3.2 30°，45°，60°角的三角函数值（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“分层进阶+素养导向”为特色，通过A组巩固基础、B组提升能力、C组拓展思维、中考链接实战的四层设计，构建从特殊角三角函数值概念到综合应用的完整巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|特殊角三角函数值计算、由值求角度、判断三角形形状、混合运算|基础题型对应核心概念，强化运算能力与推理意识| |B组能力进阶|坐标对称、图形旋转、综合计算与实际问题|跨知识点结合，培养几何直观与空间观念| |C组思维拔高|规律探究、网格作图、动手操作与公式推导|开放探究任务，发展创新意识与批判性思维| |拓展链接中考|中考真题计算与化简求值|对接中考题型，提升应用意识与实践能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.230°，45°，60°角的三角函数值 参考答案 ● A组 巩固过关 颗型01 求特殊角的三角函数值 1.A 2.C 3.B 题型02 求三角函数值 4.B 5.A 6.759 题型n3 根据特殊的三角函数值，判断三角形的形状 7.D 8.直角三角形 9.等边三角形 题型04 特殊角的三角函数的混合运算 10.A 11.C 12. 【详解】(1)解：cos60°+sin245°-3tan30° 2 1,2 =2+2) -3× 3 +5 2+21 =1-5: (2)解：V5+2c0s30°+V3-2+(-1)2 =3+2x5+2-5+1 =3+V3+2-V3+1 =6 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13. 【详解】解：V16+2sin30°-（π-2026）9 =4+2x-1 2 =4+1-1 =4 14. 【答案】-2 【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案 【详解1解(g-20261-+(引 2sin45° =1+V2-1-2-2× 2 =1+2-1-2-2 =-2 B组 能力进阶 1.c 2.A 3. 【详解】(1)解：2sin60°-tan45°-V1-tan60)2 -251- =5-1-(3-) =0; 2解（品引 2a-)-(2a-3)÷1 (a+1)(a-1)a+1 2a-2-2a+3-(a+0 (a+1)(a-1) 216 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (a+1(a-)(a+) 1 a-1 a=2os0--a-3 2x3 +21 =3+1, 11-3 “原式=5+1-153 【详解】解：在RtABCD中，BC=I2,BD=8√5， ∴cos∠CBD=BC=12V5 BD8√52' ∴∠CBD=30°， :BD平分∠ABC, .∠ABC=60°， 在R△HBC中，am60=AC-1S=5. BC 12 AC=123 5. tan27°+tan45°0.5+1 【详解】(1)解：an72=tan(27°+45）-tan27.an45-0.5×3. =3 CE_CE=tanB, 2)补充证明：.AB1 ∴.CE=tanB ·CFcF BE tana =tanB :.CF=tana.tanB, ,四边形ABCD是矩形， .AB=CD,AD=BC,AB∥CD, AD=BE+CE=tana+tanB,∠AFD=∠BAF=a+B, .DF DC-FC=AB-FC=1-tana.tan B 316 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴tan(a+P)=tan∠AFD=4D tana+tan B DF1-tana,tanβ· 6. 【详解】(1)解：由题可得BA⊥DE, ∴.∠BAF=90° ,四边形ABCE是矩形， AB=CE=23米， .∠BFA=60°， ·sin∠BFA=sin60°=AB=V5 BF 2 解得：BF=4米， 故答案为：4： (2)解：由题意可知：BD=DE, 四边形ABCE是矩形， AE=BC=1米，AB=CE=2V3米， 设BD=DE=x,则AD=x-1, 在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2, 即(5+x-1=,解得，x= 2 0号米 7. 【详解】解：(2+52-)+4sn60+ -[+-+4个) 33 =(-1)+4 4 =-1+3-3 =-1. C组 思维拔高 1.A 2. 416 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) M (2)解：如图，取格点F,连接DF交AB于点E,则点E即为所求，连接AD,BF, .AD∥BF,AD=2,BF=4, ∴.△ADE∽△BFE, AE AD 1 BE-FB2' ∴.BE=2AE (3)解：如图所示，取格点H,连接AH,HF, H F 在Rt△HDF中，HF=4,HD=3, .DF=VHD2+HF2=V32+42=5, :sin∠ADE=He=4 DF5· 3 【详解】(1)【答案】(1) A (2)解：AB=AC,∠BAC=120°，AC=6, ∴.AB=6,∠B=∠C=30° :∠PAC=30°，∠BAC=120°， .∠PAB=90° 在R△PAB中，an30=4 AB' 516 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4P=AB-n30°=6x5 25。 又∠C=∠PAC=30°， :.CP=AP=23 拓展 链接中考 1. 【详解】解：-2-tan45° 1 +(元-167)° =2-1+3+1 =5 2. 【详解】解：原式=1+3-3-)+？ 5 3. 2a-1.a 【详解】解 1+ ÷ a+1a2-1 a+1+2a-1 a a+1 (a-1)(a+1) 3a(a-10(a+1) a+1 =3a-3; a--8+4w45=2-22+4x9-2 2 把a=2代入，得 原式=3×2-3=3 6/6 分层作业 3.2 30°，45°，60°角的三角函数值 目 录 A组 巩固过关 题型01 求特殊角的三角函数值 题型02根据特殊的三角函数值，求角的度数 题型03根据特殊的三角函数值，判断三角形的形状 题型04特殊角的三角函数的混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )求特殊角的三角函数值 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）在中，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值求出即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， 3．（26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． ( 题型0 2 )根据特殊的三角函数值，求角的度数 4．（第二十六章解直角三角形高效同步练习26.2特殊角的三角函数值）已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 5．（第二十六章解直角三角形高效同步练习26.3解直角三角形）在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 6．（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）在中，都是锐角，且满足，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值．直接利用非负数的性质得出且，再结合特殊角的三角函数值计算即可得出，，最后由三角形的内角和列式计算，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴， 故答案为：． ( 题型0 3 )根据特殊的三角函数值，判断三角形的形状 7．（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 【答案】D 【分析】根据得出或，根据特殊角的三角函数值求出或，即可得出答案． 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 8．（第三十二章追梦综合演练卷）在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【分析】由非负数的性质求出和的值，再根据三角函数值确定角和的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． 9．（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是，是等边三角形 ( 题型0 4 )特殊角的三角函数的混合运算 10．（2026·天津河西·一模）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 11．（2026·天津河东·一模）计算的值等于（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值的计算，只需代入特殊角的三角函数值，化简即可得到结果． 【详解】解：, 代入原式． 12．（下册第二章追梦期中达标测试卷）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（2026·福建莆田·模拟预测）计算：． 【答案】4 【分析】先利用算术平方根、特殊角的三角函数值、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 14．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 1．（25-26九年级上·河南信阳·期末）点关于轴的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，坐标与图形变化—轴对称关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数； 先根据特殊角的三角函数值求出点的坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征求出对称点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴点的坐标为， ∵关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，坐标与图形，三角函数，由菱形的性质及三角函数得，按次一个循环，即可求解；能由旋转的性质、形的性质、三角函数求出旋转后对应点的坐标，找出规律是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 由旋转得：， 同理可求：，，， 按次一个循环， ， 第2024次旋转结束时，点的坐标为； 故选：A． 3．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵ ， ∴原式． 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 5．（2026·浙江温州·三模）某小组对两角和的正切公式的证明产生浓厚兴趣． 【背景阐述】 已知：如图所示，在矩形中，点在边上，连接，过点作交边于点（点不与，重合），连结．记，（其中，均为锐角，且）． 求证： 证明：不妨设， 则在矩形中，． 故，即． 因为，所以． 因为，所以． 故，从而． 而在中，． …… 【特例探试】 (1)利用“两角和的正切公式”求的近似值．（参考数据：） 【推理验证】 (2)根据上述推导，补充完整证明过程，求证：． 【答案】(1) (2)补充证明：∴， ，     ， ，     ∵四边形是矩形， ，，， ，， ， ． 【分析】（1）根据和求解即可； （2）根据题中思路，利用相似的性质表示出，从而表示出，，根据平行性质得出，再根据即可证明； 【详解】（1）解：． （2）略 6．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图是一个滑梯示意图，是滑梯的支撑杆，四边形是矩形．已知米，米． (1)若，则________米； (2)若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，求出的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理解三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据矩形的性质可得米，然后通过三角函数的知识即可求解； （2）通过矩形的性质得到米，米，然后设，则，在中，通过勾股定理进行计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题可得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴， 解得：米， 故答案为：； （2）解：由题意可知：， 四边形是矩形， ∴米，米， 设，则， 在中，， 即，解得，， ∴米． 7．（2022·四川自贡·模拟预测）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 1．（找规律问题）如图，等边三角形的边在轴上，点的坐标为，以点为旋转中心，把逆时针旋转，每次，则第2025次旋转后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据等边三角形的性质求出点坐标，再根据旋转的规律找出第次旋转后图形的位置，添加辅助线，构造全等即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． 为等边三角形，点的坐标为， ． 在中，，， 点的坐标为． 每次逆时针旋转，次一个循环，， 第次旋转之后，点落到点位置，如图，过点作轴，垂足为H． ，，， ， ，， 点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解题关键是找出第次旋转后图形的位置． 2．（网格问题）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，仅利用网格和无刻度的直尺作图，其中点均在格点上． (1)如图1，画出的中点，保留作图痕迹； (2)如图2，请在图2的线段上画点，使，保留作图痕迹； (3)直接写出的正弦值_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，连接对角线，即可画出的中点． （2）取格点，连接交于点，则点即为所求，连接，，先证明，利用三角形相似即可求得． （3）在（2）的基础之上，取格点，连接，，利用勾股定理可得，进而可得的正弦值． 【详解】（1）略． （2）解：如图，取格点，连接交于点，则点即为所求，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，取格点，连接，， 在中，，， ∴， ∴． 3．（动手操作能力）如图，中，，． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作或作线段的垂直平分线，交点为所求或运用作一个角等于已知角的基本作图求解； （2）根据等腰三角形的性质，特殊角的三角函数求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ，．   ，， ．   在中，， ．   又， ． 1．（2026·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： 2．（2026·广东·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】由分式的加减乘除运算法则进行化简，然后求出a的值，再代入计算，即可得到答案． 【详解】解： = = =； ∵， 把代入，得 原式=． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2 30°，45°，60°角的三角函数值 目 录 A组 巩固过关 题型01 求特殊角的三角函数值 题型02根据特殊的三角函数值，求角的度数 题型03根据特殊的三角函数值，判断三角形的形状 题型04特殊角的三角函数的混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )求特殊角的三角函数值 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）在中，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )根据特殊的三角函数值，求角的度数 4．（第二十六章解直角三角形高效同步练习26.2特殊角的三角函数值）已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（第二十六章解直角三角形高效同步练习26.3解直角三角形）在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）在中，都是锐角，且满足，则的度数为______． ( 题型0 3 )根据特殊的三角函数值，判断三角形的形状 7．（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 8．（第三十二章追梦综合演练卷）在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 9．（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． ( 题型0 4 )特殊角的三角函数的混合运算 10．（2026·天津河西·一模）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 11．（2026·天津河东·一模）计算的值等于（    ） A． B． C． D．0 12．（下册第二章追梦期中达标测试卷）计算： (1)； (2)． 13．（2026·福建莆田·模拟预测）计算：． 14．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）计算：． 1．（25-26九年级上·河南信阳·期末）点关于轴的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 5．（2026·浙江温州·三模）某小组对两角和的正切公式的证明产生浓厚兴趣． 【背景阐述】 已知：如图所示，在矩形中，点在边上，连接，过点作交边于点（点不与，重合），连结．记，（其中，均为锐角，且）． 求证： 证明：不妨设， 则在矩形中，． 故，即． 因为，所以． 因为，所以． 故，从而． 而在中，． …… 【特例探试】 (1)利用“两角和的正切公式”求的近似值．（参考数据：） 【推理验证】 (2)根据上述推导，补充完整证明过程，求证：． 6．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图是一个滑梯示意图，是滑梯的支撑杆，四边形是矩形．已知米，米． (1)若，则________米； (2)若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，求出的长． 7．（2022·四川自贡·模拟预测）计算： ． 1．（找规律问题）如图，等边三角形的边在轴上，点的坐标为，以点为旋转中心，把逆时针旋转，每次，则第2025次旋转后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（网格问题）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，仅利用网格和无刻度的直尺作图，其中点均在格点上． (1)如图1，画出的中点，保留作图痕迹； (2)如图2，请在图2的线段上画点，使，保留作图痕迹； (3)直接写出的正弦值_____________________． 3．（动手操作能力）如图，中，，． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 1．（2026·湖南长沙·中考真题）计算：． 2．（2026·广东·中考真题）计算：． 3．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $