3.1锐角三角函数（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 本练习以“分层递进+素养融合”为特色，通过A组夯实概念与基础运算，B组强化综合应用，C组突出思维创新，拓展链接中考，构建从知识理解到能力迁移的完整巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|三角函数概念、基本计算、简单边长求解|以选择为主，聚焦单一知识点，如概念辨析题直接考查定义理解，培养抽象能力| |B组能力进阶|几何图形（菱形、矩形）中三角函数应用、网格问题|结合图形变换，如菱形面积与三角函数综合题，发展几何直观与空间观念| |C组思维拔高|分类讨论、方程思想、数学文化（弦图）|融入数学思想，如分类讨论点位置求边长，提升推理能力与创新意识| |拓展链接中考|中考真题题型（正方形综合、证明题）|对接中考考点，如正方形中三角函数计算，强化应用意识与模型观念|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.1锐角三角函数 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 三角函数概念辨析 1.B 2.D 3.C 4.B 颗型02 求三角函数值 5.A 6.D 7.D 8.c 9.B 10.C 11.D 12.A 13. 【详解】(1)解：在△ABC中，∠ACB=90°， c0sA=4C、3 AB 5 设AC=3x,则AB=5x, .'BC=AB2-AC2=4x, :BC=12 .4x=12,解得x=3, AB=15,AC=9 D是AB的中点， cD40- 29 (2)解：D是AB的中点， 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BD=14B-15 2 2 1 1 1.15 11 2×2 BE=二×5×9×12！ 22 8E36 5· 六在Rt△BDE中，coS∠ABE= BE 24 BD 25 题型03 根据三角函数值求边长 14B. 15.A 16.C 17.D 18. 【详解】(1)证明：~AD是Rt△ABC斜边上的高， .∠BDA=∠ADC=90°，∠BAD+∠DAC=90°， ∴.∠B+∠BAD=90°， ∴.∠B=∠DAC, △BDAn△ADC, AD BD CD AD' (2)解：由(1)知∠B=∠DAC, 1 .tan∠DAC=tanB= 2 又Rt△ADC中， tan∠DAC=CD AD=2CD」 在RtAACD中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2, ∴4CD2+CD2=(25, 解得：CD=2 B组 能力进阶 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.D 2.3 125 3.39 4.2 5-1 5.4 【详解】(1)解：AF⊥BC,AF=3,BF=1, .AB=AF2+BF2=10, ,点E是AB的中点， 在RaMB中，EF-)AB=d 21 (2)解：如图，延长FE交DA的延长线于点G,连接FD, G A D B F 点E是AB的中点， .'AE=BE, ,四边形ABCD是平行四边形，FC=3,BF=1, .ADII BC,AD=BC=BF+FC=4, .∠G=∠BFE,∠EAG=∠B, 在△AEG和△BEF中， ∠G=∠BFE ∠EAG=∠B AE=BE :.△AEG≌aBEF(AAS). ·GE=EF=i0 2’AG=BF=1' .'DG=AD+AG=5, 又：ADI‖BC,AF⊥BC, .AF⊥AD, 318 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.在Rt△ADF中，DF=VAF2+AD=5, .'DF =DG. 又.GE=EF :.DE⊥FG(等腰三角形的三线合一)， 中，DE=VDG-GE2= 52 √10 3√10 在 RtADEG 2 2 V10 ∴.tan∠ADE= GE 2 1 DE 3V103· 2 【详解】(1)证明：由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线， ∴∠COF=90°，OA=OC,AE=CE,AF=CF. :四边形ABCD为平行四边形， AD∥BC ∴∠OCF=∠OAE,∠OFC=∠OEA, ·.△AOE≌△COF(AAS), .AE=CF, ..AE=CE=AF=CF, ∴四边形AECF为菱形： (2)解：：F为BC中点， ∴FB=FC, ,四边形AECF为菱形， .FA=FC, ∴∠FAC=∠FCA,FB=FA, ∴，∠FBA=∠FAB, :.∠BAC=∠FAB+∠FAC=x180°=90， .sinB=4C_4 BC 5' .设AC=4x,则BC=5x, .AB2+AC2=BC2, 4/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6+(4x)}=(5x)2, 解得x=2(负值已舍去)， .AC=8, ∴.口ABCD的面积=6×8=48 8. 【详解】(1)①证明：，对角线AC平分∠EAD,∠EFC=∠CAD+∠ACD, ∴∠EAF=∠CAD,180°-∠EFC=180°-（∠CAD+LACD), ,∠EFA=∠CDA, ∴.△AFE∽△ADC. ②解：CE=3BE=6, .CE=6,BE=2 ∴.BC=CE+BE=8, 口ABCD .AD=BC=8.ADI BC ∴、∠DAC=∠BCA」 对角线AC平分∠EAD, .∠EAF=∠CAD, ∴∠EAF=∠BCA, .'AE=EC=6, .△AFE∽△ADC, AF AE .ADAC’ ∴.AF·AC=ADAE=48 (2)解：△AFE∽△ADC, AF AE AF AD ·4D=AC,即AE=AC, ,∠EAF=∠CAD, .△AFDAAEC, AF FD ·AEEC AE=EC. 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FA=FD, AB=AF, .:FA=FD=AB, .ABCD, .AB=CD. ∴.FA=FD=AB=CD 过点D作DH⊥AC于点H, A H B .FH=CH, 设FH=CH=x, :cos∠ACD=CH-1 CD 4' .FA=FD=AB=CD=4x, .AH=AF+FH=4x+x=5x,DH=CD2-CH2=15x, 根据勾股定理，得AD=√AH+DH2=2V10x, CD 4x 10 AD210x 5 9. 【答案】(1)解：如图所示即为所求， D (2)解：如图所示即为所求， 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (3)解：如图所示即为所求， C组 思维拔高 1.B 2 3 5313 4.5或13 o 拓展 链接中考 1.B 2. 【详解】(1)解：：Rt△ABC中，∠C=90,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. ÷sinA=-g,cosA=b ’a2+b2=c2, '.sin A+cos=tb c (2)解：由(1)知：sin2A+cos2A=1, .sinA=3 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +c0s2A=1, 8 .'.cos24= 9 .'cosA= 8_22 V93 (负值己舍去)· 8/8 分层作业 3.1锐角三角函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角函数概念辨析 题型02求三角函数值 题型03根据三角函数值求边长 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )三角函数概念辨析 1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )求三角函数值 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）在中，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江温州·三模）如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·云南昆明·三模）如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·云南楚雄·二模）在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·广东广州·一模）如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 13．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． ( 题型0 3 )根据三角函数值求边长 14．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是的中线．若，则的长为（　　） A．10 B．15 C．18 D．20 15．（2025·陕西西安·一模）在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 16．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D． ∴． 17．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．2 18．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，D为BC上一点，过点D作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，点都在格点处，与相交于点，则的值是_____． 3．（2026·浙江丽水·模拟预测）在中，，，，点在上，以，为邻边作，连接交于点．若点在的中垂线上，则的长是______． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接，，若，，则的长为______． 5．（25-26九年级下·山东·自主招生）如图，五边形是一个正五边形，则__________． 6．（第三十二章锐角三角函数1正弦、余弦与正切）如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 7．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，为上一点，为上一点，对角线平分，，连接，． (1)①求证：； ②若，求的值 (2)如图2，连接，若，，求的值． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． (2)在图②中的边上找到点，连结，使： (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 1．（折叠问题）如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（网格问题）如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 3．（方程思想）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（分类讨论思想）已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 5．（数学传统文化）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则___________． 1．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1锐角三角函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角函数概念辨析 题型02求三角函数值 题型03根据三角函数值求边长 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )三角函数概念辨析 1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 3．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意；     B. ，本选项错误，符合题意；     C. ，正确，不符合题意；     D. ，正确，不符合题意； 故选：B． ( 题型0 2 )求三角函数值 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）在中，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形．本题先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别判断每个选项的三角函数值是否正确． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得， 根据锐角三角函数定义： ，故A选项正确． ，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选：A． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的三角函数定义及勾股定理的应用，根据题意，可设，，利用勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，， ∴设，， 由勾股定理得：， 在中， ． 故选：D． 7．（2026·浙江温州·三模）如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，由作图可得，，则是的垂直平分线，通过证明是等边三角形，得到，进而得到，再利用勾股定理求出的长，在中利用正切的定义即可求解； 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图可得，， ∴是的垂直平分线， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴在中，， 即． 8．（2026·云南昆明·三模）如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定理得到，再根据正弦的计算求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ． 9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 10．（2026·云南楚雄·二模）在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理可得，再由余弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 11．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ． 12．（2026·广东广州·一模）如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，首先根据菱形的性质以及菱形面积公式确定的长度，再利用勾股定理解得的值，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接，交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，且， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 13．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦定义和勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可； （2）先根据三角形的中线平分该三角形的面积求得，在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ． 设，则， ， ． ，解得， ，， ∵D是的中点， ； （2）解：∵D是的中点， ∴， ，即， ∴， ． ∴在中，． ( 题型0 3 )根据三角函数值求边长 14．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是的中线．若，则的长为（　　） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】先由的正切值求出长，再由中点求出的长，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 15．（2025·陕西西安·一模）在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的应用．根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 16．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】过点A作于点，由三线合一的性质得出，再根据余弦的定义求出，进而求出． 【详解】解：过点A作于点D， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，作垂线(尺规作图)，等腰三角形的性质．由锐角的余弦定义得到，据此求解即可． 【详解】解：由作图知，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 18．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是斜边上的高， ，， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）证明，得到，即可得证； （2）由（1）知，得到，推出，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知， ， 又中，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：． 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，D为BC上一点，过点D作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得，根据全等三角形的判定与性质，求得，所以，再证明，求出，最后根据三角函数的定义求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了求三角函数值，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，点都在格点处，与相交于点，则的值是_____． 【答案】3 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理，如图所示，取格点E，F，连接，，利用勾股定理求出，，由得到，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，取格点E，F，连接，， 设格点之间的长度为1， ∴，， 由网格特点得，，， ∴ ∴． 故答案为：3． 3．（2026·浙江丽水·模拟预测）在中，，，，点在上，以，为邻边作，连接交于点．若点在的中垂线上，则的长是______． 【答案】 【分析】过点A作于点H，由三线合一定理得到，解直角三角形得到，设，则，由勾股定理得，解方程可推出，；由勾股定理得；证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∵，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； ∵点在的中垂线上， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接，，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】如图：过A作于F，过D作于G，则，证明 可得，易得；再利用正弦的定义可求得，运用勾股定理求得，最后利用线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过A作于F，过D作于G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 5．（25-26九年级下·山东·自主招生）如图，五边形是一个正五边形，则__________． 【答案】 【分析】先连接，过点作于点，作的平分线交于点，再求出正五边形内角为，再利用等边三角形的性质分别求出，，结合平分进而证明，求得，最后设求出利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，作的平分线交于点， ∵五边形是正五边形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴，即， 解得或（舍去）， 在中，，， ∴． 6．（第三十二章锐角三角函数1正弦、余弦与正切）如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长交的延长线于点，连接，先证出，再得出，进而可得，然后利用勾股定理求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴在中，． （2）解：如图，延长交的延长线于点，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 7．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形； (2)48 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，，，再证明，继而得到四边相等，即可求证； （2）先求得，利用正弦函数的定义得到，再利用勾股定理求得，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵F为中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，为上一点，为上一点，对角线平分，，连接，． (1)①求证：； ②若，求的值 (2)如图2，连接，若，，求的值． 【答案】(1) ①证明：∵对角线平分，， ∴，， ∴， ∴． ②48 (2) 【分析】（1）①证明即可证明； ②根据，证明，根据，列出比例式解答即可． （2）先证明，得到，过点D作于点H，得，设，结合，得到，，，根据勾股定理，计算即可． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点D作于点H， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，三角函数的应用是解题的关键． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． (2)在图②中的边上找到点，连结，使： (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)解：如图所示即为所求， (3)解：如图所示即为所求， 【分析】（1）因为三角形中线对应边的中点为分点，所以先找到的中点D，连接即可，利用网格格点可直接确定线段中点． （2）因为等高的两个三角形面积比等于底边长的比，所以要满足，需使，利用平行线分线段成比例的网格作图方法确定上的分点E． （3）因为意味着角所在直角三角形对边与邻边比为，所以先构造出正切值为且以B为顶点、一边为的角，该角的另一边与的交点即为F，可借助网格格点构造符合要求的直线． 【详解】（1）解：直接取的中点，即上距离B点2个单位的格点，连接，即为所求． （2）解：利用网格平行线分线段成比例找到上靠近的三等分点，连接，即为所求， 理由：取格点M，N， ∵， ∴， ∵和同高，高均为点到的距离，设为h， ∴， ∴． （3）解：过作横跨4格、纵升2格的直线，交于点，点F即为所求， 理由：连接， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． 1．（折叠问题）如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ． 2．（网格问题）如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先得出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴在中，． 3．（方程思想）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．在中，根据的定义和勾股定理，设，，通过方程求解x，再求． 【详解】解：如图， ∵，， ∴ 设，， ∵，由勾股定理，， ∴， 解得（舍）或， ∴． 故选：C． 4．（分类讨论思想）已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 【答案】 或/或 【分析】分F靠近点A和F靠近点B两种情况，过F作于G，利用矩形性质和勾股定理求出和的长度，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 点F靠近点A，垂足G在上时： 如图1，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，是中点， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ； ② 点F靠近点B，垂足G在上时： 如图2，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， 综上，的值为或． 5．（数学传统文化）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $