重难点01 幂、指数与对数运算计算（7种题型）高一数学沪教版必修第一册

重难点01 幂、指数与对数运算性质 题型01 根式的化简、求值与计算 1. 根式化简。将被开方数分解为质因数或因式，提取平方（或更高次）因数。根指数与被开方数的指数约分，同类二次根式化为最简形式（被开方数不含分母及可开尽方的因数）。 2. 求值与计算。化简后，根据题目要求代入数值求值；加减运算仅合并同类根式，乘除运算分别对被开方数和根指数运算，结果再化简。 1．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 2．已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析：由二次根式有意义的条件以及，且，可确定出的正负情况，再依据进行化简，最后化简绝对值即可. 【详解】解：有意义，，， 又，，，. 故选：A. 3．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 4．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式和指数的运算法则计算即可. 【详解】. 故选：C. 5．化简： （   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的定义求值． 【详解】. 故选：A. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可. 【详解】因为， 则 ． 故选：B. 7．若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由根式与指数幂的转换即可求解. 【详解】原式，又， 则原式． 故选：B 8．已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 题型02 指数幂求值计算 1. 化简指数式。利用指数幂法则（同底数幂乘除、幂的乘方、负指数化正等）整理式子。如负指数，零指数，将复杂式化为最简形式。 2. 代入求值计算。若含字母参数，代入已知值；若为具体数字指数，直接计算。注意符号问题，尤其是负指数和偶次幂的符号判断，结果化为最简分数或整数。 9．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 故选：C 10．（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】应用指数幂运算的性质化简求值. 【详解】由. 故选：A 11．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式． 故选：D 12．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，根据的正负求出. 【详解】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 13．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】． 故选：D. 14．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把根式化成分数指数幂，进而计算即可. 【详解】原式． 故选:A. 15．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算法则即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C. 16．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 题型03 应用对数运算性质求值计算 1. 化简对数表达式。利用对数性质（积商化和差、幂化乘方、换底公式等）拆解式子。如，，将复杂式化为最简对数式或常数组合。 2. 代入求值计算。若含已知对数的值，代入化简式；若为具体数字对数，结合特殊值计算，结果化为最简形式。 17．（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 18．已知，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数运算的性质可得，即可求得答案. 【详解】由已知得，整理得，得或． ，即， 则, 故选：B 19．已知，且，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可. 【详解】由，得，即， 所以，所以. 故选：A. 20．计算：（    ） A．17 B． C．52 D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算性质及对数恒等式即可求解. 【详解】方法一：． 方法二：，， 故． 故选：C. 21．若，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】若，则， 则. 故选：C. 22．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 23．已知，且，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由对数的运算性质结合换元法求解即可. 【详解】因为，所以， 令，则，解得或， 即或（舍去），所以. 故选：C. 24．已知，，则（    ） A．10 B．100 C．1000 D．10000 【答案】B 【分析】由指数和对数的运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，，所以， 所以． 故选：B 题型04 应用换底公式求值计算 1. 确定换底目标与公式。明确需计算的对数底数，选择常用底数（如10、e）或已知值的对数底数作为新底数。换底公式为，将不同底数对数转化为同底数。 2. 代入公式计算化简。将原对数代入公式，结合对数运算性质整理，代入已知对数的值或特殊值计算，结果化为最简形式。 25．（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对数换底公式得解. 【详解】， 故选：A 26．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 故选：C 27．设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式可得，然后运用对数运算法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 28．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：A. 29．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式可得出所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 30．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】， ，. 故选：D. 31．若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用对数运算公式和换底公式计算. 【详解】因为，，所以，， 所以，，因此，． 故选：B. 32．若，，则（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由指数式转化为对数式，利用对数的换底公式，可得答案. 【详解】由，，得，，所以． 故选：D. 题型05 运用换底公式计算表示未知数 1. 换底统一底数。设含未知数的对数为目标式，根据已知条件选择合适底数（如已知对数的底数），用换底公式，将所有对数转化为同底数形式。 2. 建立等式求解。将换底后的表达式代入原方程，结合对数性质化简，把对数式转化为代数方程，（确保对数真数为正、底数合法）。 33．已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数和对数的关系以及对数的运算性质计算即可； 【详解】由题意可得， 所以 故选：B. 34．，，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则算计即得. 【详解】由，，则. 故选：B 35．已知 ，，则 （用 ， 表示）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式和对数运算法则得到，，进而再用换底公式和对数运算法则表示出 【详解】，，， 则 故选 ：D 36．设，则用表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将转化为以5为底数的对数，然后结合换底公式计算即可. 【详解】由，所以 故选：B 37．若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75等于（    ） A．a＋b B．a－b C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式直接求解即可. 【详解】由换底公式得log75＝. 故选：D 【点睛】本题考查换底公式的应用，属于简单题. 38．已知，，则可以用、表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把指数式改为对数式，用换底公式把换成以18为底的对数，把真数36和45用5，9，18的乘除表示，然后用对数运算法则变形可得． 【详解】， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查对数的换底公式．解题时注意化为同底的对数，然后考虑对数的运算法则变形． 39．已知，则可用表示为                          A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换底公式直接求解. 【详解】 故选:B. 40．若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】B 【分析】根据对数的运算可得，对A，根据判断即可；对B，由，可得，再根据，结合基本不等式求解即可；对C，根据，代入结合基本不等式求解即可；对D，根据代入可得原式，再根据求解范围即可. 【详解】若，则，，，即. 对于A，，当且仅当， 即，时，等号成立，可得，故A错误； 对于B，由，可得， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以， 当且仅当，时，等号成立，故C错误； 对于D，由，可得，可知， 故， 因为，故，，，故D错误. 故选：B 题型06 指数与对数综合运算中的求值 1. 统一运算形式。利用指数与对数互化公式，将指数式化为对数式或反之，也可将对数化为同底数，方便后续运算。 2. 分步运算求值。先按指数或对数运算法则化简式子，代入已知条件计算中间值，再结合互化关系求最终结果，注意对数真数和指数底数的取值范围。 41．（1）求的值； （2）若，用表示. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数及对数的运算性质，即可求值； （2）根据对数的运算和换底公式，即可求解. 【详解】（1） （2）. 42．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）（2）（3）根据指对幂运算法则逐一求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） . 43．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)17. 【分析】（1）（2）（3）（4）应用对数的运算性质及指对数的关系化简求值. 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4） . 44．求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的运算法则、换底公式，直接化简，即可求出结果. （2）根据对数的运算法则，直接化简，即可求出结果. （3）根据对数的运算法则、换底公式，直接化简，即可求出结果. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 45．计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)1 【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 46．求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）分子 ； 分母 ，故原式. 47．求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)1 (3)52 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）法一：原式 . 法二：原式 . 48．（1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质结合绝对值的定义求解即可； （2）结合对数的运算性质求解即可； （3）根据换底公式，对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）                                                                     （2）         （3） . 49．计算： (1)若，若，求m的值； (2) 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据指数与对数互化公式可得，，代入，结合换底公式，对数运算性质化简方程求其解； （2）根据对数运算性质，换底公式，指数幂的性质化简求解. 【详解】（1）由题知，， 所以, , 所以，又， . （2） . 题型07 指数与对数综合运算中的求最值 1. 换元转化为初等函数。利用指数与对数互化或换元法（设），将综合表达式转化为二次函数、反比例函数等初等函数，同时明确换元后的取值范围（由指数或对数定义域决定）。 2. 按初等函数性质求最值。根据转化后函数的类型（如二次函数看对称轴与定义域关系），结合的取值范围，计算函数的最大值或最小值，最后验证对应原变量的取值合法性。 50．已知正实数，满足，，，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由题设可得，进而可得，根据对数及二次函数性质求最值. 【详解】由题设，可得， 所以， 当，时，的最大值是2. 故选：B 51．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 52．正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据基本不等式结合对数的运算性质可求得结果 【详解】因为正数满足， 所以，当且仅当时，等号成立，得. 则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2， 故选：B 53．若，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】化简，求得关于与的等式，结合二次函数的性质求得的最大值. 【详解】对等号两边同时取对数，得， 即，令，则， 所以， 即的最大值是4（此时，对应）. 故选：D 54．若，，且，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】利用对数运算性质将转化为，再利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】∵，， ∴，解得， ∴， 当且仅当，时取等号， 故的最大值为1． 故答案为：. 55．已知实数满足且，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】利用对数的运算及基本不等式计算，即可求得结果. 【详解】因为,所以,故且, 所以 ， 当且仅当时，即时取等号. 故答案为：6. 56．已知实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 57．已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用对数的运算性质化简已知式，得，再利用常值代换法，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】由可得，，即， 因，由， 当且仅当时等号成立， 即当时，取得最小值为4. 故答案为：4. 58．已知，，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由对数运算性质化简得，借助“”的代换由基本不等式求最值可得. 【详解】由可得，，即， 因为，， 由， 当且仅当时等号成立，即当时，取得最小值为4. 故答案为：. 59．若，，，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用基本不等式及对数的运算性质求得，即可求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，又， 当且仅当，即时等号成立，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 60．已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 61．若，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据对数的运算可得，进而由乘“1”法，即可由不等式求解. 【详解】由可得， 所以， 由于所以，故， 当且仅当，即此时等号成立， 故答案为： 62．已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由对数的运算性质化简可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】由题得，，且， 所以， ，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 63．已知实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先用对数运算得出，再用常值代换结合基本不等式即可. 【详解】因为， 所以，且，变形得， 因为 所以，当且仅当即时取等号， 故答案为： 64．已知，，，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】由对数的运算性质得，即，然后用基本不等式求得的最小值． 【详解】因为，，，所以，所以，所以， 所以（当且仅当，时等号成立），所以的最小值是9. 故答案为：9． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 幂、指数与对数运算性质 题型01 根式的化简、求值与计算 1. 根式化简。将被开方数分解为质因数或因式，提取平方（或更高次）因数。根指数与被开方数的指数约分，同类二次根式化为最简形式（被开方数不含分母及可开尽方的因数）。 2. 求值与计算。化简后，根据题目要求代入数值求值；加减运算仅合并同类根式，乘除运算分别对被开方数和根指数运算，结果再化简。 1．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 5．化简： （   ） A．1 B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知，则（   ） A． B．1 C． D． 题型02 指数幂求值计算 1. 化简指数式。利用指数幂法则（同底数幂乘除、幂的乘方、负指数化正等）整理式子。如负指数，零指数，将复杂式化为最简形式。 2. 代入求值计算。若含字母参数，代入已知值；若为具体数字指数，直接计算。注意符号问题，尤其是负指数和偶次幂的符号判断，结果化为最简分数或整数。 9．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（    ） A．16 B． C．32 D． 11．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 12．已知，，则（   ） A． B． C． D． 13．若，则（    ） A． B． C． D． 14．若，则（    ） A． B． C． D． 15．计算：（    ） A． B． C． D． 16．已知，则（    ） A． B． C． D． 题型03 应用对数运算性质求值计算 1. 化简对数表达式。利用对数性质（积商化和差、幂化乘方、换底公式等）拆解式子。如，，将复杂式化为最简对数式或常数组合。 2. 代入求值计算。若含已知对数的值，代入化简式；若为具体数字对数，结合特殊值计算，结果化为最简形式。 17．（    ） A． B． C． D．2 18．已知，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 19．已知，且，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 20．计算：（    ） A．17 B． C．52 D． 21．若，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 22．设，则（   ） A． B． C． D． 23．已知，且，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 24．已知，，则（    ） A．10 B．100 C．1000 D．10000 题型04 应用换底公式求值计算 1. 确定换底目标与公式。明确需计算的对数底数，选择常用底数（如10、e）或已知值的对数底数作为新底数。换底公式为，将不同底数对数转化为同底数。 2. 代入公式计算化简。将原对数代入公式，结合对数运算性质整理，代入已知对数的值或特殊值计算，结果化为最简形式。 25．（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．若，，则（    ） A． B． C． D． 27．设，，则（ ） A． B． C． D． 28．已知，则（    ） A． B． C． D． 29．（    ） A． B． C． D． 30．已知，则（   ） A． B． C． D． 31．若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 32．若，，则（    ） A．3 B． C． D．2 题型05 运用换底公式计算表示未知数 1. 换底统一底数。设含未知数的对数为目标式，根据已知条件选择合适底数（如已知对数的底数），用换底公式，将所有对数转化为同底数形式。 2. 建立等式求解。将换底后的表达式代入原方程，结合对数性质化简，把对数式转化为代数方程，（确保对数真数为正、底数合法）。 33．已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 34．，，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 35．已知 ，，则 （用 ， 表示）等于（    ） A． B． C． D． 36．设，则用表示（    ） A． B． C． D． 37．若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75等于（    ） A．a＋b B．a－b C． D． 38．已知，，则可以用、表示为（  ） A． B． C． D． 39．已知，则可用表示为                          A． B． C． D． 40．若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 题型06 指数与对数综合运算中的求值 1. 统一运算形式。利用指数与对数互化公式，将指数式化为对数式或反之，也可将对数化为同底数，方便后续运算。 2. 分步运算求值。先按指数或对数运算法则化简式子，代入已知条件计算中间值，再结合互化关系求最终结果，注意对数真数和指数底数的取值范围。 41．（1）求的值； （2）若，用表示. 42．计算： (1)； (2)； (3)． 43．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 44．求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 45．计算： (1)； (2) 46．求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 47．求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 48．（1） （2） （3） 49．计算： (1)若，若，求m的值； (2) 题型07 指数与对数综合运算中的求最值 1. 换元转化为初等函数。利用指数与对数互化或换元法（设），将综合表达式转化为二次函数、反比例函数等初等函数，同时明确换元后的取值范围（由指数或对数定义域决定）。 2. 按初等函数性质求最值。根据转化后函数的类型（如二次函数看对称轴与定义域关系），结合的取值范围，计算函数的最大值或最小值，最后验证对应原变量的取值合法性。 50．已知正实数，满足，，，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 51．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 52．正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 53．若，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 54．若，，且，则的最大值为 ． 55．已知实数满足且，则的最小值为 ． 56．已知实数a，b满足，则的最小值为 . 57．已知，则的最小值为 ． 58．已知，，，则的最小值为 . 59．若，，，则的最小值为 ． 60．已知，则的最小值为 . 61．若，则的最小值为 . 62．已知，则的最小值为 . 63．已知实数a，b满足，则的最小值为 ． 64．已知，，，则的最小值是 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $