； 所以，解得，当且仅当，等号成立；即A正确； 由，当且仅当，等号成立，即B正确； 由可得， 所以，当且仅当时等号成立，即C正确； 易知 ， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以D错误； 故选：D 39．若实数，满足，且，则的最小值为______；的最大值为______. 【答案】 【详解】解：，， 实数、满足， （当且仅当，时等式成立）， ， 当且仅当，时等式成立． 故答案为：，． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及对数函数的运算，考查学生的转化思想． 40．已知正实数满足，则的最小值为_________． 【答案】16 【详解】已知， 化简得，， 整理为， 由对数运算法则，得， 由题意， 已知. 由基本不等式：， 当且仅当，即时取等号. 将代入，得， . 故答案为：16 41．已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由，则且， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故最小值为. 故答案为： 综合攻坚·知能拔高 1．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 2．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 3．已知当时，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以或. 因为，所以，所以，即 ①. 所以，所以 ②. 由①②得：，. 所以. 故选：D. 4．对表示不超过的最大整数，如，通常把叫做取整函数，也称之为高斯（）函数.若，则的值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【详解】当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 此时； 取，则有， 则的值为. 故选：B 5．若，则__________． 【答案】 或 【详解】要使方程有意义，则且， 因为，， 设（，因为），则原方程可化为： 整理得， 即 解得或. 当时，，解得； 当时，，解得. 6．计算下列各式． （1）＝______； （2）＝______； （3）＝______. 【答案】 【分析】 【详解】（1）. （2）. （3）. 故答案为：（1）；（2）；（3） 7．已知，且，若，则__________． 【答案】2 【详解】因为，所以，所以. 则． 故答案为：2 8．已知，记，，则正整数的值为________． 【答案】34 【详解】，， 即， ，， ， ． 故答案为：． 9．，，则______． 【答案】 【详解】设，则， 所以，因为，所以， 所以，即， 解得或（负根舍去）， 所以. 故答案为： 10．解关于x的方程：． 【答案】 【详解】因为，所以， 化简得，即， 故，即，解得． 故原方程的解为. 11．令. (1)求N的值； (2)若，，且，求的最小值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】 【详解】（1） （2）由（1）可知， 因为，， 所以 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为. 12．若实数满足，且，求的最小值. 【答案】 【详解】由得，又实数满足， 则， 当且仅当，即时取等号, 由，解得， 所以当时，取得最小值8. 故的最小值为. 13．（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【答案】（1）6；（2）7； 【详解】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05根式、指数、。 对数的运算 ●考点一根式与分数指数幂。一 ◆题型1根式化简与数值求解 1.【答案】C x20 【详解】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则-x>0:解得0≤r<1 2.【答案】B 【详解】因为 a有意义，所以a<0所以a=-后， 3. 【答案】②④⑤ 【详解】当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故-27=-3，①错误： 16的4次方根有两个，为士2，②正确：81=3，③错误： Vx+y)≥0，所以V(x+y)=x+,④正确。 由题意知x-2<0 故-2列+-2=k-2+-2=2-x+x-2=2-2,回正确 4.【答案】 π+509 【详解】由题意得3-)+83=元-3+512=π+509 5.【答案】V10 【详解】设x=V4+V5+V4-V5,则x>0, x2-(4++4--4+)+(4-)+2,4+i)4-i) =8+2W16-15=8+2=10. x>0. ….x=V10 ◆题型2根式与分数指数幂互化变形 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.【答案】D 【详解】因为， a>0 故选：D. 7.【答案】D 【详解】A-G=-x,故A错误：B.F=y=b,故B错误： ：0，故C错谈：D可-门->0，故D正疏 C.x3=1 故选：D 8.【答案】ACD 【详解】对于A:-=-x=(-x),A选项正确： 对于B:当x=-1时，V=1≠-1，B选项不正确： 对于C: C选项正确： 对于D: 可 =x,D选项正确 >0 故选：ACD. 9.(3.1幂与指数)用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中x>0,y>0): )F: (②()°， 3)xp: ④ 【答案】四 ②x 34 (3)x7y 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④y 【分析】 【详解】(1)F=: 3)=(=(=xv; ④很=(-(=v ◆题型3指数幂综合化筒计算 10. 1 【答案】2 【详解】原式 -1+y-(--1432-3 11. 【答案】C 【详朝】由2”-43得-- 4273*3 故选：C 12.(专题17方程与恒等变形（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用)若实数m满足2=4“，则m 的值为， 【答案】-1 【详解】由于2”=44=224，故2”=2×4"=2*2m,则m=1+2m, 解得m=-1. 故答案为：-1. 13.【答案】m2-m 【详解】因为m=2+1,所以2=m-1, 所以4=(2)=22=(2)=(m-1)月 所以n=45+2=(m-1)2+m-1=m(m-1)=m2-m, 故答案为：m2-m. 3/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.【答案】4 【0阿-(-[合-- 15.【答案】(1)100 )aa 【分析】 2 【详解】(1)原式= 48 +100+2-3+6 =100 16 48 2)原式426125 2=a24.bs n=ai=ata b10a4 16.【答案】5 【详解】a+a a*+a x axa x (a+a*）(a2-1+a2） 1 1 a2r-1+aa(a+a}-3 a=V2+1, a=11 √2-1 a2+1（W2+12-1) =2-1, 所以a+a*= 1 a+axa+ay-3N2+1+V2-y-3-5 一●考点二对数运算性质及换底公式。 ◆题型4指数对数式等价转化 17.【答案】A 【i详解】log:g-3,六x= 1 8,x3=8’…x=2 故选：A. 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 18. 【答案】 【详解】由a=log3,得：=3， 于是2°=23 11 110 因此2°+2“=3+ 33 0 故答案为：3 19.【答案】15 【详解】由题意得log4(x+)=2=2,则x+1=42=16,解得x=15. 故答案为：15。 20. 【答案】15 【详解】由10g25=n,得2”=5，而2"=3， 所以2m+"=2m.2”=3×5=15 故答案为：15 21. 【容 【详解】由已知a>0且a≠1，l0g,2=2m,log3=n, 得a2m=2,a”=3,则am=4,a=3; 故am=a物4 a3 故答案为：3 22.【答案】2 【详解】因为logx+3=1,所以(x+1)=3,x=2 故答案为：2 ◆题型5对数运算性质化简求值 23.【答案】B 【详解】若3=3，由于指数函数y=3是R上的单调递增函数，因此可推出a=b; 当a=b≤0时，lga与lgb均无意义，无法推出lga=gb,故充分性不成立： 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若ga=lgb,根据对数函数的定义域要求，可得a>0,b>0, 再由对数函数y=lgr在(0，+o∞)上单调递增，可推出a=b,因此3°=3，故必要性成立. 24.【答案】B 【详解】对于A,左边是c×a,底数不一样，不能合并， 如c=a=2,b=1,此时c×a=8,c=2,式子不成立，A错误 对于B,根据指数幂的运算法则知，(c)°=c,B正确， 对于C,根据对数的运算法则知，1og.(a)=blog。a,C错误 对于D,根据对数的运算法则知，log。a+log。b=log.(ab),D错误 25.【答案】3 【i详解】1og,9+1og:g+lg5+5e2+lg5-2-1og,8+lg2+2+g5 1 3 -2-3+50e2+le5)+2 1 =2-3++2 3 26.【答案】-2 【解13-252-25+1-(-25+P-65--()=（5+1, 故og（3-22)=1og(N2+1)=-2 27.【答案】()-20 (2)1 【分析】 【详解】(1) (e好-e1o=e[g-0oy=e0o2÷10 =-21g10÷10-20 (2)原式=lg2(21g√2+lg5)+Vg2-1) =1gv2(Ig2+1g5)+gv2-1 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =lgV2+1-lgV2=1. 28.【答案】(1)-7 (2)0 d）21og2-1og是+1og8-25e3=081 32+log,8-25s9 =log; 4×32×89=1g,9-9=2-9=-7 9 4x- e14-2号e7-e8=g14- +1g7-1g18=lg14x7=lg1=0 (2) 3 ×18 ◆题型6换底公式变形应用 29. 【答案】A 【详解】因为b=log49=log2:32=10g23=a,c=logs27=log233=log23=a, 所以a=b=c 30.【答案】 一π 【详解】原式=2-210g23(31og,2)+π-4=2-6+4-元=-元. 31.【答案】6 【详解1方法一：2×3=bg,a×1gb-的-C-1oga,即oga=6 Inb Inc Inc 方法二：由loga=2,1ogb=3,得a=b2,b=c,则a=c5,所以loga=log.c=6. +a 32.【答案】b 【详解】由10°=2可得a=lg2 所以1g,20=1og,(2x10)=10g,2+1og,10=1g2+1=a+1 +a 故答案为：b 33.【答案】2a+b+2 【详解】由5=4可得：1og,4=b,即b=21og,2,故 860=2g6x25=2cg,3+og,2+=2a+分+-2a+62 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2a+b+2. 34.【答案】2 【详解】根据题意，由log.(bc)+logc=6,可得log,c+logb+log6c=6, 又log,c=logb:log6c,所以log,b:logc+logb+log6c=6, =1ogb, 令x=lbg,b,y=1og,c,则=1oga,y 1+1-2@. 所以可得y+x+y=6①，xy -2，即x+y=2四@， 将②式通分，可得y 将③式代入①式，可得y+2y=6,解得y=2,即l0gc=log b.log6c=y=2 一。考点三指数对数综合运算●— ◆题型7指数对数运算与基本不等式的结合 35.【答案】D 【详解】因为lna与lnb互为相反数， a>0 a>0 a>0 所以有b>0 →b>0→b>0 Ina+lnb=0 In ab=0 ab=1 于是有a+2b≥2V2ab→a+2b≥25，当且仅当a=2b>0时取等号， 即a=V2,b= 2时取等号， ab 11 于是有0+264+2b22,即6 a+2b≤4，当且仅当a=2,6= 2时取等号， 故选：D 36.【答案】D 【详解】设x,y∈R,a>1,b>1,a=b'=3,a+b=6, ∴.x=l0g。3,y=log63, .+-log,a+log,b-log,abslogs a+b x y 2 =2,当且仅当。=6=3时取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和对数的运算性质，属于基础题， 8/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 37.【答案】B 【详解】由ga+lgb=g(a+2b)得lg(ab)=lg(a+2b),得ab=a+2b, 对于A,ab=a+2b≥2W2ab,当且仅当a=2b时等号成立，此时a=4,b=2, 所以ab之8，选项A正确： 12 对于B,由b=4+26得方+。1， a b 当且仅当a=√2b时等号成立，此时b=1+V2,a=2+√2，选项B错误： 2b 111 对于C,由b=4+2b:得a=6-1,所以。226： 所站8日名}3 =0, 当且仅当a=4,b=2时等号成立，选项C正确： 对于D,由b=a+26'得a,6 1 21 +2-b-1+2≥2，b-1.2-2 所以a-2b-12b-2b-12b-1V2b-1, b-1 b-12 当且仅当2)-时，即a=3”6=3时等号成立，选项D正确。 故选：B 38.【答案】D 【详解】由ha+lnb=h(a+9b)可得ln(ab)=ln(a+9b),即ab=a+9b: 所以ab=a+9b≥2Wa9b,解得ab≥36，当且仅当a=18,b=2,等号成立：即A正确： 由81+是=81h2+a2_a+96}-18ab a2+b2=a2b2 a2b2 =1-8≥1，当且仅当。=18b=2’等号成立，即B正确： 91 由ab=a+9b可得。+方1， b a 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9+181±8 易知a+i+b+11+11 19+91+ 9+91+ b a b a 811+）9 、/ +9 811+ 1 9 +9 b 81+ 9 +1 b a 100 ×82+2 2+91+ 11 2+9 1+ 11 b 9a b 100 当且仅当a=b=10时，等号成立，即a+1+6+1的最小值为1i, 所以D错误： 故选：D 39.【答案】 √5 P 【详解】解：log2x+log2y=2,y=4 实数x、y满足x>y>0, 2+12 -5（当且仅当x=22”y=5时等式政立）， .x y Vxy x-y x-y 1 1 +y-y+4ox-+168, x-y 当且仅当x=2√2+2，y=2W2-2时等式成立. 1 故答案为：√2,8 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及对数函数的运算，考查学生的转化思想. 40.【答案】16 【详解】已知1og2x=log1y+1 2 化简得，10g2x=-log2y+1, 整理为log2x+log2y=1, 由对数运算法则l0g2(y)=1,得y=2=2, 由题意4·2'=22x.2'=22x+y, 已知x>0,y>0,y=2 由基本不等式：2x+y≥2W2xy=4, 当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将2x+y≥4代入22xy,得， 4.2Ψ=22x+y≥24=16 故答案为：16 41.【答案】4v5+1 【详解】由lg(a-)+lgb=lgb(a-)=1,则b(a-)=10且a>1,b>0, 所以a+26=a+20=a-1+20+1≥2a-20+1=4N5+1, a-1 a-1 a-1 当且仅当0-1=20 -,即a=2W5+1b=V5时取等号，故a+2b最小值为45+1 故答案为：4V5+1 综合攻坚知能拔高 1.【答案】C 【详解】设植物原来的长度为m,经过g周后，该植物的长度为原来的3倍， 再过周后该植物的长度为m(1+%) 162532W5 9327 -m. 12 32V3 因此，再经过12周，该植物的长度大约是原来的27倍 2.【答案】B 1 【详解】因为10g,(2x-)=2,所以2x-y=2=4,又g>0,3y>0, 所以)+3=3+3≥26×3=23=2F-名 y=-2x x=1 当且仅当32x=3:即2x-y=4:也即y=-2时取等号， 故选：B 3.【答案】D 11/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为log。b+log6a=1og,b+,1,=5 +1og,b2,所以1og,b=2或号 因为b>a>1,所以logb>1,所以log。b=2,即a2=b① 所以a°=b=a2a,所以b=2a②. 由①②得：a=2,b=4. 1,13 所以a64 故选：D 4.【答案】B 【详解】当2°≤i≤2-1，即i=1时，[log]=0: 当2≤i≤22-1，即i=2,3时，[log2=1: 当22≤i≤2-1，即i=4,5,6,7时，[lg]=2: 当23≤i≤24-1，即i=8,9,…,15时，[1og2]=3: 当2≤i≤2-1，即i=16,17,…,31时，[log2]=4: 此时0×1+1×2+2×4+3×8+4×16=98； 取n=29,则有0×1+1×2+2×4+3×8+4×14=90， 则n的值为29 故选：B 5.【答案】 1 2或2 【详解】要使方程有意义，则x>0且x≠1， (oglog,log,og oo log,x log,x' 设=g,x(1+0因为x1,期原方程可化：20-》=2-号整理得，--41-0 即2t-1)-(-)=(2-1-1)=-)2t+)=0解得t=1或t=1. 当1=1时，1g:x=1,解得x=2=2:当1=-时，1g=-小解得x=21- 6.【答案】 -0元-3 【分析】 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(l)-a=-a. (2)3-π)°=3-=π-3. 5居-os-圓图周 故答案为：(1)-a:(2)π-3：(3)2 7.【答案】2 【解】图为8.c-分8，c=3,所以e=gc=,所以0-b=c名- 010, 则log.(abc)=log 3 =2 g 故答案为：2 8.【答案】34 【详解】：50=ax10",lg50=lg(ax10）. 即s0lg5=50lg9-501-le2)=a+lga, lg2=0.3010,.50(1-lg2)≈34.95=n+lga, a∈[l,10)∴lga∈[0,1). ∴.n=34 故答案为：34 【等19 9. 【详解】设log,a=log2b=log16(a+b)=t,则a=9,b=12,a+b=16, 所g+12=16因为g0所以1+（侣）(S) u--[-1-o 解)-“5 (负根舍去)， 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所g-侣1 2 1+V5 故答案为： 2 10. 【答案】{xx=25} 【详解1因为g,x-log,,41og9=8,所以g2g3g8, gx.2g221e3-8,即1e5 化简得g2g3g5 41gx=8, 故5-2，即g=25=g25,解得25 故原方程的解为{xx=25}。 11.【答案】(1)3 @3 【分析】 【详解】 (1)N= +3+log2:22-2log,2×1og23 =9+3-12 4 4 =3 (2)由(1)可知x+y=3 因为x>0,y>0, m投*n-2 2周 y_x 当且仅当xy,即.3时，等号成立，故1+1的最小值为4 x+y=3 x=y= 2 x y 3 12.【答案】8 【详解】由log2x+l0g2y=3得y=8,又实数x,y满足x>y>0, 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则2功28 x-y x-y x-y 当且仅当x-y=16 -y,即x-y=4时取等号， y=8 由x-y=4,解 x>y>0 x=2V3+2,y=25-2 以当x=23+2,y=23-2时，r-v取得最小信。 x2+y2 故x-卫的最小值为g 13.【答案16：2号2②7：12 2v2 【详解】(1)10m"=10.10=6: 10-102-0月00=2g-25 3 四因为正安数起。1那心。.-0201g- 所以a2+a2=(a+a-2=7, -iac-c)-i-cika-1cYe+-6-1x4x-3--12 15/15 专题05 根式、指数、对数的运算 常考题型·精准突破 考点一 根式与分数指数幂 题型1 根式化简与数值求解 题型2 根式与分数指数幂互化变形 题型3 指数幂综合化简计算（高频） 考点二 对数运算性质及换底公式 题型4 指数对数式等价转化（重） 题型5 对数运算性质化简求值（高频） 题型6 换底公式变形应用（重） 考点三 指数对数综合运算 题型7 指数对数运算与基本不等式的结合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 根式与分数指数幂 ◆题型1 根式化简与数值求解 1．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2．化简（   ） A． B． C． D． 3．有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 4．求____________________． 5．化简：______． ◆题型2 根式与分数指数幂互化变形 6．设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 7．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） ◆题型3 指数幂综合化简计算 10．求值：_____． 11．若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 13．若，，用含的代数式表示，则______． 14．计算： 15．化简下列各式： (1)； (2)． 16．已知，求的值. 考点二 对数运算性质及换底公式 ◆题型4 指数对数式等价转化 17．若，则（   ）. A．2 B． C． D． 18．若，则__________. 19．若，则_______． 20．已知，则______． 21．已知且，若，则__________． 22．若，则________． ◆题型5 对数运算性质化简求值 23．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．已知，，，下列等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 25．若__________. 26．计算______． 27．计算： (1)； (2) 28．计算： (1) (2). ◆题型6 换底公式变形应用 29．设，，，则（    ） A． B． C． D． 30．求值：__________． 31．已知正数，，均不等于1，且，，则________． 32．已知，，则______（用，表示）． 33．已知，，试用、表示______. 34．若，且，，则__________. 考点三 指数对数综合运算 ◆题型7 指数对数运算与基本不等式的结合 35．若与互为相反数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 36．设，，，若，，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 37．若，则错误的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 38．（已知正实数，满足，则下列结论不正确的是（    ） A．的最小值为36 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最大值为 39．若实数，满足，且，则的最小值为______；的最大值为______. 40．已知正实数满足，则的最小值为_________． 41．已知，则的最小值为________． 综合攻坚·知能拔高 1．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知当时，则 （    ） A． B． C． D． 4．对表示不超过的最大整数，如，通常把叫做取整函数，也称之为高斯（）函数.若，则的值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 5．若，则__________． 6．计算下列各式． （1）＝______； （2）＝______； （3）＝______. 7．已知，且，若，则__________． 8．已知，记，，则正整数的值为________． 9．，，则______． 10．解关于x的方程：． 11．令. (1)求N的值； (2)若，，且，求的最小值. 12．若实数满足，且，求的最小值. 13．（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $