精品解析：四川省达川中学2026-2027学年八年级上学期9月阶段学情自测数学试题

四川省达州市达川中学2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列各数中是无理数的有（ ） （相邻两个1之间依次增加1个0）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知：在中，、、分别是、，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则a的值为（ ） A. 0 B. 0，1 C. ，0 D. 1 6. 《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 比较下列各组数的大小，错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点处，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边上的高为___________． 12. 已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值为__________． 13. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为______ 14. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是 _______ 15. 已知，则______． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 已知，如图在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积． 18. 已知的立方根是2，的算术平方根是1，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 19. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的周长； （2）求的度数． 20. 如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地为田间的一条小路，且，已知，，，． （1）求四边形田地的面积； （2）为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 21. 已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）． 22. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 23. （1）如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果． （2）已知实数，，满足，求的平方根． 24. 观察与计算： ；； __________；__________． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；； 【应用】 （1）化简： ①； ②； （2）化简：． 25. 综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为a，b，c，，显然，用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为　　； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，，，设，请直接写出x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市达川中学2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列各数中是无理数的有（ ） （相邻两个1之间依次增加1个0）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】解：（相邻两个1之间依次增加1个0）中，无理数有（相邻两个1之间依次增加1个0），共3个； 故选：C． 2. 已知：在中，、、分别是、，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，， ， 故是直角三角形， 故选项不符合题意； B、，， ， 故不是直角三角形， 故选项符合题意； C、，，， ， 故是直角三角形， 故选项不符合题意； D、， 设，，， ， ， 故是直角三角形， 故选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的加、减、乘、除计算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A.，故此项错误； B. ，故此项错误； C. ，故此项正确； D. ，故此项错误． 故选：C． 4. “勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由面积相等法列出等式，化简之后看是否符合即可. 【详解】四个图形都可由面积相等法列出等式， A.，化简可得，A选项可证明勾股定理； B. ，此图可证明完全平方公式，B选项不能证明勾股定理； C. ，化简可得，C选项可证明勾股定理； D.，化简可得，D选项可证明勾股定理； 故选：B. 【点睛】本题考查勾股定理的证明，用面积法列出等式并化简是解题的关键. 5. 若，则a的值为（ ） A. 0 B. 0，1 C. ，0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴或0， 故选：B. 6. 《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，设原处的竹子还有x尺，则尺，尺，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 设原处的竹子还有x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：B． 7. 比较下列各组数的大小，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可，能选择适当的方法比较两个数的大小是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴，即，故选项符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴即，故选项不符合题意； D、∵， ∴，即，故选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据的面积为求出，再利用勾股定理求出即可，熟练掌握勾股定理的应用解题的关键． 【详解】∵，，的面积为， ∴，即，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 故选：． 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，由二次根式有意义的条件求出的值，再代入二次根式计算即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点处，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路程问题，将圆柱侧面展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁经过的最短路程，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁经过的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁经过的最短路程， 由题意可得，，， ∴， ∴蚂蚁经过的最短路程为， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边上的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边，在根据面积相等即可求出高． 【详解】解：根据勾股定理可得， 斜边为 ， 设斜边上高为h根据三角形面积公式可得， ， 解得 ， 故答案为． 【点睛】本题考查勾股定理及三角形面积公式，解题关键是利用等积法换算斜边的高． 12. 已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值为__________． 【答案】或49 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平方根的性质是解题关键．分两种列方程并求解，可得的值，然后计算的值即可． 【详解】解：①当， 解得：， ∴． ②当， 解得：， ∴∴． 故答案为：或49． 13. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理得应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 14. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是 _______ 【答案】8+ 【解析】 【分析】根据程序框图的流程逐步进行计算，判断根式的大小即可解题． 【详解】解：输入n=，n(n+1)=2+15， 输入n=2+， n(n+1)= 8+15， ∴输出结果为8+． 【点睛】本题考查了实数比较大小，实数的计算，程序框图的应用，中等难度，读懂流程图，会判断根式的大小是解题关键． 15. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法及完全平方公式的应用，设，，即，则，，然后利用完全平方公式的运算即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设，，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 17. 已知，如图在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积． 【答案】24 【解析】 【分析】根据三角形面积求出AB，推出AC、BC的平方和等于AB的平方，求出∠C＝90°，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】∵DE＝7，△ABE的面积为35， ∴×AB×7＝35， ∴AB＝10， ∵BC＝6，AC＝8， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴S△ABC＝×6×8＝24． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出△ABC是直角三角形． 18. 已知的立方根是2，的算术平方根是1，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是2， ∴， ∵的算术平方根是1， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是4， 又是的整数部分， ∴， 综上可知，，； 【小问2详解】 ∵，，， ∴． ∴的平方根为． 19. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的周长； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了网络图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）利用利用勾股定理求出的长，相加即得； （2）连接，根据勾股定理与勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：，，，； 四边形的周长为 ． 【小问2详解】 解：连接， ，，， ． ． ， ． 20. 如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地为田间的一条小路，且，已知，，，． （1）求四边形田地的面积； （2）为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，由勾股定理，求得，再由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，则四边形田地的面积为，代入计算即可． （2）过点作于点．由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度．根据，即可求解． 【小问1详解】 解：， ． 在中，由勾股定理，得， （负值已舍去）． ， ， 是直角三角形，且， 四边形田地的面积为 ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． 由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度． ， ， ， 解得， 这条水渠的最短长度为． 21. 已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）然后利用完全平方公式进行变形为，进而代值求解即可； （2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解：当，时， 原式 ； 【小问2详解】 解：当时， 原式 ． 22. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】（1）12米 （2）7米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； 【小问2详解】 解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 23. （1）如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果． （2）已知实数，，满足，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据图示，可得：，据此化简即可． （2）根据实数，，满足．可得：，，，求出、、的值各是多少，再应用代入法，求出的值，进而求出它的平方根即可． 【详解】解：（1）根据图示，可得：， ． （2）实数，，满足， ，，， ，，， ， 的平方根是：． 【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 24. 观察与计算： ；； __________；__________． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；； 【应用】 （1）化简： ①； ②； （2）化简：． 【答案】，，（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，涉及二次根式的乘法运算、平方差公式、分母有理化；解题的关键是能够准确理解题意运用相关运算法则进行求解．“观察与计算”直接根据二次根式乘法运算法则和平方差公式求解即可；“应用” （1）依据题意进行分母有理化即可，其中①先把分母化简，再把分子分母同时乘以即可得到答案；②把分子分母同时乘以，再计算化简即可得到答案； （2）先对原式每一项进行分母有理化，即可得到，由此计算求解即可． 【详解】解：观察与计算： ； ； （1）①； ②； （2）∴ 25. 综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为a，b，c，，显然，用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为　　； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，，，设，请直接写出x的值． 【答案】（1）解：， ； ； ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先表示出各个图形的面积，进而可得出，化简之后即可证明； （2）先运用勾股定理求出，再用两种求三角形面积的方法求解高即可； （3）根据勾股定理得，分别表示后，建立等式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，； ， 边上的高为； 【小问3详解】 解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $