专题06 因式分解的综合应用（题型专练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解方法体系与应用场景，通过分层题型构建从基础方法到综合应用的逻辑链条，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因式分解的综合方法|4题型（含综合公式法、提公因式与公式法综合等）|标注难度（难）、频率（高频）、重点（重），覆盖基础到综合方法|从单一方法到多法综合，构建“提公因式-公式法-十字相乘-分组分解”递进逻辑| |因式分解的应用|2题型（有理数简算、代数几何应用）|结合简算、面积计算、代数式求值等场景|从方法掌握到实际应用，体现数学与现实世界的联系，发展应用意识|

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06因式分解的综合应用 常考题型精准突破 一● 考点一因式分解的综合方法●— ◆题型1综合运用公式法分解因式 1.(a-1(a+1 2.【详解】解：x4-2x2+1 =(x2)-2x2+1 =(x2-1月 =[(x+10(x-1)] =(x+1)2(x-12 3.【详解1解：(x+y-4y=(+y+2y2+2-2=(x+(- 4.【详解】(1解：(3m-}-(2m-3 =(3m-1+2m-3)(3m-1-2m+3) =(5m-4)(m+2) (2)解.（x-33x2-2+103-x) =(x-3)(3x2-2）-10(x-3) =(x-3)3x2-2-10） =(x-3)(3x2-12) 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3(x-3)(x2-4) =3(x-3)(x+2)(x-2) (3)解：(（x2-x-18(x2-)+72 =(x2-x)}-18(x2-x)+81-9 =(x2-x-9}2-9 =(x2-x-9}-32 =(x2-x-9+3)(x2-x-9-3) =(x2-x-6)(x2-x-12） =(x-3)(x+2)(x-4)(x+3) ◆题型2综合提公因式和公式法分解因式 5.3b(a+20a-2) 6.(r-y)}月 7.【详解】解： a2(a-b)+b2(b-a) =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2） =(a-b)(a+b)(a-b) =(a-b)'(a+b) 8。【详解】解：原式a(a-2ab+6) 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -a(a-b) 9.【详解】(1)解：原式 =(4a+b)2-(3a-3b)2 =[(4a+b)+(3a-3b)][(4a+b)-(3a-3b)] =(4a+b+3a-3b)(4a+b-3a+3b) =(7a-2b)(a+4b) 1-4x2-4y2+8xy (2)解：原式 =1-(4x2+4y2-8y) =1-4(x2+y2-2xy) =1-4(x-y)月 =[1+2(x-y)][1-2(x-y)] =(2x-2y+1)(2y-2x+1) (3)解：原式=(r-x°-10(x-x)-24 =(x2-x)+10(x2-x-24 =[x-x-2][(x2-x+12] =(x2-x-2)(x2-x+12) =(x-2)(x+1)(x2-x+12) ◆题型3十字相乘法 10.B 11.6 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2y-2xy-8y 12.【详解】解： =y(x2-2x-8) =y(x-4)(x+2) 13.【详解】解：(+5+5(x+5）-6 =（x+5-1)(x+5+6) =(x+4)(x+11) 14.【详解】(1)解：令t=x2-3x, 则原式变成：t-6t+8, t2-6t+8=(t-4)t-2) 再把4=2-3x代入得r-3-4x-3x-2=(x-40x+10x2-3x-2） 故r-3x°-6(r-3x)+8=(x-40x+10(x2-3x-2) (2)解：-x-3-9y =(x2-9y2）-(x+3y) =(x+3y)(x-3y)-(x+3y) =(x+3y)(x-3y-1) ◆题型4分组分解法 15.(2a+bc-3d) 16.【详解】解： x2+xy-1-y 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(x2-1)+(y-y) =(x-1)(x+1)+y(x-1) =(x-1)(x+1+y) x2+4y2-4xy-1 17.【详解】解： =(x-2y)}-1 =(x-2y-1)(x-2y+1) 18.【详解】解：a2-6ab+9b2-a+3b =(a2-6ab+9b2）-(a-3b) =(a-3b)2-(a-3b) =(a-3b)[(a-3b)-1] =(a-3b)(a-3b-1) 8y2=y×8y,y+8y=9y 19.【详解】(1)解： x2+9xy+8y2=(x+y)(x+8y) (2)解：a2-b2-1-2b =a2-(b2+2b+1） =a2-(b+1)2 =[a-(b+1)][a+(b+1] =(a-b-1)(a+b+1) 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+2x2y-9-18y 20.【详解】解： =x2(1+2y)-9(1+2y) =(1+2y)(x2-9） =(1+2y)(x+3)(x-3) ● 考点二因式分解的应用 ● ◆题型1因式分解在有理数简算中的应用 21.C 22.22027 23.【详解】解：20262-2022×2030 =20262-(2026-4)×(2026+4) =20262-(20262-16) =16 =20252-(2025-1)(2025+1) 24.【详解】(1)原式 =20252-(20252-1) =20252-20252+1 =1: (2)原式=20.32+2×20.3×9.7+9.72 =(20.3+9.7) =302 =900 ◆题型2因式分解的应用 25.a-2b 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.> 27.x<y<z 28.【详解】解：：a=2013x+2000,b=2013x+2002,c=2013x+2004, ∴.a-b=-2,b-c=-2,c-a=4, .atb+e-ab-be-ac =2m2+2b+2c-2b-2ac-2a叫到 =2[a-b+6-c+(e-] =[-2+(-2+] -4+4+16) 2×24 =12. 29.【详解】解：a+b=-7,ab=12, :(a-b=(a+b-4ab=(←7}-4x12=1 (2).a+b-c=5,a-b+c=-3, a-b+2bc-c =a2-(b-c} =[a-(b-c)][a+(b-c] =(a-b+c)(a+b-c) =-3×5=-15】 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.D 2.B 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.A 二、填空题 4.5 5.18 6.±616或61-6或6 7.(x+)y+2) 8.(r+3)2 三、解答题 9.【详解】解：4a6-(a2+b2-c2 =[2ab-(a2+b2-c2)][2ab+(a2+b2-c2)] =[-(a2+b2-2ab)+c2][a+b2-c2] =[c2-(a-b2][(a+b2-c2] =(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c) 10.【详解】解：-八'+40y-x) =(x-y)3-4(x-y) =(x-y)x-y2-4] =(x-y)(x-y+2)(x-y-2) 11.【详解】(1)解： 3x2-18xy+27y2 =3(x2-6xy+9y2) =3(x-3y)月 (2)解：(3m+2n+3)-(m-4n+1 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(3m+2n+3+m-4n+1)）(3m+2n+3-m+4n-1) =(4m-2n+4)(2m+6n+2) =4(2m-n+2)(m+3n+1) (3)解：(a2+6a+18(a2+6a)+81 =(a2+6aj+18(a2+6a)+9 =(a2+6a+9) =(a+3)1 (4)解： 1-x2+2xy-y2 =1-(x2-2y+y2） =1-(x-y月 =[1+(x-y)][1-(-y] =(1+x-y)1-x+y) 12.(1)8 (2)是，理由如下： :x2-4x+8=x2-4x+4+4=(x-2)2+22 .x2-4x+8x (是整数)是“完全数”： 3)k=10 (④)证明：设m=a2+b2,n=c2+d(a,b,c,d为整数)， mn=(a2+b2)(c2+d2） =a'c2+b'd2+a'd2+b2c2 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a'c2+b'd2+a'd2+b2c2+2abed -2abcd =(ac+bd)2+(ad -be)2 :a、b、c、d是整数， .ac+bd,ad-bc都是整数， .mn是完全数. 10/10 专题06 因式分解的综合应用 常考题型·精准突破 考点一 因式分解的综合方法 题型1 综合运用公式法分解因式（难） 题型2 综合提公因式和公式法分解因式（高频） 题型3 十字相乘法（重） 题型4 分组分解法 考点二 因式分解的应用 题型1 因式分解在有理数简算中的应用 题型2 因式分解的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 因式分解的综合方法 ◆题型1 综合运用公式法分解因式 1．把因式分解的结果是________． 2．因式分解： 3．分解因式：． 4．因式分解： (1)． (2)． (3)． ◆题型2 综合提公因式和公式法分解因式 5．因式分解：________． 6．因式分解：______． 7．因式分解：． 8．分解因式： 9．因式分解： (1)； (2)； (3)． ◆题型3 十字相乘法 10．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 11．如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 12．因式分解：． 13．因式分解：． 14．因式分解： (1) (2) ◆题型4 分组分解法 15．因式分解：________． 16．因式分解：． 17．因式分解： 18．因式分解： 19．因式分解 (1)． (2)． 20．因式分解：． 考点二 因式分解的应用 ◆题型1 因式分解在有理数简算中的应用 21．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 22．利用因式分解计算：_____． 23．简便计算： 24．利用公式简便运算： (1)； (2)． ◆题型2 因式分解的应用 25．已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为__________． 26．已知，，则______．（填“”“ ”或“”） 27．若，，，，则，，的大小关系是________．（用“”号连接） 28．若，，，求代数式的值． 29．（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 _____种填法． 5．若，，则________． 6．若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 7．分解因式：______． 8．在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 三、解答题 9．因式分解：． 10．因式分解：． 11．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 因式分解的综合应用 常考题型·精准突破 考点一 因式分解的综合方法 题型1 综合运用公式法分解因式（难） 题型2 综合提公因式和公式法分解因式（高频） 题型3 十字相乘法（重） 题型4 分组分解法 考点二 因式分解的应用 题型1 因式分解在有理数简算中的应用 题型2 因式分解的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 因式分解的综合方法 ◆题型1 综合运用公式法分解因式 1．把因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，将原式视为平方差形式，应用平方差公式分解，再对所得式子分别应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先将看作整体根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 3．分解因式：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式初步分解，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 4．因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据平方差公式分解因式即可； （2）先连续提取公因式，再根据平方差公式分解即可； （3）现根据完全平方公式将原式化为，再根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ◆题型2 综合提公因式和公式法分解因式 5．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 故答案为． 6．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．观察各项有公因式，提取后剩余部分根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：原式． 故答案为： 7．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 8．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．先提公因式a，再运用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 原式 ． 9．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，选择合适的方法进行因式分解是解题的关键． （1）用平方差公式进行因式分解； （2）综合提取公因式法和公式法进行因式分解； （3）用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 ◆题型3 十字相乘法 10．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了利用十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘法是解题关键．根据题意得出常数项20需分解成两个整数的乘积，再根据十字相乘法可得所有可能的值，由此即可得． 【详解】解：∵能在有理数的范围内因式分解，且要使得m为整数， ∴常数项20需分解成两个整数的乘积，即，，，，，， ∴，，，，，， ∴，，，，，， 综上，整数的值有2个， 故选：B． 11．如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足，且，列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【详解】解：整式因式分解为，则展开后得，与原式比较系数，有和， 由于a和b均为整数， ∴或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 因此不同的值有，共6个， 故答案为：6． 12．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握几种基本的因式分解方法是关键；先提取公因式y，再利用十字相乘法即可完成． 【详解】解： ． 13．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法，先将看作一个整体，然后利用十字相乘法，分解因式即可． 【详解】解： ． 14．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）先用换元法，再利用十字相乘法分解因式即可． （2）先用分组分解法，再利用公式法分解因式即可． 【详解】（1）解：令， 则原式变成：， ， 再把代入得， 故 （2）解： ◆题型4 分组分解法 15．因式分解：________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．直接将原式重新分组进而利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： . 故答案为 16．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 通过分组分解，将多项式分为两组后分别提取公因式，再提取两组的公因式完成因式分解． 【详解】解： ． 17．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．先用完全平方公式进行计算，然后用平方差公式，进行计算即可． 【详解】解： ． 18．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先分组分解，再用提取公因式法分解． 【详解】解： ． 19．因式分解 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）使用十字相乘法因式分解； （2）先分组形成完全平方式，再利用平方差公式分解． 【详解】（1）解： ∵， ∴； （2）解： ． 20．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先分组，再提取公因式，最后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 考点二 因式分解的应用 ◆题型1 因式分解在有理数简算中的应用 21．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 22．利用因式分解计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 23．简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 24．利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． ◆题型2 因式分解的应用 25．已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将给定表达式通过因式分解和约分进行化简． 【详解】解：长方形的面积为， 因为长方形的长为， 所以宽为：． 故答案为：． 26．已知，，则______．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．通过计算A与B的差，并利用配方法判断差值的符号，即可． 【详解】解： ， ∴． 故答案为：． 27．若，，，，则，，的大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，分解因式，通过计算y与x的差以及z与y的差，利用已知条件判断差值符号，从而确定大小关系． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵，，， ∴ ， ， ∴，，即，， ∴． 故答案为：． 28．若，，，求代数式的值． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的运用，由，，，求出，，，然后通过 即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 29．（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式和已知求解即可； （2）先分组分解因式，再把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴ ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的方法，利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、 ， 故选：． 2．下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 3．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 【详解】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 二、填空题 4．在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 _____种填法． 【答案】5 【分析】本题主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去或者都符合题意，由于，那么添加符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 故答案为：5． 5．若，，则________． 【答案】18 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法和公式法因式分解是解题的关键； 将所求表达式因式分解，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ， ∵，， ∴原式， 故答案为：18． 6．若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 【答案】/或/或 【分析】本题考查公式法的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键． 设因式分解形式为，则，，由为整数，、为整数，枚举的整数解求即可． 【详解】解：因式分解形式为， 故，， 由于为整数，且， 则、为整数， 的整数解有：，或，或，或，， 对应： 当，时； 当，时； 当，时； 当，时， 故整数的值为或， 故答案为：． 7．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将原式分组后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的概念及完全平方公式．甲同学看错常数项但一次项系数正确，乙同学看错一次项系数但常数项正确，分别从两者的因式分解结果中求出正确的a和b，再对正确多项式进行因式分解． 【详解】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 三、解答题 9．因式分解：． 【答案】 【详解】解： 10．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 11．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提取公因数3，然后运用完全平方公式分解即可； （2）先用平方差公式分解，然后再运用提取公因式法分解即可； （3）先用完全平方公式分解，然后再运用完全平方公式分解即可； （4）先分组，然后再运用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： = ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 12．如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 【答案】(1) (2) 是，理由如下： ， （是整数）是“完全数”； (3) (4) 证明：设，（为整数）， ， 、b、c、d是整数， ，都是整数， 是完全数． 【分析】本题考查新定义，因式分解的应用，掌握“完全数”的定义是解题的关键． （1）根据“完全数”的定义即可解答； （2）根据“完全数”的定义即可解答； （3）利用完全平方公式将S配成“完全数”，即可解答； （4）设，（为整数），再证明即可． 【详解】（1）解：， 是完全数， 故答案为：（答案不唯一）； （2）略 （3）解：时，S为“完全数”，理由如下： ， 对于任意整数x、y，S都是“完全数”，，也是整数， ∴，即，S是完全数； （4）略 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $