精品解析：四川省达州市达川中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试题

达川中学2025年秋季八年级上期质量检测（二） 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1. 下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，理解定义是解题的关键， 根据无限不循环小数为无理数，其中无理数包括：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个之间的个数依次加）等有这样规律的数． 根据无理数的定义分析判断． 【详解】解：，， 无理数有：，，，，共个； 故选：B 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式除法、加减法、二次根式化简，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式加法、减法、二次根式性质、除法运算法则解题即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选：D． 3. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和．根据勾股定理的逆定理可以判断A、B、C，根据三角形内角和可以判断D． 【详解】解：由，可得，则，即由线段，，组成的三角形是直角三角形，故选项A不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项B不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项C不符合题意； ，最大的，故选项D中的三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线l1：y＝3x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先把P（1，b）代入直线l1：y＝3x＋1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线y＝3x＋1经过点P（1，b）， ∴b＝3＋1， 解得b＝4， ∴P（1，4）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解． 5. 某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 众数是3 B. 中位数是0 C. 平均数是3 D. 极差是5 【答案】B 【解析】 【分析】根据极差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可． 【详解】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5， 则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为，极差为， 故选：B． 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数图象与性质，先根据正比例函数图象判断的正负，再根据一次函数的图象判断a和b，即可判断答案． 【详解】解：．由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项正确，符合题意； ． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； ． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； ．由正比例函数可知， 由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； 故选：． 7. 我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组． 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 8. 已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）， 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE． ∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD=CE．本结论正确． ②∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE． ∵∠ABD+∠DBC=45°， ∴∠ACE+∠DBC=45°． ∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°． ∴BD⊥CE．本结论正确． ③∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°． ∴∠ABD+∠DBC=45°． ∵∠ABD=∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确． ④∵BD⊥CE， ∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2． ∵△ADE为等腰直角三角形， ∴DE=AD，即DE2=2AD2． ∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2． 而BD2≠2AB2，本结论错误． 综上所述，正确的个数为3个． 故选C． 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 9. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由得， 解得：且， 故答案为：且． 10. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离． 设点P的坐标为，则，再根据到两坐标轴的距离，得出，即可解答． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第四象限， ∴， ∵P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 11. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 【答案】9． 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 12. 若方程组的解互为相反数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据方程组的解互为相反数，得到，代入方程组计算即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：，即， 代入方程组得：， 整理得， 可得， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，在长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，根据翻折变换的性质用表示出、，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可知， ，，， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， ，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质． 三、解答题本大题共5小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组． （1）先计算绝对值、算术平方根、立方根、乘方，再计算加减即可； （2）整理后根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：整理得：， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴． 15. 如图，在正方形网格上的一个，且每个小正方形的边长为1（其中点A，B，C均在格点上）． （1）作关于y轴的轴对称图形； （2）求出的面积； （3）在y轴上找一点P，使得最小，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短路线问题等知识； （1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）利用网格中矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）连接交y轴于点P，连接，点P即为所求． 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 【小问3详解】 连接交y轴于点P，连接，此时最小，由图象可得． 16. 为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的演讲比赛，比赛成绩分为以下5个等级：A．100分、B．90分、C．80分、D．70分、E．60分，比赛结束后随机抽取部分参赛选手的成绩，整理并绘制成如图统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）所抽取学生比赛成绩的众数是________，中位数是________； （2）求所抽取学生比赛成绩的平均数； （3）若参加此次比赛的学生共100名，且学校计划为比赛成绩进入A，B两个等级的学生购买奖品，请估计学校共需要准备多少份奖品？ 【答案】（1）80，80 （2）78分 （3）25份 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数定义，加权平均数，样本估计总体，解题的关键在于从统计图中获取需要的信息． （1）根据众数，中位数定义求解，即可解题； （2）根据加权平均数公式计算求解，即可解题； （3）利用100乘以比赛成绩进入A，B两个等级的所占比，即可解题． 【小问1详解】 解：根据统计图可知，这次调查成绩出现次数最多的是80分，则抽取学生比赛成绩的众数是80， 总人数为（人）， 则中位数是为按顺序排列后第名学生比赛成绩的平均数， ，即第名学生比赛成绩在C等级， ⸫中位数是， 故答案为：80，80； 【小问2详解】 解：这20人的平均成绩为（分）， 答：所抽取学生比赛成绩的平均数为78分； 【小问3详解】 解：（份）， 答：估计学校需要准备25份奖品． 17. “巴山大峡谷”位于四川省达州市宣汉县，这里山势奇特，河水清澈，溶洞成群，动物多而珍贵，植物丰富而罕见，是个旅游的好地方．若购买9张大象洞门票和4张桃溪谷门票共花900元，购买3张大象洞门票和2张桃溪谷门票共花360元． （1）大象洞门票，桃溪谷门票每张各多少元？ （2）若某旅游公司共有游客50人，设购买大象洞门票张，且购买大象洞门票不超过20张，设该旅游公司门票总费用为元，请写出与的函数关系式，并求出门票总费用最低为多少钱？ 【答案】（1）大象洞门票的价格每张60元、桃溪谷门票每张90元 （2），门票总费用最低为3900元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用和二元一次方程组的应用，找到相等关系和掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设大象洞门票的价格每张元、桃溪谷门票每张元，根据“购买9张大象洞门票和4张桃溪谷门票共花900元，购买3张大象洞门票和2张桃溪谷门票共花360元”列方程组求解； （2）先列出出与的函数关系式，再根据函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设大象洞门票的价格每张元、桃溪谷门票每张元， 则， 解得：， 答：大象洞门票的价格每张60元、桃溪谷门票每张90元； 【小问2详解】 解：由题意得， 购买大象洞门票不超过20张， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值，最小值为：（元， 门票总费用最低为3900元． 18. （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A、D、E，在同一直线上，连接，易证，则①线段之间的数量关系是______；②______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E，在同一直线上，若，求的长度； （3）探究发现：如图3，点为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由条件易证，从而得到，由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； （2）同 （1）证出得出，，求出，得出，由勾股定理求出即可； （3）把绕点C逆时针旋转得，连接，则，证出是等边三角形，得出，，求出，证明D、P、E在同一条直线上，得出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）①和均为等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 由①得， ， 为等边三角形， ， 点A，D，E在同一直线上， ， ， 故答案为：； （2）和均为等腰三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 点A，D，E在同一直线上， ， ， ， ； （3）把绕点C逆时针旋转得，连接，如图所示： 则 ，，， 是等边三角形， ， ， ， 又 即D、P、E在同一条直线上， ， 在中， ， 即的长为． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． B卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 19. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，分母有理化，先由非负数的性质求出，，，再代入所求代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 20. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 21. 已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，勾股定理及轴对称图形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合，勾股定理及轴对称图形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，由折叠的性质可知：，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：令时，则有，解得：， 令时，则有， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为． 22. 如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 ________ 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可． 【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，， ①如图1，当点E在线段CD上时， ∵， ∴三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴在中，； ②如图2，当点E在射线CD上时， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵，即， 解得， ∴， ∴在中，． 综上所述，AE的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 23. 如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ， ， ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 令， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值. 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则___________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需___________元. （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么___________. 【答案】（1）－1 （2）30 （3）-11 【解析】 【分析】（1）两式相减可求出x﹣y的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，即可求出结论； （3）根据“3*5＝15，4*7＝28”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，即可求出1*1的值． 【小问1详解】 解： ， 由①﹣②可得x﹣y＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【小问2详解】 解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得： ， 由①×10﹣②×5可得5m+5n+5p＝30， 即购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 故答案为：30． 【小问3详解】 解：依题意得：， 由①×3﹣②×2可得a+b+c＝﹣11， 即1*1＝﹣11． 故答案为：﹣11． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用整体思想，求出x﹣y的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 25. 某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行5分钟定时跑测试已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行1分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程，（米）与运动时间x（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙运动的路程差d（米）（）与运动时间x（分钟）之间的函数关系如图②所示．请结合图像回答下列问题： （1）甲、乙机器人在1分钟时路程差________米，2分钟时路程差________米； （2）图①中当时，求出线段的函数解析式和a的值； （3）求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？ 【答案】（1）10，40 （2）解析式为； （3）乙机器人在“基本模式”下运动的速度是米分，乙机器人在“全速模式”下运动的速度是米分 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）观察图②即可得到答案； （2）利用待定系数法可直接求出直线的解析式．再结合图②求出直线的解析式，最后根据图②可知点G表示，两机器人相遇时的值即为的值； （3）根据速度路程时间即得出答案． 【小问1详解】 由图②可得，甲、乙机器人在1分钟时路程差米，2分钟时路程差米； 故答案为：10，40． 【小问2详解】 ∵甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是30米/分钟， ∴运动5分钟甲机器人的路程为30×5=150米． 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵由图②可知，过点与． 设直线的解析式为, ∴ 解得：， ∴直线的解析式为： 由图②可知点G表示，两机器人相遇 ∴令时解得： ∴图①中a的值为 综上：解析式为；a的值为． 【小问3详解】 由（2）可知乙机器人在“全速模式”下运动的速度是米/分． ∵运动2分钟乙机器人的路程为20米，且1分钟～2分钟之间，乙处于静止， ∴0分钟～1分钟之间乙机器人的路程为20米， ∴乙机器人在“基本模式”下运动的速度是米分． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线与y轴交于点C，两直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，连接，点P是直线上一点，若，求点P的坐标； （3）如图3，点M是x轴上的一动点，点N是直线上的一动点，是否存在以点B、M、N为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与几何图形面积的计算方法，等腰直角三角形的定义等知识，结合图形分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）把点坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数与几何图形面积的计算方法，数形结合，分类讨论即可求解； （3）根据等腰直角三角形的定义，数形结合，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：直线分别与x轴、y轴交于A、B两点， ∴当时，，则， 当时，，则， 直线与y轴交于点C， ∴当时，，则， ∴， ∵， ∴， 如图所示，设直线与轴交于点，点，过点作轴于点， ∴， ∴， 在直线中，时，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，， ①当时， ∴， 解得，， ∴， ∴； ②当时，， ∴， 即， 解得，， ∴（不符合题意，舍去）； ③当时，， ∴， 即， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， ①如图所示，，过点作轴于点，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴； ②如图所示， 同理，， ∴，则， ∴； ③如图所示，，过点作轴于点，作轴于点，设， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； ④如图所示， 同理，，即， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，或或或． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达川中学2025年秋季八年级上期质量检测（二） 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1. 下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 4. 如图，直线l1：y＝3x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 5. 某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 众数是3 B. 中位数是0 C. 平均数是3 D. 极差是5 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）， 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 9. 函数中，自变量的取值范围是______． 10. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________． 11. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 12. 若方程组的解互为相反数，则_____． 13. 如图，在长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为______． 三、解答题本大题共5小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程组：． 15. 如图，在正方形网格上的一个，且每个小正方形的边长为1（其中点A，B，C均在格点上）． （1）作关于y轴的轴对称图形； （2）求出的面积； （3）在y轴上找一点P，使得最小，直接写出点P的坐标． 16. 为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的演讲比赛，比赛成绩分为以下5个等级：A．100分、B．90分、C．80分、D．70分、E．60分，比赛结束后随机抽取部分参赛选手的成绩，整理并绘制成如图统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）所抽取学生比赛成绩的众数是________，中位数是________； （2）求所抽取学生比赛成绩的平均数； （3）若参加此次比赛的学生共100名，且学校计划为比赛成绩进入A，B两个等级的学生购买奖品，请估计学校共需要准备多少份奖品？ 17. “巴山大峡谷”位于四川省达州市宣汉县，这里山势奇特，河水清澈，溶洞成群，动物多而珍贵，植物丰富而罕见，是个旅游的好地方．若购买9张大象洞门票和4张桃溪谷门票共花900元，购买3张大象洞门票和2张桃溪谷门票共花360元． （1）大象洞门票，桃溪谷门票每张各多少元？ （2）若某旅游公司共有游客50人，设购买大象洞门票张，且购买大象洞门票不超过20张，设该旅游公司门票总费用为元，请写出与的函数关系式，并求出门票总费用最低为多少钱？ 18. （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A、D、E，在同一直线上，连接，易证，则①线段之间的数量关系是______；②______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E，在同一直线上，若，求的长度； （3）探究发现：如图3，点为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． B卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 19. 如果，那么_____． 20. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 21. 已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是______________． 22. 如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 ________ 23. 如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为____． 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值. 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则___________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需___________元. （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么___________. 25. 某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行5分钟定时跑测试已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行1分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程，（米）与运动时间x（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙运动的路程差d（米）（）与运动时间x（分钟）之间的函数关系如图②所示．请结合图像回答下列问题： （1）甲、乙机器人在1分钟时路程差________米，2分钟时路程差________米； （2）图①中当时，求出线段的函数解析式和a的值； （3）求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？ 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线与y轴交于点C，两直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，连接，点P是直线上一点，若，求点P的坐标； （3）如图3，点M是x轴上的一动点，点N是直线上的一动点，是否存在以点B、M、N为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $