专题02 函数的单调性和最值（专项训练）数学北师大版2019必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02函数的单调性和最值 目录一 A题型建模·专项突破 题型一、函数单调性概念辨析. 题型二、 基本初等函数的单调性..3 题型三、函数单调性的等价概念..，，..4 题型四、定义法证明函数的单调性 题型五、利用函数性质判断函数的单调性.….7 题型六、根据图像判断函数的单调性.…8 题型七、基本初等函数的单调区间……………10 题型八、复合函数的单调区间.·. 题型九、根据函数的单调性求参数 5…12 题型十、根据分段函数的单调性求参数.，.13 题型十一、利用单调性解不等式…14 题型十二、 抽象函数的单调性与不等式.….16 题型十三、 利用函数的单调性比较大小.…17 题型十四、利用函数的单调性求最值.….19 题型十五、利用函数的单调性求值域.·.， 题型十六、根据函数的最值与值域求参数....22 题型十七、函数恒成立问题...，.. 24 题型十八、函数有解立问题.· ··..26 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、函数单调性概念辨析 1.下列说法正确的是（) A.所有的函数在其定义域上都具有单调性， B.若函数y=f(x)在区间1,3上是减函数，则函数y=f(x)的单调递减区间是1,3： C.若函数f(x)为R上的减函数，则f(-3)>f(3): D.若函数y=f(x)在定义域上有f(1)<f(2),则函数y=f(x)是增函数. 2.（多选)下列说法正确的是() A.若定义在R上的函数f(x)满足f(3)>f(2),则函数f(x)是R上的增函数： B.若定义在R上的函数f(x)满足f(3)>f(2),则函数f(x)是R上不是减函数： C.若定义在R上的函数f(x)在区间-o∞，0上是增函数，在区间0，+o∞上也是增函数，则函数f(x) 在R上是增函数： D.若定义在R上的函数f(x)在区间-oo,0上是增函数，在区间（0，+∞)上也是增函数，则函数f(x)在 R上是增函数. 3.(22-23高一上四川绵阳南山中学月考)下列说法正确的是() A.若存在x1,X2∈R,当x1<x2时，有fx口<fx2,则fx在R上单调递增 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.函数fx=上在定义域内单调递减 X C.若函数fx=x2-mx的单调递减区间是-oo,1,则m=2 D.若gx在R上单调递增，则g-1<g1 题型二、基本初等函数的单调性 4.下列说法中，正确的是（) A.函数y=x2在R上是增函数 B.函数y=在定义域上是增函数 X 1 C.函数y=二的单调区间是(-oo,0)U(0,+o) X D.y=kx(k≠O)不是增函数就是减函数 5.下列函数为增函数的是() A.f x=x B.f x=x C.fx =x2 D.flx)=1 6.(多选)(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅实验学校期中)下列函数中，当0<X≤2时，函数是减函数的 是() A.y=-X+1 B.y=x2-4x+5 C.y=x2 0.y=2 题型三、函数单调性的等价概念 7.（多选)(24-25高一上·内蒙古科左中旗民族职专◇实验高级中学·月考)下列函数中满足“对任意x1, X,∈10，+w,且XX,都有fX-f>0”的是() X1-X2 A.fx=-3x+1 B.fx)=-2 X C.fx=x2+4x+3 D.f(x)=x-1 8.（多选)如果函数fx在a,b上是增函数，那么对于任意的x1、X2∈Q,bx1≠x2,下列结论正确的 是() A.x-f X1-X2 B.(x-x2)f(x]-f(x2>0 c.若x,<x2,则fa<fxfx2<fb X1一X2 >0 D.Fxi-flxa 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、定义法证明函数的单调性 9.已知函数fx)=2x+0 且f0=1,设gx=f X+1 (1)求函数gx的解析式： (2)用定义法判断gx的单调性. 10.用定义法证明：函数fx=x+x在R上是增函数 1 11.(24-25高一上福建福州青鸟北附高级中学期中)给定fx=x2-3x+2+一 49x=20-1 X2-1 且g0+3g2=16,hx=4 -3 (1)求fx,gx的定义域以及gx的解析式 (2)判断hx在区间3，+∞上的单调性，gx在区间1，+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明 题型五、利用函数性质判断函数的单调性 12.(24-25高一上·辽宁实验中学期中)设函数fx在R上为增函数，则下列结论正确的是() A.y=xfx在R上为增函数 B.y=fX在R上为减函数 C.y=-1 x 在R上为增函数 D.y=-fx在R上为减函数 13.(多选)(22-23高一下河南青桐鸣)已知fx是R上的增函数，gx是R上的偶函数，且在0，+∞上单 调递减，则() A.fgx在-oo,0上单调递增 B.fgx在-∞，0上单调递减 C.fgx在0，+∞上单调递增 D.fgx在0，+o∞上单调递减 14.已知fx在定义域内是减函数，且fx>0,则下列函数在其定义域内为增函数的是一（填序号）. ①y=a+fx(a为常数)： ②y=a-fx(a为常数)； ③y=f 1 ④y=[fxf. 题型六、根据图像判断函数的单调性 15.(25-26高一上山东德州宁津县第一中学.开学考)若函数fx的图象如图所示，则其单调递增区间是 () 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-4,-1U[1,4 B.[-1,1 C.-2,2 D.-4,-1,11,4 16.(多选)已知函数fx的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列说法正确的是() y不 -3-2-10 1234无 A.ff-3=1 B.fx是单调增函数 C.fx的定义域是-oo,0U2,3 D.fx的值域是1,5 17.(24-25高一上江苏盐城五校联盟期末)已知某周期函数fx一个周期的图象如图所示，则下列说法正 确的是() A.当x=2025时，fx取最大值 B.当x=2k-1k∈Z时，fx取最小值 c.当x∈2024,2025时，fx递增 D.fx的单调减区间是4k-3,4k-1k∈Z 题型七、基本初等函数的单调区间 1x2-8 18.函数fx=2“的单调递增区间为一，单调递减区间为一 X 19.函数fx=3X的单调递减区间为一 X-4 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.已知函数fx=x·x-4. 珠 3 2 1 2-9 1234衣 4 (1)作出函数fx的图象： (2)由图指出fx的增区间. 题型八、复合函数的单调区间 1 21.(24-25高一上广东广州二中教育集团期中)函数y= 的单调递减区间是（) x2-2x A.-∞，1 B.（-∞，0) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 22.函数f(x)=-X2+2x+32的单调递减区间为一· 23.函数y=x+x2-1的单调递减区间为 题型九、根据函数的单调性求参数 24.若函数fx=4x-a+3在区间1，+o∞上不单调，则a的取值范围是一· 25.设实数a≠2，若函数fx=4-在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围为一 a-2 26.若函数y=2x+0在区间1，+∞上是增函数，则实数a的取值范围为一· X 题型十、根据分段函数的单调性求参数 27.（多选)(24-25高一下·云南开远第一中学校)已知函数fx=是R上的函数，且满足对于任意的 (x2)-f(x1 X1≠X2,都有 >0成立，则a可能是() X1-X2 A.1 B.2 C.3 D.4 28.(24-25高一上·重庆西藏中学校期中)若函数fx=满足对任意实数x1≠X2,都 fx上fx>0成立， X1一X2 则f-3=(,实数a的取值范围是■ 29.(22-23高一上·甘肃定西·期末)已知f(x)=(在区间（一∞，+o∞）上是单调减函数，则实数a的取值范围为_ 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型十一、利用单调性解不等式 30.设函数fx=x-1x-1,若f2-a2>fa,则实数a的取值范围是一 31.己知函数fx=i,若f2t2-1>ft+2,则实数t的取值范围为一 32.己知函数fx的定义域为R,对任意的a,b∈R,都有fa+b=fafb,当x<0时，fx>1,且 f0≠0，若f-2=4,则不等式f5x2-12x>16的解集是一： 题型十二、抽象函数的单调性与不等式 33.已知函数fx对任意的a,b∈R,都有fa+b=fa+fb-1,且当x>0时，fx>1. (1)求证：fx是R上的增函数： (2)若f2=2,解不等式fx2)+f-3x≤4. 34.已知定义在R上的函数fx,对任意的x,y∈R,恒有fx·y=fx+fy成立. (1)求f1的值： 2)求证：当x∈R时， 设-f (3)若x>1时，恒有fx<0,试判断fx在0，+∞上的单调性，并说明理由. 35.(23-24高一上·黑龙江佳木斯桦南县第一中学期中)己知函数fx对任意的a,b∈R,都有 fa+b=fa+fb-1,且当x>0时，fx>1. (1)求证：fx是R上的增函数： (2)若f2=2,解不等式fxx-3s3. 题型十三、利用函数的单调性比较大小 36.(多选)已知函数fx的图象关于直线x=2对称，且fx在区间0,2上单调递增，则() a.ricr ®.ff1sf9 f3f318 c. o.fkf3f8 37.(23-24高一上北京顺义牛栏山第一中学期中)已知函数fx=x+4 (1)利用函数的单调性定义证明函数fx在2，+∞上单调递增： (2比较f +f4a+a>1的大小 38.(23-24高一上贵州月考)已知函数fx=+1 4x (1)利用函数的单调性定义证明fx在1，+oo上单调递增： 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2若>1，试比较ft,f2- 的大小 题型十四、利用函数的单调性求最值 9.已知函数fx满足fx+3f了 上4x+fx在区同2,5内的员小信是一 40.函数fx=x+x+2x的最小值为 41.(25-26高一上·江西赣州上犹大余崇义三县)己知二次函数y=x2-2x-2, (1)当x∈-2,0时，求函数y的最小值： (2)当x∈t,t+1时，求函数y的最小值. (3)解关于x的不等式：ax2-2a-1x-2≥0. 题型十五、利用函数的单调性求值域 2.ix=其4xe-20 (1)求证：函数fx在区间-2,0上是减函数： (2)求函数fx在区间-2,0上的值域。 43.(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团期中)已知二次函数fx=2x2+mx+n的图象过0,3，且函 数图象顶点的横坐标为X=一1. (1)求函数fx的解析式： (2)求函数fx在区间-2,3上的值域. 44.(24-25高一上广东深圳龙岗区高级中学高中园期中)已知函数f(x)=Qx+b(a,b∈R),且f1)=2, 作219 (1)求函数f(x)的解析式，并写出其定义域： (2)用函数单调性的定义证明：函数f(x)在0,1上单调递减； (3)若x∈ 1,2 求函数f(x)的值域. 题型十六、根据函数的最值与值域求参数 45.已知函数fx=m二1(m>1)在区间n,+∞上的值域为0,1，则m-n=d一 X 46,两数()-X4御3，止的最大值为弓，则加=8一 47.(24-25高一上北京第一零一中学期中)已知函数fx=-x2-2ax-3a+2a∈R. 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若方程fx=0有两个实根x1,x2,且满足x+x=4,求实数a的值： (2)若函数fx在一2,0上的最大值为1，求实数a的值 题型十七、函数恒成立问题 48.24-25高一下江苏丹阳高级中学当x∈(-1,1时，不等式2kX--?<0恒成立，则k的取值范围 8 是( c.| D 8 49.若对任意x∈[-1，]，x2+ax+1>0恒成立，则实数a的取值范围为_ 50.已知函数断X=+2+0,若a=2则fx在1+∞上的最小值为一：若对任意x∈1，+0， X fx>0恒成立，则实数a的取值范围为 51.(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学.月考)设a为实数，己知y=ax2+a一2. (1)若关于x的不等式ax2+ax-2←4x的解集为-o∞，1U2,+o∞，求a: (2)若对任意x∈R,y<0恒成立，求a的取值范围： (3)若对任意X1∈1,2，总存在x2∈1,2，使得ax+ax1-2<3ax2+2a成立，求a的取值范围. 题型十八、函数有解立问题 52.25-26高一上贵州黔东南苗族侗族凯里第一中学若两个正实数X,y满足+4-1且存在这样的X,y x y 使不等式x+Y<m2+3m有解，则实数m的取值范围是() A.(-1,4 B.（-4,1) C.-∞，-4)U1,+∞D.（-o,-3)U(0,+∞ 53.(21-22高一上山西运城教育发展联盟月考)已知函数fx=x2-x+1,x∈1,2，函数gx=aX-1, x∈-1,1，对于任意x1∈1,2，总存在x2∈-1,1，使得gx2=(fx1成立，则实数a的取值范围是 () A.-0,-4 B.4,+0o c.( D.-∞，-4U4,+∞ 54.(24-25高一上·云南玉溪期末)已知函数fx=x2+5x+8,gx=mx+3-5m,若对任意的x1∈-4,2， 总存在x2∈2,6，使fx1=gx2成立，则实数m的取值范围是 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(22-23高一上四川广安加德学校期中)已知函数fx=(,对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时， fx一fx>0,则a的取值范围是(） X1-X2 A.-00,-2: B.-2,0 c.[-3,-2: D.0,+∞ 二、多选题 2.(24-25高一上·辽宁大连大连经济技术开发区第一中学·期中)已知函数f(x)=(为定义在R上的减函数， 下列说法正确的是() A.m的取值范围为 B.Ha∈R,f(a)<f(a-1) C.若fa-4>f3a,则a的取值范围是-2，+o∞ D.函数的值域为R 3.(24-25高一上，广东鹤山纪元中学期中)对任意实数x,用m(x)表示函数f(x)=x和g(x)=x+1中的最 小值，记为m(x)=min{fx,gx},则() A.m(x)有最大值，无最小值 B.当x≤0，mx的最大值为号 C.不等式m()≤号的解架为 一00， 2 D.m(x)的单调递增区间为(0,1) 三、填空题 4.(24-25高一下.河北保定第三中学，期中)已知函数fx=(在R上单调递减，则实数a的取值范围为一 四、解答题 5.(24-25高一上广东汕头第一中学期中)已知函数fx=-x2+2mx+1-m2,其中m∈R. (1)若fx在区间4,6上具有单调性，求m的取值范围： (2)当x∈1,3时，函数fx的最大值为-8，求实数m的值 6.(23-24高一上广东惠州惠东县期中)设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R. (1)若t=1,求函数f(x)在区间[0,4]上的值域： (2)若对任意的x1,x2∈[0,4，都有fx1-fx2≤8，求实数t的取值范围. 7.(24-25高一下北京清华大学附属中学期中)已知函数fx=x3-ax2-bx,且f1=f2=0. (1)求a,b的值： (2)若fm<0,fm-1fm+1>0,直接写出实数m的取值范围： 9/10 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)记坐标原点为O,实数t>3,点Tt,ft为fx图象上一点，函数gx的图象为直线OT.若 x1,x2∈0，t,fx1=gx2,求证：x1>x2. 10/10 专题02函数的单调性和最值 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数单调性概念辨析 1 题型二、基本初等函数的单调性 3 题型三、函数单调性的等价概念 4 题型四、定义法证明函数的单调性 5 题型五、利用函数性质判断函数的单调性 7 题型六、根据图像判断函数的单调性 8 题型七、基本初等函数的单调区间 10 题型八、复合函数的单调区间 11 题型九、根据函数的单调性求参数 12 题型十、根据分段函数的单调性求参数 13 题型十一、利用单调性解不等式 14 题型十二、抽象函数的单调性与不等式 16 题型十三、利用函数的单调性比较大小 17 题型十四、利用函数的单调性求最值 19 题型十五、利用函数的单调性求值域 21 题型十六、根据函数的最值与值域求参数 22 题型十七、函数恒成立问题 24 题型十八、函数有解立问题 26 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数单调性概念辨析 1．下列说法正确的是（   ） A．所有的函数在其定义域上都具有单调性. B．若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是. C．若函数为R上的减函数，则. D．若函数在定义域上有，则函数是增函数. 【答案】C 【分析】据函数单调性的定义，结合常见函数的单调性进行判断即可. 【详解】函数在其定义域上不具有单调性，故A错误； 函数在区间上是减函数，而的单调递减区间是，故B错误； 若函数为R上的减函数，因为，所以，故C正确； 函数，，满足， 而在上单调递增，在上单调递减， 在其定义域R上不是增函数，故D错误. 故选：C 2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数； B．若定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数； C．若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数； D．若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数. 【答案】BC 【分析】对ABC按函数单调性的定义进行验证，对于选项D，举反例进行否定即可. 【详解】A：若函数在R上为增函数,则对于任意的且,则定成立,若成立,不具有一般性，比如不一定成立,所以函数在R上不一定是增函数,A错误； B：函数在R上为减函数,则对于任意的且,则定成立,所以, 一定成立,所以,若,函数是R上不是减函数,故B正确; C：若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则满足对于任意的且,则定成立,所以, 则函数在R上是增函数；符合增函数的定义.故C正确； D：设函数是定义在R上的函数,且在区间上是增函数，在区间上也是增函数，而-1<1但,不符合增函数的定义,所以,函数f(x)在R上不是增函数.故D错误. 故选：BC 3．(22-23高一上·四川绵阳南山中学·月考)下列说法正确的是（    ） A．若存在，，当时，有，则在上单调递增 B．函数在定义域内单调递减 C．若函数的单调递减区间是，则 D．若在上单调递增，则 【答案】CD 【分析】根据函数单调性的定义可判断A；由反比例函数的单调性可判断B；由二次函数的单调性可求得的值，从而判断C；由单调性的性质可判断D． 【详解】解：，，当时，有，则在上单调递增，所以A错误； 函数在区间内单调递减，在上单调递减，但是在定义域上不具有单调性，所以B错误； 函数的对称轴为，开口向上，所以单调递减区间为， 又函数的单调递减区间是，所以，故，所以C正确； 若在上单调递增，所以，所以D正确． 故选：CD． 题型二、基本初等函数的单调性 4．下列说法中，正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的单调区间是 D．不是增函数就是减函数 【答案】D 【分析】根据函数的单调性逐一分析即可. 【详解】在上单调递减，在上单调递增，故错误； 在和上是增函数，故错误； 的单调区间为和，故错误； 时，是增函数， 时，是减函数，故正确. 故选：. 5．下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本函数的单调性，进行判断即可. 【详解】在单调递减，故A错误； 定义域为，且在上单调递增，故B正确； 在上单调递减，故C错误； 在上单调递减，故D错误． 故选：B 6．（多选）(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期中)下列函数中，当时，函数是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AD选项，可利用解析式直接得到单调性；BC选项，根据二次函数的开口方向和对称轴作出判断. 【详解】A选项，在R上单调递减，当时，是减函数，A正确； B选项，对称轴为，开口向上， 故在上单调递减，B正确； C选项，对称轴为轴，开口向上，故在上单调递增，C错误； D选项，在上单调递减，D正确. 故选：ABD 题型三、函数单调性的等价概念 7．（多选）(24-25高一上·内蒙古科左中旗民族职专�实验高级中学·月考)下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意知，函数在定义域内单调递增，再利用基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断即可. 【详解】因为对任意，，且，都有，所以在区间上单调递增， 对于选项A，因为在区间上单调递减，所以选项A错误， 对于选项B，由反比函数的性质知，在区间上单调递增，所以选项B正确， 对于选项C，因为的对称轴为，所以在区间上单调递增，故选项C正确， 对于选项D，易知在区间上单调递增，故选项D正确， 故选：BCD. 8．（多选）如果函数在上是增函数，那么对于任意的、，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】利用函数单调性的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于ABD选项，因为在上是增函数，对任意的、， 不妨设，则，则，， ，ABD均对； 对于C选项，若，则，则，C错. 故选：ABD. 题型四、定义法证明函数的单调性 9．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 10．用定义法证明：函数在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性定义证明即可. 【详解】证明：设是上的任意两个实数，且，所以， 则 ，. ，即， 函数在上是增函数. 11．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【答案】(1)答案见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；证明见解析 【分析】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可. （2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可. 【详解】（1）令，解得， 令，解得，则的定义域为, 因为，所以，， 因为，所以， 解得，得到，令，解得， 则的定义域为. （2）判断：在区间上单调递减， 我们任取，且使， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 即，故在区间上单调递减， 判断：在区间上单调递增， 我们任取，且使， 则， ， ，因为，所以， 因为，所以，， 得到，即， 故在区间上单调递增. 题型五、利用函数性质判断函数的单调性 12．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】D 【分析】利用特殊函数排除A、B、C，即可得答案. 【详解】由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是R，排除B， 、在R上不是单调函数，且后一个函数定义域不为R，排除A、C， 若函数在上为增函数，则在上为减函数，D对. 故选：D 13．（多选）(22-23高一下·河南青桐鸣·)已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断选项. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递减， 所以在区间上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法， 可知，在上单调递增，故A正确，B错误； 在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：AD 14．已知在定义域内是减函数，且，则下列函数在其定义域内为增函数的是 （填序号）． ①（为常数）； ②（为常数）； ③； ④． 【答案】②③ 【分析】利用函数单调性的性质可判断①②，利用复合函数法可判断③④. 【详解】在定义域内是减函数，且，在定义域内也是减函数，①不符合题意； 函数在定义域内为增函数，②符合题意； 令，函数在上为减函数，故在定义域内为增函数，③符合题意； 令，则在上是增函数，根据复合函数的单调性可知是减函数，④不符合题意． 故答案为：②③. 题型六、根据图像判断函数的单调性 15．(25-26高一上·山东德州宁津县第一中学·开学考)若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 16．（多选）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列说法正确的是（    ）    A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】AD 【分析】根据函数图象分析函数的性质，依次判断各项的正误. 【详解】A：由图知，因此，对； B：不是单调增函数，例如，错； 由图知：函数定义域是，值域是，C错，D对. 故选：AD 17．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)已知某周期函数一个周期的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，取最大值 B．当时，取最小值 C．当时，递增 D．的单调减区间是 【答案】ACD 【分析】由图可知的最小正周期为，得到一个周期内的最值与单调区间，再根据函数的周期性可判断各选项中结论的真假. 【详解】由图可知的最小正周期为， 由图可知在处取得最大值，因为的最小正周期为， 所以在处取得最大值，当，即时，取最大值，A正确； 因为当时，即时，取最大值，故B错误； 由图可知在上递增，因为的最小正周期为，所以在上递增，即当时，递增，C正确； 在图中一个周期内，的递减区间为，因为的最小正周期为，所以的单调减区间是，D正确. 故选：ACD. 题型七、基本初等函数的单调区间 18．函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 【答案】 和 和 【分析】结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为， 根据对勾函数的性质得函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 故答案为：和；和． 19．函数的单调递减区间为 ． 【答案】和 【分析】整理可得，利用函数单调性的定义判断函数单调性. 【详解】首先，的定义域为，且. 而对任意，根据可知，即，故. 又对任意，根据可知，故. 因此在区间上单调递减，在上单调递减，故函数的单调递减区间为和． 故答案为：和． 20．已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【分析】（1）函数，再作出图象即可得. （2）结合函数图象可得增区间. 【详解】（1）函数， 则函数的图象如图实线部分所示： （2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为、． 题型八、复合函数的单调区间 21．(24-25高一上·广东广州二中教育集团·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 22．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域和单调性求解即可. 【详解】由，解得， 所以的定义域为， 令，， 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为： 23．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性以及单调性的性质分析判断函数单调性. 【详解】因为， 令，解得或， 可知的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递增，在内单调递减， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递增， 则在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为． 故答案为：. 题型九、根据函数的单调性求参数 24．若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 25．设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，分、两种情况讨论，可知对任意成立，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】令，分以下两种情况讨论： （ⅰ）当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数， 所以实数应满足，即； （ⅱ）当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是减函数， 所以实数应满足解得，所以． 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 26．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用单调性的定义来进行判断，结合分离参数，即可求出参数范围. 【详解】 对任意，都有， 即成立，所以，即实数的取值范围为． 故答案为： 题型十、根据分段函数的单调性求参数 27．（多选）(24-25高一下·云南开远第一中学校·)已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】根据题目条件得到函数在上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，进而求得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减， 则要满足，解得，故． 故选：BC． 28．(24-25高一上·重庆西藏中学校·期中)若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【分析】令即可求解，再根据已知可得函数是单调递增函数，利用分段函数的单调性的求法即可求解． 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 29．(22-23高一上·甘肃定西·期末)已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定的分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 题型十一、利用单调性解不等式 30．设函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为，， 作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是增函数． 又因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 31．已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 32．已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性得，解该不等式即可得解. 【详解】因为对任意的a，，都有，，且， 所以，且． 设任意，则，则，又， 所以 ，若，则当时，， 则，矛盾，所以，所以，所以函数单调递减， 所以不等式等价于，所以， 故，即，解得． 所以不等式的解集是． 故答案为： 题型十二、抽象函数的单调性与不等式 33．已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知条件，结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）所得函数单调性解不等式. 【详解】（1）设，且，则，即， ∴ ， ∴， ∴是上的增函数； （2）∵， 取，则， 于是等价于，即， 由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为. 34．已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值； (2)求证：当时，； (3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3)在上为减函数，理由见解析. 【分析】（1）令并代入关系式，即可得； （2）利用关系式并结合（1）的结论，即可证； （3）应用单调性定义，设，则，即可得结论. 【详解】（1）令，则，故； （2）； （3）在上为减函数，理由如下： 设，则， 又，故， 所以，即在上为减函数. 35．(23-24高一上·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期中)已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且，则，即， ∴ ， ∴，∴是上的增函数； （2）任意的，都有， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为． 题型十三、利用函数的单调性比较大小 36．（多选）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对称性将自变量变换到区间内，再根据单调性比较大小即可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以， ， 又因为在区间上单调递增，且， 所以， 所以， 所以和正确； 故选：BD 37．(23-24高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由定义法证明函数的单调性； （2）通过单调性比较函数值的大小. 【详解】（1）函数，任取， ， 由，，，，即， 所以函数在上单调递增. （2），则，当且仅当，即时等号成立， ， 由，有，则，， 函数在上单调递增，所以. 38．(23-24高一上·贵州·月考)已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先对函数解析式化简变形，再根据函数单调性的定义即可证明. （2）先根据判断的范围；再比较和的大小关系；最后根据函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）证明：由题目条件得：， 任取， 则. 因为， 所以，， 则，即. 故在上单调递增. （2）解：因为， 所以. 又因为，当且仅当时，等号成立，而. 所以. 因为在上单调递增， 所以. 题型十四、利用函数的单调性求最值 39．已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 【答案】 【分析】解方程组法求出的解析式，然后利用定义法判断其单调性，由单调性可得最值. 【详解】因为①，所以②， 由得，即． 设2，则，故在内单调递增，所以． 故答案为： 40．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】先确定定义域，再分别分析定义域内不同区间函数的单调性，进而求出最小值． 【详解】函数的定义域为． ①当时，因为与在上均是增函数， 所以在上是增函数，故； ②当时，， 因为与在上均是增函数， 所以在上是增函数，且最大值为， 故在上是减函数， 所以在上是减函数， 故． 综上，函数的最小值为． 故答案为：． 41．(25-26高一上·江西赣州上犹大余崇义三县·)已知二次函数． (1)当时，求函数y的最小值； (2)当时，求函数y的最小值． (3)解关于x的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据二次函数在给定区间上的最值的求法求函数的最小值. （2）根据给定区间与二次函数的对称轴的位置关系进行讨论，分析函数的单调性，求函数的最小值. （3）分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. 【详解】（1）由题意，函数， 所以函数y在区间上的最小值为当时，． （2）①当时，函数在区间上随x增大而减小，最小值为时，． ②当时，函数在区间上随x增大而减小， 在区间上随x增大而增大，最小值为时，． ③当时，函数在区间上随x增大而增大，最小值为时，． 综上可得：当时，函数y的最小值为； 当，函数y的最小值为； 当时，函数y的最小值为． （3）由得：， 当时，解上式得； 当时，，所以可得一元二次不等式的解集为； 当时，，所以可得一元二次不等式的解集为； 当时，，所以可得一元二次不等式的解集为； 当时，，所以可得一元二次不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 题型十五、利用函数的单调性求值域 42．已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【详解】（1）任取，且， 则 ， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 43．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)已知二次函数的图象过，且函数图象顶点的横坐标为． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解之即可求解； （2）由（1），根据二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】（1）二次函数的图象的对称轴为， 则，解得， 所以二次函数的解析式为； （2）由（1）知，图象的对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 故函数在上的值域为. 44．(24-25高一上·广东深圳龙岗区高级中学高中园·期中)已知函数，且，. (1)求函数的解析式，并写出其定义域； (2)用函数单调性的定义证明：函数在上单调递减； (3)若，求函数的值域. 【答案】(1)，定义域为； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出函数的解析式，并得到定义域； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论； （3）利用双勾函数的性质求出函数在的值域即可． 【详解】（1）由已知可得，解得，， 所以 ，定义域为； （2）证明：任取，且， 则， ，且， ，，， ，即， 在上单调递减． （3）由函数，易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，而，. 因为，所以函数在的值域为. 题型十六、根据函数的最值与值域求参数 45．已知函数在区间上的值域为，则 ． 【答案】1 【分析】根据值域判断函数单调性，然后可列方程求解. 【详解】由题意得，且在上的值域为， 所以，在上单调递减，即，故． 故答案为：1 46．函数在上的最大值为，则 . 【答案】 【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可. 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 47．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. （2）因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 题型十七、函数恒成立问题 48．(24-25高一下·江苏丹阳高级中学·)当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质求最值可得结果. 【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意； ②当时，令，则在上恒成立， 函数的对称轴为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：A. 49．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】法1，分类讨论求出二次函数在上的最小值，进而求出的范围；法2，按分段，分离参数求出最值即可求出的范围. 【详解】解法1：设，，则， （ⅰ）当，即时，，解得，无解； （ⅱ）当，即时，，解得2，则； （ⅲ）当，即时，，解得，则， 所以实数的取值范围为． 解法2：若对任意，恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 50．已知函数，若，则在上的最小值为 ；若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】当，利用作差法求出函数的单调性，即可求出在上的最小值；若对任意，恒成立，将问题转化为大于函数在上的最大值，利用二次函数的最值即可求解. 【详解】当时，，设任意、，且，所以， 因为，所以，，，所以， 即，于是有，所以函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为. 若对任意，恒成立，则，即， 所以问题转化为大于函数在上的最大值，，，易知在上单调递减， 所以在上的最大值为，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：， 51．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·月考)设为实数，已知． (1)若关于的不等式的解集为，求； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用一元二次不等式的解法，得，即可求解； （2）分和两种情况，利用一元二次不等式的解法，即可求解； （3）利用一、二次函数的性质，求出和在的最值，结合条件，即可求解. 【详解】（1）由，得， 由题知和是方程的解，且， 所以，解得. （2）当时，，成立， 当时，有，解得. 故的取值范围为． （3）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则； 综上所述，实数的取值范围为. 题型十八、函数有解立问题 52．(25-26高一上·贵州黔东南苗族侗族凯里第一中学·)若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 53．(21-22高一上·山西运城教育发展联盟·月考)已知函数，，函数，，对于任意 ，总存在，使得 成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的单调性求出值域，再利用包含关系列不等式，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为在上为增函数，所以的值域为，记为. 当时，在上为增函数，所以的值域为，记为， 当时，在上为减函数，所以的值域为，记为. 当时，由题意可知，所以，解得； 当时，由题意可知，所以，解得. 综上所述，或，即， 故选：C. 54．(24-25高一上·云南玉溪·期末)已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 一、单选题 1．(22-23高一上·四川广安加德学校·期中)已知函数，对任意，当时，，则a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】C 【分析】根据单调性列不等式求解. 【详解】因为当时，，所以在上是增函数. 所以在上单调递增；在上单调递增， 且当时，， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 2．(24-25高一上·辽宁大连大连经济技术开发区第一中学·期中)已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B． C．若，则的取值范围是 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】对于A，分析出要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于等于在右侧的最大值，进而列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数在上的单调性，将不等式，转化为关于的不等式，求出的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的，得到函数的确切解析式并求出其值域，即可判断. 【详解】对于A，当时，函数， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即， 解得，即的取值范围为，故A正确； 对于B，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，整理得， 其判别式，故恒为正， 即对所有的都成立， 所以，恒成立，故B正确； 对于C，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：ABC 3．(24-25高一上·广东鹤山纪元中学·期中)对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【详解】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误. 故选：BC. 三、填空题 4．(24-25高一下·河北保定第三中学·期中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 5．(24-25高一上·广东汕头第一中学·期中)已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. 【详解】（1）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． （2）二次函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，在上单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，无解，所以不存在， ③当时，在上单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 6．(23-24高一上·广东惠州惠东县·期中)设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二次函数的区间单调性求区间最值，进而确定值域； （2）问题化为，由已知，其开口向上且对称轴为，讨论对称轴与区间的位置关系确定最值，结合不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设， 则在上单调递减，在上单调递增， 由，，， 故上函数的值域为； （2）由，其开口向上且对称轴为， 又对任意的，都有，即， 当时，，可得，不符合前提； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，不符合前提； 综上，. 7．(24-25高一下·北京清华大学附属中学·期中)已知函数，且． (1)求的值； (2)若，，直接写出实数的取值范围； (3)记坐标原点为，实数，点为图象上一点，函数的图象为直线．若，，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由已知，代入自变量列方程求参数值； （2）由题设、求解集，即可得； （3）令 ，易得，则，结合的区间单调性即可证. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得； （2）由，则， 所以或， ， 所以或或或， 综上，实数的取值范围为； （3）由题意及（2）知且，构造函数 ， 因为，，所以，． 若，，所以，， 又在单调递增，所以． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $