专题04 因式分解常见题型与方法精讲（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题04 因式分解常见题型与方法精讲 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、因式分解结果反求参数 题型二、多项式公因式的提取 题型三、提公因式与公式法综合因式分解 题型四、因式分解后代入求值 题型五、十字相乘法因式分解 题型六、分组分解法因式分解 题型七、因式分解背景下的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 因式分解是七年级数学核心重难点，所有题型均围绕因式提取、公式套用、变形求值、创新应用四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是因式分解必须分解到不能再分解为止，二是变形过程必须保证恒等变形，不改变原式大小。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、因式分解结果反求参数 题型模版 1.特征：题目直接给出多项式因式分解后的完整结果，式子中含有未知参数，已知左右两式恒等，以此求解参数的值。题型隐蔽性强，无需解方程，重点考察整式恒等变形能力，常结合平方差、完全平方公式出题。 2.方法：将分解后的式子完整展开、整理，与原式对应项系数一一对比，利用恒等式对应系数相等列等式求参数。计算完成后回代验证，确保左右式子完全一致，满足因式分解恒等原则。 【例1】关于的多项式可以分解为，则，的值为（     ） A．12，6 B．8，4 C．10，8 D．2，6 【例2】多项式因式分解的结果为，则的值为_______． 【变式1-1】已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【变式1-2】二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有______个． 【变式1-3】因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 题型二、多项式公因式的提取 题型模版 1.特征：给出常规整式多项式，式子包含数字系数、相同字母或多项式整体因式，无复杂公式结构，核心考察基础提公因式能力，是所有因式分解题型的基础，容易漏提系数公因数或低次字母。 2.方法：先观察多项式各项，提取各项系数的最大公因数，再提取相同字母的最低次幂，整体提出公共因式。提公因式后整理剩余因式，检查是否还有可提取的因式，保证提取彻底、式子恒等不变。 【例3】下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【例4】分解因式： (1) (2) (3) (4) 【变式2-1】把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 【变式2-2】因式分解： (1) (2) (3)． 【变式2-3】把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 题型三、提公因式与公式法综合因式分解 题型模版 1.特征：多项式结构复杂，无法直接套用公式，需要先提取公因式，剩余部分符合平方差、完全平方公式结构，是考试高频综合题型，学生常直接套用公式导致分解不彻底。 2.方法：严格遵循“先提后套”原则，首先提取式子全部公因式，再观察剩余因式的结构，匹配对应乘法公式进行分解。全程检查每一步结果，确保分解至整式无法再拆分为止。 【例5】某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 【例6】对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 【变式3-1】小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 【变式3-2】因式分解：． 【变式3-3】利用因式分解计算： (1)；； (2)． 题型四、因式分解后代入求值 题型模版 1.特征：给出含字母的多项式和字母的取值条件，不直接代入计算，要求先因式分解再求值。直接代入计算量大、易出错，核心考察先化简、后求值的解题规范，部分题目含整体代换条件。 2.方法：优先对原式进行因式分解，简化式子结构，将复杂多项式转化为简单因式乘积形式。结合已知字母数值或整体代数式的值，代入化简计算，大幅降低运算量，最后核对计算结果。 【例7】若，，则__________． 【例8】已知，，则的值为_____． 【变式4-1】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式4-2】先因式分解，再求值：，其中，． 【变式4-3】已知，求的值． 题型五、十字相乘法因式分解 题型模版 1.特征：针对二次三项式整式，无公因式可提、不满足常规公式结构，适合用十字相乘法分解，是七年级重难点题型。常考察整数系数二次式，易错点为常数项正负拆分错误。 2.方法：拆分二次项系数和常数项，通过十字交叉相乘、求和，匹配一次项系数，确定正确的拆分组合。将二次三项式拆解为两个一次因式乘积，最终检验展开后与原式完全一致，保证分解正确。 【例9】因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 【例10】根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【变式5-1】【阅读与理解】将分解因式，我们可以按下面的方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验证中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ，． ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③． (2)解方程． 【变式5-2】用双十字相乘法分解： 【变式5-3】阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 题型六、分组分解法因式分解 题型模版 1.特征：多项式项数较多，多为四项及以上，无法直接提公因式或套用公式，需要分组处理。题型灵活多变，核心考察观察式子结构、合理分组的能力，分组方式错误会导致无法分解。 2.方法：根据式子结构合理分组，优先将可提公因式、可套用公式的项分为一组，分组后分别因式分解，提取组间公共因式，完成整体分解。反复检查分组逻辑，确保最终分解彻底、无剩余可拆分因式。 【例11】分解因式：______． 【例12】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【变式6-1】对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 【变式6-2】在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼利用这个方法解决了“把分解因式”这个问题： 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)请类比例1的方法补全下列因式分解过程： (2)上述材料中例2括号中应填入_______________________； (3)请类比例2的方法分解因式： 【变式6-3】对于多项式“”我们可以进行如下分解： 方法一： ． 方法二： ． 参考示例中的方法回答下列问题： (1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为，卡片②为长方形，长为，宽为，卡片③为长方形，长为，宽为，卡片④为长方形，长为，宽为，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽． (2)分解因式：； (3)若都是正整数，且，求的值． 题型七、因式分解背景下的新定义问题 题型模版 1.特征：题目自定义全新因式分解相关运算、规则或概念，结合常规因式分解知识点出题，题型新颖灵活，无固定套路，考察学生理解迁移能力，是培优高频题型。 2.方法：精准读懂题目新定义规则，剥离陌生外壳，转化为熟悉的提公因式、公式法等常规因式分解问题。严格按照新规则列式运算，结合因式分解底线原则化简求解，最终检验结果合规有效。 【例13】定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（     ） A．12是智慧数 B．将智慧数从小到大进行排列，第4个智慧数是9 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．若一个智慧数是两个奇数的平方差，则这个智慧数能被8整除 【例14】定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___． 【变式7-1】将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是__________． 【变式7-2】定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 【变式7-3】我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．分解因式：________． 3．可以把代数式分解因式为：______ ． 4．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 5．先因式分解，再求值：，其中． 6．如图，一个长方形的长和宽分别为，，它的周长是，面积是．求的值． 7．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 8．定义：若正整数a满足（m为正整数），则称a为“积序数”． （1）请写出一个“积序数”：________； （2）已知两个不同的“积序数”之差为12，其中较大的数不超过50，则较小的数为________． 9．对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 10．阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 11．我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 12．定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 13．【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解常见题型与方法精讲 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、因式分解结果反求参数 题型二、多项式公因式的提取 题型三、提公因式与公式法综合因式分解 题型四、因式分解后代入求值 题型五、十字相乘法因式分解 题型六、分组分解法因式分解 题型七、因式分解背景下的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 因式分解是七年级数学核心重难点，所有题型均围绕因式提取、公式套用、变形求值、创新应用四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是因式分解必须分解到不能再分解为止，二是变形过程必须保证恒等变形，不改变原式大小。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、因式分解结果反求参数 题型模版 1.特征：题目直接给出多项式因式分解后的完整结果，式子中含有未知参数，已知左右两式恒等，以此求解参数的值。题型隐蔽性强，无需解方程，重点考察整式恒等变形能力，常结合平方差、完全平方公式出题。 2.方法：将分解后的式子完整展开、整理，与原式对应项系数一一对比，利用恒等式对应系数相等列等式求参数。计算完成后回代验证，确保左右式子完全一致，满足因式分解恒等原则。 【例1】关于的多项式可以分解为，则，的值为（     ） A．12，6 B．8，4 C．10，8 D．2，6 【答案】A 【详解】解：∵，多项式可以分解为， ∴， ∴ ， 解得． 【例2】多项式因式分解的结果为，则的值为_______． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵多项式因式分解结果为， ∴展开得，与多项式比较系数， 二次项系数：；一次项系数：， 代入得，解得； 常数项系数均为， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】/ 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 【变式1-2】二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有______个． 【答案】无数 【详解】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 【变式1-3】因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 【答案】 【详解】解：由， ∴，， ，，都为整数， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴这样的的最大值是． 题型二、多项式公因式的提取 题型模版 1.特征：给出常规整式多项式，式子包含数字系数、相同字母或多项式整体因式，无复杂公式结构，核心考察基础提公因式能力，是所有因式分解题型的基础，容易漏提系数公因数或低次字母。 2.方法：先观察多项式各项，提取各项系数的最大公因数，再提取相同字母的最低次幂，整体提出公共因式。提公因式后整理剩余因式，检查是否还有可提取的因式，保证提取彻底、式子恒等不变。 【例3】下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； B选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； C选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； D选项：∵，与左边相等，且结果为整式积的形式， ∴变形正确． 【例4】分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式2-1】把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 【答案】 【详解】解： 把多项式提取公因式后，余下的部分是． 【变式2-2】因式分解： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式2-3】把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三、提公因式与公式法综合因式分解 题型模版 1.特征：多项式结构复杂，无法直接套用公式，需要先提取公因式，剩余部分符合平方差、完全平方公式结构，是考试高频综合题型，学生常直接套用公式导致分解不彻底。 2.方法：严格遵循“先提后套”原则，首先提取式子全部公因式，再观察剩余因式的结构，匹配对应乘法公式进行分解。全程检查每一步结果，确保分解至整式无法再拆分为止。 【例5】某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 【答案】A 【详解】解： ， 由密码手册可知，8对应明文“我”，对应明文“爱”，对应明文“福”，对应明文“田”， 则密文解码后，明文可能是我爱福田． 【例6】对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 【答案】 【详解】解： ， ∴ 这三个整数是、、． 【变式3-1】小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 【答案】C 【详解】解：∵ 又∵ 对应爱，对应中，对应国 ∴ 结果呈现的密码信息为爱中国． 【变式3-2】因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-3】利用因式分解计算： (1)；； (2)． 【答案】(1)280000； (2)40000 【详解】（1）解： （2）解： 题型四、因式分解后代入求值 题型模版 1.特征：给出含字母的多项式和字母的取值条件，不直接代入计算，要求先因式分解再求值。直接代入计算量大、易出错，核心考察先化简、后求值的解题规范，部分题目含整体代换条件。 2.方法：优先对原式进行因式分解，简化式子结构，将复杂多项式转化为简单因式乘积形式。结合已知字母数值或整体代数式的值，代入化简计算，大幅降低运算量，最后核对计算结果。 【例7】若，，则__________． 【答案】 【详解】解：； ∵， ， 解得， 则． 【例8】已知，，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：原式 ， 代入，原式． 【变式4-1】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式4-3】已知，求的值． 【答案】 【详解】解： ， ， 原式． 题型五、十字相乘法因式分解 题型模版 1.特征：针对二次三项式整式，无公因式可提、不满足常规公式结构，适合用十字相乘法分解，是七年级重难点题型。常考察整数系数二次式，易错点为常数项正负拆分错误。 2.方法：拆分二次项系数和常数项，通过十字交叉相乘、求和，匹配一次项系数，确定正确的拆分组合。将二次三项式拆解为两个一次因式乘积，最终检验展开后与原式完全一致，保证分解正确。 【例9】因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 【答案】 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 【例10】根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 【变式5-1】【阅读与理解】将分解因式，我们可以按下面的方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验证中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ，． ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③． (2)解方程． 【答案】(1)①，；②，；③，； (2)，． 【分析】 【详解】（1）解：①， ，， ∴， ∴原方程的解为，； ②， ，， ∴， ∴原方程的解为，； ③， ，， ∴， ∴原方程的解为，． （2）， ，    ， ∴， ∴原方程的解为，． 【变式5-2】用双十字相乘法分解： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴. 【变式5-3】阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，可分解为，其中，， ∵m为整数， ∴为整数， 又∵， ∴a、b都为整数， ∵， ∴或或或或或 ∴的可能值为，，． 题型六、分组分解法因式分解 题型模版 1.特征：多项式项数较多，多为四项及以上，无法直接提公因式或套用公式，需要分组处理。题型灵活多变，核心考察观察式子结构、合理分组的能力，分组方式错误会导致无法分解。 2.方法：根据式子结构合理分组，优先将可提公因式、可套用公式的项分为一组，分组后分别因式分解，提取组间公共因式，完成整体分解。反复检查分组逻辑，确保最终分解彻底、无剩余可拆分因式。 【例11】分解因式：______． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【例12】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【答案】 【详解】解： ． 【变式6-1】对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 【答案】 【详解】解：原式 【变式6-2】在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼利用这个方法解决了“把分解因式”这个问题： 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)请类比例1的方法补全下列因式分解过程： (2)上述材料中例2括号中应填入_______________________； (3)请类比例2的方法分解因式： 【答案】(1)；；；；； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解：原式； （3）解：原式. 【变式6-3】对于多项式“”我们可以进行如下分解： 方法一： ． 方法二： ． 参考示例中的方法回答下列问题： (1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为，卡片②为长方形，长为，宽为，卡片③为长方形，长为，宽为，卡片④为长方形，长为，宽为，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽． (2)分解因式：； (3)若都是正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】 【详解】（1）解：由已知得卡片①②③④的面积之和为 因为卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，且卡片⑤的长为， 所以卡片⑤的宽为． （2）解： ． （3）解：∵，， ∴ ． ∵为正整数，且， ∴， ∴即， ∴． 题型七、因式分解背景下的新定义问题 题型模版 1.特征：题目自定义全新因式分解相关运算、规则或概念，结合常规因式分解知识点出题，题型新颖灵活，无固定套路，考察学生理解迁移能力，是培优高频题型。 2.方法：精准读懂题目新定义规则，剥离陌生外壳，转化为熟悉的提公因式、公式法等常规因式分解问题。严格按照新规则列式运算，结合因式分解底线原则化简求解，最终检验结果合规有效。 【例13】定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（     ） A．12是智慧数 B．将智慧数从小到大进行排列，第4个智慧数是9 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．若一个智慧数是两个奇数的平方差，则这个智慧数能被8整除 【答案】B 【详解】解：选项A：，符合智慧数定义，是智慧数，A正确； 选项B：从小到大枚举可得，前4个智慧数依次为：3，5，7，8，因此第4个智慧数是8，不是9，B说法错误； 选项C：设大于1的奇数为，其中为正整数，，且和都是正整数， 所有大于1的奇数都是智慧数，C正确； 选项D：设两个奇数分别为，，其中、为非负整数，， 计算平方差得： 连续两个整数的乘积为偶数， 和都是偶数， 是偶数， 即原式等于乘正整数，即这个智慧数能被整除，D正确； 综上，说法不正确的是B． 【例14】定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___． 【答案】13 【分析】 【详解】解： ， ∵S为“完美数”， ∴， ∴， 故答案为：13． 【变式7-1】将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 【变式7-2】定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 当时，原式． 【变式7-3】我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：∵   ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ，    解得或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A项：的公因式是， 正确结果应为，原分解公因式未提尽，A错误； B项：，由平方差公式可得 ，与选项结果不符，B错误； C项：因式分解要求结果为几个整式的乘积形式，该选项右边是和的形式，不符合定义，C错误； D项：提取公因式，可得 ，分解正确，D正确． 2．分解因式：________． 【答案】 【详解】解： ． 3．可以把代数式分解因式为：______ ． 【答案】 【详解】解： ． 4．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【答案】B 【详解】解：∵ 二次三项式有一个因式为 ， ∴ 当时，， 将代入等式得： ， 化简计算得：， 解得：. 5．先因式分解，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 6．如图，一个长方形的长和宽分别为，，它的周长是，面积是．求的值． 【答案】 【详解】解：∵长方形的周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴ ． 7．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】(1)6 (2)， 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． （2）解：设另一个因式为， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式是． 8．定义：若正整数a满足（m为正整数），则称a为“积序数”． （1）请写出一个“积序数”：________； （2）已知两个不同的“积序数”之差为12，其中较大的数不超过50，则较小的数为________． 【答案】 6（答案不唯一） 30 【分析】 【详解】（1）解：取， 则， 故一个积序数为6．（答案不唯一） （2）解：设两个不同的积序数分别为和，其中为正整数且， 由题意得：， 即， 整理，得，， ， ，， 将12分解为两个正整数之积，且满足上述条件： 当，时，，解得，， 此时，，，符合题意， 当，时，，解得，，不是正整数，舍去， 当，时，，解得，，不是正整数，舍去， 综上所述，较小的积序数为30． 9．对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【答案】(1)①；② (2)，； 【分析】 【详解】（1）解：①当时，，当时， ∴； ②当时，， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：∵多项式是多项式的一个因式 ∴设另一个因式为 ∴ ∴ ∴ 解得． ． 10．阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 【答案】(1)①③ (2)证明：， ， ∵为正整数， ∴是8的倍数，即任意一个“奇异数”都能被8整除． (3)①4；②或 【分析】 【详解】（1）解：①∵， ∴16是“奇异数”； ②∵不能写成的形式， ∴21不是“奇异数”； ③∵， ∴32是“奇异数”． （2）略． （3）解：由题意得：，， ①∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵ ， ∴， ， ∴． ②∵，，， ∴，即， ∴，即， ∵，为正整数，， ∴，且是16的正、负整数因数， 若， ，解得，， ，解得，， ，解得，舍去， 若， ，解得，舍去， ，解得，舍去， ，解得，舍去． 综上，或． 12．定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1) ， 是“双一次可分解式”； (2) ， 是“双一次可分解式”； (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 13．【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】 【详解】（1）解： 中，常数项，一次项系数， ． （2）①解：令， 则原式 将还原，得 原式． ②解：令， 则原式 将还原，得： 原式 又 ，， 原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $