期末易错压轴题型（29易错+8压轴）（专项训练）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦期末高频易错点与压轴难点，通过29类易错题型+8类压轴题型的梯度设计，系统覆盖不等式、几何图形、三角形全等与性质等核心知识，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型|29类（含选择/填空/解答）|针对概念辨析（如三线八角）、计算陷阱（如不等式参数）、性质应用（如三角形高与中线）|从基础概念到性质应用，形成"概念-辨析-计算-应用"的递进链条| |压轴题型|8类（含综合应用/证明/新定义）|突出实际应用（不等式组方案设计）、模型构建（平行线拐点）、动态问题（全等动点）|整合跨知识点综合，体现"模型-转化-分类讨论"的解题逻辑|

期末易错压轴题型（29易错+8压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、不等式性质 易错题型二、不等式的解集 易错题型三、在数轴上表示不等式的解集 易错题型四、求一元一次不等式的整数解 易错题型五、不等式含参数计算 易错题型六、不等式的综合应用 易错题型七、对顶角、邻补角、余角补角概念 易错题型八、角度计算 易错题型九、垂直、垂线段最短 易错题型十、三线八角 易错题型十一、平行线的判定 易错题型十二、平行线的性质 易错题型十三、点到直线距离 易错题型十四、平行线拐点模型中角度计算 易错题型十五、三角形三边关系 易错题型十六、三角形外角性质 易错题型十七、与三角形的高有关的计算问题 易错题型十八、根据三角形中线求长度与面积 易错题型十九、与平行线有关的三角形内角和问题 易错题型二十、与角平分线有关的三角形内角和问题 易错题型二十一、图形的全等 易错题型二十二、全等三角形的性质 易错题型二十三、全等三角形的判定 易错题型二十四、尺规作图——作三角形 易错题型二十五、全等三角形的证明 易错题型二十六、三线合一 易错题型二十七、等边三角形的判定和性质 易错题型二十八、线段垂直平分线的性质和判定 易错题型二十九、等腰三角形的判定 压轴题型一、一元一次不等式（组）实际综合应用 压轴题型二、根据平行线判定与性质证明 压轴题型三、平行线中多拐点模型角度综合应用 压轴题型四、全等三角形的辅助线问题 压轴题型五、等腰三角形分类讨论问题 压轴题型六、三角形内角和定理的应用 压轴题型七、全等三角形中动点问题 压轴题型八、新定义压轴综合问题 易错题型一、不等式性质 1．（2026·上海长宁·二模）已知实数满足：，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件做等量代换，逐一推导各选项的正误即可，解题关键是利用消元，代入不等式推导结论． 【详解】解：，， ，故选项A正确，不符合题意； 由得，代入， 得 ，故选项B正确，不符合题意； ，代入，得， ，即，故选项C错误，符合题意； 由以上推导可知，即， ，两边同除以正数得 ，即， ，两边同除以正数得 ，即， ，故选项D正确，不符合题意． 2．（25-26七年级下·上海嘉定·月考）的2倍与的差大于1，可列不等式：___________． 【答案】 【详解】解：根据题意，可列不等式为． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知三个实数满足． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等式的性质得到，代入得到，即； （2）根据等式的性质得到，根据不等式的性质得到，可知的取值范围． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错题型二、不等式的解集 4．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26七年级下·上海静安·课后作业）已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键． （1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值； （2）由（1）即可求出答案． 【详解】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示， ∵的正整数解为，的正整数解为， ∴， 又为整数， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，的取值范围是． 故答案为：． 6．（2025七年级下·上海静安·专题练习）在下列各数中：，，0，，2，4． (1)x取哪些数能使不等式成立？ (2)满足的数有什么特点？ 【答案】(1)，，0，能使不等式成立 (2)满足的数的特点是比2小 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式解的特点，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）解不等式求得其解集后进行判断即可； （2）根据其解集即可求得答案． 【详解】（1）解：， 则， 那么，，0，能使不等式成立； （2）解：满足的数的特点是比2小． 易错题型三、在数轴上表示不等式的解集 7．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键． 根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：∵1处为实心圆点，且折线向向右， ∴． 故选：B． 8．（2025·山东聊城·三模）如图数轴上表示了某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，一元一次不等式的解法，熟练的建立不等式解题是解本题的关键． 由数轴可得不等式的解集为，再结合是该不等式的一个解，可得， 再解不等式可得答案． 【详解】不等式的解集为，且是该不等式的一个解 解得： 故答案为： 9．（25-26七年级下·上海长宁·期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出解集． 【详解】解： 解得， ∴在数轴上表示不等式的解集如下： 易错题型四、求一元一次不等式的整数解 10．（25-26七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 11．（25-26七年级下·上海嘉定·月考）我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则得到关于的不等式，求解并取最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 最大整数解是． 12．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为． (1)求的值； (2)求不等式的正整数解． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）将代入即可求解； （2）将代入，将代入，得到关于的二元一次方程组，求出，再解不等式即可． 【详解】（1）解：将代入 有， ； （2）解：将代入，得， 将代入，得， ∴， 解得： ， 解得：， ∵为正整数， ． 易错题型五、不等式含参数计算 13．（2026·河南郑州·模拟预测）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解 ，再根据不等式组无解即可得出的取值范围． 【详解】解： ， ∵关于的不等式组无解， ∴． 14．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到建立关于m的不等式求解． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·上海·月考）已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，利用不等式组的解集是无解可知，应该是“大大小小找不到”，所以可以判断出． 【详解】解：解关于的不等式组，得， ∵不等式组无解， ∴． 易错题型六、不等式的综合应用 16．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）茶文化是中华民族传统文化的重要组成部分，也是中国文化的瑰宝之一．茶叶种植大户王伯伯参加了茗茶品鉴交流会后，准备在茶园里用篱笆围成一块长方形的区域来培育新品种的茶叶，现有长度为的篱笆，若要求该长方形区域的宽比长少，且篱笆材料需要够用，则长方形区域的长最大为多少米？ 【答案】长方形区域的长最大为 【分析】设长方形区域的长为，则宽为，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设长方形区域的长为，则宽为，    根据题意，得：， 解得， 答：长方形区域的长最大为． 17．（2026·江西九江·一模）某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【答案】(1)甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元 (2)甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副 【分析】（1）设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元，利用两个等量关系，即总花费、甲乙单价差，列二元一次方程组求解进价即可； （2）设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据数量关系和总进价的限制条件列一元一次不等式组，结合数量为正整数的实际要求，得到符合条件的购买数量． 【详解】（1）解：设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元 根据题意可得 解得， 答：甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元； （2）解：设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据题意可得： ， 解得， 因为是正整数，所以， 则， 答：甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副． 18．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为保障八年级研学旅行顺利开展，学校计划租用、两种型号的新能源客车共13辆，用于接送师生往返研学基地．两种客车的载客量、日租金如表： 车型 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） 型客车 55 2000 型客车 19 1000 学校要求：租车总费用不超过25000元． (1)最多能租用型客车多少辆？ (2)若八年级师生共600人，且所有师生都有座位，请写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)最多能租用A型客车12辆． (2)所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆． 最省钱的租车方案是租用A型客车10辆，B型客车3辆． 【分析】（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆，根据租车总费用不超过25000元建立不等式求解即可； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，根据租车总费用不超过25000元，总载客量不低于600建立不等式组求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆， 由题意得，， 解得， ∴x的最大值为12， 答：最多能租用A型客车12辆； （2）解：设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为10或11或12， 当时，， 当时，， 当时，， 所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆； ∵一辆A型客车的租金比一辆B型客车的租金多， ∴当A型客车数量最少时，最省钱， ∴租用A型客车10辆，B型客车3辆最省钱； 答：所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆． 最省钱的租车方案是租用A型客车10辆，B型客车3辆． 易错题型七、对顶角、邻补角、余角补角概念 19．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线相交于一点会产生对对顶角，先计算条直线中两两组合的数量，再乘以即可得到对顶角总对数． 【详解】解：∵两条直线相交于一点，共产生对对顶角， 条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为， ∴对顶角总对数． 20．（25-26七年级下·四川广安·期中）如图，直线、相交于点，，，则________度． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差运算以及对顶角的性质． 根据垂直定义得出，结合已知比例设未知数表示出和，利用角的和差关系列方程求出的度数，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解： 设 ，则 ． ， ． ， ． 解得． ． ． 21．（24-25七年级下·甘肃庆阳·阶段检测）如图，直线，相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)若与互为余角，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，再利用对顶角相等即可求解； （2）利用余角的定义求得，再利用平角的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴． 易错题型八、角度计算 22．（25-26七年级下·北京·期中）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：直线、相交于，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 23．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知点在直线上，，平分． （1）如图1，若，则的度数是__________． （2）如图2，若，则的度数是__________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了角的运算，角平分线的定义，垂直的定义，邻补角，熟悉掌握角的运算是解题的关键． （1）利用邻补角的关系运算出，由平分的定义得到的度数，由垂直的定义得到，即可运算得出结果； （2）由垂直的定义得到，求出的表达式，得到的表达式，即可运算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·上海松江·期末）若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． (1)若，求和的度数？ (2)若是任意角，求的度数？ (3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 【答案】(1)； (2) (3)的度数不变，值为 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，对顶角，熟练计算角度是解题的关键． （1）由对顶角的性质，得到，再由角平分线的定义即可求解； （2）由角平分线的定义，对顶角的性质得到，，，从而求出的度数； （3）由角平分线的定义推出，即可得到答案． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ， ， ， （2）解：平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：的度数不变， 平分，平分， ，， ， ． 易错题型九、垂直、垂线段最短 25．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，直线，相交于点O，于点O，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义可得，结合已知条件，求出的度数，再利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 由图可知 ， 又∵ ， ∴，即 ， ∵与（即）是对顶角， ∴． 26．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，的面积为，若，点在直线上运动，则线段长度的最小值是_____． 【答案】 【分析】根据“垂线段最短”可知，当时，线段的长度最小． 【详解】根据题意可知，当时，线段的长度最小． 当时，可得 ． 即． 所以，． 所以，线段长度的最小值是． 27．（25-26七年级下·北京·期中）如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短分步比较线段大小，最后得出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得此结论的依据是垂线段最短． 易错题型十、三线八角 28．（25-26七年级下·上海徐汇·期中）如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．与是同旁内角，正确，符合题意； B．与是内错角，原表述错误，不符合题意； C．与是同位角，原表述错误，不符合题意； D．与不是内错角，原表述错误，不符合题意； 故选：A． 29．（24-25七年级下·江西·期中）若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角． 【答案】24 【分析】本题考查了内错角的定义与计数，解题的关键是先确定线段数量，再根据每条线段两侧内错角的对数计算总对数． 先根据4条直线两两相交且无三线共点，求出线段数量，再结合每条线段两侧内错角的对数，计算内错角的总对数． 【详解】∵平面上4条直线两两相交且无三线共点， ∴共有条线段． 又∵每条线段两侧各有一对内错角， ∴共有内错角对． 故答案为：24． 30．（25-26七年级下·上海静安·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 易错题型十一、平行线的判定 31．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解： 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的内错角， 若 ，则 ，故①符合题意； 与 分别是直线 、 被两条不同的直线所截形成的角，无法判断 ，故②不符合题意； ③ 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的同位角， 若 ，则 ，故③符合题意； 综上所述，能判断 的有①③，共2个． 32．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，根据图形及上下文的含义进行推理并填空： (1)因为，根据：“两直线平行，同位角相等”，所以______； (2)因为______，根据：“______”，所以； (3)因为______，根据“______”，所以． 【答案】(1) (2)，内错角相等，两直线平行 (3)，同旁内角互补，两直线平行 【详解】（1）解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）； （2）解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 33．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）已知如图：，，求证：．（请把以下证明过程补充完整）． 证明：（已知）， 又（________）， （________）． ∴________（________）， （________）， （已知）， ________（等量代换）， （________）， （________）． 【答案】见解析 【分析】根据对顶角相等，平行线的判定和性质，证明即可； 【详解】证明：（已知）， 又（对顶角相等）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 易错题型十二、平行线的性质 34．（2026·湖北襄阳·二模）长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．如图，是一个帆船模型抽象出来的几何图形，已知，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用两直线平行、同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 35．（2026·广西玉林·二模）如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点，，且．当时，________． 【答案】/96度 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 由题意得，正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ． 36．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知：如图，， 求证： 证明：（已知） （_______） _______（_______） （_______） _______（_______） （已知） _______（_______） （_______） 【答案】见解析 【分析】根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质得出结论即可． 【详解】证明：（已知） （邻补角的定义）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知） ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行） ． 易错题型十三、点到直线距离 37．（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4， 故选：D． 38．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如图，点A，O，B，P均在格点上，点在的边上．过点作交于点交于点； 线段的长度是点到的距离，线段_________的长度是点到的距离， 这三条线段的大小关系是_________（用“”连接），理由是_________． 【答案】 垂线段最短 【分析】理解题意，结合，得出线段的长度是点到的距离，再结合垂线段最短以及运用数形结合思想得出，即可作答． 【详解】解：∵过点作交于点 ∴线段的长度是点到的距离， ∵交于点， ∴结合图中信息，得这三条线段的大小关系是， 理由是垂线段最短． 39．（25-26七年级下·四川巴中·阶段检测）在三角形中，，，垂足为．若，，，解决下列问题    (1)则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 (2)求点到直线的距离是多少?（写出解题过程）． 【答案】(1)4；3 (2) 【分析】本题主要考查点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离： （1）点A到直线的距离为线段的长度，点到直线的距离为线段； （2）点到直线的距离为线段的长度． 【详解】（1）因为， 所以． 所以点A到直线的距离为线段的长度， 点到直线的距离为线段的长度． 故答案为：； （2）因为， 所以点到直线的距离为线段的长度． 因为． 所以． 易错题型十四、平行线拐点模型中角度计算 40．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，则、、、数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的顶点为，分别过作，，根据平行线的性质可得，，，进而得出，即可求解． 【详解】如图，设的顶点为，分别过作， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 41．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，易得，，根据以上规律求_________． 【答案】/度 【分析】通过作辅助线，利用平行线的性质找出角度和的变化规律． 【详解】解：当有3个角时，和为； 当有4个角时，和为； 从图形可以看出，每增加一个“折点”（即增加一个角），角度和就增加， 对于个角，角度和的公式为：， ． 42．（25-26七年级下·山东淄博·期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合如图，探索这两个角之间的关系． (1)如图①，，与的数量关系是___________； (2)如图②，，与的数量关系是什么？并说明理由； (3)经过上述探索，我们可以得出结论：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是___________； (4)若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍小，则这两个角分别是多少度？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)相等或互补 (4)或． 【分析】（1）（2）根据平行线的性质即可得到答案； （3）根据（1）（2）可得答案； （4）设这两个角分别为，且，根据（3）分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可知已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是相等或互补； （4）解：设这两个角分别为，且 当这两个角相等时，则， ∴， ∴， ∴； 当这两个角互补时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，这两个角的度数分别为或． 易错题型十五、三角形三边关系 43．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴可得 ，即 ， 解得：． 44．（2026·河北张家口·二模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数，求解即可； 【详解】解：设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数， 故乙走的路程是8千米或9千米或10千米； 45．（24-25七年级下·上海闵行·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】(1)5种选择 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． 易错题型十六、三角形外角性质 46．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，根据对顶角的性质得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴． 47．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 48．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 易错题型十七、与三角形的高有关的计算问题 49．（25-26七年级下·上海宝山·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 50．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【答案】4 【分析】连接，利用，结合，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ， ， 又∵，，即， ． 51．（25-26七年级下·上海静安·课后作业）如下图，在四边形中，，对角线，交于点．若的面积为8，的面积为5，求的面积． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键； 利用平行线间距离相等得出同底等高的三角形面积相等，再通过已知三角形的面积计算未知三角形的面积． 【详解】解：， ∴点，到直线的距离相等， ． 的面积为5， ． 易错题型十八、根据三角形中线求长度与面积 52．（25-26七年级下·上海松江·阶段检测）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12，理由见解析 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 53．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 【答案】8 【分析】根据中心对称的性质和中线的定义可知平分三角形，进而求出的面积． 【详解】解：∵和成中心对称，的面积为4， ∴，， ∴， ∴． 54．（25-26七年级下·上海青浦·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 【答案】9 【分析】连接，根据中线的意义可得，，，再根据阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：连接， ∵是边的中线，的面积等于36， ∴， ∴等底同高， ∴， 同理，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 易错题型十九、与平行线有关的三角形内角和问题 55．（24-25七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．分别延长，交，于点，，过点作，则，利用三角形的内角和运算出和的度数后，通过平行线的性质即可得出结果． 【详解】分别延长，交，于点，，过点作，则，如图所示：    ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 56．（2025·青海·模拟预测）如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 57．（25-26七年级下·上海静安·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 易错题型二十、与角平分线有关的三角形内角和问题 58．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，，是的一条角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理和角平分线的定义求解，先根据角平分线定义求出的度数，再在中利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵在中，三角形内角和为，， ∴ 59．（25-26七年级下·重庆长寿·期中）已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由为高，，，利用外角性质求出，根据是角平分线，求出，即可求出的度数. 【详解】解：∵为高，， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴. 60．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，平分，若，，求的度数． 【答案】 【分析】由角平分线的定义得到，由垂直可得，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，平分，, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错题型二十一、图形的全等 一、系统分组_加入顺序 61．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 62．（24-25七年级下·上海青浦·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 63．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】（1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； （2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 易错题型二十二、全等三角形的性质 64．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 65．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是__________． 【答案】或 【分析】已知，两个三角形全等存在两种对应情况：①；②，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】解：由题意得：，，， ，与全等，分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得：， ，， 将代入，得，解得； 情况2：， 此时对应边：，， ，即， 解得：， ，， 将代入，得，解得， 综上，的值为或． 66．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，点C和点E，点A和点F是对应顶点，，，，，求的长，以及，的度数． 【答案】，， 【分析】利用全等三角形性质得对应边、对应角相等．由算出的长度，再根据对应边相等得到的长．由对应角相等直接得到的度数；再利用三角形内角和定理，先算出中的度数，最后根据对应角相等得到的度数． 【详解】解：∵，点和点、点和点是对应顶点， ∴，，． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，，， ∴， ∴． 易错题型二十三、全等三角形的判定 67．（25-26七年级下·上海金山·月考）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据可证2个三角形全等，依此即可求解． 【详解】解：①中未知角的度数为：； ②中未知角的度数为； ③中未知角的度数为； ④中未知角的度数为； 因为三角形中边长为25相邻的角分别为： ①、；②、；③、；④、； 根据可证2个三角形全等是③和④． 68．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，对顶角相等，连接，设与交于点，由为，中点，则，，然后证明，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴底部内径的长度为， 故答案为：． 69．（25-26七年级下·上海静安·阶段检测）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用即可证明； （2）由，得，利用证明即可得到． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 易错题型二十四、尺规作图——作三角形 70．（24-25七年级下·上海长宁·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 71．（25-26七年级下·上海奉贤·月考）已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：①作； ②在线段，上分别截取，； ③连接，即为所求作的三角形． 错误的是②， 故答案为：②． 72．（25-26七年级下·上海长宁·期末）如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查尺规作三角形，熟练掌握尺规作角等于已知角、作线段等于已知线段是解题的关键． 先作， 在射线上截取， 在射线上截取，再连接即可． 【详解】解：如图，三角形即为所求． 易错题型二十五、全等三角形的证明 73．（2026·山西吕梁·一模）如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 74．（25-26七年级下·上海虹口·阶段检测）如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【答案】 Ⅱ 角边角/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带Ⅱ号碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故答案为：Ⅱ，角边角． 75．（25-26七年级下·上海崇明·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意选择三个条件，然后证明出，然后根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】解：题设：①；②；③； 结论：④；⑤． 证明：∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 易错题型二十六、三线合一 76．（25-26七年级下·上海宝山·期末）某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（    ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．三线合一 D．等边对等角 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∵垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的， 故选：C． 77．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）在中，，点D为中点，如果，，则______ 【答案】20 【分析】先推导出，，进而求出，则，即可解答． 【详解】解：在中，D为中点，，，， ，， ∴， 又， ， ． 78．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，是的边上的高，E，F分别是，边上的点，且，连接，，则线段与相等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】先运用等腰三角形的性质得到，，再证明，最后根据全等三角形的性质证得． 【详解】解：，理由如下： ∵，是的边上的高， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 易错题型二十七、等边三角形的判定和性质 79．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形纸上像这样剪出一个，下列说法错误的是（   ） A．的面积是正方形面积的一半 B． C．的周长是正方形周长的 D．是等边三角形 【答案】A 【分析】根据题意可得，再根据垂直平分线的性质可得，证明为等边三角形，逐一判断即可． 【详解】解：如图， 根据第一步可得垂直平分， ， 根据第二步可得，，， ， 为等边三角形，故D正确， ， ， ，故B正确； 的周长为，正方形周长为， 的周长是正方形周长的，故C正确； 根据勾股定理可得， 的面积， 正方形面积为， 的面积是正方形面积的，故A错误． 80．（2026·江苏连云港·二模）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为________． 【答案】 【分析】令圆心为O，连接，，，证明是等边三角形，推出，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：如图，令圆心为O，连接，，， 直径为，， ， 是等边三角形， ， 的长为． 81．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）将绕着点O顺时针旋转得到，． (1)求和的度数； (2)连接，则是一个________三角形． 【答案】(1)， (2)等边 【分析】（1）根据旋转的性质得，，再根据，求解； （2）根据旋转的性质得，，即可判断是一个等边三角形． 【详解】（1）解：∵将绕着点O顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴，； （2）解：如图，连接， ∵将绕着点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴是一个等边三角形， 故答案为：等边． 易错题型二十八、线段垂直平分线的性质和判定 82．（2026·天津西青·一模）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（   ） A．21 B．23 C．25 D．29 【答案】D 【分析】，，通过同一个圆的半径相等，和垂直平分线的性质运用可得，之后代换即可． 【详解】解：由题意可得：，， ． 83．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长为，，则的长是__________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长为，推出，结合，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ，即， ， ． 84．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 易错题型二十九、等腰三角形的判定 85．（2026·河北邯郸·二模）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点放置在刻度尺的边上，点落在尺子内部，与尺子的边交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，根据平行线的性质得到、，由等腰直角三角形的性质得到，利用求解即可． 【详解】解：如图，过点B作， 刻度尺的两边， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 86．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为_____ ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∵，是等腰三角形， 分三种情况讨论： ①时，， ∴，此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ∴； ③时，， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 87．（25-26七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，点在边上，且，求的长． 【答案】 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理得到，进而可知的度数，根据等角对等边可知的长． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 压轴题型一、一元一次不等式（组）实际综合应用 1．（24-25七年级下·广东江门·期末）沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【答案】（1）甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌；（2）甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元 【分析】（1）设乙小组每天各维修x张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案； （2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，得出m的值即可得出答案． 【详解】（1）设乙小组每天维修x张旧课桌， ∴甲小组每天维修1.5x张旧课桌， 根据题意可知： ， 解得：x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解， 答：甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌； （2）由甲单独负责，此时完成工作需要＝10天，需要费用为10×800＝8000元， 由乙单独负责，此时完成工作需要＝15天，需要费用为15×400＝6000元， 故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成， 设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌， ∴， 解得：m＝216， 此时学校需要付费为：800×+400×＝7200元 答：由甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元． 【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确找出等量关系列出方程． 2．（24-25七年级下·上海静安·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 3．（25-26七年级下·贵州·期中）根据所给材料，完成下列任务． 背景 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源与自然资源，吸引着国内外大量游客，某文创店经销“自然风景”和“非遗技艺”两款冰箱贴． 素材一 该文创店在进货时发现，购进个“自然风景”冰箱贴和5个“非遗技艺”冰箱贴共需元；购进5个“自然风景”冰箱贴和个“非遗技艺”冰箱贴共需元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进两款冰箱贴共个，其中“自然风景”冰箱贴的数量不超过“非遗技艺”冰箱贴的，且购进两款冰箱贴的总费用不超过1060元． (1)每个“自然风景”和“非遗技艺”冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该文创店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个“自然风景”冰箱贴的进价是8元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是12元 (2)该文创店共有3种进货方案，分别是：购进“自然风景”冰箱贴35个和“非遗技艺”冰箱贴65个；购进“自然风景”冰箱贴36个和“非遗技艺”冰箱贴64个；购进“自然风景”冰箱贴37个和“非遗技艺”冰箱贴63个． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进“自然风景”冰箱贴个，则购进“非遗技艺”冰箱贴个，根据题意列出不等式组，求出m的范围，确定方案． 【详解】（1）设每个“自然风景”冰箱贴的进价是元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是元． 根据题意，得， 解得， 答：每个“自然风景”冰箱贴的进价是8元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是元． （2）设购进“自然风景”冰箱贴个，则购进“非遗技艺”冰箱贴个． 根据题意，得 解得． 为正整数， 的取值为，，． 当时，； 当时，； 当时，． 答：该文创店共有3种进货方案，分别是：购进“自然风景”冰箱贴35个和“非遗技艺”冰箱贴65个；购进“自然风景”冰箱贴36个和“非遗技艺”冰箱贴64个；购进“自然风景”冰箱贴37个和“非遗技艺”冰箱贴63个． 4．（25-26七年级下·上海松江·期末）年末，我市一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） (1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； (2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； (3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)，，； (2)货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； (3)． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据从仓库到仓库的运输时间为：（小时），直接运输成本为：（元），运输总成本为：（元），从而求解； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时；根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时，所以全程共用时（小时），由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），得出则，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：从仓库到仓库的运输时间为：（小时）， 直接运输成本为：（元）， 运输总成本为：（元）， 故答案为：，，； （2）解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时； 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 答：货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； （3）解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时， 所以全程共用时（小时）， 由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值）， 则，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 5．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 下面是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元．若，则A，B两种品牌足球的单价各是多少元/个？ 南南通过查看例题的解析发现：设A种品牌足球的单价为元/个，则列出一元一次方程：． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是_______；（填序号） ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元/个； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个． (2)阳阳看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A，B两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球打8折销售，B种品牌的足球每个优惠4元．若此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个．请通过计算，写出所有符合购买要求的购买方案． 【答案】(1)② (2)A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价50元 (3)见解析 【分析】（1）根据小明所列的一元一次方程，分析x与的含义，结合选项判断被覆 盖的条件； （2）设A、B两种品牌足球的单价分别为x元、y元，根据“A品牌单价比B品牌高30元”和“购买25个A 、50个B共花费4500元”列二元一次方程组，求解方程组得到单价； （3）设购买A品牌足球m个，则购买B品牌足球个，根据“总费用不超过2750元”和“A品牌数 量不少于23个”列一元一次不等式组，求解得到m的取值范围，结合m为正整数确定所有购买方案，再分 别计算各方案费用，选出费用最低的方案． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价为元/个，从列出一元一次方程可知B种品牌足球的单价为元/个，说明A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个．故选②． （2）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 由题意得， 解得． 答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元． （3）解：设购买A种品牌足球m个，B种品牌足球个， 由题意得， 解得． 又， 且m为正整数． ，24，25，共三种购买方案， 方案一：购A种品牌足球23个，B种品牌足球27个； 方案二：购A种品牌足球24个，B种品牌足球26个； 方案三：购A种品牌足球25个，B种品牌足球25个． 压轴题型二、根据平行线判定与性质证明 6．（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知易得，易证，推出，即可证明结论． 【详解】证明：， ，即， ， ， ． 7．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知：如图，点、、在同一直线上，，． 求证：．（请根据下面的解答过程，在横线上补全过程及理由） 证明：（已知）， （邻补角定义）， ________（________）． （________）． ③________（________）． （已知）， ④________（________）． （等式的基本事实）． 【答案】见解析 【详解】证明：（已知）， （邻补角定义）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （等式的基本事实）． 8．（25-26七年级下·青海西宁·期中）如图，已知两条射线，动线段的两个端点分别在射线，上，，点在线段上，平分． (1)请在图中找出与相等的角，并说明理由． (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． (3)判断和的数量关系，并说明若平行移动，则和的数量关系是否随着位置的变化而变化？若变化，找出变化规律． 【答案】(1)、，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)和的数量关系不随着位置的变化而变化， 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据，推出，结合平行线的性质，即可解答； （2）根据平行线的性质得出，，根据，得出，即可解答； （3）根据角平分线的定义得出，根据，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上：与相等的角有、； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：和的数量关系不随着位置的变化而变化， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·山东泰安·期中）按要求完成下列各题： 问题情景： (1)如图1，已知，． ①请对说明理由； ②请对说明理由． 迁移应用： (2)如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解:①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ，， ， ， ； （2）如图所示，，，的顶点分别为，，， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·河南许昌·期中）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一条直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，．求证：． 请将以下证明过程补充完整 证明：如图2，延长交于点P， （已知）， （ ① ） 又（已知） ② （等量代换） ③ ④ （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， （ ⑤ ） （同角的补角相等）． 【答案】①两直线平行，内错角相等； ②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据平行线的判定与性质，结合图形填空即可． 【详解】证明：如图2，延长交于点P， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （同角的补角相等）． 压轴题型三、平行线中多拐点模型角度综合应用 11．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过P点作直线，则可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得． （2）如图，过E点作直线，过F点作直线，则可得．根据平行线的性质可得， ， ．根据角平分线的定义可得，．由可得，结合（1）中的结论可得，进而可得． （3）如图，过F点作直线，则可得．由（1）得，，，进而可得．由角平分线的定义可得，，由（1）得． 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，过E点作直线，过F点作直线． ∵， ∴， ∴， ， ， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， 即， ∴， 由（1）知， ∴， ． （3）解：如图，过F点作直线． ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， 由（1）得 ． 12．（25-26七年级下·广西崇左·期中）已知， P为平面内一点（不在、上），探索，，之间的数量关系． (1)求证：，请补全以下证明过程： 证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线定义理解．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P作，根据平行线的公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）根据，得出，求出，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点P作， ， ， ，， ，， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)当在延长线时，；当在延长线时， 【分析】（1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）解：， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）解：当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 15．（25-26七年级下·山东·期中）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系.小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、在外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明.请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据，过点作. （__________）； ，（___________________）， ， ， _________（__________）． (3)我们生活中经常接触小刀，如图3，刀柄是直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． (4)随着以后的学习，你会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题：如图4，在中，尝试说明． 【答案】(1) (2)两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行；；等量代换 (3)的大小不会变；理由见解析 (4)说明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线． （1）根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可求解； （2）根据平行线的判定与性质，结合上下文，求解即可； （3）过点作，再根据平行线的性质，求解即可； （4）过点作，根据平行线的性质，求解即可． 【详解】（1）解：，之间的数量关系是：，理由如下： 根据题意可得，， ∴，， ∴， 故答案为： （2）解：∵ （两直线平行，内错角相等）； ， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行）， ， ， （等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行；；等量代换． （3）解：的大小不会变，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， 即，． （4）解：如图，过点作， ，， ， . 压轴题型四、全等三角形的辅助线问题 16．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 17．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②能，，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用． （1）由等腰直角三角形求出，证出，推出，，根据求出，求出即可； （2）①如图3中，结论：，只要证明即可； ②由，得到，再结合，得到 ． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 如图，与交于点， ， ， ， ， ， ， ∴，； （2）解：①，理由如下： ∵与是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ∴， ； ②能，理由如下： 与交于点， ∵， ， ∵，，， ∴， 即的度数为． 18．（24-25七年级下·上海宝山·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 19．（24-25七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）C （3）见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可． （2）依题意，与（1）同理，得出，再利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）先运用证明，再证明，即可作答． 【详解】解：（1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）如图，延长至点，使，连接． 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴， 又 ∴， ，， ∵， ∴， ， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·上海长宁·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 压轴题型五、等腰三角形分类讨论问题 21．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 【答案】证明见解析 【分析】小明的方法：由等腰三角形的性质得，，即得，进而可得，即可求证； 小华的方法证：由等腰三角形的性质得，，即得，即可求证； 小聪的方法：过点作于，由等腰三角形的性质可得，，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】小明的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 小华的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 小聪的方法证明： 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 即． 22．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）（1）操作实践：中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本题创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想． （1）按要求画图（作的中垂线或作的中垂线）即可； （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，一共有5种情况，分别画图即可； （3）根据（1）（2）中的图形总结即可． 【详解】解：（1）所画图形如下图所示： （2）设分割线为，相应用的角度如图所示： 图1的最大角， 图2的最大角， 图3的最大角， 图4的最大角， 图5的最大角，因为不是最小内角，此种情况不符合题意， 故的最大内角可能值是或或或； （3 ）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一： ①该三角形是直角三角形； ②该三角形有一个角是最小角的2倍； ③该三角形有一个角是其中一个角的3倍． 23．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 24．（24-25七年级下·上海奉贤·阶段检测）结合图形，解答下列各题 (1)操作实践：中，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；要求用两种不同的分割方法    (2)分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值；以下为备用图    (3)猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？请你至少写出两种不同情况的条件,无需证明 【答案】(1)见解析； (2)见解析，或或或； (3)见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）先对角分类讨论，为等腰三角形的顶角时；为等腰三角形的底角时；利用三角形内角和及外角定理推出另一个等腰三角形中的内角度数再进行顶角和底角的分类讨论． （3）根据（1）（2）中的图形总结即可． 【详解】（1）解：如图所示：    方法一：两个底角的度数分别为：；方法二：两个底角的度数分别为：； （2）解：设分割线为，相应用的角度如图所示：    图的最大角，图的最大角， 图的最大角，图的最大角， 故的最大内角可能值是或或或； （3）解：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一： 该三角形是直角三角形； 该三角形有一个角是最小角的倍； 该三角形有一个角是其中一个角的倍． 【点睛】此题主要考查作图——应用与设计作图及等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想，是一道可以体现从性质到应用的好题． 25．（24-25七年级下·上海闵行·期中）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 【答案】（1）45，40；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）利用三角形外角，等腰三角形的判定与性质进行计算即可； （2）利用三角形和轴对称图形的知识进行证明即可； （3）①由三角形外角得，，故，即，再换算即可． ②由三角形外角得，，故，又，再换算即可． 【详解】解：问题解决（1），若点恰好与点重合， 为等腰直角三角形， ； ， ， ， 故答案为：45，40； （2）， ． 是的外角， ， ． 又由折叠可知，， ． 同理：． ． ， 即． 迁移应用（3）①， 理由： ，， ， ， 即， ， ． ②如图： ，， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称图形，三角形外角性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，利用对称是解答关键． 压轴题型六、三角形内角和定理的应用 26．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，，． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若于点，，．求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得； （2）求出，再由三角形定理可得结论． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，，， ， ， ， ， ， ， ． 27．（25-26七年级下·山东济南·期中）图1是某车的侧面示意图，折线段表示后备箱车后盖（可如图打开），过点作地面的垂线段，车后盖的边与平行．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，，与地面平行，，求车后盖打开角的度数． 【答案】70度 【分析】因为，，，所以可先利用平行线的性质推导相关角度关系求出，进而得出的度数．因为已知，，所以可先在中利用三角形内角和定理求出的度数．最后根据求解． 【详解】∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ ． ∴． ∵，， ∴． ∴ ． 28．（25-26七年级下·上海静安·课后作业）如图1，，的平分线交于点G，． (1)试说明：； (2)如图2，线段上有点P，满足，过点C作． ①若在直线上取一点M，使，求的值是 ； ②若，将绕点B旋转，当 °时，的一边与平行． 【答案】(1)证明详见解析； (2)①5，；②75或120或60或105 【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明． （2）①有两种情况： I）当在的下方时，如图5，设，先根据已知计算，，根据平行线的性质得：，根据角的和与差计算，的度数，可得结论； II）当在的上方时，如图6，同理可得结论． ②当时，当，分别分顺时针与逆时针旋转，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ； （2）解：①有两种情况： I）当在的下方时，如图5， 设， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ； II）当在的上方时，如图6， 同理得：， ， ． 综上，的值是5或． ②将绕点B旋转后， 当时，如图， I）当逆时针旋转时， ∵ 又∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 由（1）知： ∴ ∴； II）当顺时针旋转时， ∵， ∴ ∴ ∴； 当，如图， I）当逆时针旋转时， ∵， ∴，， 同理， ∴ II）当顺时针旋转时， ∴； 综上，将绕点B旋转，当逆时针旋转时，或，当顺时针旋转时，或，的一边与平行． 29．（25-26七年级下·广东梅州·期中）综合与实践 已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点E，交于点F． (1)当所放位置如图1所示时，猜想与的数量关系，并说明理由； (2)当所放位置如图2所示时，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）作，根据平行线的性质得到，，结合解答； （2）根据平行线的性质得到，结合解答； （3）根据平行线的性质、对顶角相等以及三角形的内角和定理求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，作，    则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. （2）解：； 理由如下：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．（2026七年级下·江苏·专题练习）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线，（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含角的直角三角板进行了如下探究活动：将三角板中角的顶点B放在直线上，过角的顶点，作直线的平行线，直线始终位于直线的上方． (1)探究发现：如图1，若，则的度数为 ． (2)若直角三角板的直角顶点C位于直线与之间． ①如图1，若的角度未知，试猜想和之间存在的数量关系，并说明理由； ②如图2，将三角板沿直线向右平移，使直角顶点C恰好落在上，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），连接．若，请求的度数． (3)深入探究：若直角三角板的直角顶点C不在直线与之间，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，见解析；② (3) 【分析】（1）根据得出，根据三角形内角和定理推论得出； （2）①根据得出，进而得出，进一步得出结果； ②由（1）得出，再根据平行线的性质计算即可得出结果； （3）分类讨论：当C在下方，在的左侧时，设交于D，根据得出，结合，；同样得出当C在下方，C在右侧时，当点C在上方，在左侧时，当点C在上方，点C在右侧时的情形，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知，， 由平移的性质得出，，， ∴， ∴； （3）解：如图，当C在下方，在的左侧时，设交于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当C在下方，C在右侧时，设交于D， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，当点C在上方，在左侧时，设交于D， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，当点C在上方，点C在右侧时，设交于D， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：和之间的数量关系是． 压轴题型七、全等三角形中动点问题 31．（25-26七年级下·上海静安·期末）如图 (1)如图1是等边三角形，点D为边上的一动点(点D不与重合)，以为边在右侧作等边，连接，求证：． (2)如图2，在中,，点D为上的一动点(点D不与重合)，以为边作等腰直角三角形，连接，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角的等量代换得到相等的角，再利用 “” 证明三角形全等． （1）根据题意得，再根据“”证明，从而得． （2）根据题意得，再根据“”证明，根据全等三角形性质知，从而得 的度数 ． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴ （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴ 32．（24-25七年级下·上海松江·期末）在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)若点D在线段上时（如图①），则____（填“>”“<”或“=”），_____度； (2)设直线与直线的交点为O． ①当动点D在线段的延长线上时（如图②），试判断与的数量关系，并说明理由； ②当动点D在线段的延长线上时（如图②），求的度数； ③当动点D在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；②；③为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形三边相等，三个角都是，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）根据等边三角形的性质可得，即可得出，根据即可证明，即可得出；根据“三线合一”即可求出的度数； （2）①用和（1）相同的方法，证明即可得出结论；②根据可得，在中，根据直角三角形两个锐角互余，即可得出结论；③分点D在线段上，点D在线段的延长线上，点D在线段的延长线上，三种情况讨论，同理②即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴． 故答案为：=，． （2）解：①，理由见解析； ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，； ③为定值，理由如下： 情况一：当点D在线段上时，如图： ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 情况二：当点D在线段的延长线上时，由②知； 情况三，当点D在线段的延长线上时，如图： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的值为定值，． 33．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的运动时间是1秒； (3)符合条件的t值为1s或s． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）证明，根据全等三角形的性质列式计算即可得结论； （3）分为点F在的延长线时，当时，，可求得结果；当点F在上，点Q在的延长线上时，当时，，即可求得另一个值． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：设点的运动时间为秒，由已知得，， ， ， 由（1）得， ，， 又， 在和中， ， ， ， ， 解得， 点的运动时间是1秒； （3）解：存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 34．（25-26七年级下·上海虹口·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，正确判断三角形全等是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理可求出的度数； （2）由等边三角形的性质得，，得到，根据三角形外角的性质得出，根据证明，可得； （3）过点作交于点，可证明是等边三角形，得，再根据证明可得出，进而可得结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 35．（24-25七年级下·上海长宁·月考）（1）操作发现：如图①，是等边三角形，即，．点D是的边上一动点（点D与点B不重合），连接，以为边在上方作等边三角形，即，．连接．小明发现线段与之间存在某种数量关系，并给出了证明如下．请把他留下的空白处补充完整． 解：（1）如图①与的数量关系是 ． 证明如下：如图①∵ ∴ ∴ 在与中，， ∴（ ） ∴ ； （2）深入探究： 如图②，在（1）的条件下继续以为边作等边三角形，即， 连接、，请你探究、与有何数量关系，请直接写出探究的结论． （3）如图③，当动点D在等边三角形的边的延长线上运动时，其他作法与图②相同，继续探究、与的数量关系．请直接写出你发现的结论． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理可以证得；然后由全等三角形的对应边相等知； （2）；利用全等三角形的对应边；同理，则，所以； （3）通过证明，则；再结合（2）中的结论即可证得． 【详解】解：（1）； 证明如下：∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴, ∴； （2）； 证明如下： 由（1）知，， ； 同理可得：， ， ； （3）； 理由：，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ∴， （全等三角形的对应边相等）， 同理可得：， ， ， ． 压轴题型八、新定义压轴综合问题 36．（24-25七年级下·上海静安·期末）新定义  题定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．若的值大于而小于，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，新定义的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．根据新定义得出关于的一元一次不等式组， 解不等式即可得出答案． 【详解】解：． 根据题意得， 解得：． 37．（25-26七年级下·上海宝山·期末）新定义：如果一条线段能把一个三角形分割成两个等腰三角形，那么这条线段叫做这个三角形的等腰分割线．如图1，若和都为等腰三角形，则线段为的等腰分割线． 解决问题：如图2，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，连接，求证：是的等腰分割线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的判定等知识，准确作图和理解等腰分割线是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）证明和都是等腰三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）∵垂直平分 ∴ ∴是等腰三角形 ∴， ∵ ∴ ∴是等腰三角形 ∴是的等腰分割线 38．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）新定义∶对角互补的四边形称为对补四边形． (1)如图1，四边形为对补四边形，，求的度数． (2)在等边三角形上，，完成以下问题∶ ①如图2，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． ②如图3，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用同角的补角相等证明即可； （2）①设运动时间为根据，构建方程，可得结论； ②设运动时间为由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形， ， ， ； （2）解：①如图中，设运动时间为 是等边三角形， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， 解得： ∴当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为； ②如图中，设运动时间为 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， )， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 39．（24-25七年级下·上海长宁·期中）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形． (1)在中，，，则为______倍角三角形． (2)如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． (3)如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数． 【答案】(1)3 (2)50°、52.5°、25°或22.5° (3)45°或60° 【分析】（1）由∠E=40°，∠F=35°可知∠D=105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论． （2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果． （3）首先证明∠EAF=90°，分四种情形分别求出即可． 【详解】（1）∵∠E=40°，∠F=35°， ∴∠D=180°-40°-35°=105°， ∴∠D=3∠F， ∴△ABC为3倍角三角形， 故答案为：3； （2）∵∠POM=30°， ∴∠OAB+∠OBA=150°． 又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB， ∴∠CBA+∠CAB=∠OAB+∠OBA=75°， ∴∠C=105°． ①当∠CBA=2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB=75°， ∴∠BAC=25°； ②当∠CAB=2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB=75°， ∴∠BAC=50°； ③当∠C=2∠CAB时，∵∠C=105°， ∴∠BAC=∠C=52.5°； ④当∠C=2∠CBA时，∵∠C=105°， ∴∠CBA=∠C=52.5°， ∴∠BAC=22.5°． 综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°； （3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG， ∴∠BAE=∠EAO，∠OAF=∠GAF， ∴∠EAF=∠EAO+∠OAF=90°， ∴∠E+∠F=90°； 又∵EF平分∠BOQ， ∴∠EOQ=∠E+∠EAO=45°①， ∠BOQ=∠ABO+∠BAO=90° ②； ①×2-②得：∠ABO=2∠E． 若△AEF为3倍角三角形： i）若∠F=3∠E，∵∠E+∠F=90°， ∴∠E=22.5°， ∴∠ABO=45°； ii）若∠E=3∠F， ∴∠E=67.5°， ∴∠ABO=135°（不符合题意，舍去）； iii）若∠EAF=3∠E，∴∠E=30°， ∴∠ABO=60°； iv）若∠EAF=3∠F，∴∠F=30°，∠E=60°， ∴∠ABO=120°（不符合题意，舍去）； 综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键． 40．（24-25七年级下·广西玉林·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是__________； 【初步认识】 （2）如图，在平面内，，点为直线上异于，的点，点为平面内一点，过点的直线交于点，交于点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图，在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接．若为直线与之间的一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“系数补角”，求的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】（）；（）；（）当点在左侧时，，当点在右侧时，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设的“系数补角”是，则，求出的值即可； （）过点作，由平行线的性质可得，，则有，又是的“系数补角”，故，则有，然后求出即可； （）分当点在左侧时和当点在右侧时两种情况，然后通过平行线的性质和“系数补角”定义即可求解． 【详解】解：（）设的“系数补角”是， ∴， ∵， ∴， ∴的“系数补角”是（或）， 故答案为：（或）； （）如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的“系数补角”， ∴， ∴， 即； （）当点在左侧时，如图，过作，则，过作，则， ∴，，，， ∴， ∵和分别是、的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的“系数补角”， ∴， ∴； 当点在右侧时，如图，过作，则，过作，则， 同理可得， ∴， ∵是的“系数补角”， ∴， ∴． $期末易错压轴题型（29易错+8压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、不等式性质 易错题型二、不等式的解集 易错题型三、在数轴上表示不等式的解集 易错题型四、求一元一次不等式的整数解 易错题型五、不等式含参数计算 易错题型六、不等式的综合应用 易错题型七、对顶角、邻补角、余角补角概念 易错题型八、角度计算 易错题型九、垂直、垂线段最短 易错题型十、三线八角 易错题型十一、平行线的判定 易错题型十二、平行线的性质 易错题型十三、点到直线距离 易错题型十四、平行线拐点模型中角度计算 易错题型十五、三角形三边关系 易错题型十六、三角形外角性质 易错题型十七、与三角形的高有关的计算问题 易错题型十八、根据三角形中线求长度与面积 易错题型十九、与平行线有关的三角形内角和问题 易错题型二十、与角平分线有关的三角形内角和问题 易错题型二十一、图形的全等 易错题型二十二、全等三角形的性质 易错题型二十三、全等三角形的判定 易错题型二十四、尺规作图——作三角形 易错题型二十五、全等三角形的证明 易错题型二十六、三线合一 易错题型二十七、等边三角形的判定和性质 易错题型二十八、线段垂直平分线的性质和判定 易错题型二十九、等腰三角形的判定 压轴题型一、一元一次不等式（组）实际综合应用 压轴题型二、根据平行线判定与性质证明 压轴题型三、平行线中多拐点模型角度综合应用 压轴题型四、全等三角形的辅助线问题 压轴题型五、等腰三角形分类讨论问题 压轴题型六、三角形内角和定理的应用 压轴题型七、全等三角形中动点问题 压轴题型八、新定义压轴综合问题 易错题型一、不等式性质 1．（2026·上海长宁·二模）已知实数满足：，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海嘉定·月考）的2倍与的差大于1，可列不等式：___________． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知三个实数满足． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 易错题型二、不等式的解集 4．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·上海静安·课后作业）已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 6．（2025七年级下·上海静安·专题练习）在下列各数中：，，0，，2，4． (1)x取哪些数能使不等式成立？ (2)满足的数有什么特点？ 易错题型三、在数轴上表示不等式的解集 7．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东聊城·三模）如图数轴上表示了某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是_________． 9．（25-26七年级下·上海长宁·期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 易错题型四、求一元一次不等式的整数解 10．（25-26七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（25-26七年级下·上海嘉定·月考）我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 12．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为． (1)求的值； (2)求不等式的正整数解． 易错题型五、不等式含参数计算 13．（2026·河南郑州·模拟预测）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 15．（25-26七年级下·上海·月考）已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 易错题型六、不等式的综合应用 16．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）茶文化是中华民族传统文化的重要组成部分，也是中国文化的瑰宝之一．茶叶种植大户王伯伯参加了茗茶品鉴交流会后，准备在茶园里用篱笆围成一块长方形的区域来培育新品种的茶叶，现有长度为的篱笆，若要求该长方形区域的宽比长少，且篱笆材料需要够用，则长方形区域的长最大为多少米？ 17．（2026·江西九江·一模）某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 18．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为保障八年级研学旅行顺利开展，学校计划租用、两种型号的新能源客车共13辆，用于接送师生往返研学基地．两种客车的载客量、日租金如表： 车型 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） 型客车 55 2000 型客车 19 1000 学校要求：租车总费用不超过25000元． (1)最多能租用型客车多少辆？ (2)若八年级师生共600人，且所有师生都有座位，请写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 易错题型七、对顶角、邻补角、余角补角概念 19．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·四川广安·期中）如图，直线、相交于点，，，则________度． 21．（24-25七年级下·甘肃庆阳·阶段检测）如图，直线，相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)若与互为余角，求的度数． 易错题型八、角度计算 22．（25-26七年级下·北京·期中）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知点在直线上，，平分． （1）如图1，若，则的度数是__________． （2）如图2，若，则的度数是__________（用含的代数式表示）． 24．（24-25七年级下·上海松江·期末）若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． (1)若，求和的度数？ (2)若是任意角，求的度数？ (3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 易错题型九、垂直、垂线段最短 25．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，直线，相交于点O，于点O，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，的面积为，若，点在直线上运动，则线段长度的最小值是_____． 27．（25-26七年级下·北京·期中）如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 易错题型十、三线八角 28．（25-26七年级下·上海徐汇·期中）如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 29．（24-25七年级下·江西·期中）若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角． 30．（25-26七年级下·上海静安·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 易错题型十一、平行线的判定 31．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 32．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，根据图形及上下文的含义进行推理并填空： (1)因为，根据：“两直线平行，同位角相等”，所以______； (2)因为______，根据：“______”，所以； (3)因为______，根据“______”，所以． 33．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）已知如图：，，求证：．（请把以下证明过程补充完整）． 证明：（已知）， 又（________）， （________）． ∴________（________）， （________）， （已知）， ________（等量代换）， （________）， （________）． 易错题型十二、平行线的性质 34．（2026·湖北襄阳·二模）长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．如图，是一个帆船模型抽象出来的几何图形，已知，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 35．（2026·广西玉林·二模）如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点，，且．当时，________． 36．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知：如图，， 求证： 证明：（已知） （_______） _______（_______） （_______） _______（_______） （已知） _______（_______） （_______） 易错题型十三、点到直线距离 37．（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 38．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如图，点A，O，B，P均在格点上，点在的边上．过点作交于点交于点； 线段的长度是点到的距离，线段_________的长度是点到的距离， 这三条线段的大小关系是_________（用“”连接），理由是_________． 39．（25-26七年级下·四川巴中·阶段检测）在三角形中，，，垂足为．若，，，解决下列问题    (1)则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 (2)求点到直线的距离是多少?（写出解题过程）． 易错题型十四、平行线拐点模型中角度计算 40．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，则、、、数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，易得，，根据以上规律求_________． 42．（25-26七年级下·山东淄博·期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合如图，探索这两个角之间的关系． (1)如图①，，与的数量关系是___________； (2)如图②，，与的数量关系是什么？并说明理由； (3)经过上述探索，我们可以得出结论：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是___________； (4)若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍小，则这两个角分别是多少度？ 易错题型十五、三角形三边关系 43．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 44．（2026·河北张家口·二模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 45．（24-25七年级下·上海闵行·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 易错题型十六、三角形外角性质 46．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 48．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 易错题型十七、与三角形的高有关的计算问题 49．（25-26七年级下·上海宝山·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 50．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 51．（25-26七年级下·上海静安·课后作业）如下图，在四边形中，，对角线，交于点．若的面积为8，的面积为5，求的面积． 易错题型十八、根据三角形中线求长度与面积 52．（25-26七年级下·上海松江·阶段检测）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 53．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 54．（25-26七年级下·上海青浦·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 易错题型十九、与平行线有关的三角形内角和问题 55．（24-25七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ）    A． B． C． D． 56．（2025·青海·模拟预测）如图，已知，，，则等于_____． 57．（25-26七年级下·上海静安·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 易错题型二十、与角平分线有关的三角形内角和问题 58．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，，是的一条角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 59．（25-26七年级下·重庆长寿·期中）已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 60．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，平分，若，，求的度数． 易错题型二十一、图形的全等 一、系统分组_加入顺序 61．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 62．（24-25七年级下·上海青浦·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 63．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 易错题型二十二、全等三角形的性质 64．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 65．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是__________． 66．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，点C和点E，点A和点F是对应顶点，，，，，求的长，以及，的度数． 易错题型二十三、全等三角形的判定 67．（25-26七年级下·上海金山·月考）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 68．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 69．（25-26七年级下·上海静安·阶段检测）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 易错题型二十四、尺规作图——作三角形 70．（24-25七年级下·上海长宁·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 71．（25-26七年级下·上海奉贤·月考）已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 72．（25-26七年级下·上海长宁·期末）如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 易错题型二十五、全等三角形的证明 73．（2026·山西吕梁·一模）如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 74．（25-26七年级下·上海虹口·阶段检测）如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 75．（25-26七年级下·上海崇明·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 易错题型二十六、三线合一 76．（25-26七年级下·上海宝山·期末）某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（    ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．三线合一 D．等边对等角 77．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）在中，，点D为中点，如果，，则______ 78．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，是的边上的高，E，F分别是，边上的点，且，连接，，则线段与相等吗？请说明理由． 易错题型二十七、等边三角形的判定和性质 79．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形纸上像这样剪出一个，下列说法错误的是（   ） A．的面积是正方形面积的一半 B． C．的周长是正方形周长的 D．是等边三角形 80．（2026·江苏连云港·二模）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为________． 81．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）将绕着点O顺时针旋转得到，． (1)求和的度数； (2)连接，则是一个________三角形． 易错题型二十八、线段垂直平分线的性质和判定 82．（2026·天津西青·一模）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（   ） A．21 B．23 C．25 D．29 83．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长为，，则的长是__________． 84．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 易错题型二十九、等腰三角形的判定 85．（2026·河北邯郸·二模）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点放置在刻度尺的边上，点落在尺子内部，与尺子的边交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 86．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为_____ ． 87．（25-26七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，点在边上，且，求的长． 压轴题型一、一元一次不等式（组）实际综合应用 1．（24-25七年级下·广东江门·期末）沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 2．（24-25七年级下·上海静安·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 3．（25-26七年级下·贵州·期中）根据所给材料，完成下列任务． 背景 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源与自然资源，吸引着国内外大量游客，某文创店经销“自然风景”和“非遗技艺”两款冰箱贴． 素材一 该文创店在进货时发现，购进个“自然风景”冰箱贴和5个“非遗技艺”冰箱贴共需元；购进5个“自然风景”冰箱贴和个“非遗技艺”冰箱贴共需元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进两款冰箱贴共个，其中“自然风景”冰箱贴的数量不超过“非遗技艺”冰箱贴的，且购进两款冰箱贴的总费用不超过1060元． (1)每个“自然风景”和“非遗技艺”冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该文创店有哪几种进货方案？ 4．（25-26七年级下·上海松江·期末）年末，我市一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） (1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； (2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； (3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 5．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 下面是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元．若，则A，B两种品牌足球的单价各是多少元/个？ 南南通过查看例题的解析发现：设A种品牌足球的单价为元/个，则列出一元一次方程：． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是_______；（填序号） ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元/个； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个． (2)阳阳看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A，B两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球打8折销售，B种品牌的足球每个优惠4元．若此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个．请通过计算，写出所有符合购买要求的购买方案． 压轴题型二、根据平行线判定与性质证明 6．（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，．求证：． 7．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知：如图，点、、在同一直线上，，． 求证：．（请根据下面的解答过程，在横线上补全过程及理由） 证明：（已知）， （邻补角定义）， ________（________）． （________）． ③________（________）． （已知）， ④________（________）． （等式的基本事实）． 8．（25-26七年级下·青海西宁·期中）如图，已知两条射线，动线段的两个端点分别在射线，上，，点在线段上，平分． (1)请在图中找出与相等的角，并说明理由． (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． (3)判断和的数量关系，并说明若平行移动，则和的数量关系是否随着位置的变化而变化？若变化，找出变化规律． 9．（25-26七年级下·山东泰安·期中）按要求完成下列各题： 问题情景： (1)如图1，已知，． ①请对说明理由； ②请对说明理由． 迁移应用： (2)如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 10．（25-26七年级下·河南许昌·期中）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一条直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，．求证：． 请将以下证明过程补充完整 证明：如图2，延长交于点P， （已知）， （ ① ） 又（已知） ② （等量代换） ③ ④ （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， （ ⑤ ） （同角的补角相等）． 压轴题型三、平行线中多拐点模型角度综合应用 11．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 12．（25-26七年级下·广西崇左·期中）已知， P为平面内一点（不在、上），探索，，之间的数量关系． (1)求证：，请补全以下证明过程： 证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 13．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 14．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 15．（25-26七年级下·山东·期中）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系.小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、在外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明.请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据，过点作. （__________）； ，（___________________）， ， ， _________（__________）． (3)我们生活中经常接触小刀，如图3，刀柄是直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． (4)随着以后的学习，你会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题：如图4，在中，尝试说明． 压轴题型四、全等三角形的辅助线问题 16．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 17．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 18．（24-25七年级下·上海宝山·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 19．（24-25七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 20．（24-25七年级下·上海长宁·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 压轴题型五、等腰三角形分类讨论问题 21．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 22．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）（1）操作实践：中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 23．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 24．（24-25七年级下·上海奉贤·阶段检测）结合图形，解答下列各题 (1)操作实践：中，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；要求用两种不同的分割方法    (2)分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值；以下为备用图    (3)猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？请你至少写出两种不同情况的条件,无需证明 25．（24-25七年级下·上海闵行·期中）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 压轴题型六、三角形内角和定理的应用 26．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，，． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若于点，，．求的度数． 27．（25-26七年级下·山东济南·期中）图1是某车的侧面示意图，折线段表示后备箱车后盖（可如图打开），过点作地面的垂线段，车后盖的边与平行．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，，与地面平行，，求车后盖打开角的度数． 28．（25-26七年级下·上海静安·课后作业）如图1，，的平分线交于点G，． (1)试说明：； (2)如图2，线段上有点P，满足，过点C作． ①若在直线上取一点M，使，求的值是 ； ②若，将绕点B旋转，当 °时，的一边与平行． 29．（25-26七年级下·广东梅州·期中）综合与实践 已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点E，交于点F． (1)当所放位置如图1所示时，猜想与的数量关系，并说明理由； (2)当所放位置如图2所示时，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数． 30．（2026七年级下·江苏·专题练习）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线，（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含角的直角三角板进行了如下探究活动：将三角板中角的顶点B放在直线上，过角的顶点，作直线的平行线，直线始终位于直线的上方． (1)探究发现：如图1，若，则的度数为 ． (2)若直角三角板的直角顶点C位于直线与之间． ①如图1，若的角度未知，试猜想和之间存在的数量关系，并说明理由； ②如图2，将三角板沿直线向右平移，使直角顶点C恰好落在上，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），连接．若，请求的度数． (3)深入探究：若直角三角板的直角顶点C不在直线与之间，请直接写出和之间的数量关系． 压轴题型七、全等三角形中动点问题 31．（25-26七年级下·上海静安·期末）如图 (1)如图1是等边三角形，点D为边上的一动点(点D不与重合)，以为边在右侧作等边，连接，求证：． (2)如图2，在中,，点D为上的一动点(点D不与重合)，以为边作等腰直角三角形，连接，求 的度数． 32．（24-25七年级下·上海松江·期末）在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)若点D在线段上时（如图①），则____（填“>”“<”或“=”），_____度； (2)设直线与直线的交点为O． ①当动点D在线段的延长线上时（如图②），试判断与的数量关系，并说明理由； ②当动点D在线段的延长线上时（如图②），求的度数； ③当动点D在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数． 33．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 34．（25-26七年级下·上海虹口·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 35．（24-25七年级下·上海长宁·月考）（1）操作发现：如图①，是等边三角形，即，．点D是的边上一动点（点D与点B不重合），连接，以为边在上方作等边三角形，即，．连接．小明发现线段与之间存在某种数量关系，并给出了证明如下．请把他留下的空白处补充完整． 解：（1）如图①与的数量关系是 ． 证明如下：如图①∵ ∴ ∴ 在与中，， ∴（ ） ∴ ； （2）深入探究： 如图②，在（1）的条件下继续以为边作等边三角形，即， 连接、，请你探究、与有何数量关系，请直接写出探究的结论． （3）如图③，当动点D在等边三角形的边的延长线上运动时，其他作法与图②相同，继续探究、与的数量关系．请直接写出你发现的结论． 压轴题型八、新定义压轴综合问题 36．（24-25七年级下·上海静安·期末）新定义  题定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．若的值大于而小于，求的取值范围． 37．（25-26七年级下·上海宝山·期末）新定义：如果一条线段能把一个三角形分割成两个等腰三角形，那么这条线段叫做这个三角形的等腰分割线．如图1，若和都为等腰三角形，则线段为的等腰分割线． 解决问题：如图2，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，连接，求证：是的等腰分割线． 38．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）新定义∶对角互补的四边形称为对补四边形． (1)如图1，四边形为对补四边形，，求的度数． (2)在等边三角形上，，完成以下问题∶ ①如图2，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． ②如图3，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． 39．（24-25七年级下·上海长宁·期中）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形． (1)在中，，，则为______倍角三角形． (2)如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． (3)如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数． 40．（24-25七年级下·广西玉林·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是__________； 【初步认识】 （2）如图，在平面内，，点为直线上异于，的点，点为平面内一点，过点的直线交于点，交于点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图，在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接．若为直线与之间的一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“系数补角”，求的大小（用含和的代数式表示）． $