专题05 指对数运算（压轴题专项训练）高一数学沪教版必修第一册

专题05 指对数运算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数幂的求值计算 题型二、应用对数运算性质求值 题型三、运用换底公式求值计算 题型四、利用换底公式表示已知数 题型五、指数、对数结合基本不等式求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 指数与对数运算是高一数学核心重难点，所有题型均围绕指数幂运算、对数运算性质、换底公式、指对互化四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是准确区分指数、对数运算性质，避免混淆公式造成运算错误；二是合理灵活使用换底公式，根据式子结构选择合适底数进行变形化简。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数幂的求值计算 题型模版 1.特征：题型以实数指数幂的化简与求值为主，涵盖正指数、负指数、零指数、分数指数幂混合运算，核心涉及、等基础公式。题干多给出具体数值，不含复杂变形，易错点集中在幂的符号、底数转换、根式与分数指数互化失误。 2.方法：统一将根式化为分数指数幂，熟练运用同底幂运算性质：、。运算时分步化简，优先处理负指数与零指数，严格区分底数与指数，规避公式混用导致的计算错误。 【例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知，，则的值为______. 【变式1-1】已知，，化简：__________. 【变式1-2】设，若，则的值是_____. 【变式1-3】已知，则________． 题型二、应用对数运算性质求值 题型模版 1.特征：依托对数核心运算性质出题，核心公式为、、。多为多组对数合并、拆分化简求值，常混杂常数、真数变形，易混淆公式对应关系。 2.方法：观察真数结构，灵活正向、逆向运用对数三大运算公式，拆分或合并对数式子简化运算。化简时保证底数统一，牢记对数定义域，运算后检验取值范围，杜绝无意义对数运算。 【例3】关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B．-3 C．-2 D． 【例4】若且，则________． 【变式2-1】若实数满足，则的值为_____． 【变式2-2】已知为正实数，且，求的值. 【变式2-3】设同号，且，求的值. 题型三、运用换底公式求值计算 题型模版 1.特征：题干出现不同底数对数，无法用基础公式运算，核心依托换底公式变形求解。常考查多对数连乘、连除化简，搭配推论，难点是杂乱底数的统一选择。 2.方法：灵活运用换底公式统一底数，优先选用公共底数或10、e等常用底数，结合连锁约分技巧化简。整体分析式子结构，优先整体变形再代入计算，精简运算步骤，降低计算误差。 【例5】若，且，则（   ） A． B． C． D． 【例6】已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【变式3-1】计算：______________． 【变式3-2】已知a，b为方程的两个根，则______． 【变式3-3】若，则_____． 题型四、利用换底公式表示已知数 题型模版 1.特征：题目给出已知对数值，依托换底公式，实现不同底数、真数对数的等价转化，用已知量表示未知量。侧重代数式变形，难点是找准已知式与待求式的底数、真数关联。 2.方法：以换底公式为核心桥梁，拆分待求对数的真数与底数，转化为已知对数的组合形式。通过代数变形整合式子结构，严格遵循对数运算公式等价替换，保证变形前后式子恒等，精准完成未知量代换求解。 【例7】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【例8】已知，用表示___________． 【变式4-1】已知，，则______．（用含、的式子表示） 【变式4-2】已知，则________．（用表示） 【变式4-3】已知，，试用a，b表示、． 题型五、指数、对数结合基本不等式求最值 题型模版 1.特征：综合指数、对数运算，结合基本不等式求解最值。题型综合性强，易错点为忽略指数式、对数式真数大于0的取值限制，盲目套用不等式导致最值无效。 2.方法：先利用指对数性质确定变量取值范围，满足基本不等式“一正”条件。通过配凑构造和定、积定结构，套用不等式公式求解最值，最后严格验证等号成立条件，排除不符合定义域的解。 【例9】已知，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D．5 【例10】数学计算中通常会用恒等式来简化运算，已知，且，则的最大值为_______. 【变式5-1】已知，，，则的最小值为__________. 【变式5-2】已知，则的最小值是_____. 【变式5-3】若，，且，则的最大值为______. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．化简：____________ 2．计算：. 3．已知，，则的值为__________． 4．已知实数满足，且，则的值为___________. 5．已知实数、满足，则（   ） A．或 B． C．或 D． 6．已知实数，且，则________． 7．若，，则________（用、表示）． 8．已知，则实数的最小值是______. 9．设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 10．已知，，，则当的值为______时，取得最大值为______. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指对数运算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数幂的求值计算 题型二、应用对数运算性质求值 题型三、运用换底公式求值计算 题型四、利用换底公式表示已知数 题型五、指数、对数结合基本不等式求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 指数与对数运算是高一数学核心重难点，所有题型均围绕指数幂运算、对数运算性质、换底公式、指对互化四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是准确区分指数、对数运算性质，避免混淆公式造成运算错误；二是合理灵活使用换底公式，根据式子结构选择合适底数进行变形化简。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数幂的求值计算 题型模版 1.特征：题型以实数指数幂的化简与求值为主，涵盖正指数、负指数、零指数、分数指数幂混合运算，核心涉及、等基础公式。题干多给出具体数值，不含复杂变形，易错点集中在幂的符号、底数转换、根式与分数指数互化失误。 2.方法：统一将根式化为分数指数幂，熟练运用同底幂运算性质：、。运算时分步化简，优先处理负指数与零指数，严格区分底数与指数，规避公式混用导致的计算错误。 【例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式． 故选：D 【例2】已知，，则的值为______. 【答案】/ 【详解】因为，， 所以. 故答案是：. 【变式1-1】已知，，化简：__________. 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 【变式1-2】设，若，则的值是_____. 【答案】 【详解】因为，， 则，则， 所以， 则. 故答案为： 【变式1-3】已知，则________． 【答案】 【详解】 ， 因为，所以原式 故答案为： 题型二、应用对数运算性质求值 题型模版 1.特征：依托对数核心运算性质出题，核心公式为、、。多为多组对数合并、拆分化简求值，常混杂常数、真数变形，易混淆公式对应关系。 2.方法：观察真数结构，灵活正向、逆向运用对数三大运算公式，拆分或合并对数式子简化运算。化简时保证底数统一，牢记对数定义域，运算后检验取值范围，杜绝无意义对数运算。 【例3】关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B．-3 C．-2 D． 【答案】D 【详解】由题意可知：的解为， 则，解得. 所以. 故选：D. 【例4】若且，则________． 【答案】4 【详解】因为， 所以， 因为且，所以，解得． 【变式2-1】（专题17方程与恒等变形（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）若实数满足，则的值为_____． 【答案】4049 【详解】． 故答案为：. 【变式2-2】已知为正实数，且，求的值. 【答案】 【详解】由， 故，即， ，即， 设，则，故，解得， 故. 【变式2-3】设同号，且，求的值. 【答案】 【详解】由同号，可得，可得， 所以 题型三、运用换底公式求值计算 题型模版 1.特征：题干出现不同底数对数，无法用基础公式运算，核心依托换底公式变形求解。常考查多对数连乘、连除化简，搭配推论，难点是杂乱底数的统一选择。 2.方法：灵活运用换底公式统一底数，优先选用公共底数或10、e等常用底数，结合连锁约分技巧化简。整体分析式子结构，优先整体变形再代入计算，精简运算步骤，降低计算误差。 【例5】若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，因为，所以. 【例6】已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 【变式3-1】计算：______________． 【答案】 【详解】原式 . 【变式3-2】已知a，b为方程的两个根，则______． 【答案】 【详解】原方程变形为． 令，则，解得或 ， 当时，可得；当时，可得， 即方程的两根分别为、，故． 【变式3-3】若，则_____． 【答案】0 【详解】设， 则， 所以， ， 所以. 故答案为：. 题型四、利用换底公式表示已知数 题型模版 1.特征：题目给出已知对数值，依托换底公式，实现不同底数、真数对数的等价转化，用已知量表示未知量。侧重代数式变形，难点是找准已知式与待求式的底数、真数关联。 2.方法：以换底公式为核心桥梁，拆分待求对数的真数与底数，转化为已知对数的组合形式。通过代数变形整合式子结构，严格遵循对数运算公式等价替换，保证变形前后式子恒等，精准完成未知量代换求解。 【例7】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 【例8】已知，用表示___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 所以用表示， 故答案为：. 【变式4-1】已知，，则______．（用含、的式子表示） 【答案】 【详解】，， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】已知，则________．（用表示） 【答案】 【详解】由，得，又， 所以. 故答案为： 【变式4-3】已知，，试用a，b表示、． 【答案】； 【详解】因为，， 由对数的运算公式，可得， 题型五、指数、对数结合基本不等式求最值 题型模版 1.特征：综合指数、对数运算，结合基本不等式求解最值。题型综合性强，易错点为忽略指数式、对数式真数大于0的取值限制，盲目套用不等式导致最值无效。 2.方法：先利用指对数性质确定变量取值范围，满足基本不等式“一正”条件。通过配凑构造和定、积定结构，套用不等式公式求解最值，最后严格验证等号成立条件，排除不符合定义域的解。 【例9】已知，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D．5 【答案】A 【详解】由对数的运算性质，化为， 因为，所以，从而， 又，则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 【例10】数学计算中通常会用恒等式来简化运算，已知，且，则的最大值为_______. 【答案】 【详解】由，左右取对数得，由，解得， 所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式5-1】已知，，，则的最小值为__________. 【答案】25 【详解】由题意得， 又，， ，，，， 根据基本不等式可得，， 当且仅当，即时等式成立， ，. 故答案为：25. 【变式5-2】（核心考点4 指数与对数 （泸教版）【讲】）已知，则的最小值是_____. 【答案】 【详解】由题意，，则，且， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是. 故答案为：. 【变式5-3】若，，且，则的最大值为______. 【答案】/ 【详解】因为，，且， 即， 所以，， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．化简：____________ 【答案】 【详解】原式. 2．计算：. 【答案】 【详解】 . 3．已知，，则的值为__________． 【答案】 【详解】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 故答案为： 4．已知实数满足，且，则的值为___________. 【答案】18 【详解】由，得，则， 由，得，联立解得或， 因此或，所以. 5．已知实数、满足，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因为实数、满足，则，可得， 由可得，所以， 即，等式两边同时除以可得， 解得（舍去）或. 故选：D. 6．已知实数，且，则________． 【答案】16 【详解】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 。 7．若，，则________（用、表示）． 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，由换底公式可得. 8．已知，则实数的最小值是______. 【答案】4 【详解】由题可得， 故. 由得，故， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 9．设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】B 【详解】由换底公式可得 ， 原式化为 ，所以 ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取等号成立. 所以的最小值是. 10．已知，，，则当的值为______时，取得最大值为______. 【答案】 4 4 【详解】由于，则要使取最大，则， ， 当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值. 故答案为：4；4 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $