第四章 指数函数、对数函数与幂函数全章高频重点题型突破（十三大高频+四大重难，专项训练）数学人教B版高一必修第二册

**基本信息** 以“基础-核心-综合”三阶架构系统覆盖指对幂函数全章高频重点，通过梯度化题型设计构建从概念到应用的完整知识链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|13类高频题型|聚焦运算（指数式/对数式）、概念（定义域/值域）、图像性质（单调性/定点）|从定义到性质，形成“概念-运算-图像-应用”递进逻辑| |核心提升|4类重难点题型|深化零点问题、恒成立、复合函数、新定义，强调转化与分类讨论|基于基础性质，构建“性质应用-综合分析-创新拓展”提升路径| |综合攻坚|多题型综合题|整合跨模块知识，体现实际应用（如碳14衰减）与代数推理|实现知识网络化，培养数学思维与问题解决能力|

第四章 指数函数、对数函数与幂函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 指数式的化简与求值 题型8 幂函数的图像与性质 题型2 对数式的运算 题型9 利用单调性解幂指对函数不等式 题型3 指对幂函数的概念和解析式 题型10 比较大小问题 题型4 指对幂函数的定义域 题型11 幂指对函数模型的实际应用 题型5 指对幂函数的值域 题型12 反函数及其应用 题型6 指数函数的图像与性质 题型13 幂指对函数的综合问题 题型7 对数函数的图像与性质 核心提升·重难点归纳 题型1 幂指对函数的零点问题 题型2 函数不等式恒（能）成立问题 题型3 幂指对复合函数问题 题型4 新定义问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 指数式的化简与求值 1．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 5．（2026高一·全国·专题练习）计算； 6．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. ◆题型2 对数式的运算 1．（25-26高一下·甘肃定西·期末）（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·四川乐山·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河北保定·期末）_________. 7．（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 8．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）计算：______. ◆题型3 指对幂函数的概念和解析式 1．（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 2．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 4．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 ◆题型4 指对幂函数的定义域 1．（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． ◆题型5 指对幂函数的值域 1．（25-26高一上·河北承德·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·内蒙古·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期末）已知是定义域为的偶函数，且时，，则的值域是______． 5．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. ◆题型6 指数函数的图像与性质 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．  B．   C．   D．   5．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． ◆题型7 对数函数的图像与性质 1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广西贵港·开学考试）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A．B．C．D． 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 5．（25-26高一上·广东江门·期末）已知函数且的图像经过坐标原点.则函数与函数在同一直角坐标系下的图象可能是（   ） A． B． C． D． ◆题型8 幂函数的图像与性质 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 2．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 5．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）如图是某幂函数的图象，则该幂函数可能是（   ）    A． B． C． D． ◆题型9 利用单调性解幂指对函数不等式 1．（25-26高一下·北京·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·陕西安康·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 5．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． ◆题型10 比较大小问题 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南红河·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． ◆题型11 幂指对函数模型的实际应用 1．（26-27高一上·福建厦门·开学考试）某市2024年的扶贫资金为万元，比2023年增长了，计划2025年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（     ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则我市全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（     ）（参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）某模型对图象中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（     ） A．1152 B．1560 C．1842 D．2303 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（为原始量，为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于（   ） 参考时间轴： A．战国 B．汉朝 C．唐朝 D．宋朝 5．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（    ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 ◆题型12 反函数及其应用 1．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（25-26高一上·浙江丽水·期末）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 4．（多选）（25-26高一上·山东临沂·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图象关于轴对称 C．函数和的图象关于直线对称 D．函数（且）的图象必过定点 5．（25-26高一上·江西景德镇·期末）若的反函数的图象经过点，则______． ◆题型13 幂指对函数的综合问题 1．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 2．（多选）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．是上的增函数 C．是上的奇函数 D．有最大值 3．（多选）（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 4．（多选）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 5．（25-26高一下·上海宝山·期末）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)当时，求函数的值域． ◆题型1 幂指对函数的零点问题 1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 函数不等式恒（能）成立问题 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·期中）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)如果，不等式恒成立，求实数的取值范围． 5．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 6．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求证：在上单调递增； (3)若在区间上有解，求实数的取值范围． ◆题型3 幂指对复合函数问题 1．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．函数的最小值为_____. 4．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 5．（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 6．（第03讲幂函数与二次函数（复习讲义）（全国通用）-2）函数的单调递增区间为___________. 7．（25-26高一下·青海海东·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 8．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知函数是偶函数， (1)求的值． (2)令，， （ⅰ）求的值域． （ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 9．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域． ◆题型4 新定义问题 1．（25-26高一下·广东广州·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽六安·期末）在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 3．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）已知函数，其中表示不超过的最大整数，则__________. 4．（25-26高一下·云南丽江·期末）对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数． (1)设，，，生成函数是偶函数，求的值； (2)设，，，，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由． 5．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”? (2)若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为“类函数”，求实数m的取值范围. 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 6．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 7．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，，，则（   ） A．与是同一函数 B．与是同一函数 C．若，则 D．已知，若，则 三、填空题 8．（2026高一上·广东江门·竞赛）已知函数，若，则________． 9．（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 10．（25-26高二下·天津南开·期末）设函数，则满足的实数的取值范围是__________． 四、解答题 11．（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 12．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 指数式的化简与求值 题型8 幂函数的图像与性质 题型2 对数式的运算 题型9 利用单调性解幂指对函数不等式 题型3 指对幂函数的概念和解析式 题型10 比较大小问题 题型4 指对幂函数的定义域 题型11 幂指对函数模型的实际应用 题型5 指对幂函数的值域 题型12 反函数及其应用 题型6 指数函数的图像与性质 题型13 幂指对函数的综合问题 题型7 对数函数的图像与性质 核心提升·重难点归纳 题型1 幂指对函数的零点问题 题型2 函数不等式恒（能）成立问题 题型3 幂指对复合函数问题 题型4 新定义问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 指数式的化简与求值 1．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，故A错误； 积的乘方，每个因式分别乘方，，故B错误； 完全平方公式展开得，故C错误； 将看作整体，用平方差公式计算： ，故D正确. 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算求解即可. 【详解】由，，可得，因为为正数，所以，则 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 4．（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先利用二次根式性质化简左侧表达式，根据等式成立的条件列不等式，然后解出的取值范围. 【详解】因为， 要使成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. 5．（2026高一·全国·专题练习）计算； 【答案】 【分析】由指数幂的运算性质、根式与有理数指数幂的关系分别计算各式即可得答案． 【详解】 ； 6．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. ◆题型2 对数式的运算 1．（25-26高一下·甘肃定西·期末）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的幂运算性质化简计算即可. 【详解】，故C正确. 2．（25-26高一下·四川乐山·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 3．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用指数对数互换，解出的值，利用对数的运算法则计算即可. 【详解】已知 ，则， 于是 所以， . 故选：C 5．（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对数转化，再借助换底公式，然后进行对数运算，即可判断各选项. 【详解】由，可得， 则，故A错误； 由分别转化为对数式，结合换底公式可得： ，故；，故； ，故， 由，， 显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 6．（25-26高一下·河北保定·期末）_________. 【答案】 【详解】 7．（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 【答案】 【分析】将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 8．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）计算：______. 【答案】/ 【详解】原式. ◆题型3 指对幂函数的概念和解析式 1．（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 【详解】函数是指数函数，可得，解得． 2．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 3．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 4．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 5．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． ◆题型4 指对幂函数的定义域 1．（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由函数的定义域求复合函数的定义域，再结合对数函数的性质可得. 【详解】因为函数的定义域为，在函数中，要使函数有意义， 则，即，解得，所以函数的定义域为. 5．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． ◆题型5 指对幂函数的值域 1．（25-26高一上·河北承德·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解对数不等式可求出，求函数的值域可得到，再根据集合的交集运算即可求出答案. 【详解】不等式可化为，解得， 故， 函数的值域为， 故， 所以. 故选：D. 2．函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性求值域即可. 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. 3．（25-26高二下·内蒙古·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数型函数值域为，则真数必须能取到大于零的任意实数. 【详解】因为函数的值域为， 所以真数能取到大于零的任意实数， 所以，解得. 4．（25-26高一上·上海·期末）已知是定义域为的偶函数，且时，，则的值域是______． 【答案】 【分析】先求出当时函数的取值范围，再由函数为偶函数，得出函数在上的值域. 【详解】因为时，，函数为增函数， 所以， 又是定义域为的偶函数， 所以图象关于轴对称，故当时，， 即的值域. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. ◆题型6 指数函数的图像与性质 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 3．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 5．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 6．（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. ◆题型7 对数函数的图像与性质 1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 2．（25-26高一下·广西贵港·开学考试）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象特征及对数函数的性质判断即可. 【详解】 因为，，所以，故的对称轴在轴左侧，排除A与C； 由选项BD可知，，所以， 所以在对称轴右侧单调递减，在对称轴左侧单调递增，故B满足，D不满足. 3．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】通过函数的定义域、对称性和单调性即可求解，得到答案. 【详解】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【答案】C 【分析】令，代入计算可求定点坐标. 【详解】令，得， 所以函数（且）的图像过定点（2，0）. 故选：C. 5．（25-26高一上·广东江门·期末）已知函数且的图像经过坐标原点.则函数与函数在同一直角坐标系下的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数经过坐标原点求出，然后根据对数函数的图象与指数函数的图象判断即可. 【详解】因为函数且的图像经过坐标原点. 所以，得到. 所以且. 当时，函数的图象为选项A,B中的图象， 此时，因为， 所以，所以，由图可知A,B均错误； 当时，函数的图象为选项C,D中的图象， 此时，因为， 所以，因为，所以有可能大于1， 所以根据图象可知，D正确. 故选：D. ◆题型8 幂函数的图像与性质 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 2．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 3．（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的定义域和值域，再根据幂函数的性质判断即可. 【详解】函数的定义域为，值域为，排除B，D选项， 又函数函数图像为曲线非直线，故C错误， A选项图像大致符合函数图像. 故选：A 4．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：当时，，则无意义，错， B：当时，，错， C：当时，则且定义域为，，故函数为奇函数，错， D：由，则在定义域上单调递增，对. 故选：D 5．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 6．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）如图是某幂函数的图象，则该幂函数可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性与图象可得出合适的选项. 【详解】由图可知，该幂函数的定义域为，而ABC选项中的幂函数的定义域均为， 幂函数的定义域为，符合题意， 由图可知，该幂函数在上为增函数，且在第一象限内的图象呈“上凸”状， 故该函数为. 故选：D. ◆题型9 利用单调性解幂指对函数不等式 1．（25-26高一下·北京·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即. 2．（25-26高一下·陕西安康·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用对数函数与指数函数单调性解不等式，根据解集的关系结合充分条件、必要条件分析即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以由得：，解得：， 即不等式的解集为， 又函数在上单调递增， 所以由得：，解得：， 即不等式的解集为， 由为的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 4．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 5．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中函数解析式结合对数运算可得，即可得结果. （2）利用函数解析式将不等式化简可得在上恒成立.，再利用二次不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 因为，可得. 又因为且，所以. （2）由（1）可知：. 因为，， 则，，可得. 因为在上单调递增， 则，即在上恒成立. 又在上最小值为0，则，解得， 且，所以的取值范围为. ◆题型10 比较大小问题 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是减函数，所以，即； 因为函数是减函数，所以，即； ， ，所以. 函数是减函数，所以，即. 所以. 2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用幂函数与对数函数的单调性比较函数值的大小. 【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，即 又因为，所以. 4．（25-26高一上·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. 5．（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数性质，借助中间值进行大小比较. 【详解】由对数函数性质可知，； 由指数函数性质可知，，因为且，所以； 又，因为且，所以. 综上所述，. 故选：A. 6．（25-26高一上·云南红河·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指对运算，以及函数单调性，与比较，即可判断. 【详解】，所以． 故选：A. ◆题型11 幂指对函数模型的实际应用 1．（26-27高一上·福建厦门·开学考试）某市2024年的扶贫资金为万元，比2023年增长了，计划2025年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（     ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【分析】根据题中所给的条件，用2024年的扶贫资金为万元分别表示2023年与2025年的扶贫金额，最后再相加即可求解. 【详解】设2023年的扶贫资金为万元，2025年的扶贫资金为万元 所以3年总金额为. 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则我市全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（     ）（参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 【答案】C 【详解】设经过年，全年投入的研发资金超过2000万元， 根据题意得：，化简得：. 因为在上单调递增，不等式两边同时取常用对数得： ， 代入参考数据得： ，解得. 因为为正整数，故的最小值为4，所以对应年份为年. 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）某模型对图象中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（     ） A．1152 B．1560 C．1842 D．2303 【答案】D 【详解】令，得 ，， 两边取对数，得 ，. 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（为原始量，为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于（   ） 参考时间轴： A．战国 B．汉朝 C．唐朝 D．宋朝 【答案】C 【分析】由半衰期为5730年，可得，再由，求出的值，即可得答案. 【详解】由题意可得当时，， 即， 解得， 所以， 由， 可得， 所以， 解得， 又， 可推断该文物属于唐朝. 5．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（    ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 【答案】D 【详解】若，则，则， 若，则，则， 则，得， 故30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的100倍. ◆题型12 反函数及其应用 1．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数， 则，所以. 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数的性质，利用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数的反函数的图象过点， 所以函数的图象过点， 所以有. 故选：B 3．（25-26高一上·浙江丽水·期末）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】D 【分析】根据互为反函数的函数图象的对称性得解. 【详解】因为与互为反函数， 所以函数与的图象关于直线对称， 故选：D 4．（多选）（25-26高一上·山东临沂·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图象关于轴对称 C．函数和的图象关于直线对称 D．函数（且）的图象必过定点 【答案】BC 【分析】对于A，由对数函数的定义即可判断；对于B, 由函数和的图象即可判断；对于C，由互为反函数的函数图象性质即可判断；对于D，将代入函数，即可判断. 【详解】对于A，由对数函数的定义知函数不是对数函数. 对于B, 函数和的图象关于轴对称,故B正确； 对于C，函数和互为反函数，故它们的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，将代入函数得，故函数（且）的图象必过定点，故D错误. 故选：BC 5．（25-26高一上·江西景德镇·期末）若的反函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【分析】由题意可得函数的图象过点，代入计算即可求解. 【详解】因为函数的反函数的图象经过点， 所以函数的图象过点， 则，解得. 故答案为：3 ◆题型13 幂指对函数的综合问题 1．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质得且，利用指数幂的运算性质，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，可作出其图象： 由，得，即， 得且， 所以， 当且仅当，即时等号成立．所以的最小值为. 故选：B. 2．（多选）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．是上的增函数 C．是上的奇函数 D．有最大值 【答案】ABC 【分析】根据函数的性质结合指数函数逐项分析即可. 【详解】解：由题意得： 函数的定义域为 对于选项A：函数是一条连续的曲线，当趋向于负无穷时，趋近于正无穷，趋近于零， 所以趋近于负无穷，当趋向于正无穷时，趋近于零，趋近于正无穷， 所以趋近于正无穷，所以的值域为，故A正确； 对于选项B：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以是上的增函数，故B正确； 对于选项C：的定义域关于原点对称，又，所以是上的奇函数，故C正确； 对于选项D：是上的增函数，无最值，所以D错误. 故选：ABC 3．（多选）（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 4．（多选）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 5．（25-26高一下·上海宝山·期末）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，再利用函数在上单调递增求解； （2）把代入，求出的表达式为，再利用基本不等式与函数的性质求解值域. 【详解】（1） 当时，，由于函数在上单调递增， 故 解得 ， 所以，原不等式解集为. （2）当时，， 即，由，得， 故函数定义域为， 由于，所以(当且仅当即时取等号）， 又函数在上单调递增， 所以，， 故值域为. ◆题型1 幂指对函数的零点问题 1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 2．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数性质，分别求两段之内的零点即可。 【详解】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 3．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 4．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 5．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 6．已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数性质，结合函数性质画出函数图象，解方程可得或，结合图象及条件列不等式即可得结论. 【详解】，的定义域为. ，则函数为偶函数. 当时，，函数在上单调递减，且，时，； 函数为偶函数，函数在上单调递增； 函数的值域为，图象如图所示： ， ，解得或. 方程有个不同的根， 函数的图象与直线和直线的图象共有3个交点. ，得. 实数的取值范围为. ◆题型2 函数不等式恒（能）成立问题 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 因为p为假命题，所以或， ，则在上恒成立， 又当，当且仅当时取得等号， 因为q为真命题，所以， 所以实数a的取值范围为. 2．（25-26高一下·北京·期中）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 3．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)如果，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数解析式化简变形，再利用换元法以及二次函数性质求值域即可； （2）将不等式化简分离参数，再利用基本不等式求出最值即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）易知，， 则． 令．由，得， 则； 当，即时，； 当，即时，． 所以函数的值域为． （2）不等式，即． 令．由，得，则， 即． 令，，则． 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围是． 5．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）略 （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 6．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求证：在上单调递增； (3)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 由（1）可得， 任取，且， 则， 因为，且指数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 又因为，所以， 因此，即，         故根据函数单调性的定义得，函数在上单调递增． (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数即可. （2）根据函数单调性的定义和指数函数的单调性证明即可. （3）根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，     此时，则，满足题意， 故实数的值为． （2）略 （3）由（2）可得，要使得在区间上有解， 只需，         而当时，，所以，     所以，所以， 故实数的取值范围为． ◆题型3 幂指对复合函数问题 1．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 2．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 3．函数的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】 . 等号成立时，即， 故函数的最小值为. 故答案为： 4．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【答案】 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 5．（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 6．（第03讲幂函数与二次函数（复习讲义）（全国通用）-2）函数的单调递增区间为___________. 【答案】 【分析】应用换元法结合对数函数单调性及复合函数单调法则计算判断求解. 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则， 当时，由，得， 所以函数的单调递增区间是. 7．（25-26高一下·青海海东·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】结合复合函数单调性与定义域分情况建立不等式求解可得. 【详解】设，. 由函数 在上单调递减， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 当时，函数在上单调递减， ，符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上所述，的取值范围为. 8．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知函数是偶函数， (1)求的值． (2)令，， （ⅰ）求的值域． （ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】(1)利用偶函数的定义即可求解； (2) （ⅰ）由题可得，令，即，结合对勾函数的单调性即可求解； （ⅱ）令，将问题转化为对任意恒成立． 令，的对称轴为，转化为，结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】（1）是偶函数， 即 ，， ，． （2）（ⅰ）由（1）可得． ， 令，则． ，． 在上单调递增， 的值域为． （ⅱ）令，则，． 不等式，可化为，即对任意恒成立． 令，的对称轴为，只需． 当时，恒成立． 当时，在单调递增，，解得． 当时，在单调递减，，解得． 综上所述，的取值范围是． 9．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先因式分解再利用一元二次不等式的解法求得，根据指数函数的单调性即可求出解集； （2）先求出函数的定义域，再由对数的运算性质与换底公式将其化成关于的不等式，通过换元，求解一元二次函数的值域即可 【详解】（1）由， 可得，即得，     则，故， 所以不等式的解集为． （2）函数的定义域为， 且，      令，则，记，     则，故函数的值域为． ◆题型4 新定义问题 1．（25-26高一下·广东广州·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的推广结论构造奇函数，利用奇函数满足恒成立的性质求出对称中心的坐标，进而计算. 【详解】由题意，若的对称中心为，则为奇函数，对定义域内任意均有， 即： 代入得： ， 对第二项分母变形得，因此第二项可化简为，原等式变为： ， 要使等式对任意恒成立，令，解得， 代入左边得： 因此，解得， 故. 2．（25-26高一下·安徽六安·期末）在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用运算的定义，结合不等式的性质可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】依题意得， 由得，所以 所以，所以. 当时，不等式有解，所以， 即实数的取值范围是. 3．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）已知函数，其中表示不超过的最大整数，则__________. 【答案】5334 【分析】由取整函数的定义和对数函数的性质求解即可. 【详解】当为正整数时，. 当，时，； 当，，，，，时，，共6个1； 当，，，，时，，共18个2； 当，，，，时，，共54个3； 当，，，，时，，共20个4. 所以 . 4．（25-26高一下·云南丽江·期末）对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数． (1)设，，，生成函数是偶函数，求的值； (2)设，，，，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)能， 【分析】（1）根据偶函数的概念可求的值. （2）先确定函数的解析式，利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间的值域问题求解. （3）先确定函数的解析式，根据函数的奇偶性确定，再结合对勾函数的单调性，结合函数在上的最小值可确定，的值，得到函数的解析式. 【详解】（1）因为，故， 因为为偶函数，故，，故. （2）由题意可得，，，，， 所以， 不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立， 因为，所以. 令，则， 由在上单调递减， 所以当时，取得最小值，故. （3）设，则． 由，得， 整理得，即， 即对任意恒成立， 所以．所以 ． 设，，令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，，且当时取到“”． ，又在区间上的最小值为， ，且，此时，． . 5．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”? (2)若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为“类函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)不为“类函数” (2) (3) 【分析】（1）根据题意列式计算求出满足“类函数”定义不能得出的值即可判断； （2）根据题意将题设问题转化为在上有解分析求解即可； （3）根据对数函数的性质，得到对恒成立，求得，再由为“类函数”，得到存在实数，满足，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足， 可得，即，所以方程无解，所以不是“类函数”. （2）因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数，满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，；当时，， 所以，解得， 所以实数的最小值为. （3）由函数， 可得对恒成立，即对恒成立，所以， 若函数为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足， ①当时，，所以，所以， 因为函数在上是增函数， 当时，可得，所以； ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数在上是减函数， 当时，可得，所以； 综上所述，实数的取值范围是. 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断； 【详解】设， 的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． 2．（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 3．（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的性质判断为常数，求出该常数得到的解析式后计算即可. 【详解】因为是上的单调函数，且对任意都有， 因此存在唯一的常数，使得，即,则可得. 令，由于与均在上单调递增，因此在上单调递增， 又，故方程有唯一实数解, 因此，. 4．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 二、多选题 5．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 6．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，由，得，解得； 当时，由，得 ，解得， 综上或，A错误； 对于B，当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得， 综上，或，B正确； 对于C，因为 ， 所以 ，C正确； 对于D，当时，，当时，， 所以，的值域为，D正确． 7．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，，，则（   ） A．与是同一函数 B．与是同一函数 C．若，则 D．已知，若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，注意到的定义域为，的定义域为R，二者不是同一函数，故A错误； 对于B，，二者定义域相同，故B正确； 对于C，，则，，故C正确； 对于D，，因为，则，即，故，故D正确． 三、填空题 8．（2026高一上·广东江门·竞赛）已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】先根据绝对值相等结合对数函数单调性推出，再将其代入所求分式通分化简即可得结果. 【详解】由可得，则. 已知，又因为函数在上单调递增， 故，因此. 进而，即. . 9．（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【答案】/ 【分析】先根据是奇函数，得到其定义域关于原点对称，且，从而得到，的值，即可得到的解析式，再根据复合函数的单调性即可判断的单调性，进而即可求出在某区间的最大值． 【详解】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． 10．（25-26高二下·天津南开·期末）设函数，则满足的实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】记，然后判断的单调性和奇偶性，再利用这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】记，定义域为， 因为，所以为偶函数， 因为当时，单调递增，由复合函数性质可知单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 则不等式， 平方得，解得，即. 四、解答题 11．（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 12．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2); (3). 【分析】(1)利用对数函数单调性脱去对数，转化为一元二次不等式，通过换元法结合指数函数性质，求解出x的取值范围; (2)根据函数零点定义转化为方程有解问题，换元后分离参数，利用函数的最值与区间端点值，确定参数取值范围; (3), 转化为  ，再利用函数的单调性求解. 【详解】（1），，得， 所以，即， 令 ，，解得 ，即 ， 所以，所以的解集是； （2） 在 上存在零点，令，得 ，即，所以， 因为，所以 令 ，，记 ， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， 所以，在 时取得最大值， 又，， 所以的值域是，所以,所以， 所以a的取值范围是; （3）, 得， 即， 在上的最大值是，最小值是， 由题意  ，即， 所以，所以， 即，所以， 令，， 在上单调递减，所以当时，取得最小值3， 所以在上取得最大值， 在上单调递减，所以当时，取得最小值1， 所以，所以 所以a的取值范围是. 52 / 52 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $