专题11 二次函数角度问题9大题型（期中复习讲义·培优版）九年级数学上学期新教材人教版

专题11 二次函数角度问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 等角构等腰 题型02 等角构全等 题型03 二次函数与倍角问题 题型04 二次函数与角的和差倍分 题型05 二次函数与15°角 题型06 二次函数与45°角 题型07 二次函数与60°角 题型08 二次函数与90°角 题型09 二次函数与135°角 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 等角构等腰 能根据等角条件构造等腰三角形，转化线段关系求解点坐标 中档高频题型，常作为大题小问，容易漏多解情况 等角构全等 能借助等角条件构造全等三角形，实现线段、坐标转化 综合几何模型，对辅助线要求高，属于区分度考点 二次函数与倍角问题 能识别倍角结构，通过作角平分线、构造等腰转化倍角条件 压轴常考，学生很难想到转化思路，是难点 二次函数与角的和差倍分 会对角的和、差、倍、分进行几何转化，结合函数求动点 综合性强，多放在压轴后两小问，计算与几何推理并重 二次函数与 15° 角 能利用 15° 角的特殊性，构造特殊直角三角形进行计算 冷门但有区分度，常结合 45°、60° 角差得到 15°，容易不会构造 二次函数与 45° 角 掌握 45° 角构造等腰直角三角形的模型，求解动点坐标 高频压轴考点，模型性强，易错点是遗漏多组解 二次函数与 60° 角 能依托 60° 角构造等边三角形、含 60° 直角三角形解题 中档压轴，常和等边三角形结合，注意分类讨论 二次函数与 90° 角 会根据直角条件，利用垂直斜率、勾股、一线三垂直模型求点坐标 必考经典题型，极易漏掉动点的多种位置情况 二次函数与 135° 角 会把 135° 角拆分为 90°+45°，构造等腰直角三角形求解 压轴高频，多在函数背景下，辅助线构造是主要难点 题型一 等角构等腰 解｜题｜技｜巧 【典例1】（24-25九年级下·安徽淮南·期中）已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． （1）___________． （2）在轴上有一点，则点的坐标为___________． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴的交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)连接，当时，求证：； (3)设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； (4)连接，当时，直接写出的值． 【变式2】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 题型二 等角构全等 解｜题｜技｜巧 【典例2】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)当时，抛物线的取值范围是_______； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 题型三 二次函数与倍角问题 解｜题｜技｜巧 【典例3】（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求的面积； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； (3)点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·单元复习）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 题型四 二次函数与角的和差倍分 【典例4】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 【变式1】（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，当点P位于直线上方时，求面积最大时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 题型五 二次函数与15°角 【典例5】（21-22九年级上·山西太原·阶段检测）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．      【变式1】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求此拋物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 【变式2】（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 二次函数与45°角 【典例6】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标__________． 【变式2】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 题型七 二次函数与60°角 【典例7】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为___________． 【变式1】（2023·陕西·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点. (1)求点A，B，C的坐标； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标. 【变式2】（24-25九年级下·江苏盐城·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点， (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接； ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标； ②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 题型八 二次函数与90°角 【典例8】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，抛物线交x轴于A和B两点，交y轴于点C．直线与抛物线交于M，N两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使，则m的值为_________． 【变式1】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为___________． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当时，求t的值． 题型九 二次函数与135°角 【典例9】（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，求点的坐标． 【变式2】（22-23九年级上·山西运城·期末）综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左则），与y轴交于点，点是抛物线的顶点．抛物线的对称轴交轴于点，点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为，点的坐标为，连接分别与轴，对称轴交于点． (1)求三点的坐标并直按写出顶点的坐标； (2)当时．求点的坐标； (3)试探究：在点运动过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（重庆市万州（二中）文德初级中学2025-2026学年上学期九年级数学14周周测试卷）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)抛物线与平行于轴的直线交于点、，为等边三角形，求的值． (3)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上，且，求点的坐标． 2．（26-27九年级上·吉林松原·阶段检测）如图，抛物线的顶点为A，过点A左侧抛物线上一点B，作轴于点C，且． (1)求点B的坐标； (2)若D是抛物线上一点，且，求直线的解析式． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2022·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 期中综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 3．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 4．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11二次函数角度问题（期中复习讲义） 内容导航 明期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识育区 破•重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01等角构等腰 题型02等角构全等 题型03二次函数与倍角问题 题型04二次函数与角的和差倍分 题型05二次函数与15°角 题型06二次函数与45°角 题型07二次函数与60°角 题型08二次函数与90°角 题型09二次函数与135°角 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 能根据等角条件构造等腰三角形，转化 中档高频题型，常作为大题小问，容易漏 等角构等腰 线段关系求解点坐标 多解情况 能借助等角条件构造全等三角形，实现 综合几何模型，对辅助线要求高，属于区 等角构全等 线段、坐标转化 分度考点 二次函数与倍角 能识别倍角结构，通过作角平分线、构 压轴常考，学生很难想到转化思路，是难 问题 造等腰转化倍角条件 点 二次函数与角的 会对角的和、差、倍、分进行几何转 综合性强，多放在压轴后两小问，计算与 1/123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和差倍分 化，结合函数求动点 几何推理并重 二次函数与15 能利用15°角的特殊性，构造特殊直角 冷门但有区分度，常结合45°、60°角差得 角 三角形进行计算 到15°，容易不会构造 二次函数与45 掌握45°角构造等腰直角三角形的模 高频压轴考点，模型性强，易错点是遗漏 角 型，求解动点坐标 多组解 二次函数与60° 能依托60°角构造等边三角形、含60° 中档压轴，常和等边三角形结合，注意分 角 直角三角形解题 类讨论 二次函数与90° 会根据直角条件，利用垂直斜率、勾 必考经典题型，极易漏掉动点的多种位置 角 股、一线三垂直模型求点坐标 情况 二次函数与 会把135°角拆分为90+45°，构造等腰 压轴高频，多在函数背景下，辅助线构造 135°角 直角三角形求解 是主要难点 破·重难题型 巴题型一 等角构等腰 解/题/技/巧 2/123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图示 D 条件和 ∠PAC=∠AC0e ∠PCA=∠CAO ∠PCB=∠ACB.↓ 作PC∥BD交AC延长线于点D 结论 AQ-CQL AQ=CQL BD=CD (△AQC为等腰三角形)日 (△AQC为等腰三角形)日 (△BDC为等腰三角形)日 通用步骤 1边标记题干相等角： 1)平行线转移角平分线等角； 2)利用坐标轴垂直/平行线转化角度： 2)构造等腰得到等线段； 3)证明三角形两内角相等，得到等线段： 3)可搭配相似三角形/角平分线定 4)设动点坐标，用距离公式列方程求解： 理计算； 5)检验点的位置是否符合题意.日 4)联立抛物线求动点P坐标。 y=-x+bx+c 【典例1】(24-25九年级下·安徽准南期中)已知：如图，抛物线 内的△ACD 的三个顶点都 在抛物线上：其中点D为抛物线的顶点，点8的坐标为低，0)，点C的坐标为4,3) (1)∠DCA= (2)在y轴上有一点P,∠ACP=∠CAD,则点P的坐标为 【答案】 % 0或0，-5) 3/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)先用待定系数法求出抛物线解析式，得出点D的坐标，用勾股定理逆定理判断△ACD为直 角三角形即可求解： (2)分①当点P在AC的上方时和②当点P在AC的下方时两种情况求解即可. 【详解】“点 (5,0)+C(4,3) ，点 都在抛物线y=-r+r+C上， -25+5b+c=0, -16+4b+c=3, b=6, c=-5, ·抛物线的解析式为 =-x2+6x-5 令y=0,则-x2+6x-5=0, x=5或x=1, .A(1,0) .OA=1」 y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4 .D(34) 如图1，过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F,CGLDE于点G,则 OE=3,DE=4,OF=4,CF=3, B 图1 ..EF=OF-OE=4-3=1,AE=OE-OA=2,AF=OF-OA=3 4/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE⊥AB,CF⊥AB,CG⊥DE, ∴四边形CGEF为矩形， ∴CG=EF=1,EG=CF=3, ..DG=DE-EG=1, .AD2=AE2+DE2=22+42=20, CD2=CG2+DG2=12+12=2, AC2=AF2+CF2=32+32=18, .CD2+AC2=2+18=20, .CD2+AC2=AD2, △ACD为直角三角形， .∠ACD=90. (2)如图2，①当点P在AC的上方时，设PC与AD交于点H, 图2 由(1)知∠ACD=90°， ,∠PCA+∠PCD=90°，∠CAD+∠HDC=90° ∵∠PCA=∠CAD ∴.∠HDC=∠PCD, ∴.HD=HC :∠PCA=∠CAD :HA=HC, ∴.HA=HD :A1,0),D(3,4) 5/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .H(2,2) 设直线CH的解析式为y=c+a, [2k+a=2, 4k+a=3, 、1 a=1, 1 直线CH的解析式为y=2x+1. 令x=0,则y=1, .P(0,1) ②如图3，当点P在AC的下方时， :∠PCA=∠CAD D B 图3 ∴.PC∥AD 设直线AD的解析式为y=mr+n, D(3,4),A1,0) 3m+n=4, m+n=0, m=2, n=-2, 6/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 直线D y=2x-2 解析式为 设直线PC的解析式为y=2x+d, 则2×4+d=3, d=-5, ∴直线PC的解析式为y=2x-5 令x=0,则y=-5, ∴P(0,-5) 综上，当∠PC4=∠CD时，点P的坐标为0,1)或0,5) 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，因式分解法解一元 三次方程，把y=r+br+c化成顶点式，y=a(x-+人的图象与性质，矩形的判定与性质，勾股定理， 勾股定理的逆定理，求一次函数解析式，，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键。 【变式1】(25-26九年级上·吉林长春期末)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线 y=-x2+br+C经过点 (-1,0).C(0,3)点4B是该抛物线与轴的交点(4在8的左侧)，点P是该 抛物线上一点，横坐标为m. (1)求该抛物线所对应的函数表达式： (2)连接CPCB,当m=2时，求证：tan∠BCP=1: (3)设抛物线在B、P两点之间的部分（含B、P两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差 为4，求m的取值范围； 7/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)连接CPCB、AC,当∠BCP=∠ACO时，直接写出m的值. 【答案】(1)少=-x+2x+3 2) 证明：当m=2时，代入y=-r+2x+3. 得y=-4+4+3=3, P(2,3) B ,C(0,3) :北 .PCIl AB 当y=0时，-x2+2x+3=0, -(x+1)(x-3)=0 解得5=1与=3 :B30) ∴.OC=OB. .∠B0C=90°， ∴∠CBO=∠BC0=45° 8/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PCII AB. ∴∠BCP=45° ∴.tan∠BCP=l B)1≤m≤1或m=1+2 ； (4)2或4 【分析】(1)直接将点AC坐标代入即可： (2)由题意知，=%，进而可得∠BCP=∠CB0=∠BC0=45°，据此得证： (3)根据图象明显可知点P在点A左侧时，最值之差大于4，不合题意，点P在B和顶点之间时，最值之 差小于4，不合题意；则分两种情况讨论即可： (4)分两种情况讨论：当点P在BC上方时，作点A关于y轴对称点A,易得∠ACP=∠OCB=45°，再 构造一线三垂直全等可得直线CP解析式，进而联立二次函数解析式求出m值；当点P在BC下方时，易得 ∠ACP=∠OCB=45°，同理可求m值 【详解】()解：将点1-10).C(03)代入y=-r+r+c. 0=-(-1)2-b+c 得3=c b=2 解得c=3, 抛物线的解析式为》=-r+2x+3 (2)略 (3)解：由题意可知顶点坐标为么，4)， 当m≤-1时， y最大=y原点=4y最小=yp<0 :最大绿小>4 不成立. 9/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,当-1≤m≤1时， C P B ∴此时 y最大=y项点=4y最小=yB=0 ,成立； 当1<m≤3时， y最大=yp<4y最小=yg=0 ÷最大绿小<4 不成立 当m>3时， y C B :最大-y小=4y限大=yg=0 y最小=yp=-4 .-m2+2m+3=-4, 解得%=1+25m,=1-2V2 (舍)： 综上，-1≤m≤1或m=1+22 (4)解：①当点P在BC上方时，作点A关于y轴对称点A',则OA'=OA=1, 10/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A 6 H 则∠ACO=∠ACO=∠BCP. .∠A'CP=∠0CB=45°， 过A作AG⊥A'C交CP延长线于点G, 则△ACG为等腰直角三角形， .A'C=A'G. 过G作GH⊥x轴于点H,则∠AOC=∠GHA'=90°， :.∠OAC=∠HGA'=90°-∠GA'H, ∴.△A'OC≌aGHA'(AAS), .GH=OA',A'H=OC. 点4(10)，C0,3) .0A=1,0C=3, .GH=OA'=1,A'H=OC=3, 点G4) :设直线CG表达式为》=+b(k≠0) 将点C0,3)点G(4, 、点 代入得： [b=3 4k+b=1, 心解得：-1 2，b=3: 1 直线CG表达式为y=2x+3, 11/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 令2x+3=-x2+2x+3 1 解得x=0合去)或x 2, 5 、m=2 ②当点P在BC下方时，过A作AK⊥AC交CP于点K,过K作QK L AB交AB于点Q .∠ACP=∠OCB=45°， “.△ACK为等腰直角三角形， .AC=AK,∠COA=90° ∠CAO+∠OAK=∠OAK+∠AKQ=90°， ∠CAO=∠AKQ. :在△AC0和△AK0中， I∠COA=∠AQK ∠CAO=∠AKQ AC=AK ACO≌△KAQ(AAS) 在 ..AO=OK =1.CO=AO=3. 00=2, :K在第四象限， 点2-) Q\B :设直线CK表达式为'=x+么（低≠0） 12/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 将点C03)、点K(2-》代入得： b=3 -2k+b=1, k=-2b=3 ∴解得： .直线CK表达式为y=-2x+3, 令-2x+3=-x2+2x+3, x2-4x=0, x(x-4)=0 解得x=0(舍去)或x=4, m=4: 5 综上，m的值为2或4， 【点睛】本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的图象和性质、二次函数最值问题、二次函数角度关 系处理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 【变式2】(25-26九年级上天津阶段检测)已知抛物线'=r+br-3(a≠0)经过点 -3,0,B,0两点， 与y轴交于点C,顶点为D (1)求a,b的值及顶点D的坐标： (2)点E为直线AC下方抛物线上的一点，当∠ECA=∠DAC时，求点E的坐标： ®)点M为y轴上的一动点，连接BM,当M+三CM取得最小值时，求点M的坐标，并求出这个说小省 2 【答案】1)a=1,b=2D(1,-4) 57 a4 3)点M的坐标为 0,-1 ,这个最小值为25 【分析】(1)将 A(-3,0),B(1,0) 代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶 13/123 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点坐标即可： (2)连接AD,取AC的中点F,连接OF并延长，交AD于点G,连接CG并延长，交抛物线于点E,根 3 3 据F为AC的中点，得出 2 2 求出直线OF的解析式为y=x,直线AD的解析式为y=-2x-6, y=x 1 联立=-2x-6,求出G(-2-2),根据C(0,3),G(-2,-2)得出直线cG的解析式为)=-2-3，联立 y=x2+2x-3 1 y= 2-3，求出点E的坐标即可： (3)过点M作MN⊥AC于点N,过点B作BG⊥AC于点G,交y轴于点H,证明△CNM和△MBG都是等 宜角三，得出N兴。从面波明W=BW 2 ,根据两点之间线段最短，且垂线 段最每，行出当点M在点H处时，BM+?N最小，且最小值为BG的长，根指等腰直角三角形的性质 求出点M的坐标和这个最小值即可. 【详解】(1)解：将 4-3,0)，B0)代入”=ar+r-3(a≠0)得： 9a-3b-3=0 a+b-3=0, a=1 解得：b=2, ·抛物线的解析式为：y=x+2x-3=(x+-4 D(-1,-4) 顶点坐标 (2)解：连接AD,取AC的中点F,连接OF并延长，交AD于点G,连接CG并延长，交抛物线于点 14/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E,如图所示： y个 A 0B D 把0 y=x2+2x-3 代入 得：3 .C(0,-3) :4(-30) ∴.0A=0C=3. F为AC的中点， .OF⊥AC, OF垂直平分AC, ∴.GA=GC, .∠ECA=∠DAC, ∴，此时点E符合题意， F为AC的中点， 33 设直线OF的解析式为y=c,把 (2 -2 解得：k=1, ∴直线OF的解析式为y=x, 设直线4D的解析式为)=kx+么，把1(-3,0），D(-4)代入得： 15/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [-3k+b=0 -k+b=-4, [k=-2 解得：b=-6, ∴直线AD的解析式为y=-2x-6, y=x 联立y=-2x-6, [x=-2 解得：y=-2, ÷G-2-2） 1 同理根据C(0,-3),G(-2,-2)可得直线cG的解析式为y= 2-3 y=x2+2x-3 1 联立」 =2-3 2 解得： 7 x2=0, y=- 4 3=-3 57 ∴点B的坐标为24： (3)解：过点M作MN⊥AC于点N,过点B作BG⊥AC于点G,交y轴于点H,如图所示： B H D 16/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则∠MNC=∠BGA=90°， :0A=0C=3,∠AOC=90°， 1 .∠AC0=∠CA0=×90°=45° 2 ∴.△CNM和△ABG都是等腰直角三角形， .AWCM, BM+CM=BM+MN 2 ,两点之间线段最短，且垂线段最短， ÷当点M在点H处时，BM+CM最小，且最小值为BG的长。 2 ÷4(-30)B10) AB=1-（-3)=1+3=4 :△ABG为等腰直角三角形， BG= -AB=2V2 2 ,∠ABH=45°， .∠BOH=90°， .△BOH为等腰直角三角形， ∴.OH=OB=1, ,H(0,-1) :当M+兰cM取得最小值时，点M的坐标为Q-,这个最小值为25。 2 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，等腰直角三角形 的判定和性质，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质。 巴影型二等角构全等 解/题/技/巧 17/123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图示 E B 条件 OB=OC,∠PBA=∠AC0 BC平分∠PBD,CD∥x轴，OB=OC 结论 △AC0≌△QB0 △BCE≌△BCD 解题 1.由全等直接得0Q=0A,求出Q点坐标： 1.由全等得线段等量关系； 用法 2.由B、Q两点求直线PB解析式： 2.利用CD∥x轴，C、D纵坐标相同，快速求D坐标； 3.联立抛物线方程，解出动点P坐标； 3.结合角平分线条件列方程求动点。 适用 己知角相等，求抛物线上动点坐标（角度存在 角平分线+平行线，二次函数综合角度计算 题型 性问题) 【典例2】(25-26九年级上江苏徐州阶段检测)如图1，抛物线 y=x2-4x 与轴相交于原点0和点4， 直线y=x与抛物线在第一象限的交点为点B,抛物线的顶点为点C. (1)求点B和点C的坐标： (2)当0≤x≤3时，抛物线y的取值范围是 3)抛物线上是否存在点D,使得∠DOB=∠OBC?若存在，求出所有点D的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】)5,5)C(2,-4) -4≤y≤0 (2) 18/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1313 3)存在： D(,21,D39 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数与方程的关系、几何中角度相等的条件转化， 涉及全等三角形和两直线平行和内错角相等；解题的关键是将角度相等的几何条件转化为代数关系。 (1)联立抛物线方程与直线方程解出B点坐标；将抛物线化为顶点式或利用顶点公式求出C点坐标； (2)确定抛物线在0≤x≤3的递增或递减情况，计算端点及顶点的函数值，比较得出范围： D (3)当在直线OB上方时，构造 OD I BC D D C,利用两直线平行，内错角相等，计算点坐标：当在直 线OB下方，构造全等三角形， aBEN2△ON(ASA),计算点D坐标 【详解】(1)解：求点B和点C的坐标 y=x2-4x x=0x=5 联立：y=x 解得y=0或y=5 (5,5) 故点 抛物线化为顶点式：y=r-4r=(x-2}-4 故点C2-4) (2)抛物线开口向上，对称轴为x=2, 当0≤x≤3取值范围内时，x=2时，y=-4(最小值)： 当0≤x≤2时，y随x增大而减小，x=0时，y=0: 当2≤x≤3时，y随x增大而增大，x=3时，y=9-12=-3 比较得：最小值为-4，最大值为0， 故y的取值范围为一4≤y≤0 (3)解：分两种情况讨论： O当P在直线O8上方时， D ∠DOB=∠OBC 过点O作ODIBC,∠D,OB=∠OBC 19/123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 设'c=+b.B5,5).C(2,-4) 5k+b=5 [k=3 2k+b=-4解得b=-10,则yc=3x-10 10 令y=0, x= :0D8C,直线BC与”轴交于点6，直线O0与轴交于点0 10 10 ∴.可将直线BC是直线OD,沿EO方向平移3（即向左平移3个单位） -10=3x YoD =3x x=7 〔x=0 联立： y=x2-4x解得y=21或y=0(舍) D(7,21) 故点 ②当D在直线OB下方， ∠D,OB=∠OBC 过点8作BNL轴于点N,延长OD,与BN交于M 20/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BN ON=5 ∴△ONB为等腰直角三角形 ·.∠BON=∠OBN=45 ∠D,OB=∠OBC 又 ∠BON-∠D,OB=∠OBN-∠OBC 即∠MON=∠WBE 又BN=ON=5,∠BNO=90° △BEN≌AOMN(ASA) ·.EN=MN o 2.EN-ON-OE-5-10-5-MN 33 设yow=a 13 y=x2-4x x= 3 联立： 1 ,解得 13或x=0(舍) Yow J= 9 y=0 21/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1313 版点(3号) 1313 综上所述， D(7,21. D39 【变式1】(2526九年级上山东成海期末)抛物线”=+x+3a≠0)与”轴分别交于点4和点B, 与y轴交于点C,对称轴为直线x=-1,且OA=OC 1A-1O B A -10 B x 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，连接BC,若点M为抛物线上一点，且∠MAB=∠BCO,求点M的坐标； B如图2，点D0,),点P为第二象限内抛物线上一动点，连接P0交4C于点E,若5=Se,求点 P的坐标 【答案】(1)y=-x2-2x+3 ②当点M在轴上方：点M,当点M在x轴下方：点M写号 r39 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题 (少根据题意先求得C(03),进而可程4（←3,0）】 B(1,0) 根据对称性可得 ,待定系数法求解析式，即可 求解： (2)当点M在x轴上方，设AM交'轴于点N,证明 ANO≌aCBO(ASA)m,,N(0,1) 得出 待定系数法求得 直线AM的解析式，联立抛物线解析式求得M的坐标；当点M在x轴下方，同理可得AM的解析式为 22/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 y=-x-L,再联立抛物线解析式求得M的坐标，即可求解： 3 9 (3)过点p作PT⊥x轴于点T,根据S,p4E=S.ocE得出S国边彩4o0P=S4oc=2,进而设P(m,-m2-2m+3), 7 解方程得出m=一3，即可求解。 【详解】(4)解：当=0时，y=+r+3=3,则C(03) .0C=3 0A=OC 0A=3 A(-3,0) 抛物线的对称轴为直线x=-1 B0,0) 将1(-3,0)，BL0)代入=ar2+b+3 [9a-3b+3=0 a+b+3=0 a=-1 解得：b=-2 y=-2-2x+3 (2)解：如图，当点M在x轴上方，设AM交y轴于点N, 4-10 B 图1 23/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B1,0) .OB=1 :∠MAB=∠BC0,OC=OA,∠AON=∠COB=90° ÷aANO≌aCBO(ASA) :ow=0B=1,则N01 设直线4M的解折式为'=c+b≠0，代入4(-3,0，N(0), 「-3k+b=0 b=1 解得：b=1 ·直线AM的解析式为y=3x+1 y=-x2-2x+3 联立y=3x+1 2 解得：「x=-3或11 y=0 9 点写号 当点M在x轴下方，同理可得M的解析式为y=-1 y=-x2-2x+3 1 联立 y=-x-1 3 24/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 x=- 3 解得： x=-3或 y=- 13 y=0 9 ÷M-13 39 (3)解：如图过点P作PT⊥x轴于点T, YA M4T-1O B主 图2 S.PAE=S.OCE 23x3=9 S.四边形400p=S40c 又.Q(0, S.四边形40OP=S。APr+S稀形PTo0= 2 设P(m-m2-2m+3) m+3-m2-2m+3)+[←m2-2m+3)+1小(-m)-号 1 解得m=-3或m=0(舍去) 3时，-m2-2m+3=20 7 当m= 【变式2】(25-26九年级上安徽毫州期中)如图，抛物线”=r+-3与'销交于点1(-4,0)B(0) 与y轴交于点C,点P是直线AC下方抛物线上的点. 25/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求a+b的值； 2连接4P.CP.BC,过点p作PF⊥x裤于点F:交AC于点E:若Snc-S,求点p的坐标： (3)如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MA0=∠OAC时，求点M的坐标. 【答案】(1)3 a29 同2别 【分析】(I)利用待定系数法求出ab值，进而即可求解： 15 (2)由二次函数解析式可得C(0,-3),进而得到S,c=2,即得S,pc=6,再利用待定系数法可得直线 3 3,设m子 3 AC的解析式为'=一4x- y=- (m-im-3 ,则（ 可得 3 EP=- m-3 m2+9 ,即得到 ,求出m的 值即可求解： (3)设直线4M交'轴于D,可证△1OD≌a10C(ASA),得到OD=OC=3,得到 D(0,3),即得直线 3 AD解析式为'+3，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解： 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 26/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】)解：：抛物线'=+br-3与轴交于点 A(-4,0)B(1,0) 16a-4b-3=0 ∴a+b-3=0, 3 a= 4 解得 b=4 :a+b= 39=3 44 (2解：自(1>得抛物线的解新式为y+ -3, 把=0代入y=子0+号-3，得y=3 9 :c0-3) .0C=3, 4(4,0)BL,0) B=1-(4)=5 2×5x3=15 1 S.4BC= , ue. 5 415 .S.PAC=5X2 6, 设直线4C的解折式为=c+,托4(4,0)和C0,-3》代入得， 0=-4k+n -3=n 4 解得n=-3· 27/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 ∴直线4C的解析式为y= -x-3 4 设Pmm+m-3 3 4 Em,一am-3】 ,则（ -3m2-3m×4=6 -24" 解得 m=m2=-2 (3)解：如图，设直线AM交y轴于D, D B [∠MAO=∠OAC OA=OA ∠AOD=∠AOC=90°' △AOD≌△AOC(ASA) ∴OD=OC=3, :D(0,3) 同理可得直线D的解析式为=} +3 28/123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、3 y=-x+3 4 x=2 由 32+9x-3 9 解得 9或x=-4, J= V= 2y=0 ,点M是直线AC上方的抛物线上一动点， 题型三 二次函数与倍角问题 解/题/技/巧 类型 二倍角加倍)e 二倍角G减半) 二倍角（减半） 图示 y B 条件 ∠PBA=2∠0ABA 方法 翻折△BA0得到△DAO+U 作AD⊥x轴，交BP延长线于点D,B班 延长PB交x轴于点D+ ∠PBA=∠DAB+BP∥ADP ⊥AD于点H+∠DBH=∠ABH+AD=20B ∠BDA=∠B.AD+OA=OD 【典例3】(25-26九年级上湖北咸宁期中)如图抛物线y=-+r+3与x轴交于点 (-1,0) B两点， 与y轴交于点C,D是抛物线的顶点， 是抛物线上的一点，连接AD,DE,AE. OB 备用图 (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标： (2)求△ADE的面积： 29/123 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P,使∠APC=2∠PAB,若存在，求点P的坐标，若不存在，请说 明理由， 【答案】(1)y=-x+2x+3D(1,4) 21 2)4 P (3)存在， 【分析】(1) 点1(-1,0)代入y=-r+x+3,解方程即可得抛物线解析式。 57 E (2)设抛物线的对称轴x=1与直线AE交于点F,与x轴交于点G,作EH1DF于点H,求出气(2'4) 直线e的解折式少+片，求出DP3由S医=+S计第即得： (3)假设存在符合题意的点P(a,-a+2a+3 ,过点P作PM1y轴于点M,求出直线AP的解析式 y=B-ar+3-a,得N0,3-a),根据∠APC=2∠PMB,可得∠CPM=∠MPV,得CM=MN,得 3-（a2+2a+3)=(←d+2a+3列小-(3-a),解方程，即可求得P点坐标， 【详解】4)解：（④）抛物线’=-+r+3与轴交于点1(-1.0)， .-(-1)2-b+3=0 1b=2 解得 ÷抛物线的解析式为》=-+2x+3 y=-r+2x+3=-c-)+4 D1,4) 顶点 y=-(x-1)2+4 (2)解：如图，由(1)知， 30/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线的对称轴为直线x=1, 设对称轴与直线AE交于点F,与x轴交于点G,作EH⊥DF于点H, Y 点在抛物线上，且横坐标为， OG B E 2 .x 2代入y=-2+2x+3中，得y=7☑ 4 A(-1,0)」 设直线1E的解析式为’=c+b,:.A(-1,0) -k+b=0 .2 k2 1 解得： 1,直线 b= 11, 2 E:y-2x 令x=1,得y=1F(1) .DF=4-1=3, Sm=8m+5 DF4G+Dr-EH-Dr(aG+Em)-x月+小-头 2 21 即△4DE的面积为4； (3)假设存在满足条件的点Pa,-a+2a+3),作PM1y轴于点M,直线AP与》轴交于点N. 31/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设直线4P的解析式为y=m+n把4-1.0)，P(a,-a+2a+3)代入，得 -m+n=0 am+n=-a2+2a+3, :(a+1m+a-3)=0 ∴a+1=0(舍去)，m+a-3=0, m=3-a, .n=3-a, ..y=(3-a)x+3-a .W(0,3-a) ∴.ON=3-a. :PM⊥y轴， .PM∥AB, ∠PAB=∠MPN, 又∠APC=2∠PAB ∴.∠CPM=∠MPN, ..CM=MN 3-(-a2+2a+3)=(-a2+2a+3)-(3-a） 化简，得2a2-5=0, 5 解得a=2或0（舍） 32/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 7 由(2)知当x=2时，y=4, 57 即在第一象限内的抛物线上存在点 2'4 使∠APC=2∠PAB」 【点睛】本题综合考查了二次函数与一次函数的综合应用.熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次 函数解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，与三角形面积问题综合，等腰三角形的判 定和性质，与角度问题综合，是解题的关键 【变式1】（25-26九年级上湖北武汉阶段检测)如图，抛物线y=r+r+ 与x轴分别交于A、B两 点，与y轴交于点C,且OC=OB=3OA. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P为抛物线上一点，且∠CAP=45°，求点P的坐标： (3)点卫为抛物线第一象限上一点，连A犯、C9,若∠C2A=2∠QAB,求点P的坐标. 【答案】(1)y=-r2+2x+3 8到 57 e 【分析】(1)利用待定系数法运算求解即可： (2)解：将AC绕点A顺时针旋转90°得到AC,取CC的中点H,连接AH并延长交抛物线于点P,则 33/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAP=45°，利用中点坐标公式求出H的坐标从而得到直线AH的表达式，再联立二次函数的解析式运算 求解即可； (3)连接CQ并延长交x轴于点M,连接AQ,分析出点2在AM的垂直平分线上，设点 Q(m,-m2+2m+3),求出CQ的解析式，得到M点的坐标，再利用x。=2(xw+)列式运算即可. 【f解】①)解：把=0代入=+c+3可得：=3 0C=3 .OC=0B=30A, .0B=3,OA=1. B(3,0).4(-10) 把B(3,0).4-1,0)代入y=am+x+3可得： a-b+3=0 9a+3b+3=0, a=-1 解得：b=2, ∴抛物线的解析式为： y=-x2+2x+3 (2)解：将AC绕点A顺时针旋转90°得到AC,取CC的中点H,连接AH并延长交抛物线于点P,则 ∠CAP=45°如图所示： B :40=1,C0=3,即点C可由点A向下平移1个单位，向左平移3个单位得到，故 (2,-1) 34/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ÷C(0,3) 2》 &H) 设直线4H的解折式为：)=+b,把4(-1,0)，H(分别代入得： [-k+b=0 k+b=1, 1 k2 解得： 1, b 直线行的架折式加方+分 联立+号与)+2x+3可得：+2x+3- 11 2, 5 解得：x=-1或= 2 入+2可得：y=x5+号2 5 1,1 ∴把= 2224 (3)解：当∠CQA=2∠QAB时，连接CO并延长交x轴于点M,连接A0, M式 ,'∠QAB+∠QMA=∠CQA, 35/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠QAB=∠QMA, 点O在AM的垂直平分线上， ·。=2(xw+x), 设(m,-m+2m+3) 设直线C0的解析式为：y=x+b,把C0,3),m,-m+2m+3)代入得： km+b=-m2+2m+3 b=3 [k=-m+2 解得：b=3 ÷直线C0的解斩式为：)=(m+2)r+3, 把=0代入=（仁m+2r+3可得.0=(-m+2列+3 3 整理可得：X= m-2, M3,0 m-2, :4(-1,0) 3 -1 ·6=m-2 -=m, 只解得：用弓或m1《第象限合去) 把m-2代入-m2+2m+3可得：-m+2m+3=- +2× 4 .95别 36/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，一次函数，垂直平分线的判定及性质，函数坐标点的特征，坐 标中点坐标公式，合理添加辅助线是解题的关键， 【变式2】(25-26九年级上浙江单元复习)二次函数'=r+bx+4(a≠0 的图象经过点1(40) B(1,0 ,与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接BPAC交于点O,过点P作PD上x轴 于点D 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，连接BC,当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的解析式； 【答案】(1)'=-r-3x+4 1515 (2)y=- x+ 88 【分析】(1)利用待定系数法即可求出答案； .15 (2)设BP与y轴交于点E,设0E=a,则CE=4-a,BE=4-a,运用勾股定理可求得Q=8,得出 再利用待定系数法即可求出答案。 【详解】1)解：：y=ar+bx+4(a≠0) 的图象经过点 A(-4,0)B(1,0) a(-4)2+b.(-4)+4=0 a+b+4=0, 37/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a=-1 解得：b=-3, y=-x2-3x+4 该二次函数的表达式为 (2)解：如图，设BP与y轴交于点E, E 图1 :PD∥y轴， ∠DPB=LOEB, ∠DPB=2∠BCO, ∴∠OEB=2LBC0、 .∠ECB=∠EBC, .BE=CE. 令x=0,得y=4, :C0,4).0c=4 设OE=a,则CE=4-a, .BE=4-a, 在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2, :(4-a}=a2+12 15 解得a=8, 38/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设BE所在直线表达式为 y=kx+e(k≠0) 15 k.0+e= 8 k.1+e=0' 15 k=- P 解得： 15, e= 8 15。,15 ∴直线B即的表达式为=名+名。 【点睛】本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象 和性质，勾股定理等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质等相关 知识是解题关键 巴题型四 二次函数与角的和差倍分 【典例4】（25-26九年级上江苏苏州阶段检测)如图，已知抛物线-+4r- 的图象与轴交于点A 和点B,与y轴交于点C.点P是抛物线上的一动点，且满足∠PBC=45°-∠ACO,则点P横坐标是 2 【答案】3或-2 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问愿，连接1C,取 0,-0. 连接BT交 抛物线于P,证明∠OCB=∠OBC=45°，△ACO2aTB0,可得∠ACB=∠TBC=45°-∠ACO,即 ∠PBC=45-∠4C0,求解直线BT为y=3x-1,再进一步解答即可：如图，ABTC关于直线BC对称的 39/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △B0C,证明∠TC2=90°， Q(2,-3) 可得 同理可得： BO 的解析式为： y=3x-9 ,记直线与抛物线的交 点为P,再进一步求解即可. 【详解】解：令x=0,则y=-3, 令y=0,则-x2+4x-3=0, 解得x=1或x=3, :C(0,-3)A.0)B3,0) T(0,-1 如图，连接4C,取 ,连接BT交抛物线于P, A B ·8(3,0).C0,-3)A,0) :0B=0C,0A=0T,而∠B0C=90°， ∠OCB=∠OBC=45°，△ACO2ATB0, ∴∠ACO=∠TBO, :.∠ACB=∠TBC=45°-∠ACO,即∠PBC=45°-∠AC0, 设直线BT为y=x-l, 1 ÷3e-1=0,解得：e=3 心直线BT为=3x-1, 40/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 联立得2+4x-3=x-1, 3 2 解得：x=3(舍去)或x= 3 △BTC关于直线BC对称的△BQC, ∴.∠QBC=∠TBC,CT=C0=2,∠TCB=∠QCB=45°， .∠TC0=90°， :(2-3) 同理可得：BQ的解析式为：y=3x-9,记直线与抛物线的交点为P', ∴∠P'BC=45°-∠AC0. 联立得-x2+4x-3=3x-9, 解得：x=3(舍去)或x=-2:, 综上：点p横坐标是3或-2 2 故答案为：3或-2 【变式1】(25-26九年级上四川广元期末)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物 y=-x2+br+c与X 轴交于A, B(60两点，与'轴交于点C,点D2,3 在抛物线上，点P是抛物线上一动点. B 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式： (2)如图1，连接OD,当点P位于直线OD上方时，求△ODP面积最大时点P的坐标； (3)如图2，连接AC,BC,抛物线上是否存在点P,使∠CBP+∠AC0=45°？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 41/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】)=-x2+2x+3 p155 (2)（4'16 p-21I 3)抛物线上存在点P，点P的坐标为P2,3)或气3’9 B(3,0)D(2,3 【分析】(1)将点，点 代入抛物线=-r+br+c 用待定系数法求解即可： 3 3 3 (2)作PE∥OD,求出OD的解析式y-2,设PE的解析式为V=2x+b,联立得x+b=-+2x+3, 化.得-630，利4-周-40-引-0，解得名。用我E台式为子股。可 349 p15s) 得（4'16： B)求出C(03),得OB=0C-3,∠C80=∠BC0-80-∠B0C)=45,将。40C绕点0顺时针方向 旋转90°，至△AOB,则A0=40=1,∠4C0=∠AB0,得A0,),求出直线BP的解析式为y=-3x+1, p211） 联立二次函数解析式，解方程组可得气3'9，此时使∠CBP+∠ABO=∠CBP+∠AC0=45°，过C作 CF‖x轴，过B作BF∥y轴，CF与BF交于点F,四边形OBFC为正方形，作A关于BC的对称点G，, 点G在CF上，作直线BG,得GF=OA=1,CG=2,BF=OC=3,得G(2,3),与点D重合，得点P2,3) 在抛物线上。 【详解】(1)解：“点83,0).点D2,3 ，点 在抛物线'=-r+r+C上。 -9+3b+c=0 -4+2b+c=3, 42/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 「b=2 解得c=3, “该抛物线的解析式为 =-x2+2x+3 (2)解：作PE∥OD,如图所示： B 设OD的解析式为y=, 将D2,3)代入，得=3 2 3 :.OD的解析式为y=。x, 2 3 设PE的解析式为y 2r+6 3 y=-x+b 2 联立直线PE与抛物线解析式有y=-?+2x+3 3 2+b=-+2x+3 化简。得- x+b-3=0 1)1 -4(b-3)=0 49 解得b= 16 349 “直线PE的解析式为y=2+16 43/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 49 y=2x+ 216 联立y=-x2+2x+3 1 X=- Γ4 解得 5, y=16 4】 P 211 (3)解：存在P2,3)或(3'9 理由： 对少=-x2+2x+3 令=0，则=3 :C(0,3) B(30) ∴.OB=OC=3. ÷∠CB0=∠Bc0-580-∠B0C)=45, 将△AOC绕点O顺时针方向旋转90°，至△AOB,如图2所示： 则AO=AO=1,∠ACO=∠AB0, ∴.A(0,1) 由题意知直线BP过点A,设直线BP的解析式为y=mx+n, (3,0)A(0,1) 将 ,代入， 〔n=1 得3m+n=0, 44/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m=- 3 解得： n=1, :直线BP的解析式为y=3x+1, y=-x2+2x+3 1 联立y=-3+1 2 x3 解得： 1或x=3(舍去)， y= 9 y=0 》 此时使∠CBP+∠ABO=∠CBP+∠ACO=45°， D G B 图2 如图2所示，过C作CF‖x轴，过B作BF∥y轴，CF与BF交于点F, 则四边形OBFC为正方形， 作A关于BC的对称点G, 由对称性知，点G在CF上， 作直线BG, 则直线BG与抛物线的交点满足条件， ..GF=OA=1,CG=CF-FG=3-1=2,BF=OC=3, .G(2,3),与点D重合， 45/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D(2,3) 在抛物线上， ∴.P(2,3) (211 抛物线上存在点P,使∠CBP+∠AC0=45°，点P的坐标为P2,3)或（3’9 【点睛】本题考查了二次函数综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、一元 二次方程的应用，正确构造辅助线，是解题的关键 【变式2】(2526九年级上重庆铜梁期中)如图，在平面直角坠标系中，搬物线"=a++4a+0)交 x轴于A、 B(4,0) 两点，与y轴交于点C,连接4C,若OC=201。 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PN1BC于点N,若E为y轴上的一动点，F为该抛物线 对称轴上的一动点.当PN取得最大值时，求AF+EF+EP的最小值： 将该抛物线沿4C方向平移5个单位长度得到新抛物线'，Q为新抛物线'上的一个动点，当 1 ∠QBC-∠AC0=45° 时，请求出所有符合条件点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程。 1 【答案】(1)抛物线的解析式为y= x2+x+4 2 (2)4F+EF+EP √13 的最小值为 3-√6i-V6-5 3)当∠QBC-∠AC0=45°时，所有符合条件点Q的坐标为(5,2)或2， 4 【分析】(1)求得点A的坐标，利用待定系数法解答即可： 46/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过点P作PMLx轴于点D,交直线BC于点M,利用等腰直角三角形的判定与性质得到△OBC为等 直角花，P州兴，m型 则D(m,0),M(m,-m+4),则 PM=m+m+4-(m+4到-+2m=m-2+2,可得：当m=2时，PN取得最大值为2 此时P的坐标为24)：作点P关于'轴的对称点P,连接PE,F ,利用轴对称的性质和两点之间线段最 短的性质得到当点P,E,F,B在一条直线上时，FB+EF+EP取得最小值为BP,利用勾股定理解答即可 得出结论： (3)利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：首先利用平移的特征求得抛物线y的解析式，利用平行 线的判定与性质得到QB∥AC,利用待定系数法求得直线QB的解析式，再与抛物线y的解析式联立即可 求得结论；设QB与y轴交于点E,利用全等三角形的判定与性质求得点E坐标，利用的待定系数法求得 直线QB的解析式，再与抛物线)'的解析式联立即可求得结论. 【详解】(1)解：令x=0,则y=4, ∴.C(0,4) 0C=4, :0C=20A, ∴0A=2, ∴A(-2,0) y=ax2+bx+4(a≠0 抛物线 A,B(4,0)两点 交轴 16a+4b+4=0 4a-2b+4=0, a=- b=1 47/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 六抛物线的解析式为y=2+x+4: (2)解：过点P作PMIx轴于点D,交直线BC于点M,如图， B 设直线BC的解析式为y=c+C, 4k+c=0 c=4, k=-1 c=4, ∴直线BC的解析式为y=-x+4, 1 二m2+m+4 设（ :PM⊥x轴于点D, .D(m,0),M(m,-m+4) pw=-方+m+4-(m+4=n+2m=a-2+2, B(4,0) .OB=4. .OB=0C=4, .△OBC为的等腰直角三角形， ·∠0BC=45°， ∴.∠DMB=45°， .∠PMN=∠DMB=45°. 48/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PN⊥BC, :.△PMN为等腰直角三角形， pyp( 2 当m=2时， PW取得最大值为V5,此时P的坐标为2,4) 作点P关于y轴的对称点P',连接PE,FB,如图， D 则P'(-2,4,EP=EP ~F为该抛物线对称轴上的一动点， .FA=FB. ∴，AF+EF+EP=FB+EF+EP, ,两点之间线段最短， “当点P,E,F,B在一条直线上时，FB+EF+EP取得最小值为BP, 过点P'作PH⊥x轴于点H, .OH=2,P'H=4, ∴.BH=OH+OB=6. BP=√P'H2+BH2=V42+62=2√13 AF+EF+EP √13 的最小值为 3-61-v61-5 (3)解：当∠QBC-∠AC0=45°时，所有符合条件点Q的坐标为(5,2)或2,4一 0A=2,0C=4 ..AC=V04+0C2=2/5 49/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC ,将该抛物线沿心方向平移 个单位长度得到新抛物线， .该抛物线向右平移了1个单位长度，向上平移利用2个单位长度， +44=-+3, 1 .y=- 2 y-1号+2x+ 2 .OB=OC=4. ∴.∠OBC=∠OCB=45°， :∠QBC-∠AC0=45°， .∠QBC=∠ACO+∠OCB=∠ACB, ·OB∥AC,如图， 0 B 设直线AC的解析式为y=cx+d, 「-2c+d=0 d=4 [c=2 d=4, ∴.直线AC的解析式为y=2x+4, 设直线BO的解析式为y=2xr+e, ∴.2×4+e=0. .e=-8, 直线BQ的解析式为y=2x-8 50/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=2x-8 +2 .9 2 [x=5「x=-5 =2或U=-18(不合思意，舍去)， ∴(5,2) 设OB与y轴交于点E,如图， B ∵OB=0C=4 ∴.∠OBC=∠OCB=45° :∠QBC-∠AC0=45°，∠QBC-∠EBO=∠OBC=45° .∠EBO=∠ACO 在△ACO和△EBO中， [∠AOC=∠EOB=90° OC=OB=4 ∠ACO=∠EBO ∴.△ACO≌AEBO(ASA) 0A=0E=2, ·E(0,-2) 设直线BE的解析式为y=斥+n, 「4f+n=0 f=-2, 51/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 f=1 2 n=-2, ·直线BE的解析式为y 2-2. 1 y=-x-2 2 2r+2+ 9 y= 2 [3+V61 3-V6 x= x= 2 2 y-6-5(不合愿意，舍去) 4 y=61-5, 3-V61-√61-5 2,4 /3-√i-61-5 综上，当∠QBC-∠4C0=45°时，所有符合条件点Q的坐标为(5,2)或2,4一 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图 象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线 段的长度是解题的关键 巴题型五二次函数与1角 【典例5】(21-22九年级上山西太原阶段检测)如图所示，抛物线y= 2-3与x轴交于A,B两点，与 3 y轴交于点C,M为第一象限抛物线上一点，且∠MCB=15°，则点M的坐标为 52/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 (3v3.6) 【分析】先求出B、C的坐标得到OB=OC=3,则∠OCB=∠OBC=45°，从而得到∠MC0=30°，设CM 与x轴的交点为V求出V5.0) 进而求出直线CM的解析式为y=V5x-3,由此联立两函数解析式即 可求出答案。 【详解1解：在=-3，当x=0时，y=3:当写式-3=0时，x:3 ÷4-3,0),B(30,C(0,-3) 0B=0C=3, .∠B0C=90°， ∴∠0CB=∠OBC=45°， :∠MCB=15°， ∴∠MC0=30° 设CM与x轴的交点为N, .ON-oc 3 ÷w(3o) 设直线CM的解析式为y=r+b, [N3k+b=0 .b=-3, ∫k=5 .b=-3, ÷直线CM的解析式为y=V5x-3. y=V3x-3 联立p-3,解 [x=0,x=3V3 y=3或 y=6 53/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷M33o） 故答案为： (3v3,6j B 【点睛】 本题主要考查了一次函数与二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的 直角三角形的性质，正确求出点N的坐标是解题的关键， 【变式1】(25-26九年级上山东济南期中)如图，抛物线'=+br+ A(-1,0),B(3,0),C(0,3) 经过三点 y 备用图 (1)求此抛物线的解析式： (2)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F,交直 线BC于点E,作PD⊥BC于点D,当动点P在什么位置时，线段PD的长最大，求线段PD的最大值，并 求此时P点的坐标： (3)抛物线上一点M,当∠BCM=15时，请直接写出点M的横坐标. 【答案】（但）'=-r+2x+3 2)PD大值 9v2 P315 8, (24 54/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6+V5 (3)点M的横坐标为3或2+V3 【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案： (2)利用等腰直角三角形性质可 PD② ,即PE越大，PD越大，利用待定系数法可得直线BC的 解折式为y=-x+3,设Pm,-m+2m+3),则E(m-m+3).PE=-m2+3m,证明△PDE0C,求出 PD,再运用二次函数的性质即可求得答案： (3)分两种情况：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别求得直线CM的解析式，与抛物线的 解析式联立即可求得答案 【详解】(1)解：抛物线过A(-l,0),B(3,0), 设抛物线表达式为 y=a(x+1)(x-3) 将C(0,3)代入上式，3=a(0+1)0-3), ∴.a=-1, .y=-x2+2x+3 (2)设P(m-m+2m+3) 设直线BC表达式为y=+b, 将B3,0,C(0,3)代入上式，得 [0=3k+b k=-1 3=b解得b=3, y=-x+3 55/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :PF⊥x轴，交BC于点E, .E(m,-m+3), ∴.PE=yp-ye=（m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m, PD⊥BC,PF⊥OB, .∠PDE=∠BOC=∠BFE=90°， .∠PED=∠BEF ∴.∠DPE=∠OBC, ∴.△PDE∽ABOC, PD PE BO BC B(3,0),C0,3), ∴.OB=OC=3, .BC =32, :PD=m2+3m 3 3V2, ·PD=- m2+3V 2 -m, 2 .a=- <0, 2 3V2 1m=- 2 当 2a 2× √2 2时 有最大值， 2 PD V23232392 PD大值=-2X气2 2 2 8 6+V5 (3)点M的横坐标为3或2+V5 理由：如图，当点M在直线BC上方的抛物线上时，作MN⊥OC于点VN, 56/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设M.-+21+到.则Cv=3-(+2+3)-=-2xMN=1 B(3,0),C(0,3), ..OB=OC=3, .∠BOC=90° .∠OCB=∠OBC=45° ∠BCM=15, ∴.∠OCM=∠OCB+∠BCM=45°+15°=60° 在RtCMN中，tan60=MN CN' ：.5=2-21 t 6+3 4=0(舍去)， 42= 3 当点M在直线BC下方的抛物线上时，设直线CM交x轴于点G, y M B .∠BCM=15°， ∴.∠OCG=∠OCB-∠BCM=45°-15°=30° 在tac0G中，an30°= CO √30G 3 .0G=5 ∴.G(3,0) 设直线CG表达式为y=ar+b, 57/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 将C0,3引.G3,0 代入上式， 3=b [k=-V5 0=√3k+b解得b=3, y=-V3x+3, y=-V5x+3 由y=-x2+2x+3,得x2-2x-√5x=0 =0(舍去)，=2+5 6+v5 综上所述，点M的横坐标为3或2+V5. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、二次函数的图象和性质、勾股 定理等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏 C(0,-6) 【变式2】(25-26九年级上河南信阳阶段检测)如图，已知顶点为 的抛物线'=ar+a≠0)与 x轴交于A,B两点，且OC=OB. 求二次函数=ar+b(a≠0 的解析式： (2)x轴上存在点P使得△PBC的面积为12，请求出点P坐标. (B)作直线CB,间抛物线”=ar+Ma≠0 上是香存在点M,使得∠MCB=15°，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案1ay=名-6 58/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、(2,0)10,0) (2)或 3)M的坐标为 65,12）或5，-4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形.正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨 论的思想进行求解，是解题的关键 (1)根据OC=OB,得出点B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； (2)设点P坐标为（化，0），根据三角形面积公式列方程即可求解： (3)分点M在点B的上方和下方两种情况，讨论求解即可. 【详解】(1)解：·C0,6) .OC=0B=6. ：8(60) B(6,0)C(0,-6) ,抛物线过 1 36a+b=0 1a= 6 ·1b=-6,解得：b=-6 y=5x2-6 6 (2)解：设点P坐标为x,0), S.pwc=PB-OC. 1 ×6×x-6=12, .2 解得：x=2或x=10, ∴点P坐标为(2,0)或(10,0) (3)存在， ..OC=OB 59/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.∠0CB=∠OBC=45°， 如图，分以下两种情况： D ①当点M在点B上方时，CM交x轴于D,∠OCD=∠OCB-∠MCB=30°， ∴CD=2OD. 0D+0C=CD=(20D.0D+6=20D 0D=2√5 解得： :D25,0. 设直线CD的解析式为y=众-6，将D25.0).代入，得：k=V5, :y=3x-6 y=V3x-6 联-名-6，解得 [x=0x=65 y=-6或y=12 :M(65,12) ②当点M在点B下方时，CM交x轴于E, ∠OCE=∠OCB+∠MCB=60°， 0E=6√5 同理可求 :E(65,0 设直线CE的解折式为y=mx-6,将E(65,0,代入，得：m= 3, 60/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 36 = -x-6 联立 y=22-6 解得：「x=0或∫x=2V3, 6 y=-6y=-4 :M25,-4) 综上： M(65.2）或M(25,-4 巴影型六二次函数与4角 【典例6】(25-26九年级上：陕西褶南期中)如图，已知抛物线'=--3x+ 的图象交轴于A,B两点 (点A在点B左侧)，点P在第二象限的抛物线上，连接PB,且∠PBA=45°，则点P的坐标为 (-3,4) 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接PB,作PD⊥x 轴于D,先求出B,0,设P(m,m-3m+4),则PD=-m2-3m+4,BD=1-m,求出△PBD为等腰直 角三角形，得出PD=BD,即-m-3m+4=1-m,求出m的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运 用是解此题的关键。 【详解】解：如图，作PD⊥x轴于D, 61/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 在少-r2-3x+4 ，令0 ,则r2-3x+4=0 x=-4x2=1 解得： :B00) :点P是抛物线上一动点， 设Pm-m-3n+4),则PD=m2-3m+4,8D=1-m, :∠PBA=45°， ∴△PBD为等腰直角三角形， ∴PD=BD,即-m2-3m+4=1-m, 解得：m=-3或m=1, ,点P在第二象限， .m=-3, :-㎡2-3m+4=-（-3-3×(-3)+4=4 P(-34) 故答案为： (-3,4) 【变式1】(2425九年级上·山东德州阶段检测)如图抛物线厂-r+4r- 的图像与轴，'轴分别交于 A、B、C三点，点Q在抛物线上，若∠ACQ=45°请你写出点9的坐标 62/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 459 【你，仔别 【分折1-+4-3，令+4-3=0，可求40)，当=0时。-3，即C0-3》,如图，作 MD1CO于D,过D作EFLr轴于F,过C作CE1F于E,设De）,证明△MFDe,DEC(AAS) 则4F=DE=/+3=e-LDF=CB=e,由DE+DF-3,可求e=2f=-2,则D(2-2）,特定系数法求 [y=2x-3 y= 2 直线c0的解析式为y=2-3,联立y=x+4r-3,求解作答即可。 【详解】解：少=-r2+4r-3 令-x2+4x-3=0. =1,x2=3 解得， .A(L,0)B(3,0) 当x=0时，-3，即C0,-3) 如图，作MD1C0于D,过D作EFLr轴于F,过C作CE LEF于E,设D(e) 63/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠AC0=45° .∠DAC=45=∠AC9, ∴AD=CD, .:∠FAD+∠ADF=90°=∠ADF+∠EDC, ∠FAD=∠EDC. 又'，∠AFD=90°=∠DEC,AD=CD, :△AFD≌aDEC(AAS) .AF=DE=f+3=e-1,DF=CE=e, 又，DE+DF=3, e=2,f=-2, :02-2) 设直线CQ的解析式为y=c+b, b=-3 将C(0,-3),D(2-2)代入得，12k+b=-2, b=-3 1 解得， k=2 直线CQ的解析式为y=2x-3, 64/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 y=2x-3 联立y=-x2+4x-3 ( 7 x= 2 解得，x=0, y=-3 4 2别 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标 轴的交点等知识.熟练掌握二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数 与坐标轴的交点是解题的关键 【变式2】(256九年级上福建前田期末)知图。抛物线y=+低+与轴交于不B60两点， 3 与y轴交于点C(0,3),直线4y=4与抛物线交于D,E两点. E (1)求抛物线的函数解析式. (2)若P是抛物线上的点且在直线I的上方，连接PD,PE,当△PDE的面积最大时，求点P的坐标及该面 积的最大值 (3)若卫是直线AD上方的抛物线上的点，连接AD,且∠AD卫=45°，直接写出点的坐标. 【答案】(1)y=-x2+x+3 4 65/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a 343 435 【分析】(1)根 B6,0）C0,3), 利用待定系数法求解即可得： a-a2+a+3 -3<a<4) (2)设点P的坐标为 4 先求出PF的长，根和5PF化 列式，再 利用二次函数的性质求解即可； 3)先求出1(-2,0)，再过点A作GAL4D,且G1=4D,过点G作GN上x轴于点N,过点D作 DM1x轴于点M,证出∠ADG=45°，△AGN≌aDAM,则可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线 DG的解析式，与二次函数的解析式联立即可得点Q的坐标 1 【详解】(1)解：抛物线y=-4x+x+c经过B(6,0),C(0,3), 4 1 ×62+6b+c=0 4 c=3 [b=1 解得c=3, 超物线的晒数解折式为=+x+3。 (2)解：如图，过点P作PF⊥x轴，交DE于点F, H 直线 与抛物线交于 两点， 3 k:y= D,E 66/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 人4x2+x+33 4x,解得x=-3,x2=4, 4 当x3时，-(3 33 2×4=3 当x=4时，4x=4 43,43- :xp-xE=4-(-3)=7 设+a+3j3m利 3 aPDE的面积为S,则点Fm。 PF=-4m2+m+33 2=—7红2士72十3 S=1PF-(xo-x2)= 则2 71 4 即S-、7 7.21 m2+。m+ 8 8 2 7 <0 8 8 1 2公2取得大值为7心712弘8 8282232 1 11)21 55 m2+m+3=- 则4 4(2 +。+3= 216 P155 343 当点(2'16)时，△PDE的面积最大为32： (3)解：当)=0时：+x3=0,解得5=-2，-6 :4(-2,0,则01=2。 67/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点A作AD的垂线并取点G(在直线AD的上方)，使得GA=AD,过点G作GN⊥x轴于点N, 过点D作DM⊥x轴于点M,连接GD交抛物线于点Q, VA M B E .D(4,3) ∴.DM=3,OM=4,则AM=OA+OM=6, GA⊥AD,GN⊥x轴，DM⊥x轴， ∴.∠GNA=∠GAD=∠AMD=90°， :.∠AGN+∠GAN=∠DAM+∠GAN=90°， .∠AGN=∠DAM, 在△GAN和△ADM中， '∠GNA=∠AMD ∠AGN=∠DAM GA=AD :.△GAN≌aADM(AAS) .AN=DM=3,GN=AM=6, 则ON=AN+OA=5, .G(-5,6) 设直线GD的解析式为 =+h+0),f代入D4,3).G(-5.6) ks、1 3 4k+b=3,解得 13 -5k+b=6 b= 3 1 13 y=3+ 3, ∠ADQ=45° 68/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点Q是满足条件的点， x+x+3=-x+3 .4 3+色醒得x=4(舍去），5二 411335 当x= 3时，3x+3=9, 》 题型七二次函数与60°角 【典例7】(2526九年级上福建莆田阶段检测)如图。抛物线C:y=x--1,顶点为D将抛物线 C沿水平方向向右平移”个单位长度，得到糙物线9，原点为D,C与C相交于点9，若2D00=60 则m的值为 4v3 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，求得Q的坐标是解题的关键 根据平移的性质求得交点Q的坐标，得到C解折式，代入C求得e的坐标，过P作2M1DD交D0于 M,利用△DQD为等边三角形，则OM=DD 2 ,构建方程求解即可。 【详解1如图，过P作OM1DD交DD于M, 69/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D(1,-1),D(1+m,-1) 根据题 (m+2m-1 抛物线9y=-1m-1,代入Cy=--1得9“22g- 若<D0D,=60 ,由图易知 n△DOD为等边三角形， 0w号am,1(0-9a-0 则m=4W5m,解得 =45或m=0(含去)： 所以m=4V5 故答案为： 4V5 【变武1】（2023陕西一模)在平面直角坐标系中，抛物线' -写(x+x-3)与x轴交于4、B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴交于C点 (1)求点A,B,C的坐标； (2)判断△ABC的形状，并说明理由： (3)若点P在抛物线上，且∠PBA=60°，求点P的坐标 【答案】四点4的坐标为-0)，点B的坐标为6,0)，点c的坐标为0，v) (2) △ABC为直角三角形，理由如下： :点4的坐标为0)，点B的坐标为6,0)，点C的坐标为(0，)， 70/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷4C=2BC=25AB=4 、AC2+BC2=AB2, ·△ABC为直角三角形 64-75)或25) 【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B,C的坐标： (2)由点A,B,C的坐标，利用两点间的距离公式可得出AB,AC,BC的长度，结合AC2+BC2-AB2, 可得出△ABC为直角三角形： (3)设边PB与y轴交于点M,由OB的长度及∠PBA=60°可得出点M的坐标，利用待定系数法可求出直 线BM的解析式，联立直线BM和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点P的坐标. 【详解)(1)当x=0时，'-、3 -3×1x(-3)=5 ÷点C的坐标为(0，)， 当y=0时，-3(x+1(x-3)=0 x=-1x3=3 解得： ∴点A的坐标为(-10)，点B的坐标为(3,0). (2)略 (3)设边PB与y轴交于点M,如图所示. 71/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A (0 B M 在Rt△BOM中，OB=3,∠MB0=60°， ∠OMB=30°， BM=20B=6, :0M=VMB2-0B=6-32=35, 点M的坐标为(Q,35)或0，-35) 当点M的坐标为(0，-35)时，设直线BM的解析式为y=c+b, 将B(3,0,M(0,-3, 代入y=+b,得： [3k+b=0 b=-33, k=3 解得：b=-3√3， ÷直线BM的解析式为y=5x-35 联立直线BM和抛物线的解析式成方程组，得： y=3x-3/3 y=- 3 (+100x-3), 72/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=-4 x2=3 解得：y=-75,y2=0(舍去)， ∴点P的坐标为 4,-75) 同理，当点M的坐标为0,33)时，直线BM的解析式为y=一5x+35, 联立直线BM和抛物线的解析式成方程组，得： y=-V5x+3V5 36x+100x-3), x=2 x3=3 解得：y=V5,y2=0(舍去)， ∴点P的坐标为 (2,5) 综上所述：点P的坐标为（4-75)威(2) 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、待定系数法 求一次函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A, B,C的坐标；(2)由点A,B,C的坐标，找出AC2+BC2=AB;(3)通过解直角三角形及待定系数法 PB(BM) 求一次函数解析式，求出直线 的解析式. 3 【变式2】(2425九年级下江苏盐城阶段检测)已知抛物线y=x+br+C与x轴交于点4L,0)点B两点， 与y轴交于点 (0,-3) 73/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求此抛物线的函数表达式： (2)点P是抛物线上一动点（不与点A,B,C重合），作PD⊥x轴，垂足为D,连接PC; ①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD=60°，求点P的横坐标； ②如图2，直线PD交直线BC于点E,当点E关于直线PC的对称点E'落在y轴上时，直接写出点P的坐 标 【容案1a+-3 (2)① 【分析】(1)将 A1,0)C(0,-3) 两点代入抛物线的解析式，解方程即可； (2)①设直线PC交x轴于E,可推出△COE为30°直角三角形，进而求得点E坐标，从而求出PC的解析 式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果： ②可推出四边形PECE是菱形，从而得出PE=CE，,分别表示出PE和CE,从而列出方程，进一步求得结 果 【详解】(1)解：由题意得， [c=-3 3 +b-3=0, 9 b=- 4 a=3 中提物线的函致表达式为一子 3 4-3: 74/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①如图1， y D E B 图1 设直线PC交x轴于E, PD∥OC, ∴.∠OCE=∠CPD=60°， .∠COE=90°， ∴∠CE0=90°-∠EC0=30°， ∴CE=20C=6, :0E=V30C=3V5 ÷点E35,0 ,直线PC的解析式为：上了 33 3+9x-35 由4”4 -3 得， s43 -3 :=9-3,=0(舍去)， 43 即点P的横坐标为9 ②如图2， +-0 75/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得46】 :8(-40) 直线BC过8B(-4,0).C(0-3)两点 3 直线BC的解析式为：y=一4x-3, E B A E 图2 3 9 设点 分以下两种情况： 点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F, :点E与E关于PC对称， ∴.∠ECP=∠E'PC,CE=CE', PE∥y轴， ∴.∠EPC=∠PCE', ∴∠ECP=∠EPC, .PE=CE, .PE=CE', .四边形PECE为平行四边形， 76/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PECE'为菱形， .CE=PE, EF∥OA, CE EF ∴.BCOB, Em, 4m-3 CE-m .54 5 .CE=-≥m 4 ,PE=- m-3-3 m2+9m-3= 3 2m2-3m 4 4 4 4 5 3 4m= 3m2-3m, 六%=0（舍去），m=7 3 725 :P6 当点P在第二象限时， 53 2m=号m2+3m 同理可得：44 六%=0（舍去），m= 3, 1725 P3 7_25 综上所述：点P的坐标为 【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量， 巴慰型八二次函数与0心角 77/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例8】(25-26九年级上新疆乌合木齐阶段检测)如图，抛物线”=+2x+3 x轴于A和B两点， 交y轴于点C.直线y=x+m与抛物线交于M,N两点，若在x轴上存在唯一的一点P,使∠MPV=90°， 则L的值为， YA B -3±V34 【答案】 2或1或-3 【分析】此题是二次函数的综合题，主要考查了切线的性质，及二次函数与一次函数的关系.解题的关键 是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形 的性质求解，要注意分类讨论，不要丢解 分为①当以MN为直径的圆和x轴相切时，②当点A或B在直线y=术+m上时，分别求解即可. 【详解】解：①当以MN为直径的圆和x轴相切时，符合题设条件，连接SP 设MN的中点为点S,则PS⊥x轴， 设点M,N的横坐标为s,1, M(s,s+m),N(t,t+m) :Mw=-}+s+m-1-m}=2Vs-t}=2Vs+}-4t 联立y=x+m与y=-x2+2x+3 78/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即x+m=-x2+2x+3, 整理得，x2-x+m-3=0 则s+f=l,st=m-3, :.MN=V2Vs+)}-4st=V2VP-4(m-3)=V26-8m. 1 而点S的横坐标为2(5+)=2， (12m+1 六点S的坐标为2’2月， MN=2SP,则MN2=4SP2, 6-8m=4× 2m+1）2 即 2 解得m3达v可 2: ②当点A或B在直线y=x+m上时，也符合题设条件，即此时NP⊥x轴， 如图： A(0 P B 或MP⊥x轴，如图 BM末 对于少=-2+2x+3 当少0 时，则x+2x+3=0 79/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得x=-1或x=3, ·A(-1,0),B3,0), 将点A(-1,0),B(3,0)代入y=x+m, 得0=-1+m或0=3+m,解得m=1或-3. -3±V34 综上， m= 2或1或-3. -3±V34 故答案为： 2或1或-3. 【变式1】（2-23九年级上辽宁沈阳期末)已知点P为二次函数-2x-3 象上一点，设这个二次函 数的图象与x轴交于A,B两点(A在B的右侧)，与y轴交于C点，若∠CAP=90°，则点P的横坐标的 值为 【答案】-2 【分析】先求出点 (3,0),B(-1,0),C(0,-3),证明△40B是等腰直角三角形，则∠01C=45°，由 ∠CAP=90°得到∠OAP=45°，设直线AP与y轴交点为点D,可证△AOD是等腰直角三角形， 01=0D=3,得到D的坐标是Q3》,用待定系数法求出直线4P的解析式为=-x+3,直线P的解析 y=x2-2x-3 式与二次函数 联立，解方程组即可得到点P的横坐标的值 【详解】解：当=0时，-2x-30,解得 =3,x=-1 A(3,0),B(-1,0) 由题意可知， 当术=0 y=x2-2x-3=-3 时， C(0,-3) 如图所示， 80/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 0 C OA=OC=3,∠A0C=90°， :.△AOB是等腰直角三角形， .∠0AC=45°， ,∠CAP=90°， ∠0AP=45°， 设直线AP与y轴的交点为点D, ∠AOD=90°， ∴，△AOD是等腰直角三角形， .'.OA=OD=3. 0,3) ∴点D的坐标是 设直线P的解折式为=x+b,拒D0,3引4(3,0)代入得， 「3k+b=0 k=-1 b=3,解得b=3, ∴.直线AP的解析式为y=-x+3, y=-x+3 联立得， y=x2-2x-3. [x=3x=-2 解得y=0或y=5, 81/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即点P的坐标是2,5) 点P的横坐标的值为-2. 故答案为：-2 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式、 函数图象的交点问题等知识，数形结合和准确计算是解题的关键， 【变式2】(2425九年级上·甘肃酒泉·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=a+b-2+0)与轴交于4,0)、B3,0两 两点，与y轴交于点C,其顶点为D. (1)求抛物线的解析式： (2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接OM,BM,设运动时 间为t秒≥0) 在点M的运动过程中，当∠OMB=90°时，求t的值， 【答案】(1)y= x+ 3 3t2 2)当1=2+2 时，∠0MB=90° 【分折1(4)将点4，B的坐标代入抛物线'=+r-2a≠0)可求出a,b的值即可。 2 (2)先求出顶点D的坐标，设M(2,m),m<3,分别用含m的代数式表示出OM2,BM2,OB的值， 利用勾股定理可求出m的值，即可得t的值. 【详解】(1)解：·抛物 y=a2+bx-2a≠0)与轴交于 AL,0)B(3,0) 两点， 「a+b-2=0 19a+3b-2=0, 82/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a=- 3 b= 3 抛物线解析式为y=- 32 3, 2 顶点 ~一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接OM,BM, 设 2 M(2,m） m< 3 .OM2=m2+4,BM2=m2+1,OB2=9, ∠0MB=90°， ..OM2+BM2 =OB2. ∴.m2+4+m2+1=9, ∴m=V2 (舍)， m=-V2 M(2,-V2) ,1=V2+2 3 :当12 3时，∠OMB=90°. 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，角度与动点结合等，解题关键是能够 熟练运用含字母的代数式表示线段的长度， 83/123 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型九二次函数与135°角 【失别9】(203四川自贡被拟预)刻图，二次西数十号-的图象交x箱于B两点，图 象上的一点C使∠CBA=135°，则点C的坐标是() B A.(4,-1) c.45-3 0.453 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质， 表示出C的坐标是解题的关键.过点C作CD⊥x轴于点D,构造等腰直角△BCD,设BD=CD=m,根据 等腰直角三角形的性质表示出点C的坐标，代入抛物线解析式得到关于m的方程，解方程即可求解. 【详解1解三次商数y=式+分-1中，令y=0:则=宁产0， 4 解得1专3 .A1,0)B(3,0) 过点C作CD⊥x轴于点D, :∠CBA=135° ∴.∠CBD=45°， △BCD是等腰直角三角形， 84/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BD=CD, 设BD=CD=m, C3+m,-m), 点C在=次画致y=写+ 4 -1的图象上， 4 .-m=-,(3+m)2+(3+m)-1 m1=1m2=0 解得 (舍去)， C(4,-1). 故选：A ,4 【变式1】(2627九年级上福建莆田阶段检测)如图，二次函数y3?+ x-1的图象交x轴于A'B 两点，图象上的一点C使∠CBA=135°，求点C的坐标. A 【答案】 C(4,-1) 【分析】先求出 4,0),B(6,0),从而可得4B=2,0B=3.作CD1x轴于点D,证明△CBD为等腰直 角三角形，得出BD=CD,设BD=CD=a,则4D=2+a,OD=3+a,从而可得9 (3+a,-d,最后再代 入二次函数解析式，计算即可得出结果。 【珠都1解：在=写+导-中，令)=0则+号-1=0， 解得5-1与3 0)B3,0) .AB=3-1=2,OB=3, 85/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，作CD⊥x轴于点D, B :∠CBA=135°， .∠CBD=180°-∠CBA=45°， ∴.△CBD为等腰直角三角形， .BD=CD. 设BD=CD=a,则AD=AB+BD=2+a,OD=OB+BD=3+a, :C3+a,-a) 1 4 :点C在三次函数y=3r+3x-1图象上， 3++g3+a）)-1=-a, 整理得a2-a=0, 解得a=0(不符合题意，舍去)或a=1, .3+a=4, C4,-) 【变式2】(22-23九年级上山西运城期末)综合与探究：如图，二次函数y= X+x+4的图象与x轴 2 交于A,B两点（点A在点B的左则)，与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.抛物线的对称轴交x轴于 点E,点P是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m,点F的坐标 为0，-3)，连接印，P分别与”轴，对称轴交于点C G,H 86/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y个 D EG B F (1)求A,B,C三点的坐标并直按写出顶点D的坐标： (2)当FG:GP=6:5时.求点P的坐标； (3)试探究：在点P运动过程中，是否存在点P,使得∠FHE=135°，若存在，请直接写出m的值：若不存 在，请说明理由. 【容1m(20,0,c04n号 3)存在，m √14 的值为： 当 【分析】(1)利用函数解析式求出当x=0时，y=4 0时，-24 以及顶点坐标公式，即 可得出答案； FG OF 2作pWL轴于点M通过证明AFGO∽APGM可得出：PGPM即得出PML〉 =2.当y=2时， 米出1 七2=3 (舍去)， ,即可得出点P的坐标. (3)由∠FHE=135°，可得∠EHG=45°，故∠EGF=45°，∠OFG=45°，可得0G=OF=3,即可得出 y=x-3 设直线rG的解析式为：y=X-3:结合=弓+x4, 即可得出m的值， 87/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由y=- x+x+4得， 2 当x=0时，y=4, ∴点C的坐标为 0,4) 当y=0时，2 2+x+4=0,解得：x=-2,2=4. :点A在点B的左侧， 点4的坐标为 -2,0) 点B的坐标为 4,0) 心点D的坐标为2 (2)作PMLx轴于点M,则∠PMG=90°， y个：D EG/ B M H F 图1 ∴.∠FOG=∠PMG=90, 又：∠FGO=∠PGM. ·△FGO∽△PGM FG OF .PGPM· 63 5PM .PM= 2· 5 x2+x+4= 5 当y=2时，2 2 88/123 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x2=3 (舍去)， m=3 5 3. 点P的坐标为 2 (3)解：存在点P,使得∠FHE=135°，理由如下： ,∠FHE=135°， ∴.∠EHG=45°， :∠HEG=90°， ,∠EGF=45°， ,∠G0F=90°， ∴.∠OFG=45° .∠OFG=∠0GF=45°， ..OG=OF. F(0-3) .OF=3, ∴.0G=3, ÷c0,0) 设直线FG的解析式为y=c+b, 把G30).F(0,-3 代入y=c+b得： 3k+b=0 b=-3, k=1 ∴b=-3, ∴y=x-3 89/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=x-3 y= 4 d8+x+4 .x=±V14, ,点P是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，点P的横坐标为m, ∴.m=14 故存在点P,使得 FHE=135°m V14 的值为： 故答案为：存在，m的值为： V14 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形、特殊角的存在性问题，掌握二次函数的性 质，灵活构造图形是解题的关键 过·分层验收 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1.（重庆市万州（二中）文德初级中学2025-2026学年上学期九年级数学14周周测试卷)如图，抛物线 y=20x-1 的顶点为A,且与'轴交于点B, B OA (1)求A,B两点的坐标： (2)抛物线与平行于x轴的直线y=h交于点D、E,△DEA为等边三角形，求h的值. 90/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 创若点C为点B关于对称轴对称的点，点P在抛物线上，且∠PBCB4C,求点p的坐标. 【答案】(1)A1,0).B(0,2) h=3 2 p9,25）p7,9 3)（48或(4'8 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，三角函数，掌握相关知识是解决问题的关 键。 (1)由抛物线解析式即可得顶点坐标，另令x=0代入抛物线解析式求出B点坐标： (2)直线y=h D,E DE=√2h 交抛物线于两点，则可求得 ,作H1DE,由等边三角形性质可得 AH =V6h 6h h= 2,则可得方程”2，解方程即可： (3)作A0⊥BC于O,作PG⊥BC,由题意则 BAO-ZBHC tam∠BAQ=Be=I ,且可求 402,因 为∠P8C-B1C,则m∠P8C=m∠B40-片，设Pk.22-4+2小，8此列方程求解即可 【详解】(1解：抛物线y=2x- 顶点为40,0) 令x=0,得y=20-1=2。 故B(0,2): (2)解：：直线y=h交抛物线于D,E两点，则D,E横坐标满足 2(x-1)2=h 五 x=12, 91/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 作AH⊥DE, BD H 0 :△DEA为等边三角形， 2,AD=DE=2h .AH=VDAP-DH=6所 2 .hs66 2 2=-3h 2 R_3h=0 2 (,3 hh- =0 （2 h>0, 3 ..h 2: (3)解：，抛物线对称轴x=1, 、B(0,2)关于x=1的对称点为C2,2), 92/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作A0⊥BC于O, B,C关于对称轴对称， 六e为ac中点，Q坐标为Qn,2,且∠840-a4C, 则tan∠BAQ=B-1 A02, :∠P8C-8AC .1 :tan∠PBC=tan∠BA0-2, ·P在抛物线上， ÷设P,2x-4+2） 过P作PG⊥BC, PG=2x2-4x+2-2BG=k-0l=N, 2x-4x+2-2 x 2 2x2-4_1 2 x≠0， 2x-4月 2x-4 2或2x-4=- 2 93/123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 7 x=4或x= 4 9 当x=4时， 角好司 > 当x=4时， 925) P 综上所述， 2.(26-27九年级上吉林松原·阶段检测)如图，抛物线 =(x+1)2 的顶点为A,过点A左侧抛物线上一点 B,作BC⊥x轴于点C,且BC=2AC. AO (1)求点B的坐标； (2)若D是抛物线上一点，且∠ABD=45°，求直线BD的解析式. 【答案】(1) B(-3,4) 94/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2y=3x+3 【分析】(1)先根据抛物线顶点式求出点A的坐标，设点C的横坐标为参数，结合BC⊥x轴与抛物线解 析式表示出点B的纵坐标，进而表示出AC、BC的长度，利用BC=2AC的条件建立方程，结合点B在A 左侧的范围求解，得到点B的坐标 (2)以AB为边构造含45°角的辅助线，过点A作AB的垂线，截取等长线段构造等腰直角三角形，利用 全等三角形求出该线段端点的坐标；结合点B的坐标求出直线BD的解析式. 【详解】()解：“抛物线解析式为'=（任+ -1,0) ∴，顶点A的坐标为 设点C的坐标为(x,0), :点B在A的左侧， x<-l,AC=P1-=-1-x :BC⊥x轴，点B在抛物线上， 8的坐标为6x+） BC=(x+1)2 ..BC=2AC, :x+=2-1-) (x+1)2+2(x+1)=0 整理方程： (x+1)(x+3)=0 解得=- （对应点A,舍去)，=-3 将x=-3代入抛物线解析式， 得少=(-3+1)2=4 95/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 （-3,4) ∴点B的坐标为 (2)解：由(1)知，4(-1,0)， 过点A作AE⊥AB,交BD于点E,则∠BAE=90°， ∠ABD=45°， ∴，△ABE是等腰直角三角形， .'AB=AE. 过E作EF⊥x轴于F, D 轴于点C, BC⊥x ∴.∠ACB=∠AFE=90° ·∠ABC+∠BAC=90°， ,∠BAC+∠EAF=90°， .∠ABC=∠EAF △EFA≌△ACB(AAS) 由(1)知，AC=2,BC=4, .AF=BC=4,EF=AC=2, 4点坐标(1,0)， 0A=1, ..OF=AF-OA=3, 的坐标为(3,2)」 设直线BD的解析式为y=c+b, 将B(-3,4)和E(3,2)代入， 96/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -3k+b=4 得3k+b=2, 1 k= 3 解得b=3, 3+3 因此直线BD的解析式为y= 3.(2026九年级上全国专题练习)如图，抛物线 =ar+r+C与轴交于4B两点，与'轴交于点C, A,B 抛物线的对称轴是直线x=2,已知点B(1,0),C(0,-2) D (1)求抛物线的解析式： (2)E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥x轴，延长DE交抛物线于点F,求线段EF的最大值及此 时点E的坐标： (3)在y轴上是否存在一点P,使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【容1ar-2 2 2)最大值为2，E的坐标为 -2,-1) 3)存在. 设点P0) 97/123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 如图，过点P作PG⊥AC于点G,连接AP,则∠PGA=90°， ∠0AP+∠OAC=60°， ∴.∠PAG=60° .∠APG=90°-∠PAG=30°， .AG-PA A4,0).C0,-2)P(0,) :PA=V+4,AC=V4e+2=25 PG=5+ 2 由P4C的面积，得4CPG=PC.OA, 2W5x5.㎡+年=x4a+2), 即2 2 化简，得n2+64n-176=0, 解得4=-32+20W5,%=-32-205 (不符合题意，舍去)， P0,-32+205) 设点P与点P关于原点对称，则9 0P'=0P=-32+20√3 98/123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·P'(0,32-20V3) 综上所述，点P的坐标为 0,-32+205)或0,32-205) 【分析】(1)根据对称轴，利用待定系数法即可求解： (2)根据对称轴得出点4坐标，由点AC的坐标得直线4C的解析式为y=一2x-2,设点 E-2x-2 ,则点 进而求解： (3)根据三角形的面积，可得关于的方程，然后解方程，可得答案 【详解】(1)解：“点C的坐标为 0,-2) .c=-2 3 抛物线过点B(1,0),对称轴是直线x=一2， a+b-2=0 .b3 2a2 1 a= 2 解得 3 b= 2 能物线的解新式为y一+ 22 3 (2)…抛物线对称轴为直线x=一2，点B的坐标为(1,0)， “点A的坐标为 -4,0) C(0,-2) 设直线AC的解析式为y=a+m, 99/123 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 〔-4k+m=0 m=-2, 、1 2 解得m=-2, :直线4C的解析式为y= 2-2 .3 则点 1 :2 0 六当=-2时，线段EF的值最大，最大值为2，此时点5的坐标为2-)， (3)略， 4,(2022黑龙江三模)如图，抛物线’=ar+r+3与x轴分别交于 (-1,0)B(3,0) 两点，与y轴交于 点C (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接AC,∠PBA=∠ACO,直接写出点P的坐标. 【答案】1)少=-r2+2x+3 100/123